Activitate stiintifica in domeniul geometriei diferentiale Oproiu Vasile Geometria fibratelor tangent si cotangent. In lucrarile sale de ince

Transcriere

1 Activitate stiintifica in domeniul geometriei diferentiale Oproiu Vasile Geometria fibratelor tangent si cotangent. In lucrarile sale de inceput, V. Oproiu a studiat geometria diferentiala a fibratului tangent al unei varietati diferentiabile. Preocuparile erau legate, in principal, de o conexiune indusa pe fibratul tangent de o conexiunea de pe varietatea baza, printr-un procedeu obtinut din lucrari anterioare ale lui Kobayashi. Mai tarziu, s-a constatat ca aceasta conexiune era exact liftul complet al conexiunii de pe varietatea baza. Rezultatele au fost obtinute in lucrarile [1] si [2]. O sinteza a unor rezultate legate de lifturile vertical, orizontal si complet pentru campuri vectoriale si diverse campuri tensoriale ce definesc structuri geometrice pe varietatea baza, a fost prezentata in lucrarea [16]. Tot aici au fost obtinute si unele rezultate legate de integrabilitate pentru diverse structuri aproape complexe (definite de liftul complet, liftul orizontal si de un lift rezultat din combinatia dintre liftul orizontal si structura aproape complexa uzuala definita de Sasaki; drept consecinta se obtine existenta unei structuri, aproape cuaternionice (hipercomplexe) pe fibratul tangent al unei varietati aproape complexe), existenta unor automorfisme infinitezimale definite de lifturile vertical, complet sau orizontal ale unor campuri vectoriale de pe varietatea baza, diverse structuri aproape simplectice definite de o metrica riemanniana sau de o structura aproape simplectica pe varietatea baza, precum si automorfismele infinitezimale ale lor, structuri aproape hermitiene si aproape complex simplectice. S-a mai introdus conceptul de conexiune proiectabila, studiindu-se cazurile lifturilor complet si orizontal pentru o conexiune de pe varietatea baza. In final, se obtine exprimarea explicita a tensorului de curbura pentru conexiunea Levi Civita a metricii Sasaki. In lucrarea [27], unele probleme din geometria diferentiala a fibratului tangent au fost corelate cu problematica uzuala din geometria Finsler. In principal, s-a subliniat ideea ca geometria Finsler isi gaseste un cadru natural in contextul geometriei fibratului vertical la fibratul tangent. In final au fost prezentate unele idei legate de prelungirea unei conexiuni liniare la o conexiune pe fibratul vertical, operatie de o mare importanta in geometria Finsler. Ca o prelungire a ideilor de aplicare a metodelor din geometria fibratului tangent, s-a trecut la investigarea unor proprietati ale varietatilor inzestrate cu un lagrangian regulat. Astfel, in lucrarile [38], [39] s-au cercetat probleme legate de varietatile Lagrange inzestrate cu metrici de tip Sasaki sau cu metrici in care distributiile orizontala si verticala sunt 1

2 izotrope. Pentru aceste varietati s-au determinat conexiunile Levi Civita, s-au pus in evidenta componentele tensorilor de curbura si identitatile Bianchi. In lucrarile [37], [40], [41] s-au obtinut diverse proprietati ale subvarietatilor in varietatile Lagrange cu metricile considerate anterior. In lucrarile [44], [45] s-au studiat unele probleme legate de transformarea Legendre pe o varietate dotata cu un lagrangian regulat. Transformarea Legendre realizeaza un difeomorfism (local) intre fibratele tangent si cotangent. Utilizarea hamitonianulului permite determinarea inversei transformarii Legendre. Se studiaza imaginile campurilor vectoriale verticale si ale celor orizontale prin transformarea Legendre, obtinandu-se o conexiune neliniara pe fibratul cotangent, indusa din cea neliniara definita pe fibratul tangent de ecuatiile Euler Lagrange. Pentru o metrica de tip Sasaki si o alta metrica de tip extensie Riemann pe fibratul cotangent se obtin conexiunile Levi Civita respective, tensorii de curbura corespunzatori si se pun in evidenta exprimarile explicite ale identitatilor Bianchi respective. Se mai studiaza conexiunile de tip Schouten induse pe distributiile verticale si orizontale. Alte probleme legate de geometria diferentiala a fibratului cotangent au fost abordate in lucrarile [47], [48], [49], [51], [52], [54], [60], [62], [63], [65]. In esenta, se considera anumite metrici de tip Sasaki sau metrici in care una sau ambele distributii orizontala sau verticala sunt izotrope si se cupleaza cu ajutorul metricii de pe varietatatea baza. Prin alegeri convenabile ale conexiunii neliniare se obtin diverse structuri cu proprietati interesante pe fibratele cotangente. Se cerceteaza proprietati ale curburilor, proprietati de a fi local simetrice, se cerceteaza sectiunile armonice in fibratele cotangente sau campurile vectoriale regulate. Din conditia ca fibratul cotangent sa fie local simetric se obtine o proprietate a conexiunii neliniare de a fi exprimata ca un polinom de gradul al doilea in coordonatele (co)tangentiale. Coeficientii implicati in aceste polinoame pot fi alesi astfel ca sa se obtina diverse proprietati ale varietatilor baza: local simetrice, proiectiv plate, H-proiectiv plate (in cazul varietatilor complexe), cuaternionic integrabile (in cazul varietatilor cuaternionice), cu structura aproape produs tensorial integrabila (e.g. in cazul varietatilor Grassmann). Aceleasi exprimari ale coeficientilor unei conexiuni neliniare ca polinoame de gradul al doilea in coordonatele (co)tangentiale conduce la studiul altor situatii interesante legate de structuri aproape hermitiene cu metrica Norden sau parahermitiene. Unele rezultate interesante au fost obtinute in cazul campurilor covectoriale, gandite ca sectiuni armonice in fibratul cotangent inzestrat cu o metrica pseudo-riemanniana convenabila. S-au obtinut ecuatiile care dau conditia ca sectiunea sa fie armonica si s-au studiat conditiile de completa integrabilitate. Campurile vectoriale regulate pe fibratul cotangent considerate in lucrarea [54] joaca rolul jerbelor (sprayurilor) din cazul fibratului tangent. In fapt aceste campuri apar ca imagini ale jerbelor prin transormarea Legendre definita de un lagrangian regulat pe fibratul tangent. Si in acest caz, se obtine o conexiune neliniara indusa de un camp vectorial regulat pentru care se studiaza diverse proprietati legate de curbura. Alte rezultate interesante din geometria fibratului cotangent sunt legate de studiul unor 2

3 metrici si conexiuni liniare speciale. Astfel, in lucrarile [56] si [63], se obtin exemple de structuri aproape hermitiemne cu metrica Norden sau de structuri aproape parahermitiene definite pe fibratul cotangent. Dupa 1996, V.Oproiu, uneori impreuna cu N.Papaghiuc, a inceput un studiu sistematic al structurilor aproape hermitiene, parahermitiene sau hermitiene cu metrica Norden, definite pe fibratul tangent al unei varietati riemanninene de catre lifturile naturale. Un lift natural de tip (0, 2) in y T M, se obtine din metrica g ca o expresie de forma a(t)g + b(t)g y g y, unde a, b sunt functii netede de densitatea de energie t = 1 2 y 2, iar g y este 1-forma definita prin coborarea indicelui vectorului y cu ajutorul metricii g. Lifturile de tip (1, 1) sau de tip (2, 0) se obtin in mod asemanator. Pentru inceput, in lucrarea [67], s-a pornit de la un lagrangian regulat depinzand doar de densitatea de energie. Componentele obtinute din acest lagrangian prin derivarea de ordinul al doilea a lagranianului in raport cu coordonatele tangentiale sunt lifturi de tip natural pe fibratul tangent in care functia b este derivata functiei a. Prin combinarea lifturilor naturale obtinute s-a ajuns la o metrica riemanniana si o structura aproape complexa de tip diagonal pe fibratul tangent. S-au studiat conditiile in care se obtine o structura aproape hermitiana, aratandu-se ca aceasta structura este chiar aproape kähleriana. Apoi s-au cercetat conditiile in care aceasta structura este kähleriana, aratandu-se ca varietatea baza trebuie sa aiba curbura sectionala constanta iar parametrii implicati trebuie sa satisfaca niste relatii suplimentare. In continuare, s-a aratat ca structura kähleriana obtinuta pe fibratul tangent nu poate avea curbura sectionala olomorfa constanta, nu poate fi Einstein si nu poate fi local simetrica. Cazul general, cand se folosesc lifturi diagonale naturale generale (nu mai provin dintr-un lagragian prin derivare), a fost considerat in lucrarea [69]. Unele rezultate legate de acest subiect au mai fost publicate in [66], [70] [68], [72], [73], [77]. Dupa definirea unei structuri aproape complexe si a unei metrici riemanniene de tip diagonal, obtinute cu ajutorul unor lifturi naturale, s-au studiat conditiile in care fibratul tangent inzestrat cu cele doua structuri se poate organiza ca o varietate kähleriana, obtinandu-se din nou ca varietatea baza trebuie sa aiba curbura sectionala constanta. Apoi s-au studiat conditiile in care aceasta structura este Kähler Einstein, local simetrica sau are curbura sectionala olomorfa constanta. Lucrarile de mai sus au fost citate destul de consistent in literatura de specialitate. Lucrarea [69] a fost mentionata in Cartea alba cercetarii stiintifice din Romania din 2007, ca fiind printe primele 10 lucrari cele mai citate. Cazul studiat anterior, cand lifturile naturale proveneau din lagrangian prin derivare, apar ca un caz singular (aceasta este una din explicatiile pentru faptul ca in acest caz erau obtinute doar rezultate negative). Alte probleme studiate s-au referit la gasirea unor clase de structuri aproape hermitiene si antihermitiene pe fibratul tangent, obtinute in diversele clasificari existente. De asemenea, unele probleme au fost transpuse la cazul fibratului cotangent. Cazul metricii riemanniene si a structurii aproape complexe de tip general, definite cu ajutorul lifturilor naturale a fost abordat in lucrarea [74]. Aici s-au studiat conditiile in care structura considerata este kähleriana, obtinandu-se din nou, ca varietatea baza trebuie sa 3

4 aiba curbura sectionala constanta. Apoi, problematica uzuala legata de structura obtinuta a fost studiata intr-o serie de lucrari [75], [76], [78], [87], [89], [90], [91]. Astfel, s-au obtinut conditiile in care structura aproape hermitiana studiata are curbura sectionala olomorfa constanta, este plata Bochner sau este Kähler Einstein. Lucrarea [74] a fost citata destul de mult si destul de consistent. Unele probleme legate de gasirea conditiilor in care se obtin diverse clase de structuri aproape hermitiene pe fibratele tangent si cotangent, definite de liturile naturale generale au fost studiate in lucrarile [77], [80], [81], [82], [83], [84]. In lucrarile [85], [86], [88] s-au obtinut conditiile in care structurile considerate sunt antikänleriene, au tensorul conform de curbura nul sau sunt plate Bochner. In lucrarea [92] sunt cercetate conditiile in care se obtin structuri hiperkähleriene pe fibratul tangent al unei varietati kähleriene. Varietatea baza trebuie sa aiba curbura sectionala olomorfa constanta iar parametrii implicati in definitia structurii aproape hipercomplexe sunt legati prin niste relatii algebrice. 2 Fibratul reperelor semiolonome de ordinul al doilea Fibratul reperelor semiolonome de ordinul al doilea se obtine la fel ca fibratul reperelor uzuale pe o varietate diferentiabila (vezi[3]). Analogia se refera la faptul ca, in locul jeturilor de primul ordin in zero, de difeomeorfisme locale de la spatiul aritmetic la varietate se considera jeturi de primul ordin ale campurilor de repere de primul ordin. Acestea sunt stratificate intro maniera convenabila. Dupa definitie si formulele explicite pentru reperele semiolonome de ordinul al doilea, s-au obtinut 1-formele fundamentale si ecuatiile de structura pentru acestea. Apoi s-au cercetat conexiunile pe fibratul principal al acestor repere si s-a gasit un procedeu de prelungire a unei conexiuni de la fibratul principal al reperelor uzuale la cel al reperelor semiolonome de ordinul al doilea. Aceste rezultate au fost considerate suficient de interesante ca sa fie folosite si extinse de numerosi autori. Aplicatii au fost gasite in mecanica teoretica, in special in mecanica mediilor continue. Articolul are o anumita perenitate, rezultatele sale fiind citate destul de consistent intr-o perioada de peste 30 ani. 3 Conexiuni compatibile cu diverse G-structuri si structuri de ordin superior. Acesta este subiectul tezei de doctorat, sustinuta in octombrie 1969 (lucrarea [13]). Fragmente din aceasta lucrare au fost publicate in lucrarile [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]], [11], [12]. Schema generala de lucru a fost urmatoarea. S-au determinat familiile de conexiuni liniare compatibile cu structurile geometrice avute in vedere. Determinarea acestor conexiuni a presupus introducerea unor operatori liniari de tip Obata, pentru care s-a studiat compati- 4

5 bilitatea (existenta solutiilor) si determinarea familiei generale a solutiilor. Apoi s-a trecut la obtinerea conexiunilor liniare din aceasta familie pentru care tensorii de torsiune sunt legati (sunt egali, proportionali, sau apar ca diverse combinatii algebrice) de anumiti invarianti care exprima integrabilitatea stucturilor. Astfel, in cazul structurilor conform aproape simplectice, s-a pus in evidenta invariantul conform al 2-formei nedegenerate ce defineste structura, in cazul structurilor aproape cosimplectice s-a pus in evidenta un invariant legat de diferentialele celor doua forme ce definesc structura aproape cosimplectica, in cazul structurilor aproape horsimplectice (structuri definite de o 2-forma de rang constant si o distributie orizontala, complementara nuceleului 2-formei considerate) s-au stabilit legaturi cu diferentiala exterioara a 2-formei si si tensorul ce exprima integrabilitatea distributiei complementare, in cazurile structurilor aproape simplectice degenerate si riemanniene degenerate s-au stabilit legaturi cu diferentiala exterioara a 2-formei si cu un tensor exprimat de derivata Lie a campurilor tensoriale ce definesc structurile aproape simplectice degenerate sau riemanniene degenerate in raport cu campuri vectoriale din nucleele celor doi tensori considerati. Probleme de acelasi tip s-au abordat si pentru structurile aproape cocomplexe, structuri care au fost numite mai tarziu aproape de contact. Alte probleme au fost legate de tensorii de curbura ai conexiunilor avute in vedere. In lucrarea [14] s-au cercetat familiile de conexiuni pe varietati aproape cosimplectice, pentru care derivatele covariante ale campurilor fundamentale au expresii mai complicate. O sinteza interesanta a fost realizata in lucrarea [26] scrisa in colaborare cu regretatul profesor Gh. Gheorghiev. Dupa definitia conceptului de G-structura ca subfibrat principal in fibratul reperelor de primul ordin, se prezinta mai multe exemple de G-structuri, unele inedite, dupa care se trece la ideea de integrabilitate, insitandu-se asupra primului invariant, numit invariantul Chern-Bernard, si obtinandu-se un rezultat fundamental legat de existenta conexiunilor liniare fara torsiune, adaptate G-structurii studiate. Apoi se trece la prezentarea structurilor de odin superior, prin folosirea teoriei jeturilor. Sunt prezentate 1- formele asociate, ecuatiile de structura, conexiunile adaptate la structurile de ordin superior si se exemplifica prin prezentarea structurilor proiective, si conforme. In final se prezinta teoria tensorilor de structura de ordin superior prin utilizarea coomologiei Spencer pentru prelungirile agebrelor Lie asociate structurilor studiate. Un exemplu special este furnizat de structurile cuaternionice. 4 Integrabilitatea structurilor cuaternionice. Problema integrabilitatii pentru structuri aproape cuaternionice a fost abordata, in principal, in lucrarile [21] si [35]. S-a pornit cu definitia structurilor aproape cuaternionice realizata cu ajutorul celor trei operatori, avand proprietati similare unitatilor cuaternionice, definiti local pe varietati. Rezulta ca legatura intre doua seturi de astfel de operatori se realizeaza, pe portiunea comuna, cu o matrice din SO(3). Pentru aceste structuri se materializeaza 5

6 invariantul Chern-Bernard cu ajutorul torsiunii unei conexiuni adpatate structurii. Aceasta conexiunea a fost folosita de mai multi autori in studiul structurilor cuaternionice. Acestia au numit-o conexiunea Oproiu. Integrabilitatea se realizeaza prin anularea unui anumit tensor de curbura de tip Weyl. Lucrarile au fost citate destul de mult si de consistent. Alte rezultate au fost obtinute in lucrarile [34], [36]. Curbura obtinuta anterior a fost folosita pentru determinarea claselor Pontriaghin ale varietatilor cuaternionice. Se porneste de la rezultatul cunocut ca inelul Pontriaghin al unei varietati reale este generat de urmele puterilor matricelor 2-formelor de curbura. In cazul varietatilor cuaternionice (adica structura aproape cuaternionica este integrabila) se obtine un proces inductiv de calculare a puterilor matricelor 2-formelor de curbura din care rezulta, prin calcularea urmelor, ca intreg inelul Pontriaghin este generat multiplicativ de prima forma Pontriaghin. In particular, a fost studiat, cazul varietatilor cuaternionice de curbura Q-sectionala constanta. Rezultatele au fost obtinute in lucrarile [29], [30]. 5 Invarianti ai unor structuri aproape de contact si CR-structuri. Pentru varietatile aproape de contact s-a introdus o conexiune speciala, numita adaptata. Pentru aceasta conexiune obiectele geometrice implicate in definitia structurii aproape de contact nu sunt paralele dar derivatele lor covariante sunt legate de diversi invarianti diferentiali construiti din aceste obiecte. Spre exemplu, derivata covarianta a 1-formei fundamentale η este 1 dη. In acest fel se accepta posibilitatea lucrului cu o conexiune fara torsiune, fara ca 2 1 forma η sa fie inchisa. Proprietatea fundamentala este ca exista o conexiune adaptata fara torsiune daca si numai daca structura aproape de contact considerata este normala. Apoi se definesc transformarile C-proiective de conexiune ca transformari care invariaza drumurile C-plate. In legatura cu acestea, se obtine tensorul C-proiectiv de curbura al structurii pentru structuri aproape de contact normale ca fiind un invariant asemanator cu tensorul proiectiv de curbura din cazul real sau tensorul H-proiectiv de curbura din cazul complex. Apoi se studiaza unele proprietati ale structurllor aproape de contact C-plate. Spre exemplu, o structura sasakiana este C-proiectiv plata daca si numai daca are curbura ϕ-sectionala constanta. In continuare se introduce tensorul Bochner al CR-structurilor pseudoconvexe obtinut intr-un mod asemanator. Mai intai se obtine o familie de structuri aproape de contact subordonate unei CR-structuri pseudoconevxe. 1-forma fundamentala η este cea care defineste distributia olomorfa aferenta CR-structurii. Apoi se pun in evidenta conexiunile fara torsiune adaptate pentru structuri aproape de contact subordonate. O transformare gauge este de tipul η gη unde g 0 este o functie reala. Se stabilesc transformarile intre conexiunile adapatate induse de o transfomare gauge iar tensororul de tip Bochner este obtinut prin metode specifice utilizate in obtinerea invariantilor la transformari gauge. Se compara acest tensor cu cel obtinut de Sakamoto si Takemura prin utilizarea coenxiunii 6

7 Tanaka. Rezultatele au fost obtinte in lucrarile [42], [43], [55], [57], [58], [61], [64]. 6 Unele probleme legate de clase caracteristice pe varietati complexe. Diverse tipuri de curbura pentru varietati reale sau complexe apar in numeroase probleme de geometrie diferentiala. Ele pot fi utilizate pentru obtinerea unor clase caracteristice. Astfel, in cazul varietatilor complexe H-proiectiv plate, se poate realiza un calcul inductiv al puterilor matricelor 2-formelor de curbura, pentru a se obtine clasele Chern. In lucrarea [22] s-a obtinut ca inelul Chern al unei varietati H-proiectiv plate este generat multiplicativ de prima clasa Chern. Tot asa, in cazul unei varietati sasakiene de curbura ϕ-sectionala constanta, inelul Chern al subfibratului complex al fibratului tangent, definit prin anularea formei fundamentale, este generat multiplicativ de prima forma Chern (lucrarea [31]). In lucrarile [23], [24] s-au folosit tehnicile legate de definitia claselor caracteristice cu ajutorul 2-formelor de curbura si s-a extins ideea la definitia unor clase caracteristice in contextul coomologiei Dolbeault. 7 Scufundari ale varietatilor Grassmann in spatii euclidiene. In domeniul topologiei algebrice, s-a urmarit estimarea codimensiunii de nescufundare a varietatilor Grassmann in spatii euclidiene. Pentru aceasta s-au folosit clasele Stifel Whitney ale fibratelor tangente ale acestor varietati. Clasele Stiefel Whitney sunt niste invarianti topologici importanti reprezentati de clase din coomologia modulo 2 a varietatilor Grassmann. In primul rand, s-a obtinut o expresie pentru clasa Stiefel-Whitney totala duala a fibratului tangent al unei varietati Grassmann in termenii claselor Stiefel-Whitney ale fibratului tautologic. Pentru aceasta s-au folosit teoreme cunoscute care descriu stuctura fibratului tangent. Apoi, folosind tehnici de calcul cu cocicluri Schubert, s-a obtinut clasa Stiefel-Whitney nenula din aceasta clasa totala, avand cel mai mare ordin. Teoremele de nescufundare se obtin imediat. In lucrarea [19] s-a facut acest lucru pentru varietatile Grassmann G 2 (R n ) si G 3 (R n ) ale 2-planelor din R n+2 si ale 3-planelor din R n+3. Apoi s-a obtinut rezultatul general de acelasi tip in lucrarea [28]. Alte rezultate auxiliare au fost obtinute in lucrarile [18] si [25]. Rezultatele din lucrarile [19] si [28] au fost citate si folosite destul de mult si de semnificativ. 7

8 8 Alte rezultate Unele rezultate care nu se incadreaza in ciclurile descrise anterior au fost obtinute in lucrarea [15], unde s-a facut o descriere a prolematicii legate de definitia structurilor Cauchy Riemann si a celor induse pe hipersuprafete reale in varietati complexe, in lucrarea [20], unde s-au studiat teoreme de nescufundare pentru spatii proiective reale, ca varietati Cauchy-Riemann in C n, in lucrarile [17], [32] si [33], unde s-au realizat generalizari pentru tensor integrala in spatii cu conexiune afina si pentru momentul cinetic din mecanica cuantica in contextul tensor integralei. 9 Lucrari stiintifice publicate Prof.dr. V.Oproiu: References [1] On the connections in tangent bundle (Romanian: Asupra conexiunilor din spatiul fibrat tangent), Studii Cerc. St. Mat, Buc. 19 (1967), [2] On the differential geometry of the tangent bundle, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 13 (1968), [3] Connections in the semiholonomic frame bundle of second order, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 14 (1969), [4] Some remarks on the conformal almost symplectic connections, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 15 (1969), [5] (colab) Connexions compatibles aux structure presque cosymplectiques et conformes presque cosymplectiques, Comptes Rend. Acad. Sci. Paris, 268 (1969), [6] Almost horsymplectic and conformal almost horsymplectic connections, Rev. Roum. Math. Pures Appl., 14 (1969), [7] Connexions compatibles aux structures presque horsymplectiques ou conformes presque horsymplectiques, Comptes Rend. Acad. Sci. Paris, 270 (1970), [8] Degenerate Riemannian and degenerate conformal connections, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 16 (1970), [9] Degenerate almost symplectic and and degenerate conformal almost symplectic connections, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum. 14 (1970),

9 [10] Some remarks on the almost cocomplex connections, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 16 (1971), [11] (colab) Almost cosymplectic and conformal almost cosymplectic connections, Revue Roum. Math.Pures Appl. 16 (1971), [12] (colab) Almost cosymplectic and conformal almost cosymplectic connections, Revue Roum. Math. Pures Appl. 16 (1971), [13] Compatible Connections with some G-structure and Structures of Higher Order (Romanian: Conexiuni compatibile cu diverse G-structuri si structuri de ordin superior), Ph.D. Thesis, Iasi, [14] (colab) On the linear connections on a manifold admitting an almost cosymplectic structure, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 18 (1972), [15] Strutture di Cauchy-Riemann, Relazioni dell Istituto di Matematica, Universita de Napoli, 1972, Relazione 20. [16] Some remarkable structures and connections defined on the tangent bundle, Rendiconti di Matematica, Roma, 6 (1973), [17] (colab) The tensor integral in spaces with affine connection, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 20 (1974), [18] Some multiplication formulae in the cohomology ring of the Grassman manifolds, Proceedings Inst. Math. Iasi, Ed. Acad. Rom. 1977, [19] Some non-embedding theorems for the Grassman manifolds G 2,n and G 3,n, Proceedings Edinburgh Math. Soc. 20 (1976/1977), [20] Cauchy-Riemann structures induced on real submanifolds of complex manifolds, Simpozionul Geometrie si Analiza Globala, Ed. Acad. Rom. 1976, 273. [21] Almost quaternal structures, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 23 (1977), [22] (colab) Chern forms and H-projective curvature of complex manifolds, An. St Univ. Al.I.Cuza Iasi, 24 (1978), [23] The d -Chern classes of the complex vector bundles, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 24 (1978), [24] The d -characteristic classes of the complex vector bundles, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 25 (1980),

10 [25] Non-embedding codimensions of real Grassman manifolds in Euclidean spaces, in Vol. General Relativity and Gravitation, ICPE,1980, [26] (colab) On Remarcable Structures and Structures of Higher Order (Romanian: Despre structuri remarcabile si structuri de ordin superior), Mem. Sect. St. Acad. Rom. vol 3 (1980), [27] Some properties of the tangent bundle related to the Finsler geometry, Proced. Nat. Sem. Finsler Spaces, Brasov, 1980, [28] Some results concerning the nonembedding codimension of Grassman manifolds in Euclidean spaces, Revue Roum. Math. Pures Appl. 26 (1981), [29] Pontrjagin forms of quaternion Kaehler manifolds of constant Q-sectional curvature, Tensor, 38, (1982), [30] Pontrjagin forms of quaternion manifolds, Atti Accad. Naz. Lincei, 76 (1984), [31] The Chern forms of Sasakian manifolds of constant phi-sectional curvature, Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 55 (1985), [32] (colab) A Problem of Generalization of Angular Momentum in Quantum Mechanics) (Romanian: O problema de generalizare a momentului cinetic în mecanica cuantica, Studii Comunic. St. Bacau, 1983, [33] (colab) A generalization of the angular momentum in quantum mechanics, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Fizica, 28 (1982), [34] Integrability and Pontrjagin Forms for Quaternionic Manifolds (Romaninan: Integrabilitate si forme Pontriaghin pentru varietati cuaternionice), Lucr. Conf. Nat. Geom. Top. Piatra Neamt, 1983, [35] Integrability of almost quaternion structures, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 30 (1984)(5), [36] Integrability and the Pontrjagin forms of the quaternion manifolds, Colloquium on Global Differential Geometry and Global Analysis, Berlin, TUB- Dokumentation, Kongresse und Tagungen, Berlin 1984, Heft 26, [37] (colab) Embeddings of the tangent bundle in Riemannian manifolds, An.St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 31 (1985), [38] A Riemannian structure in Lagrange geometry, Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 55 (2),(1985),

11 [39] A pseudo-riemannian structure in Lagrange geometry, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 33 (1987)(3), [40] (colab) Submanifolds in Lagrange geometry, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 34 (2) (1988), [41] (colab) Submanifolds in Lagrange spaces with a pseudo-riemanian metric, Tensor, 46 (1987), [42] The C-projective curvature of the 3-dimensional contact manifolds, Tensor, 46 (1987), [43] (colab) C-projective curvature of the almost contact manifolds, Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino, 45 (2), (1987), [44] (colab) On the differential geometry of the Legendre transformation, Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 57 (1), (1987), [45] (colab) The Legendre transformation and a pseudo-riemannian metric, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 35 (1989), [46] (colab) Vector subbundles in the tangent bundle of a Lagrange space, Bul. Inst. Politehnic Iasi, Mec-Mat-Fiz. 35 (1-2), (1989), [47] (colab) A pseudo-riemanian metric on the cotangent bundle, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 36 (1990), [48] (colab) Another pseudo-riemannian metric on the cotangent bundle, Bul. Inst. Politehnic Iasi, Mec-Mat-Fiz. 37 (1991), [49] (colab) Locally symmetric cotangent bundles, Matematicki Vesnik 42 (1990), [50] Harmonic mappings between tangent bundles, Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino 47 (1989), [51] Harmonic sections in cotangent bundles, Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari 59 (1989), [52] (colab) Some results on locally symmetric cotangent bundles, Proceedings XX-th Nat. Conf. Geom. Top., Timisoara, 1989, [53] A global invariant on symplectic manifolds, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 36 (1990),

12 [54] Regular vector fields and connections on cotangent bundles, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 37 (1991), [55] The C-projective curvature of some real hypersurfaces in complex space forms, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, ), [56] (colab) Some examples of almost complex manifolds with Norden metric, Publicationes Math., Debrecen 40 (3-4), (1992), [57] (colab.) The Bochner tensor type curvature tensor of pseudo-convex CR-structures, SUT J.of Mathematics, 31 (1995), [58] On the Bochner type curvature tensor of CR-structures, An.St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 42, supliment, (1996), [59] Some aspects from the geometry of the cotangent bundle, An.Univ. Timisoara, 34 (1996), [60] (colab) On the cotangent bundle of a differentiable manifold, Public. Math. Debrecen 50 (1997), [61] (colab) The Bochner type curvature tensor of pseudo-convex CR-structures on real hypersurfaces in complex space forms, J.of Geometry, 63 (1998), [62] (colab) Some results on harmonic sections of cotangent bundles, An.St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat. 45 (1999), [63] (colab) Some classes of parahermitian structures on cotangent bundles, An.St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 43 (1997), [64] CR-structures on the unit tangent bundle of S2, An.St.Univ. Al.I.Cuza, Iasi, Mat. 41 (1995), [65] (colab) On the geometry of the tangent bundle of a (pseudo-)riemannian manifold, An.St.Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat, 44 (1998), [66] Some Kaehler structures on the tangent bundle of a space form, Proc. 3-rd Int. Workshop on Diff. Geom. And its Appl. And the 1-st German-Romanian Seminar on Geometry, Sibiu Romania, September 18-23, 1997, General Mathematics, 5 (1997), [67] (colab) A Kaehler structure on the nonzero tangent bundle of a space form, Diff. Geom. Applic. 11 (1999),

13 [68] A locally symmetric Kaehler-Einstein structure on the tangent bundle of a space form, Beitraege zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 40 (1999), [69] A Kaehler-Einstein structure on the tangent bundle of a space form, Int. J. Math. and Math. Sci. 25(3) (2001), [70] Some new geometric structures on the tangent bundle, Publ. Math. Debrecen, 55/3-4 (1999), [71] Professor Emeritus Gheorghe Gheorghiev at age 90, An.St.Univ. Al.I.Cuza, Mat., Iasi, 48 (1997), 3-6 [72] (colab.) Locally symmetric space structures on the tangent bundle, Differential Geometry and Applications, Proc. 7-th Int. Conf., Brno, August 10-14, 1998, [73] (colab) A locally symmetric Kaehler Einstein structure on a tube in the tangent bundle of a space form, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 45 (2000), [74] A generalization of natural almost Hermitian structures on the tangent bundle, Math. J. Toyama Univ. 22 (1999), [75] Some general natural almost Hermitian structures on the tangent bundle, Proc. 4-th Int.Workshop Diff. Geom.Applic., Brasov, Romania, September 16-22, 1999, Transilvania Univ. Press, [76] General natural almost Hermitian and anti-hermitian structures on the tangent bundles, Bull. Soc. Sci. Math. Roum. 43(91), (2000), [77] Some classes of natural almost Hermitian structures on the tangent bundles Publ. Math. Debrecen 62 (2003), [78] (colab.) A Kaehler Einstein structure on the cotangent bundle of a Riemannian manifold, An. St. Univ. Al.I.Cuza Matematica, 49 (2003), [79] Some classes of general natural almost Hermitian structures on the tangent bundles, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 48 (2003), [80] (colab.) Classes of almost anti-hermitian structures on the tangent bundle of a Riemannian manifold, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Mat, 50 (2004), [81] (colab.) Some classes of almost anti-hermitian structures on the tangent bundle, Mediterranean Journal of Mathematics 1 (3) (2004),

14 [82] (colab.) Einstein quasi-anti-kaehlerian structures on the tangent bundle, An.St. Univ. Al.I.Cuza Mat. 50 (2004), [83] (colab.) Some Einstein anti-hermitian structures on the tangent bundle, Sci. Annals of USAMV Iasi, 47 (2004), Proc. Symp. on Math. Appl. Biology, [84] (colab.) A class of Kaehler Einstein structures on the cotangent bundle of a space form, Public. Math. Debrecen 66 (2005), [85] An anti-kaehlerian Einstein structure on the tangent bundle of a space form, Coll. Math. 103 (2005), [86] Conformally flat tangent bundles, Sci. Annals of USAMV Iasi, 48 (2005), Proc. Symp. on Math. Appl. Biology and Biophysics, [87] (colab) Tangent bundles of quasi-constant holomorphic sectional curvature, Balkan J. Geometry Appl. 11 (2006), [88] Bochner flat tangent bundles, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Matematica, 52 (2006), [89] S.Druta., V. Oproiu, General natural Kähler structures of constant holomorphic sectional curvature on tangent bundles, An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Matematica, 53 (2007), [90] (colab) General natural Einstein-Kaehler structures on tangent bundle, Diff. Geom. Appl. 27/3 (2009), [91] (colab) Some new geometric structures of natural lift type on the tangent bundle, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum. 52(100)(3) (2009), [92] Hyper-Kaehler structures on the tangent bundle of a Kaehler manifold, submitted Tratate, monografii, manuale universitare. 1. (colaborare prof.gh.gheorghiev), Varietati diferentiabile finit si infinit dimensionale,vol I, Ed.Acad. Romne, 1976, 381 pp. 2. (colaborare prof.gh.gheorghiev), Varietati diferentiabile finit si infinit dimensionale, vol II, Ed.Acad. Romne, 1979, 194 pp. 3. (colaborare prof.gh.gheorghiev), Geometrie diferentiala, Ed. Did. Ped., 1977, 304 pp. 4. (colaborare prof.gh.gheorghiev), Geometrie diferentiala, vol I, Univ. Al.I.Cuza Iasi, Editura Universitatii, 1971, 334 pp. 14

15 5. (colaborare prof.gh.gheorghiev), Geometrie diferentiala, vol. II, Univ. Al.I.Cuza, Iasi, Editura Universitatii, 1971, 367 pp. 6. Geometrie, vol I, Univ. Al.I.Cuza Iasi, Editura Universitatii, 1980, republicat 1983, 355 pp. 7. Differential Geometry (Romanian: Geometrie diferentiala), Ed. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 2002, 267 pp. 8. Computational Geometry of Curves and Surfaces (Romanian: Geometria computationala a curbelor si suprafetelor), Ed. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 2003, 193 pp. Lucrari diverse: V.Oproiu, Despre postulatul V al lui Euclid, Recreatii Matematice, an II (1), (2000), Gh.Bantas, V.Oproiu, Gh. Vranceanu (30 iunie aprilie 1979), Revista Fundatiei Acad. Prof. Gh. Vranceanu, Bucuresti, anul V, nr 1 (6), sept 2004, pg. 3. Gh. Bantas, V. Oproiu, G. Busuioc, Gheorghe Vranceanu, un vasluian de seama in istoria matematicii, 30 iunie aprilie 1979, Meridian matematic Vasluian, Vaslui, 5 (2005), 1-4. Gh.Bantas, V.Oproiu, Evolutia matematicii la Universitatea din Iasi, Mentor XXI, Botosani, anul VII (3), 2004, 3-6. Gh.Bantas, V.Oproiu, Evolutia matematicii la Universitatea din Iasi, Concursul A.Myller, ed. a II-a, martie 2004 (pe CD-ROM). Gh.Bantas, V.Oproiu, A. Myller, ctitorul scolii matematice iesene, Medalion a se vedea si Ziarul de Iasi, miercuri 23 iunie 2004, pg.6a. Gh.Bantas, V.Oproiu, Mendel Haimovici ( ), Medalion a se vedea si Ziarul de Iasi, miercuri 9 iunie 2004, pg.6a Gh.Bantas, V.Oproiu, Gh. Vranceanu (30 iunie aprilie 1979), Medalion V.Oproiu, Gh.Gheorghiev ( ), Medalion a se vedea si Ziarul de Iasi, sambata 19 iunie 2004, pg. 6A. Gh.Bantas, V.Oproiu, A. Myller, ctitorul scolii matematice iesene, 2 decembrie iulie 1965, Recreatii Matematice, Iasi, anul VI, nr. 2, 2004, V.Oproiu, Prof.dr.doc. Gheorghe Gheorghiev, Recreatii Matematice an II (1)(2000), 1-2. V.Oproiu, Seminarul Matematic A.Myller la 90 de ani, Recreatii Matematice an II (2)(2000), 5-6. V.Oproiu, Conjectura lui Poincare. Recreatii Matematice, an IX, 2, 2007, V.Oproiu, Institutul de Matematica O.Mayer de la Filiala Iasi a Academiei Romane, Academica, Nr Mai-Iunie 2007, Anul XVII ( ) V.Oproiu, 100 de ani de la nasterea lui Gheorghe Gheorghiev, Recreatii Matematice, anul X (2), Iulie-Decembrie 2008,

16 V.Oproiu, Rolul si ponderea geometriei in revista Recreatii Stiintifice, Recreatii Matematice, anul X (2), Iulie-Decembrie 2008, V.Oproiu, S.L.Druta, N.Papaghiuc - In Memoriam ( ), An. St. Univ. Al.I.Cuza Iasi, Matematica, 55 (2009),