Facultatea de Matematică Teoria Probabilităților, Semestrul IV Lector dr Lucian MATICIUC Seminarul 6 II1 Să considerăm experiența care constă în aruncarea a două zaruri Fie X va ale cărei valori reprezintă numărul maxim de puncte apărute pe cele două fețe Să se scrie tabloul de repartiție funcția de repartiție Să se determine media dispersia va X Vom lucra pe spațiul de probabilitate (Ω, P (Ω, P, unde Ω = {ω = (i, j : i, j {1,,, 6} } P ({ω} = P ({(i, j} = 1/36 (evenimentele elementare sunt echiprobabile Atunci va Ω R este definită de X(ω = max (i, j, pentru orice ω = (i, j Ω Deci șamd ( 1 3 4 5 6 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 P (X = 1 = P ({ (1, 1 } = 1/36, P (X = = P ({ (1,, (, 1, (, } = 3/36, Obținem 1 E (X = 6 k k 1 k=1 36 Apoi E ( X = 6 k=1 k k 1 36 Dispersia este, P (X = 3 = P ({ (1, 3, (, 3, (3, 3, (3, 1, (3, } = 5/36 = 1 6 18 k=1 k 1 6 36 k = 161 k=1 36 = 1 18 6 k=1 k3 1 36 D (X = E ( X (E (X = 791 36 6 k=1 k = 791 36 ( 161 = 555 36 196 II Dintr-o urnă se extrage o bilă albă cu probabilitatea p Se fac două extrageri punându-se bila înapoi după extragere Fie X, Y va ce reprezintă numărul de bile albe obținute la prima extragere, respectiv la a doua extragere Să se scrie tabloul de repartiție al va X, Y, X + Y, XY apoi X, X 3, 5X, X Să se determine media dispersia va obținute Avem că ( q p (, Y : q p, unde q = 1 p, adică X, Y sunt două va de tip Bernoulli, mai precis, X, Y Bernoulli (p 1 Sunt utile formulele: n k=1 k = n(n+1, n k=1 k = n(n+1(n+1 6, n k=1 k3 = ( n(n+1, oricare ar fi n N 1
Deci Similar În final X + Y : ( ( 0 + 0 0 + 1 1 + + 1 q pq pq p = q pq p, P (X + Y = 0 = P (X = 0, Y = 0 = P (X = 0 P (Y = 0 = q, P (X + Y = 1 = P ({X = 0, Y = 1} {X = 1, Y = 0} = P (X = 0 P (Y = 1 + P (X = 1 P (Y = 0 = pq + pq = pq, P (X + Y = = P (X = 1, Y = 1 = P (X = 1 P (Y = 1 = p X Y : ( 0 0 0 1 1 1 q pq pq p ( = q + pq p P (XY = 0 = P ({X = 0, Y = 0} {X = 0, Y = 1} {X = 1, Y = 0} = P (X = 0 P (Y = 0 + P (X = 0 P (Y = 1 + P (X = 1 P (Y = 0 = q + pq, P (XY = 1 = P (X = 1, Y = 1 = P (X = 1 P (Y = 1 = p Valoarea medie este ( ( X 0 1 = X = q p q p P ( X = 0 = P (X = 0 = q, P ( X = 1 = P (X = 1 = p E (X = E (Y = 0 q + 1 p = p, iar E (X + Y = 0 q + 1 pq + p = p (p + q = p Apoi obținem E (X Y = 0 (q + pq + 1 p = p iar E ( X = 0 q + 1 p = p II3 Fie X o va de tip Bernoulli cu parametrul 1/3 Fie Y = 1 X Să se scrie tabloul de repartiție al va Y să se calculeze D (Y Dacă X Bernoulli (1/3, atunci ceea ce înseamnă că Y Bernoulli (/3 Dispersia este D (Y = 1 /3 1/3 = /9 P (Y = 1 = P (X = 0 = /3, P (Y = 0 = P (X = 1 = 1/3, II4 Fie X o va discretă dată de: P (X = 1 = 1/8, P (X = 0 = 1/4, P (X = 1 = a Să se determine a astfel încât X să fie o va Să se determine tipul de distribuție al va Y = X Z = X Să se calculeze dispersia deviația standard a va 1 X Să calculăm P (Y = 1 = P ({X = 1} {X = 1} = P (X = 1 + P (X = 1 = 3/4 P (Y = 0 = P (X = 0 = 1/4, ceea ce înseamnă că Y Bernoulli (3/4 Similar se obține Z Bernoulli (3/4 Prin urmare, am obținut două va cu acela tablou de repartiție, adică identic distribuite Dar, evident, cele două va nu sunt independente,,
II5 Se dau trei urne Prima conține o bilă albă una neagră, a doua conține două bile albe șapte negre iar a treia conține o bilă albă trei negre Din fiecare urnă se extrage câte o bilă Se cere media dispersia va care are drept valori numărul de bile albe apărute în cele trei extrageri Va X i desemnează numărul de bile albe obținute la extragerea din urna i = 1, 3 au tablourile ( ( ( X 1 :, X 1/ 1/ :, X 7/9 /9 3 : 3/4 1/4 Mediile sunt iar dispersiile E (X 1 = 1/, E (X = /9, E (X 3 = 1/4 D (X 1 = 1 1/ (1/ = 1/4, D (X = 1 /9 (/9 = 14/81, D (X 3 = 1 1/4 (1/4 = 3/16 Atunci numărul total de bile albe apărute în cele trei extrageri definește va X = X 1 + X + X 3 Obținem E (X = E (X 1 + E (X + E (X 3 = 1/ + /9 + 1/4 = 35/36, X 1, X X 3 sunt independente, D (X = D (X 1 + D (X + D (X 3 = 1/4 + 14/81 + 3/16 = 061 II6 Se dau trei urne Prima conține o bilă albă una neagră, a doua conține două bile albe șapte negre iar a treia conține o bilă albă trei negre Din prima urnă se extrage o bilă se introduce în cea de a doua urnă Apoi se extrage o bilă din a doua urnă se introduce în cea de a treia La sfârt se extrage o bilă din a treia urnă Se cere media dispersia va care are drept valori numărul de bile albe apărute în cele trei extrageri Va X i desemnează numărul de bile albe obținute la extragerea din urna i = 1, 3 Va X 1, X X 3 nu sunt independente Numărul total de bile albe apărute în cele trei extrageri definește va X = X 1 + X + X 3 Tabloul va X 1 este X 1 : ( 1/ 1/ Pentru a determina X folosim formula probabilității totale Atunci X : ( 3/4 1/4 P (X = 0 = P (X 1 = 0 P (X = 0 X 1 = 0 + P (X 1 = 1 P (X = 0 X 1 = 1 = 1 P (X = 1 = P (X 1 = 0 P (X = 1 X 1 = 0 + P (X 1 = 1 P (X = 1 X 1 = 1 = 1 Similar, X 3 : ( 3/4 1/4 8 10 + 1 7 10 = 3 4 10 + 1 3 10 = 1 4 P (X 3 = 0 = P (X = 0 P (X 3 = 0 X = 0 + P (X = 1 P (X 3 = 0 X = 1 = 3 4 4 5 + 1 4 3 5 = 3 4 P (X 3 = 1 = P (X = 0 P (X 3 = 1 X = 0 + P (X = 1 P (X 3 = 1 X = 1 = 3 4 1 5 + 1 4 5 = 1 4 3
Media este E (X = E (X 1 + E (X + E (X 3 = 1/ + 1/4 + 1/4 = 1 Pentru dispersie determinăm mai întâi tabloul ( 3 8/5 1/5/5 3/50 P (X = 0 = P (X 1 = 0, X = 0, X 3 = 0 = P (X 1 = 0 P (X = 0 X 1 = 0 P (X 3 = 0 X 1 = 0, X = 0 = 1 8 10 4 5 = 8 5 P (X = 1 = P({X 1 = 1, X = X 3 = 0} {X 1 = X 3 = 0, X = 1} {X 1 = X = 0, X 3 = 1} = P (X 1 = 1 P (X = 0 X 1 = 1 P (X 3 = 0 X 1 = 1, X = 0 + P (X 1 = 0 P (X = 1 X 1 = 0 P (X 3 = 0 X 1 = 0, X = 1 + P (X 1 = 0 P (X = 0 X 1 = 0 P (X 3 = 1 X 1 = 0, X = 0 = 1 7 10 4 5 + 1 10 3 5 + 1 8 10 1 5 = 1 50 P (X = = P({X 1 = X = 1, X 3 = 0} {X 1 = X 3 = 1, X = 0} {X = X 3 = 1, X 1 = 0} = P (X 1 = 1 P (X = 1 X 1 = 1 P (X 3 = 0 X 1 = 1, X = 1 + P (X 1 = 1 P (X = 0 X 1 = 1 P (X 3 = 1 X 1 = 1, X = 0 + P (X 1 = 0 P (X = 1 X 1 = 0 P (X 3 = 1 X 1 = 0, X = 1 = 1 3 10 3 5 + 1 7 10 1 5 + 1 10 5 = 1 5 P (X = 3 = P (X 1 = 1, X = 1, X 3 = 1 = P (X 1 = 1 P (X = 1 X 1 = 1 P (X 3 = 1 X 1 = 1, X = 1 = 1 3 10 5 = 3 50 II7 Fie va (X i i=1,n, independente care urmează aceea distribuție, cu tablourile date de X i : ( 1/4 1/ 1/4, i = 1, n Fie S n = X 1 + + X n, unde n N Să se determine E (S n D (S n Media este E (X i = 0 1/4 + 1 1/ + 1/4 = 1 iar E ( Xi = 0 1/4 + 1 1/ + 1/4 = 3/, deci D (X i = 3/ 1 = 1/ Media este E (S n = n i=1 E (X i = n, va X i sunt independente, dispersia este D (S n = n i=1 D (X i = n/ II8 Va X desemnează numărul de produse cumpărate de cineva dintr-un magazin Știm că P (0 X 1 = 8/1, P (1 X = 7/1, P (0 X < 3 = 10/1, P (X = 3 = P (X = 4 Dacă va (X i i=1,n sunt independente urmează aceea distribuție atunci vom scrie prescurtat că va (X i i=1,n sunt iid (independente identic distribuite 4
(a Să se determine tabloul de repartiție al va X X ( X ( (b Să se calculeze media E dispersia D (3X 1 3X (c Să se determine funcția de repartiție F X Avem P (0 X 1 = P (X = 0 + P (X = 1 = 8/1 P (1 X = P (X = 1 + P (X = = 7/1 P (0 X < 3 = P (X = 0 + P (X = 1 + P (X = = 10/1 Obținem P (X = 0 = 3/1, P (X = 1 = 5/1, P (X = = /1 Apoi 1 = k=0 P (X = k = P (X = 0 + P (X = 1 + P (X = + P (X = 3 + P (X = 4 = 3 1 + 5 1 + + P (X = 3, 1 deci P (X = 3 = P (X = 4 = 1/1 II9 Va X desemnează numărul de produse cumpărate de cineva dintr-un magazin Știm că P (0 X 1 = 8/1, P (1 X = 7/1, P (0 X < 3 = 10/1, P (X = 3 = P (X 4 (a Să se scrie tabloul de repartiție al va X X ( X (b Să se scrie funcția de repartiție F X II10 Fie X o va discretă dată de ( 3 1 a 5/3 b 5/16 c 1/3 Se știe că E (X = 1/ că D (X = 5/4 Să se determine a, b, c să se calculeze D (3 X Deoarece k= 3 P (X = k = 1, E (X = 1/ E ( X = D (X + (E (X = 5/4 + 1/4 = 3/, obținem a + 5 3 + b + 5 16 + c + 1 3 = 1 5 3a 3 b + 0 5 16 + c + 1 3 = 1 ( 3 a + ( 5 3 + ( 1 b + 0 5 16 + c + 1 3 = 3 sau echivalent a + b + c = 1 3a b + c = 1 4 9a + b + c = 3 4 Obținem a = 1/3, b = 5/16, c = 5/3 Să calculăm D (3 X = E (3 X (E (3 X = 9 1E (X + 4E ( X 9 + 1E (X 4 (E (X = 4 D (X = 5 5
1 + a, x < 0, b, x [0,, II11 Fie funcția F : R R dată de F (x = c + b, x [, 3, d, x 3 (a Să se precizeze restricțiile pentru a, b, c, d astfel încât F să fie o funcție de repartiție (b Să se determine a, b, c, d dacă se știe că P (X 5 = 045 P( 1 X 15 = 050 (c Să se determine să se justifice tabloul de repartiție al va X astfel încât F să fie funcția ei de repartiție Din proprietățile funcției de repartiție obținem a = 1, d = 1 b c În plus trebuie să impunem ca b, c + b [0, 1] Avem 045 = P (X 5 = 1 P (X < 5 = 1 F (5 0 = 1 c b 050 = P ( 1 X 15 = F (15 F ( 1 0 = b 1 a = b Obținem b = 05 c = 030 Determinăm acum P (X = 0 = F (0 F (0 0 = 050, P (X = = F ( F ( 0 = 005, P (X = 3 = F (3 F (3 0 = 045 Evident, P (X = α = 0, pentru orice α 0,, 3 iar tabloul va X este dat de ( 0 3 050 005 045 6