Profesor dr. Ion PURCARU Conf. dr. Gabriela BEGANU Catedra de Mateatică Acadeia de Studii Econoice din Bucureşti În eoria colegului şi prietenului nostru OCTAVIAN C. BÂSCĂ (6.4.947 3. 6. 3) care dacă ar fi fost lăsat în pace ar fi putut să îplinească 6 de ani în 7. Unele Consideraţii Asupra Măsurării Diversităţii Soe considerations on the concentration and diversity easureent are presented in this paper. Key words: concentration diversity and optial structures.. Introducere Fie A un experient aleatoriu oarecare cu senificaţii econoice ecologice sociale sau de altă natură dintre cele ai diverse. Să presupune că acest experient efectuat de n ori ne conduce la rezultate distincte ( a ) care pot să apară cu frecvenţele absolute ( n ) n n n n sau cu frecvenţele relative ( n / n) care în anuite condiţii estiează repartiţia teoretică ( p) p p p a rezultatelor ( a ). Pentru un rezultat a oarecare probabilitatea p reprezintă un coeficient de abundenţă (cu senificaţie ai clară în studiul general al biodiversităţii). Ca o valoare edie a abundenţei sau ca un coeficient ediu de abundenţă poate fi considerat coeficientul de concentrare Gini (9) Sipson (949) Onicescu (966) având expresia:
Ion Purcaru Gabriela Beganu C( p) C( p p... p ) p (.) care ai poartă şi nuele de energie inforaţională Onicescu. Dacă în diverse problee practice coeficientul de concentrare C( p ) are diferite interpretări atunci pentru alte senificaţii practice interesante au fost introduşi coeficienţii de diversitate: D( p) C( p ) şi D ( p) (.) C( p) ca nişte ăsuri oarecu copleentare ale concentrării. În cele ce urează vo studia anuite proprietăţi ale acestor indici ai concentrării şi diversităţii introduşi pentru repartiţii unidiensionale siple (fără ponderea rezultatelor experientului ).. Unele proprietăţi ale ăsurilor concentrării şi diversităţii. Propoziţia. Repartiţia ( p ) care iniizează concentrarea C( p ) (şi axiizează diversitatea D( p )) nuai cu condiţia uniforă: p caz în care ave relaţiile: C( p) ; D( p) ; D( p) Deonstraţie. Consideră funcţia lui Lagrange: L( p ) C( p) ( p ) p este repartiţia (.) (.) şi analog pentru celelalte două ăsuri şi ave de rezolvat fără dificultăţi o probleă de extre cu legături cu soluţia iediată (.). Observaţie. Adeseori în practică din diverse otive condiţia de repartiţie copletă:
Unele consideraţii asupra ăsurării diversităţii p (.3) este înlocuită cu aceea de repartiţie incopletă: p p (.4) caz în care repartiţia optiă (.) are fora: p p (.5) Propoziţia. Repartiţia ( p ) care iniizează concentrarea C( p ) (şi axiizează diversitatea D( p )) cu condiţiile: este dată de relaţiile: ) p n ; ) pz Z (dat) (.6) p ( B AZ ) ( Z A) z B A (.7) pentru acele valori ale nuerelor ( z ) şi Z pentru care ( p ) unde: A z ; B z (.8) Deonstraţie. Considerând funcţia lui Lagrange: L( p a b) C( p) a( p ) b( p z z ) deduce iediat că: şi din ecuaţia L ' ' L p a bz rezultă:
Ion Purcaru Gabriela Beganu a b p z Ipunând condiţiile (.6) deduce expresiile finale (.7). De aseenea constată că diferenţiala de ordinul doi a funcţiei L în punctul de coponente (.7) este: d L( p) dp în care variabilele diferenţiale ( dp ) verifică şi condiţiile diferenţiale: dp zdp care rezultă din condiţiile (.6) şi deduce că dlp ( ) ceea ce înseană că soluţia (.7) iniizează concentrarea C( p ). Analog constată că aceeaşi soluţie (.7) axiizează diversităţile D( p ). Observaţie. Confor propoziţiei concentrarea iniă este: C B Z B A in (.9) şi cu întotdeauna C( p ) este strict pozitiv rezultă din (.9) o restricţie a alegerii lui Z cu nuerele ( z ) date şi anue: B Z sau Z z (.) ceea ce apare în od firesc şi din proprietăţile ediei. Consecinţe ale propoziţiei..dacă ( z) ( u ) (utilităţi) atunci Z U pu reprezintă o utilitate edie a rezultatelor experientului şi
Unele consideraţii asupra ăsurării diversităţii p ( B AU ) ( U A) u (.) B A unde A u şi B u..dacă ( z) ( a ) atunci Z pa este o valoare edie a rezultatelor experientului şi: p ( B AZ ) ( Z A) a B A (.) unde A a şi B a. În od analog fără a ai scrie repartiţiile particulare pute avea urătoarele situaţii: 4 3.Dacă ( z) ( a ) atunci Z pa A a şi B a cu senificaţiile corespunzătoare. 4.Dacă ( z) (( a a ) ) unde a pa atunci Z p( a a ) apare ca o dispersie dată. 5. Dacă ( z ) ( u a ) atunci Z pua apare ca o utilitate edie dată a rezultatelor experientului. 6. Dacă ( z) ( c ) atunci Z pc apare ca un cost sau ca un beneficiu ediu unitar dat. 7. Dacă ( z ) ( c u ) atunci Z pcu apare ca un cost sau ca un beneficiu ediu util unitar dat. 8. Dacă ( z ) ( c u a ) atunci Z pcu a apare ca un cost sau ca un beneficiu ediu util total. 9. Dacă ( z) ( r ) (risc unitar) atunci Z pr apare ca un risc ediu unitar.. Dacă ( z ) ( r u ) atunci Z pr u apare ca un risc ediu unitar util. Propoziţia 3. Repartiţia ( p ) care iniizează concentrarea C( p )(şi axiizează diversităţile D( p )) şi este copatibilă cu condiţiile:
Ion Purcaru Gabriela Beganu ) p ; ) p a M ; 3) p a M (.3) este dată de relaţiile: unde ( abc ) este soluţia sisteului a b c p a a (.4) a b a c a a a b a c a M 3 a a b a c a M 3 4 pentru acele nuere ( a ) M şi M pentru care ( p ). Deonstraţie. Ave de aseenea o probleă de extre cu legături pentru care pute considera funcţia lui Lagrange: L( p a b c) C( p) a( p ) b( p a M ) c( p a M ) în cazul concentrării şi analog pentru diversităţi obţinând în final soluţia optiă (.4). Observaţie. Repartiţia paraetrică (.4) depinde de doi paraetri M şi M iar condiţiile de sen ( p ) şi de a fi subunitare conduc în practică la soluţionarea unor sistee de inecuaţii liniare. Propoziţia 4. Dacă rezultatul a al experientului considerat se descopune în rezultatele incopatibile două câte două ( a ) j n astfel că fiecare rezultat nou are loc cu j probabilitatea p j n p p (.6) j j
Unele consideraţii asupra ăsurării diversităţii atunci rezultă că: C( p p... p ) C ( p )( p )...( p )) (.7) ) j j j D( p p... p ) D ( p )( p )...( p )) (.8) ) j j j pentru abele diversităţi. Deonstraţie. Afiraţia este iediată. Într-adevăr dacă n p p atunci j j n j j p p şi ca urare rezultă iediat cele două inegalităţi. Observaţie. O desfacere de fora: a a a... a a a j j (.9) n j j ar putea să însene spre exeplu: a) pentru ecosistee descopunerea unei specii în subspecii sau a unei failii în sub-failii; b) pentru sistee econoice descopunerea unui doeniu în subdoenii. Observaţie. Propoziţia 4 nu ai este valabilă atunci când înlocui o structură ( p p... p ) cu o altă structură ( q q... q n). Spre exeplu dacă p ( 3 ) atunci structurii ( p ) ave: 8 8 8 8 5 ) q ( 5 8 8 8) atunci C( q) C( p ) 3 7 ) q ( 8 8 8 8 8) atunci C( q) C( p ) 3 9 C( p ). Dacă în locul 3
Ion Purcaru Gabriela Beganu şi analog pute da şi alte exeple care să arate că atunci când se schibă o structură ( p ) cu o altă structură ( q ) nu pute păstra sau deduce o invarianţă a concentrării faţă de o astfel de transforare structurală. Observaţie. Fie acu structura: ( p) ( n n... n) n n n (.) care devine printr-o anuită transforare structura: ( q) ( n n... n n s) n s (.) Există cuva o relaţie între C( p ) şi Cq? ( ) Răspunsul este de aseenea negativ şi în acest caz. Spre exeplu: ) dacă p ( 3 4 3 ) devine q ( 3 4 4 ) atunci C( p) C( q ) ) dacă p ( 3 4 3 ) devine q ( 3 5 3 ) atunci C( p) C( q ) şi analog pute da alte exeple cu toate speciile odificate structural. Observaţie. Dacă structura p ( p p... p ) devine: q ( p p... p ; p... ) atunci pute spune ceva despre vreo legătură între C( p ) şi Cq? ( ) 3 5 4 Răspunsul este iarăşi negativ. Într-adevăr dacă p ( ) atunci 5 C( p ) şi spre exeplu 44 3 7 6 ) dacă q ( ) atunci C( q) C( p ) 44
Unele consideraţii asupra ăsurării diversităţii 5 4 3 ) dacă q ( ) atunci C( q) C( p ) 4 9 5 78 3) dacă q ( ) atunci C( q) C( p ) 48 48 48 34 ceea ce confiră absenţa unei legături între concentrarea unor astfel de structuri. Trebuie să rearcă că astfel de odificări apar în structura unor ecosistee dar şi în sistee econoice cu ar fi restructurarea portofoliilor. În od analog pute constata că nu există conexiuni între concentrarea şi dispersarea rezultatelor unui experient. 3. Concluzii. S-a pus ereu întrebarea dacă este necesar şi iportant studiul concentrării şi al diversităţii prin etode cantitative sau calitative. Lucrurile trebuie privite cu atenţie din ai ulte otive ai ales dacă ave în vedere sensibilitatea acestor concepte în general şi pentru anuite sistee sau experiente în particular. Chiar dacă rezultate ateatice aparent siple dar rearcabile au apărut abia în ultia sută de ani preocupări pe această teă au fost din totdeauna. În ciuda diferenţelor de opinii privind conceptul de diversitate şi ăsurile acestuia în problee econoice ecologice sociologice sau de studiul biodiversităţii există nueroase puncte de vedere tradiţionale asupra diversităţii. Dintr-un punct de vedre considerat conservator după opinia lui Gottfried Wilhel Leibniz (646 76) şi ale lui Ianuel Kant (74 84) diversitatea este o expresie sau un od de expriare a unităţii. Diversitatea unui siste accentuează adeseori integritatea şi funcţionarea întregului siste. Din acest punct de vedere diversitatea poate avea şi o valoare indirectă prin aceea că ea contribuie la diverse proprietăţi globale ale sisteului cu ar fi stabilitatea productivitatea sau elasticitatea la nivelul sisteului. Dintr-un punct de vedere liberal după René Descartes (596 65) John Loce (63 74) şi David Hue (7 776) diversitatea face posibilă libertatea alegerii de către indivizii care doresc să aleagă dintre diverse alternative. Din acest punct de vedere diversitatea alegerii unei alternative dintr-un set posibil are o valoare directă asupra indivizilor pentru a alege ceva pentru o satisfacţie axiă după anuite criterii.
Ion Purcaru Gabriela Beganu Ca urare problea ăsurării diversităţii speciilor în particular şi a diversităţii unor sistee în general este inti legată de problea necesităţii ăsurării diversităţii în sensul siplu la ce ne trebuie sau pentru ce este bine s-o cunoaşte? iar răspunsul acestei problee de necesitate depinde de sisteul studiat în toată generalitatea lui. BIBLIOGRAFIE [] Baugärtner S. (6) - Why the easureent of species diversity requires prior value judgents. Woring paper University of Heidelberg Gerany; [] Gini C. (9) Variabilita e utabilita. Studi Econoico Giuridici dela Facolta de Gurisprudenza dell'universita di Cagliari; [3] Guiaşu R.C. and Guiaşu S. (3) Entropy in Ecology and Ethology. Nova Science Publishers New Yor; [4] Maguran A.E. (988) Ecological Diversity and its Measureent. Princeton University Press; [5] McCann K.S. () The diversity stability debate. Nature 45 8 33; [6] Nehring K. and Puppe C. () A theory of diversity. Econoetrica 7 55 98; [7] Onicescu O. (966)- Energia inforaţională. Studii şi Cercetări Mateatice 8 49 4; [8] Pielou E.C. (975) Ecological Diversity. Wiley New Yor; [9] Purcaru I. (6) Distribuţii bidiensionale de axiă diversitate ponderată Guiaşu cu distribuţii arginale libere. Studii şi Cercetări de Calcul Econoic şi Cibernetică Econoică nr. pag. 87-9; [] Purcaru I. (6) Distribuţii bidiensionale de axiă diversitate ponderată Guiaşu cu distribuţii arginale fixate. Studii şi Cercetări de Calcul Econoic şi Cibernetică Econoică nr. pag. 43-5; [] Rao C.R. (98) Diversity and dissiilarity coefficients. A unified approach. Theoretical Population Biology pag. 4-43; [] Sipson E.H. (949)- Measureent of diversity. Nature 63 688; [3] Weiard H.P. () Diversity functions and the value of biodiversity. Land Econoics 78 pag. -7; [4] Weitzan M. (99)- On diversity. Quarterly Journal of Econoics 7 363-45.