C10 – Funcţii test 2D

Transcriere

1 Anxa : Funcţii tst D Considam lctonul aflat înt-o goapă cuantică d potnţial în pnţa unui dono poitiv. Considăm că mişcaa lctonului st ciculaă în planul (x, y). Acasta ipotă pmit alga factoului hidognoid din funcţia tst in ca mai simplă fomă: und: x y xy, xp xp () ntucat xy, (, ) () x y x y dpind d numai x si y functia tst simplificata () s numst functi tst D. n alitat, a simti cilindică xtinându-s d-a lungul axi. Cu dat d cuaţia () intgall i, i =..., pot fi calculat xplicit. n cl c umaă ilustăm acst calcul. ntgala dxdy () Exploatăm simtia ciculaă şi tansfomăm intgala din coodonat catin în coodonat pola: () d d d ntgala din cuaţia () poat fi fctuată pin păţi: b b dv b du u dx uv v dx a dx. Algând dx a a u şi dv d du avm şi d v. nlocuind în cuaţia () obţinm: d d (5)

2 sau (6) ntgala dxdy ntgala st nula doac conclui: nu dpind d şi ca uma x y. n (7) ntgala dxdy (8) Calculăm întai : x x x x x y d und: x x x x x x x x x x Simila s calculaă a doua divată a lui divat ultă: după dicţia y. Din adunaa clo două x x y y x y x y x y

3 Cu acst ultat şi aplicănd tansfomaa în coodonat pola, intgala s sci: d d Rultă: ntgala (8) Efctuăm substituţia: ' d ' ' d Limitl d intga s schimbă astfl: Rultă: ' ' ' ' ' ' ' d ' (9) ' S obsvă că limita infioaă pntu ' st ' şi nu '. Acasta st o obsvaţi impotantă. Modulul st pnt la limita ' ' întucât ' st o distanţă, '. ntgala (9) nu poat fi fctuată analitic. ntucât limita supioaă st infinit, tbui să fim pudnţi la valuaa numică a intgali. Est convnabil să o tansfomăm înt-o înt-o intgală dfinită p un domniu finit, ca poat fi calculată cu pcii. Folosind umătoaa substituţi: ' ' cosh d ' ' sinhd limitl dvin o şi infint:

4 ' cosh ' ' sinh () x ' sinhd ' sinhd Efctăm o nouă substituţi şi atunci când, şi când, avm. Având în vd că sinh () dvin: ca, în final, conduc la: ' d ' ' ' sinh şi intgala d () Cu acasta avm toat intgall pntu a sci aplicaţia numică. lustaa calculului numic Engia totala E a lctonului poat fi dtminată pntu oic valoa dvoltând divatl pin mtoda difnţlo finit şi aplicând mtoda tiului. Pntu simplificaa notaţiilo scim cuaţia (6) din C6: ( ) ( ) ( ) (7) Sciind divatl cu difnţ finit: ( ) ( ) ( ) (8a) cuaţia (7) dvin: ( ) ( ) ( ) ( ) (8b) (9)

5 ca st o cuaţi c poat fi olvată pin mtoda tiului cu condiţii standad p fontiă. Aspctul vaiaţional al calculului st dat d ncunoscuta. Acst paamtu va fi vaiat sistmatic în ida d a minimia ngia totală. Dduca pntată st indpndntă d alga, mtoda fiind aplicabilă pntu oic funcţi. D asmna, gnalitata mtodi st complctată d lipsa oicăi ipot asupa V() şi, ca uma, poat fi aplicată oicăi stuctui cuantic. Vom ilusta olvaa numică a poblmi atomului dono aflat int-o goapă d potntial, poblmă studiată în cusul 8 si cl pnt. Exmplul st dat pntu o goapă d potnţial Cd-xMnxT/CdT/Cd-xMnxT cu x =.. Paamtii aliajului CdT/Cd-xMnxT sunt: -Lăgima bnii intis: E x [V] -Saltul la intfaţă a bnii d conducţi: E.7E -Masa fctivă a lctonului: g m..67x m -Pmitivitata lctică lativă:.6 C g Vificaa calculului numic al intgallo - s6- st listingul aplicaţii MathCAD ca compaă soluţiil xact cu cl numic. Calculul ngii lctonului in functi d paamtul vaiational Ponim d la cutia (9) d mai sus: und am notat: ( ) (9) () 5

6 () m m ( ) ( ) V E () ntgall,, si au fost calculat mai sus.,, (a,b,c) d ( ) xp d d () nlocuind latiil (), (), () si (a,b,c) in (9) s obtin: p ( ) i i i n latia (5) s-au facut substitutiil: p (pasul d intga) si ( ) i. (5) () st dat d (). Ecuatia (5) poat fi olvata pin mtoda tiului in aplicatia MathCAD s-.pdf. Gomtia sistmului st dsnata mai jos. 6