Geometrie Afină 1 Anii I Matematică şi Matematică-Informatică Conf. Dr. PINTEA Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, Romania 1 Aceste note de seminar nu sunt în formă finală. Ele fac obiectul îmbunătăţirii continue
Cuprins
. Problema 1.1 Să se arate că două varietăţi liniare A şi B, finit dimensionale şi de aceeaşi dimensiune, ale unui spaţiu vectorial V sunt paralele dacă şi numai dacă D(A) = D(B). Problema 1.2 In R 4 considerăm următoarele varietăţi liniare (L 1 ) { x1 + x 3 2 = 0 2x 1 x 2 + x 3 + 3x 4 1 = 0 (L 2 ) x 1 + x 2 + 2x 3 3x 4 = 1 x 2 + x 3 3x 4 = 1 x 1 x 2 + 3x 4 = 3
1. Să se determine dimensiunile lui L 1 şi L 2 şi să se scrie ecuaţiile lor paramertice şi vectoriale. 2. Să se arate că L 1 L 2. Soluţie. Problema se reduce la rezolvarea celor două sisteme. Soluţia, şi ecuaţiile parametrice ale primului sistem sunt: x 1 = 2 s x 2 = 3 s + 3t x 3 = s x 4 = t, s, t R. Pentru matricea extinsă a celui de-al doilea sistem avem succesiv: 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 1 1 3 1 0 1 1 3 1 1 1 0 3 3 0 2 2 6 2
1 1 2 3 0 1 1 3 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 3 0 0 0 0 2 1 0. Aşadar soluţia şi ecuaţiile parametrice ale celui de-al doilea sistem sunt: x 1 = 2 s x 2 = 1 s + 3t x 3 = s x 4 = t, s, t R. Prin urmare, reprezentările vectoriale ale celor două varietăţi sunt: L 1 = {(2 s, 3 s + 3t, s, t) : s, t R} = (2, 3, 0, 0) + {s( 1, 1, 1, 0) + t(0, 3, 0, 1) : s, t R} = (2, 3, 0, 0) + ( 1, 1, 1, 0), (0, 3, 0, 1).
Analog, L 2 = (2, 1, 0, 0) + ( 1, 1, 1, 0), (0, 3, 0, 1)., adică L 1 L 2. Problema 1.3 În spaţiul afin R n (n 2) se dau dreapta = (a 1,..., a n ) + (p 1,..., p n ), (p + 1 + p2 n > 0) şi hiperplanul H : α 1 x 1 + + α n x n + β = 0, (α 2 1 + + α2 n > 0). Să se arate că H dacă şi numai dacă α 1 p 1 + + α n p n = 0. Soluţie. Mai întâi observăm că H este un hiperplan (afin), adică o varietate liniară (n 1)-dimensională. Într-adevăr H = f 1 ( β), unde f : R n R este funcţionala liniară şi nenulă dată prin f (x 1,..., x n ) = α 1 x 1 + + α n x n. Aşadar H este o varietate liniară, care este nevidă întrucât f este surjectivă, şi D(H) = ker f = {(x 1,..., x n ) R n : α 1 x 1 + +α n x n = 0}.
Mai mult, dim(r n )=dim(ker f )+dim(imf )=dim(ker f )+1, adică dim H = dim D(H) = dim(ker f ) = n 1. Întrucât n 2, paralelismul dintre D şi H revine la D( ) D(H) (p 1,..., p n ) D(H) α 1 p 1 + + α n p n = 0. Problema 1.4 În spaţiul vectorial V (dim V > 4) se dau trei puncte distincte a, b, c şi un plan α = a + d 1, d 2. Să se determine o varietate liniară A al lui V, de dimensiune cel mult 4, care conţine punctele a, b, c şi este paralel cu α.
Problema 1.5 Să se arate că pentru orice submulţimi M şi N ale spaţiului vectorial V are loc relaţia af (af(m) af(m)) = af(m N). (1.1) Soluţie. Deoarece M N af(m) af(m) şi M, N af(m N), rezultă că af(m N) af (af(m) af(m)) (1.2) şi af(m), af(m) af(m N). Aşadar af(m) af(m) af(m N) şi deci af (af(m) af(m)) af (af(m N)) = af(m N). (1.3) Folosind incluziunile (1.2) şi (1.3) deducem egalitatea (1.1).
Problema 1.6 Se consideră în R 5 vectorii a = (1, 0, 0, 2, 0), b = (0, 2, 0, 0, 1), c = (1, 2, 0, 0, 0) şi d = (0, 0, 0, 2, 1) şi varietăţile liniare A = a + b, c, B = c + b, d. Să se afle A B şi af(a B). Soluţie. Observăm că a + b = (1, 2, 0, 2, 1) = c + d, adică a = c + ( b) + d c + b, d = B, şi deci a A B. Prin urmare A B = a + D(A) D(B) = a + b, c b, d a + b. The latter inclusion is actually equality as the vectors b, c, d are linearly independent. Indeed rang 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 = 3. Thus A B = a + b. Moreover af(a B) = a + D(A) + D(B) = a + b, c + b, d = a + b, c, d.
Galbură Gh., Radó, F., Geometrie, Editura didactică şi pedagogică-bucureşti, 1979. Radó, F., Orban, B., Groze, V., Vasiu, A., Culegere de Probleme de Geometrie, Lit. Univ. "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1979.