3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. 3.1. PRINCIPIILE MECANICII. Am văzut pe pacusul capitolului pecedent, cinematica, că ştiind o lege de mişcae: x(t) sau v(t) sau a(t), şi condiţiile iniţiale: poziţia iniţială, viteza iniţială, acceleaţia iniţială, putem să obţinem celelalte legi pin opeaţii simple de deivae şi integae. Pentu calculele noaste nu am avut nevoie să cunoaştem cauzele mişcăii. În acest capitol, Dinamica Punctului Mateial, vom vedea cum se eflectă cauzele mişcăii în legile de mişcae. Pentu aceasta vom studia pincipiile/legile cae guvenează mecanica clasică: Legile lui Newton. Aceste legi, pe cât sunt de simple pe atât sunt de impotante în ezolvaea poblemelo de mecanică şi nu numai. Enunţul lo a însemnat un poges emacabil al gândiii ştiinţifice, conţinutul lo fiind bazat îndeosebi pe obsevaţii expeimentale. Pincipiile mecanicii Newtoniene sunt valabile în ceea ce denumim mecanica clasică. Atunci când vitezele cu cae avem de-a face sunt apopiate de viteza luminii sau când studiem copui de dimensiuni atomice sau sub-atomice, legile lui Newton nu mai sunt valabile, din cauza faptului că conceptele de spaţiu, timp şi măsuătoae sunt altele la acele scale (viteze mai, distanţe mici). Mecanica elativistă se ocupă de pimul caz: viteze compaabile cu viteza luminii, ia mecanica cuantică de cel de-al doilea: copui de dimensiuni atomice şi sub-atomice. Exemplu: Mecanica clasică ne pemite să pezicem eclipsele cu o pecizie uimitoae însă este nefolositoae, de exemplu, la peziceea mişcăii electonilo în atomi. Şi atunci de ce mai studiem mecanica clasică? Pentu că lumea macoscopică în cae tăim este una clasică ia pincipiile lui Newton, pe cae le vom enunţa în continuae, explică cu succes fenomene/pocese din viaţa de toate zilele, fiind un instument de lucu foate util oamenilo de ştiinţă şi ingineilo. În plus, după cum am pecizat şi la începutul acestui cus, multe din conceptele fundamentale cu cae opeăm în mecanica clasică: enegie, impuls, moment cinetic, legi de consevae, etc. sunt peluate şi folosite în fizica modenă. 52
Mai tebuie pecizat că deşi legile lui Newton sunt un bun punct de plecae în studiul mecanicii clasice, există şi alte modui de abodae cae folosesc mai degabă enegia decât foţa ca şi punct de plecae. Acestea sunt fomalismele Lagange şi Hamilton despe cae veţi auzi la cusul de Fizică Teoetică. Enunţăm şi discutăm pe ând, pincipiile mecanicii Newtoniene. Pincipiul I (pincipiul ineţiei). Un cop îşi păstează staea de epaus sau de mişcae ectilinie unifomă atâta timp cât asupa lui nu acţionează un alt cop cae să-i modifice această stae. Să analizăm această fomulae : 1) Ştim din expeienţa zilnică că pentu a deplasa un cop (fie că este maşină, fie că este un dulap, o jucăie,...) cu viteză constantă, chia şi pe o supafaţă oizontală, tebuie să acţionăm asupa acestuia cu o foţă. Dacă opim acţiunea foţei, copul se opeşte, nicidecum nu continuă să se deplaseze cu viteză constantă. Deci viaţa cotidiană ne spune că avem nevoie de foţe pentu a deplasa copuile cu viteză constantă. E veo poblemă cu pincipiul ineţiei? Nicidecum. În mişcăile de cae am vobit mai înainte fecaea joacă un ol impotant. De fapt, noi folosim foţa cu cae acţionăm asupa copului pentu a contacaa efectele fecăii. Dacă am doi să efectuăm un expeiment pentu veificaea pincipiului I noi tebuie să eliminăm acţiunea tutuo foţelo. Efectuaea unui astfel de expeiment este dificilă pentu că eliminaea tutuo foţelo cae acţionează asupa copului înseamnă pinte altele şi eliminaea foţei de inteacţiune gavitaţională deci expeimentul a tebui să se desfăşoae undeva în spaţiu, la distanţă infinită de alte copui pentu ca inteacţiunea cu acestea să fie nulă. Acolo a tebui să impimăm copului o viteză şi să aătăm că aceasta ămâne constantă în timp. Cam geu de ealizat. În lipsă de esuse pentu a efectua expeimentul de mai sus putem înceca un expeiment în cae compensăm (sau să diminuăm) toate foţele cae acţionează asupa copului, de exemplu folosind vehicule pe penă de ae deplasate pe supafeţe oizontale sau lansând o bilă de oţel pe o supafaţă de sticlă oizontală. Vom obseva că dacă fecaea devine neglijabilă, vehiculul sau bila de oţel se deplasează cu viteză constantă, viteza de lansae, făă să se opească (în fine, copul se va opi la maginea cameei sau a supafeţei de sticlă). 53
2) Ştim de la cinematică că epausul şi mişcaea unui cop sunt elative şi depind de alegeea sistemului de efeinţă. Copul pe cae îl studiem poate să fie în epaus, mişcae ectilinie unifomă, acceleată sau oice alt fel de mişcae ne putem închipui, pivit din difeite sisteme de efeinţă, indifeent ce foţe acţionează sau nu asupa lui. E veo poblemă cu pincipiul ineţiei? Nicidecum. Putem să facem o clasificae a sistemelo de efeinţă în sisteme de efeinţă pentu cae pincipiul I este valabil şi sisteme de efeinţă în cae acesta nu este valabil. Sistemele de efeinţă din cae vedem copul studiat mişcându-se cu viteză constantă sau îl vedem în epaus atunci când asupa lui NU acţionează nici un alt cop se numesc sisteme de efeinţă ineţiale (SRI). Celelalte sisteme de efeinţă se numesc neineţiale (acceleate). Exemplu (ăspuns întebae de la cus): Pe timpul lui Newton, un exemplu clasic de sistem de efeinţă ineţial ea sistemul de efeinţă legat de aşa numitele stele fixe (stelele din divese constelaţii), despe cae se pesupunea că sunt în epaus faţă de ceea ea numit pe vemea aceea spaţiu absolut. Impecizia măsuătoilo din acele vemui pecum şi timpii mici de măsuă nu au pemis evidenţieea mişcăii elative a acesto copui ceeşti. Stelele fixe nu sunt, de fapt, fixe da sunt o bună apoximaţie pentu un sistem de efeinţă ineţial. Oicum, e cam complicat de ales un astfel de sistem de efeinţă dacă scopul nostu a fi studieea mişcăii unui cop pe un plan înclinat în laboatoul de mecanică. Pincipiul I nu ne spune cae sunt sistemele de efeinţă ineţiale şi cae nu, ci doa ne indică un mod de a face distincţia înte ele. Pentu majoitatea mişcăilo studiate, un SR legat de Pământ poate fi consideat un sistem de efeinţă ineţial. De ce nu a fi pu ineţial un SR legat de Pământ? Datoită, de exemplu, otaţiei diune a Pământului (mişcae de otaţie = mişcae acceleată). Abateile sunt însă mici şi pot fi neglijate înt-o pimă apoximaţie 4. 4 Pesupunem că am ales un sistem de efeinţă ca şi sistem de efeinţă ineţial. Repezentând toate foţele cae acţionează asupa punctului mateial îi putem calcula acceleaţia ca şi apotul dinte foţa ezultantă şi masa copului. Dacă măsuăm acceleaţia şi obţinem aceeaşi valoae, SR e ineţial. Dacă acceleaţia este alta decât cea calculată din foţe, şi noi nu suntem în stae să identificăm foţa 54
! Toate sistemele de efeinţă cae se mişcă cu viteză constantă faţă de un SRI sunt şi ele sisteme de efeinţă ineţiale. Expeienţa mai spune că dacă doim să schimbăm staea de mişcae ectilinie sau de epaus a unui cop, tebuie să acţionăm asupa lui. Copuile sunt inete, adică nuşi schimbă de la sine staea de epaus sau mişcae ectilinie unifomă. Ele se mişcă ectiliniu şi unifom în vitutea ineţiei dacă nu există acţiuni exteioae şi tot datoită ineţiei tind să-şi păsteze această stae opunându-se sau eacţionând la acţiunile exteioae. Confom pincipiului ineţiei, mişcaea ectilinie unifomă se autoînteţine. Oice acţiune exteioaă stică o astfel de mişcae cubând taiectoia sau modificând măimea vitezei poduce o acceleaţie. Noţiunea de foţă. Am vobit mai înainte de acţiuni exteioae cae a modifica staea de epaus sau de mişcae ectilinie unifomă a copuilo. Numim aceste acţiuni exteioae: foţe. Asociem adesea noţiunea de foţă cu efotul pe cae îl depunem la idicaea unui cop, la deplasaea sau defomaea acestuia. Putem indica diecţia şi sensul acţiunii noaste deci putem caacteiza foţa pint-un vecto. Se poate demonsta expeimental că foţele se adună(compun) ca şi nişte vectoi. Exemple de foţe: de fecae, de tacţiune, de geutate, tensiuni din fie,.... Cum măsuăm foţele? Pin efectele pe cae le poduc. De exemplu, foţa poate poduce alungiea unui cop elastic, alungie popoţională cu foţa aplicată. Măsuând alungiea copului (esot, elastic,...) avem o indicaţie a măimii foţei aplicate. Acesta este pincipiul de constucţie pentu un dinamometu (apaat pentu măsuaea foţelo). (inteacţiunea) eală cae poduce acea acceleaţie, atunci, cel mai pobabil, sistemul de efeinţă pe cae l-am ales nu este ineţial. 55
Ce înseamnă modificae a stăii de epaus ( 0 v = ) sau modificae a stăii de mişcae ectilinie unifomă ( v = const. )? Înseamnă apaiţia unei acceleaţii. Pincipiul II (fundamental) al dinamicii F = ma (legea fundamentală a dinamicii; legea a doua a lui Newton) 5. Foţa = cauză; acceleaţia = efect.! Pincipiul II este valabil doa în sisteme de efeinţă ineţiale şi foma acestuia nu se schimbă la teceea de la un SRI la altul. Dacă asupa unui cop aplicăm foţa F, atunci copul se va deplasa unifom F acceleat cu acceleaţia) a = unde m este o constantă de popoţionalitate m având dimensiunea unei mase. Numim această constantă masa ineţială (vezi mai jos). Altfel spus, un cop cae se mişcă cu acceleaţia a se află în mod sigu sub acţiunea unei foţe, F = ma. Vectoul foţă şi vectoul acceleaţie au aceeaşi diecţie şi acelaşi sens (m > 0). Genealizând, putem scie că: F = ma unde pin F înţelegem ezultanta tutuo foţelo cae acţionează asupa copului. Rezultanta foţelo şi acceleaţia au aceeaşi diecţie şi acelaşi sens (m>0). Ecuaţia este vectoială deci putem scie: dmv dm dv 5 Coect, legea a II a lui Newton ae foma: F = = v + m. Dacă m este constant dv atunci F = m = ma. Când nu este constant m? Când studiem mişcaea achetelo; Când vitezele sunt apopiate de viteza luminii (mecanica elativistă: m 2 2 = m0 / 1 v / c, unde m 0 este masa de epaus, v este viteza copului ia c este viteza luminii); în divese pobleme în cae intevin lanţui cae cad; când, de exemplu, studiem mişcaea unei picătui de apă cae se evapoă; etc.. 56
Fx = max = mx& ; Fy = may = my& ; Fz = maz = mz& (pincipiul independenţei acţiunii foţelo). [ ]= = m a = MLT ia unitatea de măsuă este NEWTON (N). F foţă [ ][ ] 2 m m 1 N = 1kg 1 = 1kg. 2 2 s s O foţă de 1 N impimă unui cop cu masa ineţială de 1 kg o acceleaţie de 1m/s 2. Ce este masa? Se obsevă din expesia Pincipiului II că pentu o foţă constantă, efectul (adică acceleaţia, vaiaţia vitezei) este cu atât mai mic cu cât masa ineţială a copului este mai mae. Am definit ineţia ca şi tendinţă a copuilo de a-şi păsta staea de epaus sau mişcae ectilinie unifomă. Copuile euşesc acest lucu i.e. să-şi păsteze staea de epaus sau mişcae ectilinie unifomă, cel mai uşo atunci când masa lo ineţială este mae. Înt-o pimă fomulae putem spune că masa (ineţială) este o măsuă a ineţiei copuilo. OK, da această definiţie nu ne aată cum să măsuăm măimea fizică numită masă (ineţială). Pe de altă pate, ponind de la pincipiul II vedem că putem defini masa ineţială ca şi F apotul dinte măimea ezultantei foţelo şi măimea acceleaţiei copului m =. a Dacă folosim aceasta ecuaţie ca şi fomulă de definiţie a masei ineţiale, avem şi modul de măsuae: foţele le măsuăm cu un dinamometu ia acceleaţia copului o măsuăm cu o iglă şi cu un conometu. Calculând apoi apotul ezultatelo măsuătoilo obţinem masa ineţială a copuilo. Opeaţii cam complicate dacă tebuie să cumpăăm 2 kg de castaveţi de la piaţă. Măsuaea masei nu se face, pactic, apoape niciodată aşa. De obicei aşezăm copul pe o balanţă şi măsuăm cu ajutoul acesteia număul de kilogame ale copului. O măsuătoae destul de statică, daca ne gândim la cea descisă înainte. Din ce ecuaţie obţinem infomaţia că putem să măsuăm masa folosind o balanţă? 57
Cu balanţa măsuăm de fapt foţa de geutate a copului i.e. foţa de inteacţiune dinte cop şi Pământ: foţa de inteacţiune gavitaţională. Veţi înţelege aceasta când vom povesti despe momentul foţei şi despe echilibu. Foţa de inteacţiune mm gavitaţională dinte două copui de mase M şi m este F = G unde R este 2 R distanţa dinte centele de geutate (veţi învăţa mai tâziu ce înseamnă) ale copuilo 2 11 Nm ia G este o constantă: G = 6.67 10. Dacă copul nostu este la supafaţa 2 kg Pământului, 6 24 R 6.4 10 m. Ştiind că masa Pământului este M 6 10 kg, putem M m calcula constanta G = 9. 8. Notăm această constantă g. g ae dimensiunea 2 s 2 R unei acceleaţii (acceleaţie gavitaţională). Deci foţa de inteacţiune dinte copul nostu şi Pământ, numită şi foţă de inteacţiune gavitaţională sau geutatea copului, se poate scie ca: F = mg. Ecuaţia de mai sus ne indică şi cum putem măsua masa: măsuăm foţa de geutate (pin compaaea ei cu etaloane) şi apoi împăţim ezultatul la constanta g, măsuată în acel punct. Numim această masă: masa gavitaţională. Este acelaşi lucu cu masa ineţială? In pincipiu, cele două mase NU este neapăat necesa să fie identice. Masa gavitaţională se efeă la un fenomen specific: inteacţiunea gavitaţională, pe când masa ineţială este constanta de popoţionalitate cae leagă acceleaţia unui cop de foţele cae poduc acea acceleaţie. Cele două mase se efeă la popietăţi difeite şi deci, în pincipiu, nu a avea nevoie să fie egale. Cae este, totuşi, legătua dinte masa măsuată cu balanţa (masa gavitaţională) şi cea calculată din apotul dinte foţă şi acceleaţie (masa ineţială)? Toate expeimentele au indicat că, în limita eoilo expeimentale, masa ineţială (măsuată confom definiţiei) şi masa gavitaţională (măsuată cu balanţa) sunt egale. Ae acest fapt veo semnificaţie? Da. Pentu mai multe detalii Teoia Relativităţii Geneale a lui Einstein. 58
Pincipiul III (Pincipiul acţiunii şi eacţiunii). Dacă un cop acţionează asupa unui alt cop cu o foţă (numită acţiune) atunci şi cel de-al doilea cop acţionează asupa pimului cu o foţă egală în modul şi de sens conta (numită eacţiune).! Foţele de apa întotdeauna peechi: acţiune şi eacţiune.! Acţiunea şi eacţiunea acţionează asupa uno copui difeite; sunt egale în măime şi au sens opus. 3.2. TIPURI DE FORŢE. Foţa de geutate G : de obicei, foţa de inteacţiune dinte cop şi Pământ. Măimea ei este G = mg unde m este masa copului ia g este acceleaţia gavitaţională în acel punct (g = 9.81 m/s 2 pentu un cop aflat la nivelul măii pe paalela 45.). Oientae: spe centul Pământului (în jos, in figua din deapta). Foţe elastice, F e : Un cop/mateial elastic este un cop a căui defomae este popoţională cu foţa aplicată (dacă foţele nu sunt foate mai). Dacă încetăm acţiunea asupa copului, defomaea dispae ia copul evine la foma iniţială. Foţa cae eaduce copul la foma iniţială, numită şi foţă de evenie sau foţă elastică este popoţională cu alungiea copului şi ae expesia: F e = k x, unde x este defomaea copului ia k este o constantă. Foţa elastică se opune defomăii copului. Tensiuni din fie: Notăm cu T, foţa cae există înt-un fi întins, vezi Figua 48. Se mai numeşte Figua 48. a) cop suspendat de un fi; b) Foţa de tensiune ce acţionează asupa copului; c) Foţa de tensiune ce acţionează asupa tavanului. 59
foţă de tensiune şi o putem măsua uşo dacă pe fi intecalăm un dinamometu. Fiul se numeşte ideal dacă este inextensibil şi nu ae masă.! Cu un fi putem doa să tagem de un cop. Foţa de tensiune apae doa când fiul este întins şi este oientată de-a lungul fiului în aşa fel încât să tagă de cop.! În toate secţiunile unui fi ideal, tensiunea este aceeaşi. Reacţiuni din patea supafeţelo de spijin şi foţele de fecae: La contactul a două copui mai apa de obicei două tipui de foţe: 1) Foţe de eacţiune din patea supafeţelo în contact, pependiculae pe supafaţa de supafaţa de contact a copuilo (foţe de eacţiune nomală), vezi Figua 49. a) cop aşezat pe o supafaţă oizontală; b) Foţa de eacţiune din patea mesei asupa copului; c) Foţa de eacţiune din patea copului asupa mesei. Figua 49. 2) Foţe de fecae, în planul supafeţei de contact, atunci când există tendinţa de mişcae elativă a celo două copui. Foţa de fecae apae datoită întepătundeii aspeităţilo şi neegulaităţilo (sub)micoscopice ale celo două supafeţe în contact şi sunt oientate în sens opus tendinţei de mişcae elativă a supafeţelo în contact. Expeimentul aată că dacă copuile în contact alunecă unul pe celălalt, atunci foţa de fecae (numită foţă de fecae la alunecae) este popoţională doa cu foţa de apăsae nomală cae se execită înte copui la supafaţa de contact (pima lege a fecăii): F f = µ N unde µ se numeşte coeficient de fecae la alunecae şi depinde doa de natua mateialelo şi de felul pelucăii supafeţelo în contact (este pactic independent de viteza elativă a copuilo). Tot expeimental se poate aăta că foţa de fecae la alunecae înte două copui igide nu depinde de aia supafeţei de contact înte cele două copui (a doua lege a fecăii). 60
Apae veo foţă de fecae în cazul în cae copuile nu alunecă unul pe celălalt adică nu există deplasae elativă da există tendinţa de deplasae? Exemplu: Pentu a mişca un cop din epaus, pe o supafaţă oizontală, tebuie să împingem copul cu o foţă minimă, necesaă pentu a-l uni din loc şi a-l face să alunece pe acea supafaţă. Înt-o pimă apoximaţie, acea foţă minimă pe cae tebuie să o aplicăm copului este tocmai foţa de fecae la alunecae 6 (FFA). cu cae menţinem copul în alunecae cu viteză constantă. Dacă foţa cu cae acţionăm asupa copului este mai mică decât FFA atunci copul nu se mişcă. Cae este foţa de fecae cae acţionează asupa lui în acest caz? Figua 50. Foţa de fecae statică: copul nu se mişcă sub acţiunea foţei de tacţiune F < FFA F f = F. Figua 51. Dependenţa foţei de fecae de măimea foţei aplicate, pentu situaţia din Figua 50. Copul este în epaus pentu F < µn ia F f = F. Copul alunecă pentu F > µn ia foţa de fecae în acest caz este FFA = µn. 6 Expeimentul aată că foţa minimă necesaă pentu a poni copul din loc este mai mae decât foţa de fecae la alunecae (necesaă pentu a deplasa copul cu viteză constantă), şi se numeşte foţă de adeenţă. 61
Dacă copul nu se mişcă (a = 0) când aplicăm asupa lui o foţă F < FFA, vezi Figua 50, atunci foţa de fecae va fi egală şi de sens conta cu foţa aplicată. Această foţă de fecae este ceea ce se numeşte foţă de fecae statică, sau de adeenţă. Ea ceşte pe măsuă ce foţa aplicată ceşte. Când copul începe să alunece, foţa de fecae statică devine egală cu foţa de fecae la alunecae şi nu ceşte mai depate, oicât am ceşte foţa aplicată, vezi Figua 51. Expeimental, valoaea coeficientul de fecae la alunecae se poate obţine în felul umăto: aşezăm copul pe un plan înclinat de unghi vaiabil. Unghiul planului înclinat pentu cae copul alunecă cu viteză constantă se numeşte unghi de fecae la alunecae. Tangenta acestui unghi este coeficientul de fecae la alunecae. Încecaţi să demonstaţi acest fapt. Tipuile de foţe pezentate mai sus sunt pincipalele tipui de foţe pe cae le întâlnim în poblemele de dinamică a copuilo, în mecanică. Tipuile pincipale de pobleme ale dinamicii sunt: 1) Cunoscând legea de mişcae a punctului mateial să se detemine foţa sub acţiunea căeia se poduce această mişcae: poblema se ezolvă pin deivaea a ecuaţiilo Figua 52. Un cop se află pe un plan înclinat cae se spijină cinematice ale mişcăii pentu pe o supafaţă oizontală. S-au epezentat foţele cae componentelo acţionează asupa fiecăui cop. Pentu supafaţa oizontală s- succesivă obţineea vitezei şi apoi ale acceleaţiei. 62 au epezentat doa foţele de contact.
Înmulţind aceasta din umă cu masa, obţinem foţa ezultantă cae acţionează asupa punctului mateial şi componentele ei. 2) Cunoscând foţa ezultantă (sau foţele, vezi Figua 52) cae acţionează asupa punctului mateial, şi condiţiile iniţiale ale mişcăii (poziţia iniţială şi viteza iniţială), să se detemine legea de mişcae a punctului mateial (poblema fundamentală a dinamicii punctului mateial). Poblema se ezolvă pin integaea succesivă a ecuaţiilo difeenţiale ale mişcăii punctului mateial ponind de la F = ma = m &, descompusă pe axele sistemului de coodonate ales, de exemplu axele unui SR catezian: F x = ma = mx&, F = ma = my&, F = ma = mz&. x y y Pentu a putea calcula componentele foţelo tebuie: Să stabilim cae este copul investigat. o Să epezentăm toate foţele cae acţionează asupa copului: Foţe execitate de câmp (gavitaţional, electic, magnetic) Foţe de tacţiune din fie, foţe de tacţiune/împingee din tije Foţe de contact: la supafaţa de contact a două copui, asupa fiecăui cop acţionează foţe: foţa de eacţiune nomală (pependiculaă pe supafaţa de contact) şi foţa de fecae (în planul supafeţei de contact, oientată în sens opus tendinţei de mişcae elativă). o Să alegem un sistem de axe de coodonate cât mai convenabil pentu a ezolva poblema, să descompunem foţele de-a lungul axelo de coodonate şi să sciem ecuaţiile de mişcae (vezi exemplele de la semina): F = ma Fx = max, Fy = may, Fz = maz a x, ay, a o după integaea ecuaţiilo de mişcae v ( t ), v ( t ) v ( t ) şi apoi x () t y() t, z() t z z x y, z z,. 3.3. COMPUNEREA VITEZELOR (CONSTANTE) ÎN MECANICA CLASICĂ, TRANSFORMĂRILE LUI GALILEI. Identificăm un eveniment: o explozie, ciocnie, teceea unui mobil pint-un punct din spaţiu, etc., folosind tei coodonate spaţiale (de exemplu xyz) şi una tempoală, t. Să consideăm că doi obsevatoi pivesc mişcaea unui punct mateial supus 63
acţiunii uno foţe, unul dint-un sistem de coodonate fix, S ia altul dint-un sistem de coodonate S. Pesupunem că oiginea lui S se deplasează faţă de S cu viteza constantă u (asta s-a taduce în: doo' = u ) şi că S nu se oteşte faţă de S (adică oientaea vesoilo celo două sisteme de axe nu se modifică în timp, infomaţie utilă atunci când avem de deivat vectoi). Figua 53. S se delpasează cu viteza constantă u faţă de S. doo' = u = constant Mai pesupunem că ambii obsevatoi au iglele şi ceasonicele identic etalonate şi că lungimile (distanţele) şi duatele (intevalele de timp) măsuate în difeite SR sunt aceleaşi. Altfel spus, pesupunem că ezultatele măsuătoilo de lungime şi duată nu depind nici de mişcaea instumentelo de măsuă şi nici de mişcaea obiectelo măsuate. Veţi vedea că în cazul vitezelo apopiate de viteza luminii această ipoteză nu mai este valabilă şi că tebuie aplicată mecanica elativistă. Obsevatoul din S identifică poziţia punctului mateial cu vectoul de poziţie ia obsevatoul din S identifică poziţia punctului mateial cu vectoul de poziţie '. Se obsevă uşo că: = OO' + ', unde şi OO ' sunt măsuaţi din S ia ' este măsuat din S. Putem calcula viteza mobilului: d doo' d ' d ' = + = u +. Figua 54. Identificaea poziţiei mobilului cu ajutoul vectoilo de poziţie. 64
d ' nu ne spune nimic, este deivata unui vecto din S în apot cu timpul măsuat în d ' sistemul S. Dacă am fi avut, a fi fost cla: viteza v, măsuată de obsevatoul ' d ' d ' ' d ' din S. Resciem ca şi vom avea = u + v' ' d este viteza punctului mateial, măsuată în sistemul de efeinţă S (se mai doo' numeşte viteză absolută). = u epezintă viteza cu cae se deplasează S faţă d ' de S (se mai numeşte viteză de tanspot). este viteza măsuată în S (se d t ' numeşte viteză elativă). v = v' + u ia în cuvinte: vectoul viteză absolută este egal suma dinte vectoii viteză elativă şi viteză de tanspot (legea de compunee a vitezelo). În ezolvae am folosit faptul că = ' (în mecanica clasică, intevalele tempoale măsuate în cele două sisteme de efeinţă sunt identice). Exemplul 1: Un pasage se deplasează pe platfoma unui ten cae la ândul său se mişcă faţă de Pământ. Dacă ne inteesează viteza pasageului faţă de Pământ vom putea scie, vectoial, că viteza pasageului faţă de Pământ (viteza absolută) este egală cu viteza pasageului faţă de ten (viteza elativă) plus viteza tenului faţă de Pământ (viteza de tanspot). Exemplul 2: În exemplul din Figua 52, mişcaea poate fi descisă în felul umăto: copul alunecă pe planul înclinat, cae la ândul său se deplasează spe stânga, faţă de Pământ. Vectoial, vom putea scie că: viteza copului faţă de Pământ (viteza absolută) este egală cu viteza copului faţă de planul înclinat (viteza elativă) însumată cu viteza planului înclinat faţă de Pământ (viteza de tanspot). Exemplul 3: Baca cu moto a unui bacagiu poate să se deplaseze cu viteza v 1 faţă de apă. Pesupunem că apa este un âu cae cuge cu viteza v faţă de Pământ. Viteza băcii faţă de Pământ (viteza absolută) o obţinem adunând vectoial viteza băcii faţă de apă (viteza elativă) cu viteza apei (viteza de tanspot). 65
dv d Acceleaţia mobilului: a =, deci ( v' + u) dv' a = = pentu că u este constant. dv' dv' ' dv' Însă = = = a' adică a = a'. ' ' Acceleaţia mobilului este identică în sistemele de efeinţă cae se mişcă ectiliniu şi unifom unul faţă de celălalt. Altfel spus, pentu obsevatoul din S şi obsevatoul din S (aflat în mişcae ectilinie şi unifomă faţă de S) aceleaşi foţe acţionează asupa punctului mateial ia fiecae din cei doi obsevatoi măsoaă exact aceeaşi acceleaţie. Dacă acceleaţia este nulă înt-un sistem de efeinţă, ea va fi nulă în toate sistemele de efeinţă cae se mişcă ectiliniu şi unifom faţă de acesta. Pincipiul elativităţii în mecanică: legile mecanicii sunt identice în toate sistemele de efeinţă ineţiale. BONUS: Ce acceleaţii măsoaă obsevatoii din S şi S dacă S se mişcă ectiliniu, unifom acceleat faţă de S, cu acceleaţia a 1. d doo' d ' Vom avea = OO' + ' ; v = = + = v 1 + v' unde singua difeenţă faţă de cazul studiat înainte este că v 1, viteza de tanspot, depinde de timp. dv d( v1 + v' ) dv1 dv' ' a = = = + = a1 + a', dacă = '. ' a este acceleaţia mobilului măsuată de obsevatoul din S: acceleaţia absolută a 1 este acceleaţia lui S faţă de S, măsuată tot de obsevatoul din S: acceleaţia de tanspot a ' este acceleaţia mobilului măsuată de obsevatoul din S : acceleaţia elativă. acceleaţia absolută = acceleaţia elativă + acceleaţia de tanspot: a = a' + a1 În sistemul de efeinţă S, pesupus fix, dacă epezentăm toate foţele cae acţionează asupa copului (geutate, tensiuni, fecăi, eacţiuni), din compuneea lo obţinem acceleaţia a F folosind fomula, a =. m 66
Ne cocoţăm în S (cae e acceleat cu a ' faţă de S) şi ne uităm la aceeaşi poblemă: Foţe mai multe nu avem de unde să adăugăm asupa copului studiat pentu că vedem aceeaşi: geutate, tensiuni, fecăi, eacţiuni ca şi obsevatoul din S. Cu toate F acestea, a ' a, mai pecis, din calcul, a' = a a1 = a1. Deci dacă studiem m mişcaea punctului mateial din sistemul de efeinţă neineţial (acceleat cu a 1 ), legea a doua a lui Newton nu mai este valabilă, pentu că acceleaţia pe cae o măsuăm, a ', nu este egală cu apotul dinte foţa F cae acţionează asupa punctului mateial şi masa acestuia. Nu am avut această poblemă când S se deplasa cu viteză constantă faţă de S. În acel caz, a ' = a. În sistemele de efeinţă neineţiale (cae se mişcă acceleat), pe lângă foţele aşa zise eale (geutate, tensiuni, foţe de fecae, eacţiuni,...), tebuie să adăugăm în ecuaţie o foţă fictivă egală cu masa copului înmulţită cu acceleaţia de tanspot (acceleaţia sistemului de efeinţă acceleat în cae ne-am ucat), şi de sens opus acelei acceleaţii: ma 1 în cazul nostu. F În S: a F ma =, În S : 1 a' = m m, adică a' = a a1, ceea ce am obţinut din calcul. Această foţă suplimentaă, cae apae doa când studiem mişcaea din sistemul de efeinţă neineţial (acceleat) se numeşte foţă de ineţie. Foţa de ineţie nu este un ezultat al veunei inteacţiuni, deci nu se supune pincipiului III al lui Newton. Vom eveni mai tâziu cu detalii, când vom studia compuneea vitezelo şi a acceleaţiilo pentu un caz mai geneal. Deocamdată, vom înceca ezolvaea poblemele în sisteme de efeinţă ineţiale (i.e. unde NU apa foţe de ineţie). Combinând măimile fizice cu cae am opeat până acum: viteză, acceleaţie, foţă, putem să constuim alte măimi fizice ale căo popietăţi sunt de mae impotanţă în mai toate amuile fizicii. Vom vobi în continuae despe impuls, moment cinetic, lucu mecanic, enegie. Teoemele pe cae le vom enunţa în continuae sunt valabile atât în mecanica clasică cât şi în cea elativistă, cu deosebiea că în mecanica clasică masa este consideată constantă ia în mecanica elativistă masa depinde de viteză. 67