lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen
uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a baza. 4 ibliogra e 9 Index
. Spaţii vectoriale Exerciţiul.. Spaţiul R m este m-dimensional. Soluţie: Într-adevãr, sã considerãm urmãtorii vectori din R m : e = (; ; ; :::; ); e = (; ; ; :::; ); ::::; e m = (; ; ::::; ; ) Deoarece: e + e +:::+ m e m = R m () ( ; ; :::; n+ ) = (; ; :::; ) () = = ::: = m = rezultã cã e ; e ; ::::; e m sunt liniar independenţi. Pe de altã parte, dacã x = (x ; x ; :::; x m ) R m ; atunci x = x e + x e + ::: + x m e m ; deci L R (fe ; e ; :::; e m g) = R m :Prin urmare, în baza propoziţiei 3, cursul, rezultã cã dim R (R m ) = m: Exerciţiul.. Fie K[x] mulţimea tuturor polinoamelor, P (x) = a + a x + a x + ::: + a n x n = ; de grad arbitrar, cu coe cienţi în corpul K. Pentru orice n N; polinoamele: ; x; x ; :::; x n K[x] sunt liniar independente. Soluţie: Într-adevãr, din egalitatea: + x+ x+:::+ n x n = ; înlocuind pe x cu valori diferite x ; x ; x ; :::; x n R, obţinem sistemul de ecuaţii cu necunoscutele ; ; ; :::; n : 8 + x + ::: + n x n >< = + x + ::: + n x n = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: >: + x n + ::: + n x n n = x... x n al cãrui determinant = x... x n :::::::::::: este nenul (determinant Vandermonde x n... x n n în care x ; x ; :::; x n sunt diferite), prin urmare, sistemul admite numai soluţia banalã = = ::: = n = : În consecinţã K[x] este un K-spaţiu vectorial in nit dimensional.. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a baza. Exerciţiul.. Fie = fb ; b ; b 3 g ; = fb ; b ; b 3 g unde b = (; ; ) ; b = (; ; ) ; b 3 = (; ; ) ; b = (; ; ) ; b = (3; 4; ) ; b 3 = (; 3; ) : 4
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a r¼ataţi cã şi sunt dou¼a baze în R 3. alculaţi coordonatele vectorului x = (; ; ) ; în baza = fb ; b ; b 3 g şi matricea de trecere de la baza la baza : Soluţie: Matricea coordonatelor vectoriilor b ; b ; b 3 în baza canonicã este: = iar a vectorilor b ; b ; b 3 este: = 3 4 3 Deoarece det() = 4 6= ; det() = 3 6= ; rezultã cã rang = rang = 3 deci vectorii b ; b ; b 3 precum şi b ; b ; b 3 sunt liniar independenti şi deci constituie dou¼a baze în R 3 (vezi observaţia 8). Matricea constituie totodatã şi matricea de trecere de la baza canonicã la baza, deci: X = x E () b b b 3 t = ; 5
obţinem: X = : 3 4 3 3 7 5 4 4 =7 5=7 8=7 I 3 3 3 5=7 =7 =7 3=7 3=7 =7 9=7 5=7 6=7 7=8 3=8 =4 3=8 7=8 =4 9=8 5=8 3=4 Matricea de trecere de la baza la baza, ; o vom calcula cu metoda elimin¼arii complete şi vom obţine: 7=8 3=8 =4 = 3=8 7=8 =4 9=8 5=8 3=4 Exerciţiul.. Fie a = ; a = ; a 3 = trei vectori din R 3, coordonatele lor ind exprimate în raport cu baza canonic¼a = fe ; e ; e 3 g : 6
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a a) S¼a se arate c¼a fa ; a ; a 3 g constituie o baz¼a pentru R 3 : b) S¼a se scrie vectorul x = 5 având coordonatele exprimate în baza canonic¼a, în baza = fa ; a ; a 3 g : c) are vor coordonatele vectorului x în baza = fa ; e ; e 3 g : Dar în baza = fa ; a ; e 3 g? Dar coordonatele vectorului e al bazei iniţiale în bazele, respectiv? Soluţie: a) Fie matricea format¼a din coordonatele vectorilor a ; a ; a 3 : Se constat¼a c¼a: det = = + = 6= deci = fa ; a ; a 3 g este baz¼a pentru R 3. b) Organiz¼am calculele în tabelul urm¼ator. În etapa înlocuim pe e cu a (deoarece coordonata lui a în baza este a = 6= ) apoi în etapa a II-a pe e cu a şi în ne în etapa a III-a pe e 3 cu a 3. aza e e e 3 a a a 3 x e e 5 e 3 aza e e e 3 a a a 3 x a e 5 e 3 - - aza e e e 3 a a a 3 x a - -5 a 5 e 3-3 7
aza e e e 3 a a a 3 x a - -5 a -5 a 3-3 deci coordonatele vectorului x = fa ; a ; a 3 g : (x) = c) În baza ) (x) = În baza ) (x) = : 5 5 3 5 5 5 3 5 şi (e ) = şi (e ) = scris în baza, devin în baza = : : În baza =) (e ) = Observaţia..3 Se pot veri ca aceste rezultate. De exemplu, pentru e scris în baza avem: e = a + a a 3 = + = 8
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a sau, x scris în baza = fa ; a ; a 3 g : x = 5a + 5a + 3a 3 = 5 + 5 + 3 = 5 9
ibliogra e []. N¼ast¼asescu,. Niţ¼a, I. St¼anescu, Matematic¼a. Elemente de algebr¼a superioar¼a. Manual pentru clasa a XI-a Editura Didactic¼a şi Pedagogic¼a, ucureşti, 993. []. ¼R ¼IORU, Matematici aplicate în economie, Editura Universitaria, raiova,. [3] V.M Ungureanu, ulegere de probleme de algebra liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a - Partea I, Editura cademica rancusi, Tg-Jiu,, ISN 978-973-44-477-. [4] V. M. Ungureanu, M. R. uneci, lgebr¼a Liniar¼a: teorie şi aplicaţii, Editura Mirton Timişoara, 4, ISN 973-66-479-4