Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
Indicaţii pentru corectare: Informaţii utile! 1. Corectarea lucrărilor se va efectua cu o culoare diferită de cea folosită de candidat. Marcarea greşelilor, lipsurilor, etc. se face conform practicii de corectare. Primul dintre chenarele gri de lângă probleme conţine punctajul maxim care se poate acorda la problema respectivă, punctajul acordat de profesorul care corectează se înscrie în chenarul de alături.. În cazul rezolvării ireproşabile a unei probleme, este de ajuns să se înscrie punctajul maxim în chenarul corespunzător. 4. În cazul rezolvării cu greşeli, sau cu lipsuri a problemei, vă rugăm să scrieţi şi punctele parţiale acordate pe unele părţi ale lucrării. 5. Profesorul examinator nu va lua în considerare acele părţi ale lucrării, care sunt scrise cu creionul, în afara figurilor. Indicaţii pentru evaluarea conţinutului: 1. La unele probleme s-a dat punctajul pentru mai multe soluţii. Dacă soluţia obţinută de candidat este diferită de acestea, căutaţi părţi echivalente cu cele din soluţia din barem, pe baza căreia se corectează şi se notează lucrarea.. Punctele din baremul de corectare-notare se pot descompune în puncte parţiale. Numărul de puncte acordate nu pot fi decât numere întregi.. Dacă raţionamentul şi rezultatul sunt evident corecte, se poate acorda punctaj maxim şi dacă rezolvarea este mai puţin detaliată decât cea din baremul de corectare-notare. 4. Dacă în rezolvare s-au comis greşeli de calcul, sau apar inexactitudini nu se acordă punct pentru partea la care a greşit candidatul. Dacă candidatul lucrează mai departe logic corect, dar cu valori iniţiale parţial greşite, punctajele parţiale trebuie să fie acordate în continu. 5. În cazul greşelilor de principiu, în cadrul unei unităţi logice (acestea sunt marcate prin linie dublă în baremul de corectare-notare) nu se acordă punct, chiar dacă formal operaţiunea matematică este corectă. Însă dacă candidatul calculează în continuare corect, cu valorile iniţial obţinute în urma unei greşeli de principiu, i se acordă punctajul parţial maxim posibil în această unitate logică sau parte a problemei, dacă problema de rezolvat în esenţă nu s-a schimbat. 6. Dacă în baremul de corectare-notare o unitate de măsură este dată între paranteze, rezultatul obţinut este considerat de valoare totală, chiar dacă această unitate de măsură lipseşte din rezultatul obţinut. 7. Dacă la o problemă candidatul a dat mai multe rezolvări corecte, se va lua în considerare numai rezolvarea indicată de către candidat. 8. Pentru rezolvare nu se pot acorda puncte de premiu (punct în plus la punctajul maxim pentru rezolvare, sau pentru rezolvarea parţială respectivă). 9. Nu se scad puncte în urma calculelor parţiale greşite sau în urma operaţiunilor parţiale greşite, dacă ele nu sunt folosite în continuare în rezolvarea problemei. 10. În partea II/B a lucrării vor fi notate numai dintre cele probleme date. Candidatul a trecut în pătratul alăturat probabil în acest scop - numărul problemei pe care nu o vom lua în considerare la determinarea notei finale a lucrării. Ca atare, o eventuală rezolvare la problema respectivă nici nu trebuie corectată. Astfel, dacă pentru profesorul care corectează nu este indicat clar şi univoc care problemă nu a fost aleasă spre rezolvare de către candidat, atunci ultima în ordinea problemelor prezentate spre rezolvare nu va fi notată. írásbeli vizsga 0911 / 1 011. május.
1. a ( a +1) Total:. Preţul manualelor este de 600 Ft. Preţul caietelor este de 50 Ft. Total:. Frecvenţa relativă a tricourilor de mărimea M este: 8 0,1. 1116 Modulul este mărimea L. I. S-au vândut în medie 186 de bucăţi. Total: puncte 4. Literele afirmaţiilor corecte: A, C. 5. Total: x = 1 ; y = 9. Total: Aceste nu se descompun. Se va accepta şi rotunjirea corectă la cel puţin două zecimale exacte. Se va acorda acest punct şi dacă răspunsul candidatului este. Se vor acorda câte pentru răspunsurile corecte. Dacă în răspuns este B se acordă 0 puncte. 6. Numărul strângerilor de mână este 9. Total: Se va acorda dacă candidatul răspunde 18 strângeri de mână. 7. 101 X Y = 4 10 10 X Y =,4 10 Total: Se va acorda şi acest punct dacă rezultatul final este corect. írásbeli vizsga 0911 / 1 011. május.
8. q = 4 a = a 5 q 7 a 5 = ( =,75) 8 Total: puncte 9. 56 = h 10a + 56 a sau 18 = 10 18 56 a = 10 Lungimea antebraţului este a = 9 cm. Total: puncte Se acordă şi acest punct dacă răspunsul este corect. 10. Valoarea în doi ani creşte de 1, 1,( = 1,56) ori Valoarea cărţii după doi ani este: ( 000 1, 1, = ) 5880 Ft. Creşterea este de 56%. Total: puncte 11. b < 0 b = 0 Total: 1. A={1; ; ; 4; 6; 9; 1; 18; 6} B={1; 4; 16} A B ={1; 4} A \ B = {; ; 6; 9; 1; 18; 6} Total: 4 puncte Acest punct se acordă numai pentru o enumerare totală. Acest punct se acordă numai pentru o enumerare totală. írásbeli vizsga 0911 4 / 1 011. május.
1. a) prima soluţie II/A. Deorece ( x 1) = x x + 1, ( = astfel ecuaţia de rezolvat este: x x x + 1), adică x x + x 1 =. De aici rezultă x =. Verificare. Aceste nu se descompun. Se acordă acest punct dacă candidatul ştie că utilizarea parantezei este necesară. Se acordă acest punct şi dacă candidatul nu precizează în scris dar utilizează corect descompunerea parantezei. 1. a) soluţia a doua Recunoaşte identitatea care se poate aplica. x ( x 1) = ( x ( x 1) )( x + ( x 1) ) =, Se acordă câte 1punct şi dacă candidatul nu precizează în scris dar De aici rezultă ( x x + 1 )( x 1) =. utilizează corect descompunerea parantezei. De unde avem x =. Verificare. 1. b) Pentru valorile lui x mai mari decât 1 * x lg x lg( x 1) = lg =. x 1 x (Din definiţia logaritmului se obţine) 100 x 1 =. Adică x = 100( x 1), 100 Din care = ( 1,01) Se acordă acest pentru aplicarea corectă a identităţii logaritmului. x 99. Verificare. Punctul marcat cu * se acordă şi dacă candidatul acceaptă rădăcina obtinută pe baza substituţiei ei in ecuaţia iniţială. írásbeli vizsga 0911 5 / 1 011. május.
14. Numărul de telefon este un număr compus din 7 cifre. Astfel el se compune din cifre care provin dintr-o coloană de 4 numere şi dintr-o coloană de numere. Avem două cazuri esenţial diferite: prima cifră provine din coloana din mijloc sau din una din coloanele laterale. Cazul întâi Dacă numărul începe cu cifrele din coloana din mijloc, atunci-datorită faptului că numărul nu poate începe cu 0- prima cifră poate fi de feluri. Cele 4 cifre pot avea un număr total de! = 18 ordini. În acest caz primele 4 cifre vor fi urmate de următoarele cifre, care provin sau din prima sau din a treia coloană. În ambele cazuri cele cifre se pot scrie în! = 6 ordini. Astfel rezultă că numărul numerelor de telefoane!! = 16. compuse din 7 cifre este: ( ) Cazul al doilea Primele cifre ale numărului de telefon provin dintre numerele primei coloane. Aceste cifre se pot scrie în! = 6 feluri. Fiecare dintre aceste ordini vor fi urmate de cele 4! = 4 ordini diferite ale celor 4 cifre (alese din coloana din mijloc). Astfel numărul total al numerelor de telefon de acest fel este! 4! ( = 144). În mod analog rezultă că numărul acelor numere de telefon care încep cu cifrele din a treia coloană este! 4! = 144. acelaşi, adică ( ) Numărul total al numerelor de telefon compuse din 7 cifre care satisfac condiţiile problemei este: 16 + 144 + 144 = 504. Total: 1 Se acordă câte şi dacă candidatul se folosește numai de aceste raţionamente de-a lungul rezolvării problemei. Dacă nu menţionează ambele posibilităţi, se acordă numai. írásbeli vizsga 0911 6 / 1 011. május.
15. a) are numai valoare maximă are numai valoare minimă are atât valoare minimă cât şi maximă nu are valoare extremă g j f h; m Se acordă dacă litera funcţiei este trecută corect şi numai o singură dată în tabel. 5 puncte Total: 5 puncte 15. b) y 1 1 x puncte Se acordă dacă ştie că graficul este un arc deschis orientat în sus, dintr-o parabolă. Se acordă dacă ştie locul potrivit al punctului de axă. Se acordă dacă ia în considerare domeniul de definiţie. Domeniul valorilor este [ 4;5]. Dintre rădăcinile ecuaţiei ( x) = 0 k (adică 1 şi 5) numai valoarea 1 aparţine domeniului de definiţie, deci el este zeroul funcției. Total: 7 puncte Se acordă cel mult 1 punct dacă candidatul nu ia în considerare domeniul de definiţie. Se acordă cel mult 1 punct dacă candidatul enumeră ca zerouri ambele rădăcini ale ecuaţiei k ( x) = 0. írásbeli vizsga 0911 7 / 1 011. május.
16. a) II/A. P D 51 cm A. α 4 cm 44 cm β B h β 70 cm α C E Triunghiurile ABD si CBE sunt asemenea, deorece unghiurile lor sunt egale două câte două (unghiuri opuse la vârf, respectiv ungiuri alterne interne) De aici rezultă că (rapoartele laturilor corespondente BE 70 sunt egale, deci) 4 =. 44 70 BE = 4 66,8 (cm). 44 Deci lungimea barei DE este 109 cm. Total: 7 puncte 16. b) În triunghiul ABD se calculează de exemplu unghiul α cu ajutorul teoremei cosinusurilor. 4 = 51 + 44 51 44 cosα. De unde avem: cos α 0,6179, α 51, 8. În triunhgiul dreptunghic APC avem: h = AC sinα, adică h 114 sin 51,8 89, 6 (cm). Se acordă acest punct şi dacă acestă idee este prezentă numai în soluție. Suprafaţa de călcat este deci la o înălţime de (90+=) 9 cm de la podea. Total: 10 puncte Măsura celorlalte două unghiuri în triunghiul ABD este β 7, 7 şi ADB 55,5. Dacă calculele se efectuează cu ajutorul celeilalte bare atunci se obţine h 109 sin 55,5 89,8 cm, care rotunjit, dă la fel 90 cm. írásbeli vizsga 0911 8 / 1 011. május.
17. a) prima soluţie Avem un număr total de 6 serii de aruncări cu zarul (toate egal probabile). a1) Câştigul este de 00 de fise: La toate cele trei aruncări ies numere pare. Acest eveniment se produce în feluri. 1 Probabilitatea de câştig a 00 de fise este de: =. 6 8 a) Câştigul este de 500 de fise: La prima aruncare rezultă numărul 1, la a doua rezultă un număr par, la a treia un număr impar. Acest eveniment se produce în feluri. La prima aruncare rezultă numărul 1, la a doua un număr impar, la a treia un număr par, se produce la fel în feluri. Numărul cazurilor favorabile este: + ( = 18). Probabilitatea de câştig a 500 de fise este de 1 =. 6 1 a) Câştigul este de 800 de fise: La prima aruncare rezultă numărul, iar la celelalte două un număr impar, se produce în feluri. (Deoarece cele trei aruncări pot fi de 6 feluri, astfel) probabilitatea de câştig a 800 de fise este de: 1 6 =. 4 a4) Câştigul este de 000 de fise: Deorece numărul cazurilor favorabile este 1, Probabilitatea de câştigare a 000 de fise este de: 1 1 6 = 16. Total: 1e írásbeli vizsga 0911 9 / 1 011. május.
17. a) Soluţia a doua a1) Câştigul este de 00 de fise: Deoarece (rezultatele celor trei aruncări sunt independente) probabilitatea ca la fiecare aruncare să iasă un număr par, este 1, rezultă că 00 de fise se pot câştiga cu probalitatea de 1 1 1 1 =. 8 a) Câştigul este de 500 de fise: Probabilitatea că la prima aruncare iese numărul 1 1 este. 6 Probabilitatea ca la a doua aruncare să iasă un număr 1 1 par iar la a treia un număr impar este. 1 1 Aceeaşi probabilitate are şi evenimentul în care la a doua aruncare iese un număr par iar la a treia un număr impar. Probabilitatea ca o aruncare este pară iar cealaltă este 1 1 1 1 1 impară este: + =, astfel probabilitatea de câştig a 500 de fise este 1 1 1 =. 6 1 Sau: rezultatele celei de a doua şi celei de a treia aruncări, pot fi de 4 feluri, din punctul de vedere al parității (psps, ps-pt, pt-ps și pt-pt)și fiecare eveniment se produce cu aceeași probabilitate, astfel probabilitatea evenenimentului favorabil va fi de 0,5. a) Câştigul este de 800 de fise: 1 Probabilitatea ca prima aruncare să iasă este, iar 6 probabilitatea ca următoarele două aruncări să fie 1 1 impare este. astfel probabilitatea de câştig a 800 de fise este 1 1 1 1 = 6 4 a4) Câştigul este de 000 de fise: În oricare dintre cele trei aruncări, probabilitatea de aruncare a numărului 5 este 6 1, írásbeli vizsga 0911 10 / 1 011. május.
(deorece rezultatatele celor trei aruncări sunt independente) rezultă că probabilitatea de câştig a 1 1 1 1 000 de fise este de =. 6 6 6 16 Total: 1e 17. b) Evenimentul complementar al unui eveniment în care un jucător a câştigat, este o rundă, în care jucătorul nu câştigă. Suma probabilităţilor unui eveniment şi a evenimentului complementar corespunzător este egală cu 1. 1 1 1 1 Şansa de câştig este + + +, 8 1 4 16 7 18 9 1 55 adică + + + = ( 0, 5 ). 16 16 16 16 16 Deci probabilitatea ca un jucător să nu câştige este 55 161 1 = ( 0,75). 16 16 Se acordă aceste puncte şi dacă candidatul numai foloseşte acest raţionament de-a lungul rezolvării problemei. írásbeli vizsga 0911 11 / 1 011. május.
18. a) prima soluţie Numărul de fursecuri este un multiplu atât al lui 16 cât şi al lui 18. Cel mai mic multiplu comun al lui 16 şi al lui 18 este 144. Rezultă că, numărul de fursecuri este un multiplu al lui 144. Dintre multiplii lui 144 numai multiplul de trei se află între 400 şi 500. Astfel numărul de fursecuri este 4. Se acordă acest punct şi dacă candidatul numai foloseşte acest raţionament de-a lungul rezolvării problemei. Se acordă acest punct şi dacă candidatul numai foloseşte acest raţionament de-a lungul rezolvării problemei. 18. a) soluţia a doua Dacă o fată a făcut n bucăţi de fursecuri, iar un băiat a primit k bucăţi, atunci numărul de fursecuri se poate calcula şi prin formulele 16 n şi 18 k, de unde rezultă că 16 n = 18k. 9k (De aici rezultă n =. Deorece n şi k sunt ambele 8 numere întregi pozitive, şi ( 9 ; 8) = 1, astfel) k se divide prin 8. Numărul de fursecuri se află între 400 şi 500, de unde avem 400 < 18k < 500, adică k 7. Dintre aceste valori numai 4 este divizibil prin 8, de unde rezultă că k = 4. Astfel numărul de fursecuri este 18 4, adică 4. írásbeli vizsga 0911 1 / 1 011. május.
18. b) C α 4 cm 4 cm A B,5 cm Candidatul modelează problema (de ex. schiţează o figură văzută de sus şi aşează fursecurile în forma dorită). Din triunghiul isoscel ABC avem: α 1,5 sin = = 0,15. 4 o o De aici rezultă α 6, 4 ( 6,41 < α < 6,4 ) o 60 (Deorece 9 < < 10, rezultă că) Dani a reuşit să α aşeze pe tavă, în felul acesta, cel mult 9 bucăţi de fursecuri. 18. c) Aria suprafeţei unui romb văzut de sus este 9,5 cm. Aria suprafeţei formei circulare de Linzer văzute de sus este π x π (cm ). 4π x π 9,5 x 0,99. Adică, raza cercului interior al Linzerului est aprox. de 1 cm. Total: 5 puncte Aria se poate calcula atât cu ajutorul măsurii unghiului obţinut în pasul anterior, sau calculând lungimea celeilalte diagonale a rombului ( 7,6 cm; ) iar apoi se calculează aria cu ajutorul diagonalelor. (1 punct). írásbeli vizsga 0911 1 / 1 011. május.