Fizica fluidelor Cursul 5

Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara

Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4. Efectul Coandă. III.5. Mișcarea potențială plană. III.6. Exemple de curgeri potențiale plane. III.7. Principiul superpoziției. III.8. Acțiunea hidrodinamică asupra obstacolului.

III.1. Fluidul perfect. III.1.1. Ecuații constitutive. Fluidul perfect este caracterizat prin absența totală a fenomenelor disipative. În limbaj matematic, τ ij = 0 și q = 0, a.î. T ij = Pδ ij. Rata de disipare a energiei cinetice pe unitate de masă se anulează: Deoarece entropia rămâne constantă: ρ Ds ( q ) Dt = q T T T 2 ε = ρ 1 τ ij S ij = 0. (1) + 1 τ : S = 0. (2) T curgerea fluidului perfect se desfășoară în condiții izentropice, fiind deci reversibilă.

III.1.2. Ecuația Euler. Forma Lamb-Gromeko (Helmholtz). Ecuația Cauchy pentru fluidele perfecte se reduce la ecuația Euler: ρ Du Dt = ρf P. (3) Presupunând că fluidul este barotrop [ρ = ρ(p)], 1 se introduce funcția de presiune: dp = dp ρ, P = dp ρ. Aplicând operatorul formei integrale, rezultă P = 1 ρ p. În cazul în care forțele care acționează sunt potențiale, f = Π. Ținând seama de definiția derivatei substanțiale, rezultă: Du Dt = tu + (u )u = t u + 1 2 u2 u ω. Rezultă forma Lamb-Gromeko (sau Helmholtz) a ecuației Euler: ( ) u 2 t u + 2 + Π + P + ω u = 0. (4) 1 Extensia la fluide nebarotrope reprezintă Ecuația lui Crocco și Vazsonyi.

III.1.3. Aplicație: Vasul în rotație uniformă. Să considerăm un lichid barotrop [ρ = ρ(p)] într-un vas care se învârte cu Ω = (0, 0, Ω). Rotația fiind rigidă, avem: ζ Ω Vorticitatea este: u = Ω x = Ω( y, x, 0). h r z ω = u = (0, 0, 2Ω). În cazul staționar, t u = 0 iar ec. Euler în forma Lamb-Gromeko (Helmholtz) devine: ( ) 1 2 R2 Ω 2 + gz + P = 2RΩ 2 e R, unde R = xi + yj = Re R. Înmulțind scalar cu k și cu e R, rezultă: P (gz + P) = 0, z R = RΩ2.

Soluția ecuației cu z este: Ω P(R, z) = P R (R) gz. ζ Din ecuația cu R rezultă: P R = P 0 + 1 2 R2 Ω 2. h r z P 0 se fixează definind pe P(R, z) în funcție de (R, z) = (0, h): P(R, z) = P(R,z) P(0,h) dp ρ P(R, z) = g(h z) + 1 2 r 2 Ω 2. Suprafețele cu z = z 0 + R 2 Ω 2 /2g reprezintă suprafețe izobare. Suprafața lichidului se găsește acolo unde P(R, z) = 0: ζ(r) z h = R2 Ω 2 2g.

III.2. Teorema lui Bernoulli. III.2.1. Teorema lui Lagrange și Cauchy. Să aplicăm rot = formei Lamb-Gromeko a ec. Euler (4): Folosind identitatea: t ω + (ω u) = 0. (ω u) = (u )ω (ω )u + ω( u) u( ω), împreună cu relația ω = ( u) = 0, rezultă: Dω Dt (ω )u + ω( u) = 0. Folosind ec. de continuitate Dρ/Dt = ρ u, și împărțind ec. de mai sus cu ρ se obține ecuația lui Beltrami: ( ) ( ) D ω ω = Dt ρ ρ u. (5) Teorema lui Lagrange-Cauchy: Dacă curgerea unui fluid perfect, barotrop, în prezența unui câmp conservativ de forțe, este irotațională într-o configurație, aceasta va rămâne irotațională în orice configurație ulterioară.

III.2.2. Teorema lui Bernoulli pentru curgeri staționare. În cazul unei curgeri staționare t u = 0, forma Lamb-Gromeko a ec. Euler (4) se reduce la: ( ) u 2 2 + Π + P + ω u = 0. Înmulțind scalar cu udt = dx [unde x(t) reprezintă ecuația liniei de curent corespunzătoare vitezei u(t)], obținem: ( ) u 2 d 2 + Π + P = 0. Rezultă următoarea integrală primă a mișcării: u 2 dp 2 + + Π = C[Γ], (6) ρ unde C[Γ] este o constantă care în general depinde de linia de curent Γ pe care se face integrarea.

III.2.3. Teorema lui Bernoulli pentru curgeri irotaționale. În cazul unei curgeri irotaționale (ω = u = 0), viteza se poate scrie în funcție de potențialul vitezei: u = φ. În acest caz, forma Lamb-Gromeko a ec. Euler (4) se reduce la: ) ( t φ + u2 2 + Π + P = 0. Expresia din interiorul parantezei este deci constantă în întreg domeniul: φ t + 1 dp 2 u2 + + Π = C(t), (7) ρ unde C(t) depinde doar de timp. În cazul curgerilor irotaționale staționare, ec. (7) devine: 1 dp 2 u2 + + Π = C, (8) ρ unde de data aceasta C nu depinde nici de timp, nici de spațiu [integrarea nu este restricționată la linia de curent, ca în ec. (6)].

III.2.4. Aplicație: Debimetrul Venturi (Venturimetrul). Considerăm curgerea orizontală a unui lichid, de la stânga la dreapta, aria secțiunii canalului variind de la S 1 (stânga) la S 2 < S 1 (dreapta). Între cele două porțiuni ale tubului se leagă un manometru care înregistrează P indusă de varierea lui S. Lichidul este incompresibil ( u = 0). u 1 u 2 S 1 S 2 Alegem suprafețele S 1 și S 2 în zonele unde curgerea este laminară. Prin suprafața S 1, viteza fluidului este u 1 = v 1 i. Prin suprafața S 2, viteza fluidului este u 2 = v 2 i. Considerăm tubul de curent delimitat de S 1, S 2 și de liniile de curent din vecinătatea pereților. Curgerea fiind staționară, debitul prin S 1 și S 2 este același: ( u)dx = Q 2 Q 1 = 0 v 2 S 2 = v 1 S 1. V ζ

În regiunile de curgere laminară, u = vi iar ec. Euler pentru componenta verticală arată că: ρ Du z Dt (P + ρπ) = = 0, z unde Π = gz pentru forța gravitațională. Soluția este P(x, z) = P(x, 0) ρgz, unde z = 0 corespunde liniei centrale a canalului. Ec. (6) pentru fi aplicată liniei de curent corespunzătoare lui z = 0: 1 2 v 1 2 + P(x 1, 0) ρ = 1 2 v 2 2 + P(x 2, 0). ρ Diferența de presiune hidrostatică induce în brațele manometrului o diferență de nivel ζ: P(x 1, 0) + ρg(ζ z) = P(x 2, 0) + ρ L g(ζ z), unde ρ L este densitatea lichidului din manometru. Cunoscând S 1, S 2 și raportul ρ L /ρ, rezultă: ( ) 2[P(x 1, 0) P(x 2, 0)] Q = ρ ( 2gζ ρl S 2 2 S 2 ) = 1 S 2 2 S 1 ρ 1. (9) 1

III.3.1. Echilibrul hidrostatic. Pentru cazul când fluidul este în repaus (u = 0), ec. Euler (3) se reduce la: P = ρf. (10) Când f = Π, se poate aplica teorema lui Bernoulli (8) pentru curgeri staționare și irotaționale: dp + Π = 0. (11) ρ În cazul fluidului incompresibil (lichide) sub acțiunea greutății Π = gz, rezultă ecuația hidrostatică: P(ζ) = P atm + ρgζ, (12) unde P atm este presiunea atmosferică la suprafața liberă (z = 0) iar ζ = z este înălțimea coloanei de lichid. Pentru gazul ideal (P = ρk B T /m) aflat în condiții izoterme în câmp gravitațional constant Π = gz, se obține profilul barometric: P(z) = P 0 exp ( mgz K B T ), ρ(z) = ρ 0 exp ( mgz K B T ).

III.4. Efectul Coandă. Efectul Coandă se referă la aderarea θ jeturilor de fluid la suprafețele u cu care acestea intră în contact. Să considerăm că un jet de lichid de P extensie infinită în direcția perpendiculară pe figură, având grosimea d, lovește un cilindru de rază a >> d Q sub un unghi de incidență θ. u În urma impactului, jetul se desparte în θ două fâșii de grosime d și d. Curgerea fiind izobară, din ecuația lui Bernoulli rezultă că viteza fâșiilor este egală cu viteza u a jetului inițial, iar conservarea debitului implică d = d + d. Pentru conservarea impulsului tangențial, d sin θ = d d și deci: d = 1 d(1 + sin θ), 2 d = 1 d(1 sin θ). 2 Cele două fâșii se reîntâlnesc în punctul Q, situat diametral opus față de punctul de incidență P, unde jetul inițial este recompus, însă cu direcția modificată printr-un unghi 2θ.

Probleme 1. Să se găsească relația dintre viteza de curgere u și înălțimea h a coloanei de lichid într-un tub Pitot scufundat într-o apă curgătoare. [R: u = 2g h] 2. Să se găsească relația dintre viteza de curgere și înălțimea coloanei de lichid în tubul Pitot modificat, reprezentat în figură. [R: u = 2gζ( ρ L ρ 1)] 3. Fie un rezervor având înălțimea h față de sol, umplut cu un lichid perfect incompresibil, care comunică printr-un canal subteran cu un orificiu Q aflat la nivelul solului. Să se găsească înălțimea H la care se ridică jetul de lichid care părăsește Q. Q P, u ρ B 4. Să se găsească variația presiunii cu înălțimea a unui gaz politropic pentru care P = Aρ n. Caz particular: n = 1, 235. Răspuns: ( P = P 0 1 n 1 ) n n 1 mgh. n K B T 0 ζ A h h A ρ L h h B

Probleme 5. Se consideră un recipient cu lichid în mișcare accelerată uniformă pe direcția orizontală. Să se găsească ecuația suprafețelor izobare. [R: ax + gy = const.] 6. Să se găsească volumul total de lichid din vasul în rotație. [R: πr 2 (h + R 2 Ω 2 /4g)] 7. O coloană de apă este astupată de un cilindru B de secțiune S B = 600 cm 2 și greutate G B = 9000 N. Vasul comunică cu o altă coloană în care nivelul apei este cu h = 16 cm mai sus decât în coloana B. Să se calculeze forța cu care un piston A de masă neglijabilă acțiunează asupra coloanei A, știind că S A = 6 cm 2. [R: 89, 058 N] 8. Cunoscând că diferența de presiune de o parte și de alta a unui menisc sferic este δp = 2σ/R, să se arate că înălțimea la care urcă lichidul dintr-un rezervor într-un tub capilar de diametru d este h = 4σ cos θ/ρgd, unde θ este unghiul de udare. 9. Cunoscând tensiunea superficială la T = 20 C a apei distilate, σ = 72, 9 10 3 N/m, să se determine la care înălțime aceasta se ridică într-un tub capilar cu d = 0, 6 cm. [R: 5 10 3 m]