Fizica fluidelor Cursul 5
|
|
- Laurențiu Preda
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara
2 Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4. Efectul Coandă. III.5. Mișcarea potențială plană. III.6. Exemple de curgeri potențiale plane. III.7. Principiul superpoziției. III.8. Acțiunea hidrodinamică asupra obstacolului.
3 III.1. Fluidul perfect. III.1.1. Ecuații constitutive. Fluidul perfect este caracterizat prin absența totală a fenomenelor disipative. În limbaj matematic, τ ij = 0 și q = 0, a.î. T ij = Pδ ij. Rata de disipare a energiei cinetice pe unitate de masă se anulează: Deoarece entropia rămâne constantă: ρ Ds ( q ) Dt = q T T T 2 ε = ρ 1 τ ij S ij = 0. (1) + 1 τ : S = 0. (2) T curgerea fluidului perfect se desfășoară în condiții izentropice, fiind deci reversibilă.
4 III.1.2. Ecuația Euler. Forma Lamb-Gromeko (Helmholtz). Ecuația Cauchy pentru fluidele perfecte se reduce la ecuația Euler: ρ Du Dt = ρf P. (3) Presupunând că fluidul este barotrop [ρ = ρ(p)], 1 se introduce funcția de presiune: dp = dp ρ, P = dp ρ. Aplicând operatorul formei integrale, rezultă P = 1 ρ p. În cazul în care forțele care acționează sunt potențiale, f = Π. Ținând seama de definiția derivatei substanțiale, rezultă: Du Dt = tu + (u )u = t u u2 u ω. Rezultă forma Lamb-Gromeko (sau Helmholtz) a ecuației Euler: ( ) u 2 t u Π + P + ω u = 0. (4) 1 Extensia la fluide nebarotrope reprezintă Ecuația lui Crocco și Vazsonyi.
5 III.1.3. Aplicație: Vasul în rotație uniformă. Să considerăm un lichid barotrop [ρ = ρ(p)] într-un vas care se învârte cu Ω = (0, 0, Ω). Rotația fiind rigidă, avem: ζ Ω Vorticitatea este: u = Ω x = Ω( y, x, 0). h r z ω = u = (0, 0, 2Ω). În cazul staționar, t u = 0 iar ec. Euler în forma Lamb-Gromeko (Helmholtz) devine: ( ) 1 2 R2 Ω 2 + gz + P = 2RΩ 2 e R, unde R = xi + yj = Re R. Înmulțind scalar cu k și cu e R, rezultă: P (gz + P) = 0, z R = RΩ2.
6 Soluția ecuației cu z este: Ω P(R, z) = P R (R) gz. ζ Din ecuația cu R rezultă: P R = P R2 Ω 2. h r z P 0 se fixează definind pe P(R, z) în funcție de (R, z) = (0, h): P(R, z) = P(R,z) P(0,h) dp ρ P(R, z) = g(h z) r 2 Ω 2. Suprafețele cu z = z 0 + R 2 Ω 2 /2g reprezintă suprafețe izobare. Suprafața lichidului se găsește acolo unde P(R, z) = 0: ζ(r) z h = R2 Ω 2 2g.
7 III.2. Teorema lui Bernoulli. III.2.1. Teorema lui Lagrange și Cauchy. Să aplicăm rot = formei Lamb-Gromeko a ec. Euler (4): Folosind identitatea: t ω + (ω u) = 0. (ω u) = (u )ω (ω )u + ω( u) u( ω), împreună cu relația ω = ( u) = 0, rezultă: Dω Dt (ω )u + ω( u) = 0. Folosind ec. de continuitate Dρ/Dt = ρ u, și împărțind ec. de mai sus cu ρ se obține ecuația lui Beltrami: ( ) ( ) D ω ω = Dt ρ ρ u. (5) Teorema lui Lagrange-Cauchy: Dacă curgerea unui fluid perfect, barotrop, în prezența unui câmp conservativ de forțe, este irotațională într-o configurație, aceasta va rămâne irotațională în orice configurație ulterioară.
8 III.2.2. Teorema lui Bernoulli pentru curgeri staționare. În cazul unei curgeri staționare t u = 0, forma Lamb-Gromeko a ec. Euler (4) se reduce la: ( ) u Π + P + ω u = 0. Înmulțind scalar cu udt = dx [unde x(t) reprezintă ecuația liniei de curent corespunzătoare vitezei u(t)], obținem: ( ) u 2 d 2 + Π + P = 0. Rezultă următoarea integrală primă a mișcării: u 2 dp Π = C[Γ], (6) ρ unde C[Γ] este o constantă care în general depinde de linia de curent Γ pe care se face integrarea.
9 III.2.3. Teorema lui Bernoulli pentru curgeri irotaționale. În cazul unei curgeri irotaționale (ω = u = 0), viteza se poate scrie în funcție de potențialul vitezei: u = φ. În acest caz, forma Lamb-Gromeko a ec. Euler (4) se reduce la: ) ( t φ + u2 2 + Π + P = 0. Expresia din interiorul parantezei este deci constantă în întreg domeniul: φ t + 1 dp 2 u2 + + Π = C(t), (7) ρ unde C(t) depinde doar de timp. În cazul curgerilor irotaționale staționare, ec. (7) devine: 1 dp 2 u2 + + Π = C, (8) ρ unde de data aceasta C nu depinde nici de timp, nici de spațiu [integrarea nu este restricționată la linia de curent, ca în ec. (6)].
10 III.2.4. Aplicație: Debimetrul Venturi (Venturimetrul). Considerăm curgerea orizontală a unui lichid, de la stânga la dreapta, aria secțiunii canalului variind de la S 1 (stânga) la S 2 < S 1 (dreapta). Între cele două porțiuni ale tubului se leagă un manometru care înregistrează P indusă de varierea lui S. Lichidul este incompresibil ( u = 0). u 1 u 2 S 1 S 2 Alegem suprafețele S 1 și S 2 în zonele unde curgerea este laminară. Prin suprafața S 1, viteza fluidului este u 1 = v 1 i. Prin suprafața S 2, viteza fluidului este u 2 = v 2 i. Considerăm tubul de curent delimitat de S 1, S 2 și de liniile de curent din vecinătatea pereților. Curgerea fiind staționară, debitul prin S 1 și S 2 este același: ( u)dx = Q 2 Q 1 = 0 v 2 S 2 = v 1 S 1. V ζ
11 În regiunile de curgere laminară, u = vi iar ec. Euler pentru componenta verticală arată că: ρ Du z Dt (P + ρπ) = = 0, z unde Π = gz pentru forța gravitațională. Soluția este P(x, z) = P(x, 0) ρgz, unde z = 0 corespunde liniei centrale a canalului. Ec. (6) pentru fi aplicată liniei de curent corespunzătoare lui z = 0: 1 2 v P(x 1, 0) ρ = 1 2 v P(x 2, 0). ρ Diferența de presiune hidrostatică induce în brațele manometrului o diferență de nivel ζ: P(x 1, 0) + ρg(ζ z) = P(x 2, 0) + ρ L g(ζ z), unde ρ L este densitatea lichidului din manometru. Cunoscând S 1, S 2 și raportul ρ L /ρ, rezultă: ( ) 2[P(x 1, 0) P(x 2, 0)] Q = ρ ( 2gζ ρl S 2 2 S 2 ) = 1 S 2 2 S 1 ρ 1. (9) 1
12 III.3.1. Echilibrul hidrostatic. Pentru cazul când fluidul este în repaus (u = 0), ec. Euler (3) se reduce la: P = ρf. (10) Când f = Π, se poate aplica teorema lui Bernoulli (8) pentru curgeri staționare și irotaționale: dp + Π = 0. (11) ρ În cazul fluidului incompresibil (lichide) sub acțiunea greutății Π = gz, rezultă ecuația hidrostatică: P(ζ) = P atm + ρgζ, (12) unde P atm este presiunea atmosferică la suprafața liberă (z = 0) iar ζ = z este înălțimea coloanei de lichid. Pentru gazul ideal (P = ρk B T /m) aflat în condiții izoterme în câmp gravitațional constant Π = gz, se obține profilul barometric: P(z) = P 0 exp ( mgz K B T ), ρ(z) = ρ 0 exp ( mgz K B T ).
13 III.4. Efectul Coandă. Efectul Coandă se referă la aderarea θ jeturilor de fluid la suprafețele u cu care acestea intră în contact. Să considerăm că un jet de lichid de P extensie infinită în direcția perpendiculară pe figură, având grosimea d, lovește un cilindru de rază a >> d Q sub un unghi de incidență θ. u În urma impactului, jetul se desparte în θ două fâșii de grosime d și d. Curgerea fiind izobară, din ecuația lui Bernoulli rezultă că viteza fâșiilor este egală cu viteza u a jetului inițial, iar conservarea debitului implică d = d + d. Pentru conservarea impulsului tangențial, d sin θ = d d și deci: d = 1 d(1 + sin θ), 2 d = 1 d(1 sin θ). 2 Cele două fâșii se reîntâlnesc în punctul Q, situat diametral opus față de punctul de incidență P, unde jetul inițial este recompus, însă cu direcția modificată printr-un unghi 2θ.
14 Probleme 1. Să se găsească relația dintre viteza de curgere u și înălțimea h a coloanei de lichid într-un tub Pitot scufundat într-o apă curgătoare. [R: u = 2g h] 2. Să se găsească relația dintre viteza de curgere și înălțimea coloanei de lichid în tubul Pitot modificat, reprezentat în figură. [R: u = 2gζ( ρ L ρ 1)] 3. Fie un rezervor având înălțimea h față de sol, umplut cu un lichid perfect incompresibil, care comunică printr-un canal subteran cu un orificiu Q aflat la nivelul solului. Să se găsească înălțimea H la care se ridică jetul de lichid care părăsește Q. Q P, u ρ B 4. Să se găsească variația presiunii cu înălțimea a unui gaz politropic pentru care P = Aρ n. Caz particular: n = 1, 235. Răspuns: ( P = P 0 1 n 1 ) n n 1 mgh. n K B T 0 ζ A h h A ρ L h h B
15 Probleme 5. Se consideră un recipient cu lichid în mișcare accelerată uniformă pe direcția orizontală. Să se găsească ecuația suprafețelor izobare. [R: ax + gy = const.] 6. Să se găsească volumul total de lichid din vasul în rotație. [R: πr 2 (h + R 2 Ω 2 /4g)] 7. O coloană de apă este astupată de un cilindru B de secțiune S B = 600 cm 2 și greutate G B = 9000 N. Vasul comunică cu o altă coloană în care nivelul apei este cu h = 16 cm mai sus decât în coloana B. Să se calculeze forța cu care un piston A de masă neglijabilă acțiunează asupra coloanei A, știind că S A = 6 cm 2. [R: 89, 058 N] 8. Cunoscând că diferența de presiune de o parte și de alta a unui menisc sferic este δp = 2σ/R, să se arate că înălțimea la care urcă lichidul dintr-un rezervor într-un tub capilar de diametru d este h = 4σ cos θ/ρgd, unde θ este unghiul de udare. 9. Cunoscând tensiunea superficială la T = 20 C a apei distilate, σ = 72, N/m, să se determine la care înălțime aceasta se ridică într-un tub capilar cu d = 0, 6 cm. [R: m]
Microsoft Word - Anexa_B.doc
Anexa B GHID OREINTATIV CU ÎNTREBĂRI PENTRU VERIFICAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE Cap.1. Noţiuni introductive 1.1. De unde a apărut necesitatea studiului echilibrului şi mişcării fluidelor 1.2. Care sunt
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multComplemente de Fizica I Cursul 1
Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.
Mai multProbleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea
Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multCATEDRA FIZIOLOGIA OMULUI ŞI BIOFIZICĂ Cerinţele unice pentru lucrările de laborator din ciclul 1, facultatea Medicina Preventiva. (anul universitar 2
CATEDRA FIZIOLOGIA OMULUI ŞI BIOFIZICĂ Cerinţele unice pentru lucrările de laborator din ciclul 1, facultatea Medicina Preventiva. (anul universitar 2018-2019) Fiecare student trebuie să scrie anticipat
Mai multCURS II Modelarea scurgerii în bazine hidrografice Modelarea scurgerii lichide pe versanţii bazinului hidrografic Modalităţi de cercetare a scurgerii
CURS II Modelarea scurgerii în bazine hidrografice Modelarea scurgerii lichide pe versanţii bazinului hidrografic Modalităţi de cercetare a scurgerii pe versanţi Versanţii asigură scurgerea apei sub influenţa
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multMicrosoft Word - SUBIECT 2017 anul I.doc
Subiecte anul I Problema I (10 puncte) Viteza unui vehicul e masă m, care se eplasează rectiliniu, variază upă legea t v c, t une v este viteza, t timpul, iar c şi τ sunt constante pozitive. a) Reprezintă
Mai multMicrosoft PowerPoint - 20x_.ppt
Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Facultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia Mediului Ingineria proceselor chimice şi biologice/20 Titular disciplină: Prof.dr.ing. Maria Gavrilescu Catedra
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multMinisterul Educa iei i Cercet rii Serviciul Na ional de Evaluare i Examinare EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba scris la Fizic Proba E: Specializare
A. MECANIC Se consider accelera ia gravita ional g =0 m/s.. Unitatea de m sur în S.I. pentru energia cinetic este: a. J b. W c. N d. Kg m s. Alege i expresia care are dimensiunea unui impuls mecanic: a.
Mai multOlimpiada Națională de Astronomie şi Astrofizică Aprilie 2019 Analiza Datelor - Seniori Problema 1 - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 c
Problema - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 conține liniile spectrale ale hidrogenului. Se cunosc lungimile de undă ale hidrogenului, obținute în condiții de laborator: Hα = 656,3 nm; Hβ
Mai multMergedFile
Olimpiada Naţională de Fizică Timișoara 6 Proba teoretică Barem Pagina din X Subiectul Parţial Punctaj. Barem subiectul A. a) phidrostatica gh N/ m p 4 N/ m r pa phidrostatica p 3 A. b) Ec Lgaz LG unde
Mai multAnexa nr. 2 FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARA 1.2 Facultatea FIZICA 1.
Anexa nr. 2 FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARA 1.2 Facultatea FIZICA 1.3 Departamentul FIZICA 1.4 Domeniul de studii FIZICA
Mai multMinisterul Educa iei i Cercet rii Serviciul Na ional de Evaluare i Examinare EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba scris la Fizic Proba E: Specializare
A. MECANIC Se consider accelera ia gravita ional g = m/s.. p inând cont c nota iile sunt cele utilizate în manuale de fizic, reprezint : t a. for a medie b. accelera ia medie c. viteza medie d. puterea
Mai multUNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA FACULTATEA DE FIZICA CONCURSUL NAȚIONAL DE FIZICĂ CONSTANTIN SĂLCEANU 30 MARTIE 2019 Sunt obligatorii toate subiec
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA FACULTATEA DE FIZICA CONCURSUL NAȚIONAL DE FIZICĂ CONSTANTIN SĂLCEANU 30 MARTIE 2019 Sunt obligatorii toate subiectele din două arii tematice (la alegere) dintre cele
Mai multMicrosoft Word - C11_Traductoare de debit
Traductoare de debit Debitul de fluid este cantitatea de fluid care trece în unitatea de timp printr-o secţiune transversală a unui tub de curent delimitat de linia sa de transport (conductă sau canal
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multMicrosoft Word _Evrika_Clasa10_PI_Solutie.doc
Concursul Naţional de Fizică Evrika 1 martie 01 X Problema I (10 puncte) Scafandrul Un scafandru realizează înregistrări video despre lumea acvatică. Pentru scufundări el utilizează un aparat, care-i permite
Mai multMicrosoft Word - L25Ro_Studiul efectului Hall_f_RF
STUDIUL EFECTULUI ALL 1. Scopul lucrării Obiectivul acestei lucrări este: punerea în evidenţă a efectului all pentru un semiconductor intrinsec, măsurarea tensiunii all, determinarea constantei all, a
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMD-2045, CHIŞINĂU, STR
MD-2045, CHIŞINĂU, STR. STUDENŢILOR, 9/8, TEL: 022 50-99-27 FAX: 022 50-99-40, www.utm.md OPERAŢII UNITARE ÎN INDUSTRIA ALIMENTARĂ 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Imginerie Mecanică, Industrială
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multFIЄA UNITȚЮII DE CURS/MODULULUI MD-2045, CHIȘINĂU, STR. STUDENŢILOR 9/9 corp.nr.5, TEL: FAX: , FIZICA I 1. Date de
MD-2045, CHIȘINĂU, STR. STUDENŢILOR 9/9 corp.nr.5, TEL: 022 50-99-60 FAX: 022 50-99-60, www.utm.md FIZICA I 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Tehnologie și Management in Industria Alimentară
Mai multMergedFile
Olimpiada de Fizică X Etapa pe judeţ 5 februarie Barem de ealuare şi de notare Se punctează oricare altă modalitate de rezolare corectă a problemei Problema I Geamandura Sarcina de lucru nr. Nr. item Punctaj.a.
Mai multSPECIFICATIE FILTRU TITEI
Fax : SPECIFICATIE BRAT INCARCARE TITEI CU ROBINET DE INCHIDERE SI INTRERUPATOR ELECTRIC DE NIVEL Beneficiar : S.C. CONPET S.A. Cod proiect : A 587 Cod document : A587-SP- B Faza : DDE Revizie: Rev 1 Denumire
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Fizică 1.3 Depart
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Fizică 1.3 Departamentul Fizica Stării Condensate şi a Tehnologii Avansate
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multIDESC, Universitatea Alexandru Ioan Cuza, Iasi Centrul Regional Iasi pentru Tineri Capabili de Performanta, Iasi C
http://stoner.phys.uairo/phi.html IDESC, Universitatea Alexandru Ioan Cuza, Iasi Centrul Regional Iasi pentru Tineri Capabili de Performanta, Iasi CONCURSUL Φ 007 Marks: / Setul - Clasa a XII-a O sfera
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multE_d_fizica_teoretic_vocational_2019_bar_model_LRO_2
Sunt obligatorii toate subiectele din două arii tematice dintre cele patru prevăzute de programă, adică: A. MCANICĂ, B. LMNT D TRMODINAMICĂ, C. PRODUCRA ŞI UTILIZARA CURNTULUI CONTINUU, D. OPTICĂ Se acordă
Mai multMicrosoft Word - Probleme-PS.doc
PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multSlide 1
VIII. Reprezentarea şi cotarea organelor de maşini 8.1 ROŢI DINŢTE Roţile dinţate sunt organe de maşini constituite de corpuri de rotaţie (cilindru, con, hiperboloid) prevăzute cu dantură exterioară sau
Mai multMicrosoft Word - 11_2016_OJF_barem.doc
Pagina din 9 Subiect. ortizare cu frecare la alunecare Parţial Punctaj ubiect 0 a.,5 d x i) Ecuația ișcării ete: +x = 0. () ceată ecuație are oluții de fora x ( t) = co( ω t +ϕ0 ). Legea vitezei ete v
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multPROGRAMA ANALITICĂ PENTRU CLASA A X-A, CURSURI DE EXCELENŢĂ ANUL ŞCOLAR Studiul fizicii în clasele de excelenţă are ca finalitate încheierea
PROGRAMA ANALITICĂ PENTRU CLASA A X-A, CURSURI DE EXCELENŢĂ ANUL ŞCOLAR 2015-2016 Studiul fizicii în clasele de excelenţă are ca finalitate încheierea dezvoltării la elevi a unui set specific de competenţe-cheie
Mai multMicrosoft Word - Predimensionare_arbori.DOC
5. PROIECTAREA ARBORILOR - 1 / arbori- Arborii pe care se fixează roţile sunt solicitaţi la: - torsiune de momentele T I, II, III - considerate constante pe fiecare arbore între tronsoanele pe care se
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTROTEHNICII I BE An I - ETTI CURS 1 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro BAZELE ELECTROTEHNICII I (BE) ETTI Curs Seria A - Prof. dr. ing. Vasile ȚOPA Vasile.Topa@ethm.utcluj.ro
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 3 2012/2013 Capitolul 2 n 1 0 0 377 T 0 2 1 f 1 c0 2,9979010 0 0 2 0 c 0 f 8 m s n r 0 n T 2 1 f c0 c n c 0 0 n f ITU G.692 "the allowed channel frequencies are based on a 50 GHz grid with the reference
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator
Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare parametrice. Principiul de funcţionare: Modificarea inductivităţii mutuale a unor bobine cu întrefier variabil sau constant. Ecuaţia care exprimă
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multFIZICĂ PENTRU ANESTEZIȘTI
FIZICĂ PENTRU ANESTEZIȘTI APARAT RESPIRATOR ILEANA MITRE UMF IULIU HATIEGANU, CLUJ-NAPOCA STĂRILE MATERIEI FORȚA (F) Este definită ca ceea ce produce sau tinde să producă o schimbare a stării de repaus
Mai multMicrosoft Word - Instructiuni montaj si utilizare CRH6.doc
MANUAL INSTALARE SI UTILIZARE CRH 6 - DISPOZITIV DE SIGURANŢĂ ŞI CONTROL Dispozitivul de siguranţă şi control CRH 6 este un dispozitiv multifuncţional compus din: o supapă de pornire/oprire, flacără de
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multSubiecte
Cap. Semnale şi instrumente pentru generarea lor. Ce tipuri de aparate pot genera semnal sinusoidal? 2. Care sunt principalele caracteristici ale unui generator de audio frecvenţă? 3. Care sunt principalele
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multMicrosoft Word - DCE - lucrarea 5.doc
LUCRAREA 5 TRANZISTORUL CU EFECT DE CÂMP CU POARTĂ JONCŢIUNE 5.1. Prezentare teoretică Tranzistorul cu efect de câmp cu poartă joncţiune este un dispozitiv electronic cu patru electrozi (D-dreană, S-sursă,
Mai multKEN_level_write_EN_2011
drying technology waste management boilers and heat instalations Palax Power 90S / 90SG procesor de lemn de foc cu pânză circulară în două variante de acţionare utilaj acţionat de la priza de putere a
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multMicrosoft Word - lucrarea 13
Materiale avansate / Materiale performante 69 LUCRAREA 13. TEHNOLOGII ADITIVE. REALIZAREA MODELELOR ȘI PIESELOR PRIN METODA SLA (STEREOLITHOGRAPHY) PE MAȘINA DE PRINTAT 3D FORMLABS FORM 2: CARCASĂ, ȘURUB
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multE_d_fizica_teoretic_vocational_2015_bar_09_LRO
Proba E. d) Sunt obligatorii toate subiectele din două arii tematice dintre cele patru prevăzute de programă, adică: A. MECANICĂ, B. ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ, C. PRODUCEREA ŞI UTILIZAREA CURENTULUI CONTINUU,
Mai multVIESMANN VITODENS 222-W Fişa tehnică Nr. de comandă şi preţuri: vezi lista de preţuri VITODENS 222-W Tip B2LA Cazan compact în condensaţie, pe combust
VIESMANN VITODENS 222-W Fişa tehnică Nr. de comandă şi preţuri: vezi lista de preţuri VITODENS 222-W Tip B2LA Cazan compact în condensaţie, pe combustibil gazos 3,2 până la 35,0 kw, pentru gaz metan şi
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multMENGHINA MECANICĂ tip MM - 125
MENGHINA MECANICĂ tip MM - 125 2 1 Descriere Menghina mecanică pentru mașinile de frezat cu comandă numerică şi nu numai, NGV.MM-125, produsă de NOVA GRUP, este recomandată atât pentru producţia de serie
Mai multFISA DISCIPLINEI
FISA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DE VEST TIMIȘOARA 1.2 Facultatea FIZICĂ 1.3 Departamentul FIZICĂ 1.4 Domeniul de studii FIZICĂ 1.5 Ciclul de
Mai multInstrucţiuni de asamblare USCĂTOARELE DE CEREALE ANTTI M06 3W CAPETELE CANALELOR DE AER 0,5 M (ro) ANTTI-TEOLLISUUS OY Koskentie 89 FI Ka
Instrucţiuni de asamblare USCĂTOARELE DE CEREALE ANTTI M06 W CAPETELE CANALELOR DE AER 0, M 00 (ro) ANTTI-TEOLLISUUS OY Koskentie FI-0 Kanunki, Salo Tel. + 00 E-mail: antti@antti-teollisuus.fi www.antti-teollisuus.fi
Mai multCapitolul 8 Osmoza Fenomenul de osmoz¼a este foarte important pentru înţelegerea unui mare num¼ar de fenomene ziologice. El poate pus în evidenţ¼a cu
Capitolul 8 Osmoza Fenomenul de osmoz¼a este foarte important pentru înţelegerea unui mare num¼ar de fenomene ziologice. El poate pus în evidenţ¼a cu ajutorul unei celule Pfe er (Fig. 8.1). Aceasta const¼a
Mai mult6. Incovoierea [Compatibility Mode]
6. ÎNCOVOIERE CU FORȚĂ AXIALĂ 6.1. IPOTEZE DE CALCUL Calculul la starea limită ultimă la încovoiere cu/fără forță axială se face pe baza ipotezelor simplificatoare: - secțiunile plane rămân plane și după
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multBR 45/22 C Masina de frecat aspirat, pe acumulatori, complet echipata, BR 45/22 C Bp Pack. Cu cap perie rotativa si tehnologie KART, pentru manevrabil
Masina de frecat aspirat, pe acumulatori, complet echipata, Bp Pack. Cu cap perie rotativa si tehnologie KART, pentru manevrabilitate si randament pe suprafata maxime. 1 Cap perie reglabil +/- 200 cu tehnologie
Mai multR17Z-9A_spec [RO].indd
Specif icaţii R17Z-9A MOTOR MODEL KUBOTA D902 Răcit cu apă, diesel în 4 timpi, în linie, Tier 4 certificate Putere nominala la volant SAE J1995 (brut) 16,8 hp (12.5 kw) / 2 rot/min J1349 (net) 15,8 hp
Mai multENVI_2019_matematica_si_stiinte_Test_2_Caietul_elevului_Limba_romana
EVALUAREA NAŢIONALĂ LA FINALUL CLASEI a VI-a Anul școlar 2018-2019 Matematică şi Ştiinţe ale naturii TEST 2 Judeţul/sectorul... Localitatea... Unitatea de învățământ... Numele şi prenumele elevei/elevului......
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multCURRICULUM VITAE
8.4. Calculul stabilizatorului 1 Schema stabilizatorului 1 este prezentată în figura 8.7. Fig. 8.7. Schema stabilizatorului 1, cu diodă zener şi tranzistor Date de pornire pentru stabilizatorul 1: U 1
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai mult