PowerPoint Presentation

Transcriere

1 Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL WebPage:

2 Determinarea distribuţiei de sarcină electrică Calculul intensităţii câmpurilor electromagnetice

3 Să se calculeze valoarea derivatei funcției f(x) pe intervalul [5, 0]: Pasul. Se definesc capetele domeniului de derivare și numărul puntelor intermediare în care se dorește determinarea valorii numerice a derivatelor funcției f(x): Pasul 2. Se determină pasul de discretizare h (distanța dintre două puncte intermediare de calcul consecutive): Pasul 3. Se definesc punctele de discretizare x i (punctele de calcul ale valorii derivatelor):

4 Pasul 4. Se definește setul de puncte pentru care se poate aplica formula de calcul a derivatelor obținută pe baza polinomului de interpolare de ordinul I: Pasul 5. Se calculează valoarea derivatei funcției f(x) pentru fiecare punct intermediar x j : Pasul 6. Pentru a calcula valoarea derivatei și în punctul x 0 (punct în care nu se poate aplica direct formula de calcul) se consideră un pas de discretizare negativ, h = -h: Pasul 7. Se vizualizează rezultatele numerice obținute în urma aplicării formulei de calcul a valorii derivatei rezultată pe baza polinomului de interpolare de ordinul I:

5 Aplicatie Enuntul aplicatiei Pasul Se introduc datele initiale : vectorul deplasare si vectorul lucru mecanic X 4 deplasarea L Pasul 2 Se definesc limitele intervalului, numarul de puncte si pasul de discretizare a 0 b 8 8 j b a h h h j

6 20 F' Pasul 3 Se definesc expresiile derivatele Fj si Fo ( se executa acelasi artificiu de calcul h =-h) 0 L L j j L L F' 0 i 0 j h F' 0 h M Pasul0 4 Pentru a vedea cum variaza forta, F aplicam o interpolare liniara : lspline ( XF' ) Fortz( z) interp ( MX F' z) X

7 Să se calculeze valoarea derivatei funcției f(x) f( x) e x sin ( x) x 6 5x 3 2x 8 Pasul Se definesc capetele domeniului de derivare și numărul puntelor intermediare în care se dorește determinarea valorii numerice a derivatelor funcției f(x): a 5 b 0 0 Pasul 2 Se definește pasul de discretizare : b a h h 0.5 Pasul 3 Se definesc punctele de discretizare xi : i 0 x a hi i

8 Pasul 4 Se calculeaza valoarea derivatei pentru fiecare punct intermediar Pasul 5 Pentru ultimele doua puncte pentru care nu se poate aplica formula se face acelasi artificiu de calcul : j2 D2 j2 2h 3 fx j2 4fx j2 f x j22 Pasul 6 Calculam eraorea metodei. Se compra Err cu Err2 Err2 i F x i F x i D2 i

9 Pasul 6 Evaluarea derivatei in cazul in care se folosesc valorile functiei intre doi vecini vecin-valoare-vecin : k D3 f x k k Pasul 7 Se calculeaza eroare metodei : Err3 k D3 k F x k F x k 2h f x k Pasul 8 Se compara erorilor celor trei metode prezentate anterior si se reprezinta grafic Dj, D2j, D3k pe acelasi grafic cu F(z). Concluzii Err Err3.573 % Err Err % Err 0.63 Err %

10 Se aplica pt punctele din mjiloc, fara capete. Pasul Se definesc punctele de discretizare : k Pasul 2 Se defineste derivata a doua a functiei : F'' f x k h 2 k G( z) 2fx k f x k Pasul 3 Se apeleaza operatorul de derivare de ordin 2 din tabela Calculus : 2 d f( z) 2 dz Pasul 4 Din tabela Symbolic se apleaza Symbolic Evaluation pentru calculul derivatei de ordin 2 si eroarea metodei : G( z) e z 30z sin ( z) 30 z 4 Err Err % k F'' k G x k G x k

11 2 Se introduce funcția f(x,y): f x, y: 2sin xcosy 2 Se introduc valorile de capăt (punctele finale) pentru x și y: x : 2 x : 2 y : 4 y : max 4 min max Se introduc numărul valorilor lui x și y în șir: : 20 : 20 min i : 0.. j : 0.. x y x y xind i x x max min : xmin i x yind i y y max min : ymin i y Gradientul funcției va fi: grad( x, d y) : dx d dy f f ( x, ( x, y) y)

12 Se stochează într-o matrice valorile gradientului în punctele de calcul ale funcției: Vi, j : grad( xind i, yind j ) M i, j : ( Vi, j ) 0 i, j : ( Vi, j ) F : f ( xind i, j i j, yind ) (câmpul vectorial) (reprezentarea grafică pe suprafață)

13 Metode umerice de Integrare a Funcțiilor date umeric As. Dr.Ing. Levente CZUMBIL