Testul nr. 11 Problema 1 (30 puncte = 10 puncte + 10 puncte + 10 puncte) a) Să se calculeze ( 42 : 2 + 23 ) :11+ 2 5 16. b) Să se determine cifrele a și b din egalitatea { a b} 2 + 42 : 2 + 23 :11+ 2 5 16 = 4. c) Să se calculeze suma tuturor numerelor naturale impare de forma x4y. Problema 2 (20 puncte = 10 puncte + 10 puncte) În 4 cutii se află, în total, 476 mingi de tenis. Dacă împărțim numărul de mingi din prima cutie la numărul de mingi din a doua cutie, apoi numărul de mingi din a doua cutie la numărul de mingi din a treia cutie, iar apoi numărul de mingi din a treia cutie la numărul de mingi din a patra cutie, obținem, de fiecare dată, câtul trei și restul 2. a) Câte mingi sunt în a patra cutie? Justificați răspunsul. b) Câte mingi sunt în prima cutie? Justificați răspunsul. Problema 3 (20 puncte = 10 puncte + 5 puncte + 5 puncte) Se construiesc 15 pătrate astfel: primul pătrat are latura de 1 cm, al doilea pătrat are latura de 2 cm,..., al 15-lea pătrat are latura de 15 cm. Toate aceste pătrate se împart în pătrățele cu latura de 1 cm. În primul pătrat se scrie numărul 1, în al doilea pătrat se scriu numerele 2, 3, 4, 5 (fiecare număr în câte un pătrățel), în al treilea pătrat se scriu următoarele 9... numere naturale și continuăm procedeul până umplem toate cele 15 pătrate. a) Câte numere naturale s-au scris, în total? Justificaţi răspunsul. b) În al câtelea pătrat se află numărul 670? c) Care este suma numerelor aflate în al 7-lea pătrat? Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c)) Pe ecranul unui calculator, într-un tabel sunt scrise numerele 7, 15, 23 iar la fiecare pas se mărește cu 24 cel mai mic număr din linia respectivă: Numere inițiale 15 7 23 Pasul 1 15 31 23 Pasul 2 39 31 23 Pasul 3 39 31 47 Pasul 4 39 55 47 Pasul 5 63 55 47 Pasul 6 63 55 71 Pasul 7 63 79 71 Pasul 8 87 79 71... a) Ce număr are pasul pe a cărui linie se află trei numere cu suma 2013? b) Să se determine numerele din linia pasului 82. c) Să se calculeze suma numerelor din prima coloană până la pasul 82 inclusiv. test elaborat de prof. LAURA GEORGESCU
Rezolvarea testului. Rezolvări prezentate de prof. ROMEO ZAMFIR Problema 1 (30 puncte = 3x10 puncte) a) Avem că ( 42 : 2 + 23 ) :11+ 2 5 16 = b) 1+ 23 :11+ 2 5 16 = = 44 :11+ 2 5 16 = = 4 + 2 5 16 = 5 16 = = 30 16 = = 14 { a b} ( a b) 2 + 42 : 2 + 23 :11+ 2 5 16 = 4 2 + 14 = 4 14 a b = 4 2 14 a b a b = 14 2 a b = 12 Cum a și b sunt cifre avem variantele a b = 12 = 3 4 = 4 3 6 2. Soluțiile problemei sunt: = 3 = 4. = 4 = 3 c) Avem de calculat suma S = 141 + 143 + 145 + 147 + 149 + 241 + 243 + 245 + 247 + 249 + 341 + 343 + 345 + 347 + 349 +... + 941 + 943 + 945 + 947 + 949 = = 725 + 1225 + 1775 + 2225 + 2725 + 3225 + 3725 + 4225 + 4725 4525 Răspunsuri: a) 14 = 3 b) = 4 c) 24525 = 4 = 3
Problema 2 (20 puncte = 10 puncte + 10 puncte) Desenul corespunzător problemei este: Avem că: 40 segmente = 476 2 6 2 18 6 2 40 segmente = 440 1 segment = 440 : 40 1 segment = 11 În prima cutie sunt 11 bile, iar în a patra cutie sunt 27 11+ 18 + 6 + 2 = 323 mingi. Răspunsuri: a) 11 mingi b) 323 mingi Problema 3 (20 puncte = 10 puncte + 5 puncte + 5 puncte) Observăm că într-un pătrat cu latura n avem n n numere. a) Avem de calculat suma S = 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 5+ 6 6+ 7 7+ 8 8+ 9 9+ 10 10 + 11 11+ 12 12 + 13 13+ 14 14 + 15 15 = = 1+ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81+ 100 + 121+ 144 + 169 + 196 + 225 = 1240. Deci, în cele 15 pătrate su fost scrise, în total 1240 numere. b) Avem că 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 5+ 6 6+ 7 7+ 8 8+ 9 9+ 10 10 + 11 11+ 12 12 50, iar în al 13-lea pătrat sunt 13 13 = 169 de numere, deci numărul 670 va fi în al 13-lea pătrat. c) Avem că 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 5+ 6 6= 91și 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 5+ 6 6+ 7 7 = 140, deci în al șaptelea pătrat sunt scrise numerele 92, 93, 94, 95,., 139, 140. Trebuie să calculăm suma A = 92 + 93 +... + 139 + 140 Deci, A 32 49 : 2 = 5684 Răspunsuri: a) 1240 b) al 13-lea pătrat c) 5684 A = 140 + 139 +... + 93 + 92 2 A 32 + 232 +... + 232 + 232 de 49 ori
Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c)) Adăugăm 2 coloane tabelul din enunțul problemei, o coloană cu suma numerelelor de pe fiecare linie și o coloană cu câturile împărțirii sumei numerelor de pe fiecare linie la 24. S S : 24 suma numerelor Numere inițiale 15 7 23 45 1 rest 21 Pasul 1 15 31 23 69 2 rest 21 Pasul 2 39 31 23 93 3 rest 21 Pasul 3 39 31 47 117 4 rest 21 Pasul 4 39 55 47 141 5 rest 21 Pasul 5 63 55 47 155 6 rest 21 Pasul 6 63 55 71 179 7 rest 21 Pasul 7 63 79 71 203 8 rest 21 Pasul 8 87 79 71 227 9 rest 21... Din tabelul de mai sus observăm că pe fiecare linie numărul pasului este mai mic cu o unitate decât câtul împăâirii din ultima coloană. a) Avem că 2013: 24 = 83 rest 21, deci răspunsul este pasul cu numărul 83 1 = 82. b) Pe fiecare linie avem trei numere ca mai jos: Un segment este egal cu ( 2013 8 16 ) : 3 = 1989 : 3 63. Deci, numerele de la pasul 82 sunt 663, 671 și 679. c) Observăm că pe prima coloană sunt numerele 15, 39, 63, 87,., adică un șir cu rația 24 și numerele din șir împărțite la 24 dau restul 15, pe a doua coloană sunt numerele 7, 31, 55, 79,., adică un șir cu rația 24 și numerele din șir împărțite la 24 dau restul 7, iar pe a treia coloană sunt numerele 23, 47, 71,,., adică un șir cu rația 24 și numerele din șir împărțite la 24 dau restul 23. Având în vedere că 663: 24 7 rest 15 671: 24 7 rest 23 679 : 24 8 rest 7 Deci, ordinea celor trei numere de la pasul 82 este 663, 679 și 671.
Avem de calculat suma S = 15 + 39 + 63 +... + 615 + 639 + 663 S 63+ 639 + 615 +... + 63 + 39 + 15 2 S 78 + 678 + 678 +... + 678 + 678 + 678 Suma S are ( 663 15 ) : 24 + 1 48: 24 + 1 7 + 1 8 termeni. Deci, S 78 28 : 2 = 9492. Răspunsul la subpunctul c) este 3 9492 15 8461. Răspunsuri: a) 82 b) 663, 671, 679 c) 28461