Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o mulţime cu n elemente. Formula de calcul n! este P (n, r) = = n (n )... (n r + ) (n r)! C(n, r) este numărul de submulţimi cu r elemente al unei mulţimi cu n elemente. n! Formula de calcul este C(n, r) = r!(n r)! În total, o mulţime cu n elemente are n submulţimi. Exerciţii rezolvate. Fie L mulţimea literelor {A, B, C, D, E}. (a) Câte şiruri de 7 litere din L există? (b) Câte şiruri de 9 litere din L conţin A de exact ori si B de exact 3 ori? (c) Câte şiruri de litere din L conţin A de cel puţin ori şi B de cel puţin ori? Răspuns: Mai întâi, observăm că L are litere. (a) _: cele 7 poziţii trebuiesc completate cu litere din L: Fiecare poziţie poate fi completată în feluri. Conform regulii produsului, avem 7 posibilităţi de a construi şirul de 7 litere 7 şiruri.
(b) _: cele 9 poziţii trebuiesc completate cu din 9 poziţii cu A C(9, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat 7 poziţii din 7 poziţii cu B C(7, ) posibilităţi, şi mai rămân de completat poziţii cu litere diferite de A, B poziţii rămase cu litere din {C, D, E} 3 posibilităţi (conform regulii produsului) Conform regulii produsului, avem un total de C(9, ) C(7, ) 3 posibilităţi C(9, ) C(7, ) 3 şiruri. (c) Mai întâi, identificăm toate cazurile distincte posibile: A de ori, B de ori C(, ) C(, ) 3 posibilităţi A de ori, B de 3 ori C(, ) C(, 3) 3 posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi A de 3 ori, B de ori C(, 3) C(3, ) 3 posibilităţi A de 3 ori, B de 3 ori C(, 3) C(3, 3) posibilităţi A de ori, B de ori C(, ) C(, ) posibilităţi Conform regulii sumei, numărul total de astfel de şiruri este C(, ) C(, ) 3 + C(, ) C(, 3) 3 + C(, ) C(, )+ C(, 3) C(3, ) 3 + C(, 3) C(3, 3) + C(, ) C(, ). Fie M = {,, 3,, A, B, C, D, E, F, G}. (a) Câte submulţimi ale lui M conţin cifre şi 3 litere? (b) Câte submulţimi ale lui M conţin litera A sau cifra? Răspuns (a) Numărăm în câte feluri putem construi o mulţime de forma X Y unde X {,, 3, } are cifre, şi Y {A, B, C, D, E, F, G} are 3 litere. Pentru X avem de ales din cifre C(, ) posibilităţi. Pentru Y avem de ales 3 din 7 litere C(7, 3) posibilităţi. În total, sunt C(, ) C(7, 3) de astfel de submulţimi.
(b) Această problemă se rezolvă cu principiul incluziunii şi excluziunii. Numărul căutat este N + N N 3 unde N este numărul submulţimilor care conţin A; Orice astfel de submulţime este {A} X unde X {,, 3,, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N este numărul submulţimilor care conţin ; Orice astfel de submulţime este {} X unde X {,, 3, A, B, C, D, E, F, G}, deci N = 0. N 3 este numărul submulţimilor care conţin A şi ; Orice astfel de submulţime este {A, } X unde X {,, 3, B, C, D, E, F, G}, deci N = 9. numărul căutat este 0 + 0 9 = 3 9 = 3. 3. Să se rezolve ecuaţia P (n, ) =. Rezolvare: P (n, ) = n (n ), deci avem de rezolvat n(n ) = n n = 0 n = ± + = ± = ± Rezultă că n = 8 sau n = 7. Deoarece, din punct de vedere combinatorial, n nu trebuie să fie negativ, rezultă că n = 8.. Să se rezolve ecuaţia C(n, ) = P (n, 3). Rezolvare: Avem de rezolvat ecuaţia n(n ) = n(n )(n ) n(n ) n(n )(n ) = 0 n(n )(3 n) = 0 n = 0 sau n = sau n = 3.. Câte numere cuprinse între 0 şi 88 inclusiv (a) Sunt divizibile cu sau 7? (b) Sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7? (c) Nu sunt divizibile nici cu nici cu 7? Răspuns: Această problemă se rezolvă aplicând principiul incluziunii şi excluziunii. Fie M = {n 0 n 88}, A = {n M n este divizibil cu }, B = {n M n este divizibil cu 7}, şi C = {n M n este divizibil cu şi cu 7, adică cu 3}. 3
Deasemenea, fie N numărul elementelor lui M divizibile cu sau 7, N numărul celor divizibile cu dar nu cu 7, şi N 3 numărul celor care nu sunt divizibile nici cu nici cu 7. Avem de calculat N, N şi N 3. N = C A C B M N = A C N 3 = M ( A + B C ) Ar trebui să ştiţi că dacă L R atunci Mulţimea {n L n R} are R L + elemente. Deci M = 88 0 + = 79. Dacă p > 0 atunci mulţimea multiplilor lui p cuprinşi între L şi R este dacă L/p > R/p, şi {p d L/p d R/p } în caz contrar. Deci, numărul multiplilor de p din mulţimea {n L n R} este max(0, R/p L/p + ) În particular, A = 88/ 0/ + = 37 + = 3, B = 88/7 0/7 + = 3 + = 3, C = 88/3 0/3 + = + =. Deci răspunsurile sunt: (a) N = C = (b) N = A C = 3 = 37 (c) N 3 = M ( A + B C ) = 79 (3 + 3 ) = 9. Fie n > 0. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente? Răspuns: Trebuie să numărăm în câte feluri putem defini o funcţie surjectivă f : A B când A = n + şi B = n. Se observă că f este surjectivă dacă şi numai dacă Două elemente diferite a, a A sunt mapate la acelaşi element b B. Elementele din a A \ {a, a } sunt mapate la elemente diferite din B \ {b}.
Deci pentru a defini funcţia surjectivă f trebuie să alegem: Două elemente diferite a, a A. Sunt C(n +, ) posibilităţi (fiindcă A are n + elemente). Un element b B pentru care f(a ) = f(a ) = b. Sunt n posibilităţi. Pentru fiecare a A {a, a } (care are n elemente) un element diferit din A {a} (care are n elemente). Sunt (n )! posibilităţi. Conform regulii produsului, în total există C(n +, ) n (n )! = C(n +, ) n! = (n + )! n 7. Denis are mărgele roşii şi 8 mărgele verzi. În câte feluri poate înşira Denis cele mărgele pe o aţă dacă prima mărgea din şirag trebuie să fie roşie, şi este permis să se pună cel mult o mărgea verde între două mărgele roşii? R????????????? 3 7 8 9 0 3 Sugestie: aplicaţi regula produsului numărând câte posibilităţi aveţi pentru plasarea următoarei mărgele roşii în raport cu mărgeaua roşie precedentă. Rezolvare: Întrucăt la poziţia p = este mărgea roşie, trebuie să numărăm în câte feluri putem alege poziţiile celorlalte mărgele roşii din mulţimea {, 3,,,, 7, 8, 9, 0,,, 3, }. Fie p < p 3 < p < p < p poziţiile acestor mărgele. Deoarece putem avea cel mult o mărgea verde între mărgele roşii, rezultă că p {p +, p + } = {, 3}, deci avem valori posibile pentru p p 3 {p +, p + } {3,, }, deci avem valori posibile pentru p 3 p {p 3 +, p 3 + } {,,, 7}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {,, 7, 8, 9}, deci avem valori posibile pentru p p {p, p + } {, 7, 8, 9, 0, }, deci avem valori posibile pentru p Conform regulii produsului, există = 3 posibilităţi de a alege poziţiile p, p + 3, p, p, p. Deci, Denis poate înşira mărgelele în 3 feluri.
Exerciţii propuse (Set ). Câte submulţimi cu număr par de elemente are o mulţime cu elemente?. Câte permutări are mulţimii {,, 3,, } au primul element mai mic decât al doilea element? 3. Câte submulţimi ale mulţimii {a, b, c, d,,, 3} conţin cel puţin o literă şi cel puţin o cifră?. Câte funcţii surjective există de la o mulţime cu n + elemente la o mulţime cu n elemente?. Fie M mulţimea numerelor cuprinse între 0 şi 73 inclusiv. (a) Câte elemente are mulţimea M? (b) Câte numere din M sunt divizibile cu sau 7? (c) Câte numere din M sunt divizibile cu dar nu sunt divizibile cu 7?. Un roboţel plasat în originea cu coordonatele (0,0) poate face doar două operaţii: să meargă unitate la dreapta, sau unitate în sus. În câte feluri se poate deplasa roboţelul din origine la punctul de coordonate (m, n) dacă m, n N? Observaţi că, în total, roboţelul trebuie să facă m + n operaţii. sus (0,0) dreapta 7. La o tombolă participă bărbaţi şi 0 femei şi se acordă 3 premii de 00 lei şi premii de 00 lei. Se ştie că o persoană poate câştiga cel mult un premiu. (a) (b) (c) În câte feluri se pot acorda cele premii? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că exact bărbaţi sunt câştigători? În câte feluri se pot acorda cele premii dacă se ştie că nici o femeie nu a câştigat un premiu de 00 lei?
Generarea şi ordonarea permutărilor Permutările unei mulţimi A = {,,..., n} se pot ordona lexicografic. De exemplu, ordonarea lexicografică a permutărilor mulţimii A = {,, 3} este Permutare:,, 3, 3,,, 3, 3, 3,, 3,, Rang: 0 3 Rangul unei permutări în ordonare lexicografică este poziţia permutării în enumerarea lexicografică. Prima permutare are rangul 0. În general, dacă A = {a, a,..., a n } cu a < a <... < a n atunci rangul permutării a p, a p,..., a pn a lui A este egal cu rangul permutării p, p,..., p n a mulţimii {,,..., n}. Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} atunci rang p, p,..., p n = (p ) (n )! + rang p,..., p n Dacă p, p,..., p n este permutare a mulţimii {,,..., n} cu rangul r atunci r p = p = + (n )! Exemple de calcul al rangului unei permutări în ordine lexicografică:. Rangul permutării,, 3,, a mulţimii {,, 3,, } este: rang,, 3,, = ( )! + rang, 3 3,, = 7 + rang, 3,, = 7 + ( ) ( )!+rang 3,, 3 = 7+rang,, 3 = 7+( ) (3 )!+rang, 3 = 7 + + rang, = 7+( ) ( )!+rang = 7+rang = 7+0 = 7.. Rangul permutării d, b, a, c a mulţimii A = { a, b, 3 c, d} cu a < b < c < d este: rang d, b, a, 3 c = rang,,, 3 = ( ) ( )!+rang,, 3 = 8+( ) (3 )!+rang, 3 = 8++rang, = 0+( ) ( )!+rang = 0+0 = 0. Exemple de calcul al unei permutări care are un rang dat: 7
. Ce permutare a lui {,, 3,, } are rangul 73? Trebuie calculată permutarea p, p, p 3, p, p lui {,, 3,, } astfel încât rang p, p, p 3, p, p = 73. q = 73! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p, p 3, p, p mulţimii {,, 3 3, } cu rangul 73 (q )! = 73 7 = q = 3! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p 3, p, p mulţimii {, 3, 3 } cu rangul (q ) 3! =! + = p3 = şi rămâne de calculat permutarea p, p mulţimii { 3, } cu rangul (q )! =! + = p = şi rămâne de calculat permutarea p mulţimii { 3} cu rangul (q )! = 0. Rezultă că p = 3. Deci permutarea lui,, 3,, cu rangul 73 este,,,, 3. Exemple de calcul al permutării care urmează după o permutare dată în ordine lexicografică:. Ce permutare urmează după permutarea,, 3, 8,,, 9, 7, 3 în ordine lexicografică? Răspuns: Mai întâi detectăm cel mai lung sufix descrescător al permutării: 9,7,3. Apoi permutăm elementul dinaintea sufixului (care este ) cu cel mai mic element din sufix care este mai mare decât (adică 7):,, 3, 8,,, 9, 7, 3,, 3, 8,, 7, 9,, 3 În final, inversăm ordinea elementelor din sufix, încât să apară în ordine crescătoare:,, 3, 8,, 7, 9,, 3,, 3, 8,, 7, 3,, 9. Ce permutare urmează după, 3,,, în ordine lexicografică? Răspuns:,, 3,, 8
3. Ce permutare urmează după,, 3,, în ordine lexicografică? Răspuns: nici una.. Ce permutare urmează după, 3,, 7,,, în ordine lexicografică? Răspuns:, 3,,,,, 7. Generarea şi ordonarea permutărilor cu repetiţie Reţineţi că O r-permutare cu repetiţie a unei mulţimi ordonate A = {A,..., A n } pentru care presupunem că A < A <... < A n, este A p, A p,..., A pr în care p,..., p r {,..., n} nu trebuie să fie distincte Există n r permutări cu repetiţie ale lui A = {A,..., A n }, iar acestea pot fi ordonate lexicografic. De exemplu, A = {a, b, c} are nouă -permutări cu repetiţie, iar ordonarea lor lexicografică este Permutare cu repetiţie: a, a a, b a, c b, a b, b b, c c, a c, b c, c Rang: 0 3 7 8 Rangul unei r-permutări cu repetiţie A p, A p,..., A pr a lui A = {A,..., A n } în ordine lexicografică este valoarea lui q q... q r în baza n, unde q i = p i pentru toţi i. Permutarea cu repetiţie a mulţimii A = {A,..., A n } care are rangul k este A q +, A q +,..., A qr+ unde (q q... q r ) n este reprezentarea lui k în baza n, folosind r cifre. Exemple. Care este rangul 3-permutării cu repetiţie b, a, a, d a mulţimii A = { 0 a, b, c, 3 d, e} în ordine lexicografică? Răspuns: rang b, a, a, d = 003 = 3 + 3 = 8. 9
. Care este -permutarea cu repetiţie a lui A = { 0 a, b, c, 3 d, e, f} cu rangul 3? Răspuns: A are elemente, deci trebuie să calculăm reprezentarea lui 9 în baza folosind r = cifre. 3 = + + 3 = 0 -permutarea cu repetiţie căutată este a, b, c, f. Generarea şi ordonarea combinărilor O combinare a unei mulţimi este o submulţime a unei mulţimi. Orice submulţime a unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } are o reprezentare unică ca şir de n biţi. Valoarea în baza a acestui şir se numeşte rangul binar al submulţimii respective: De exemplu, submulţimile lui A = {a, b, c} au rangurile binare indicate în tabelul de mai jos: Observaţi că: şir binar rang binar c b a submulţime 0 0 0 0 0 0 {a} 0 0 {b} 3 0 {a, b} 0 0 {c} 0 {a, c} 0 {b, c} 7 {a, b, c} Coloanele tabelului sunt enumerate în ordine descrescătoare, adică A n, A n,..., A, A. Un şir binar b n... b b reprezintă submulţimea {A i b i = }. Enumerarea submulţimilor lui A în ordine crescătoare a rangului binar se numeşte ordonare binară. Submulţimile unei mulţimi ordonate A = {A, A,..., A n } pot fi ordonate şi lexicografic. De exemplu, enumerarea lexicografică a submulţimilor lui A = {a, b, c} este, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {b}, {b, c}, {c}. 0
Submulţimea care urmează după {A p, A p,..., A pk } în ordine lexicografică se calculează astfel: Exerciţii. Dacă {A p, A p,..., A pk } = atunci submulţimea următoare este {A }.. Dacă {A p, A p,..., A pk } = {A n } atunci nu există submulţime următoare. 3. În caz contrar, dacă p k = n atunci submulţimea următoare este {A q, A q,..., A qk } unde q i = p i pentru i < k şi q k = p k +.. În caz contrar, submulţimea următoare este {A p, A p,..., A pk, A pk +}.. Să se calculeze rangul binar al submulţimii {b, c, e} al mulţimii {a, b, c, d, e, f}. Răspuns: Submulţime f e d c b a {a, c, e} 0 0 0 rangul binar al lui {a, c, e} este 000 = + + =.. Să se determine submulţimea lui {,, 3,, } cu rangul în ordonarea binară. Răspuns: = 3 + + reprezentarea lui în baza cu biţi este 00, deci 3 Submulţime 0 0 {,, } Submulţimea căutată este {,, }. 3. Să se determine submulţimile lui A = {a, b, c, d, e} care urmeză, în ordine lexicografică, după (a) (b) {a, b, e} (c) {b, c} Răspuns: (a) Submulţimea care urmează după este {A } = {a}. (b) {a, b, e} = {A, A, A } după ea urmează {A, A 3 } = {a, c}. (c) {b, c} = {A, A 3 } după ea urmează {A, A } = {b, d}.
Tehnici avansate de numărare Se urmăreşte Verificarea abilităţilor de găsire a unei relaţii de recurenţă pentru rezolvarea unor probleme concrete. Utilizarea corectă a tehnicilor de rezolvare a relaţiilor de recurenţă liniară omogenă şi neomogenă. Exerciţii rezolvate. Fie a n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? Răspuns: (a) Fie s n un şir de n biţi care nu conţine 000. Numărăm în câte feluri putem construi un astfel de şir. Dacă n = 0, s n poate fi doar şirul vid, care nu conţine 000. Deci a 0 =. Dacă n = atunci s n {0, } şi s n nu conţine 000 a =. Dacă n = atunci s n {00, 0, 0, } nu conţine 000 a =. Dacă n 3 atunci distingem următoarele cazuri distincte: C. s n = s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C. s n = 0s n. În acest caz s n nu trebuie să conţină 000 a n posibilităţi. C3. s n = 00s n 3. În acest caz s n 3 nu trebuie să conţină 000 a n 3 posibilităţi. Conform regulii sumei, pentru n 3 avem în total a n + a n + a n 3 posibilităţi de a construi un şir s n. Am dedus relaţia de recurenţă liniară: a 0 =, a =, a =, a n = a n + a n + a n 3 dacă n 3. (b) a 3 = a 0 + a + a = 7 a = a + a + a 3 = 3 a = a + a 3 + a = a = a 3 + a + a =
. Fie z n numărul de şiruri de n biţi care conţin trei zerouri consecutive. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru z n. (b) Să se calculeze valoarea lui z. Răspuns: (a) Fie s n un şir de lungime n, şi a n numărul de şiruri de lungime n care conţin 000. Observăm că: Există n astfel de şiruri s n. s n satisface exact una din urmatoarele condiţii: s n conţine 000, sau s n nu conţine 000. Rezultă că n = a n + z n. Din exerciţiul precedent ştim cun să calculăm a n pentru n 0. Deci z n = n a n unde a 0 =, a =, a = şi a n = a n + a n + a n 3 pentru n 3. (b) z = a = = 0. 3. Fie A n numărul de feluri în care poate fi achitată o sumă de n lei dacă aveţi la dispoziţie bancnote de leu, lei şi 0 lei (ordinea în care se plătesc bancnotele nu contează). De exemplu, A = deoarece lei pot fi achitaţi în feluri: ) 0LEI + LEU ) LEI + LEU 3) LEI + 7 LEU ) LEU (a) Să se deducă o formulă recursivă pentru calculul lui A n. (b) Folosiţi formula pe care aţi descoperit-o pentru a calcula A. Răspuns: (a) Fie S o mulţime de tipuri de bancnote posibile pentru a achita o sumă, adică S {,, 0}. Deasemenea, fie A S n în câte feluri se pot achita n lei folosind toate tipurile de bancnote din S şi doar acestea. De exemplu, A {,0} n reprezintă în câte feluri se pot achita n lei folosind cel puţin bancnotă de leu, cel puţin bancnotă de lei, şi doar bancnote de leu şi de lei. 3
{ Este evident că A {k} dacă n este multiplu de k, n = 0 în caz contrar. Conform regulii sumei, avem: A n = A {,,0} n + A n {,} + A n {,0} + A {,0} + A n {} + A n {} + A {0} n Dacă S are cel puţin elemente şi k S atunci { 0 dacă n < k, A S n = A S n k + AS {k} n k dacă n k. (b) A = A {,,0} + A {,} + A {,0} + A {,0} + A {} + A {} + A {0}. Deoarece nu este multiplu de şi nici de 0, A {} = A {0} = 0. Deasemenea, A {} = şi A {,0} = 0 deoarece < 0. Deci A = A {,,0} + A {,} + A {,0} +. A {,,0} = A {,,0} + A {,} = 0 + 0 = 0. A {,} = A {,} 7 + A {} 7 = A {,} 7 + = A {,} + A {} + = 0 + + = A {,0} = A {,0} + A {} = 0 + =. Rezultă că A = 0 + + + =.. Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a = 8, a = 7, a n = a n a n dacă n 3. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a relaţiei de recurenţă este r r + = 0 r = r =. Deoarece este rădăcină cu multiplicitatea, a n este un polinom de grad înmulţit cu n : a n = (A n + B) n for all n Mai avem de calculat valorile lui A şi B: a =8 = (A + B) = A + B a =7 = ( A + B) = 8 A + B A = 9, B =. Deci a n = ( 9 n/ + /) n.
. Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară neomogenă a =, a = 7, a n = a n a n + (n + n + ) n dacă n 3. Rezolvare: Ştim că soluţia acestei relaţii de recurenţă este unde a n = a (h) n + a (p) n a (h) n este o soluţie a relaţiei de recurenţă omogene a (h) n = a (h) n a (h) n a (h) n = (A n + B) n. Deoarece r = are multiplicitatea în ecuaţia caracteristică a recurenţei omogene, iar partea neomogenă este (n + n + ) n, rezultă că Din faptul că a (p) n că a (p) n = n (C n + D n + E) n. = a (p) n a (p) n + (n + n + ) n pentru toţi n 3 rezultă (( C ) n +( D C ) n+ E D+ C ) n = 0 pentru toţi n 3. Rezultă că C = 0 D C = 0 E D + C = 0 C = / D = / E = 7/ deci a n = (A n + B) n + n (n / + n/ + 7/) n = (n / + n 3 / + 7 n / + A n + B) n Din a =, a = 7 rezultă A =, B = 3, deci a n = ( n + 3) n + n (n / + n/ + 7/) n pentru toţi n 3.
. Să se rezolve relaţia de recurenţă liniară omogenă a 0 =, a = 7, a n = a n + a n dacă n. Rezolvare: Ecuaţia caracteristică a recurenţei liniare este r + r = 0 r =, r = a n = A ( ) n + B n = A ( ) n + B pentru toţi n 0. Mai avem de calculat valorile lui A şi B. = a 0 = 7 = a = Exerciţii propuse (Set ) } A + B A =, B = a A + B n = ( ) n.. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d} este acceptabil dacă nu conţine subşirul aa. Fie A n mulţimea de şiruri acceptabile de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru A n. (b) Care este valoarea lui A?. Un şir de litere din mulţimea {a, b, c, d, e} este alternant dacă nu conţine două litere consecutive identice. Fie a n mulţimea de şiruri alternante de lungime n. (a) Să se determine o formulă de calcul pentru a n. (b) Care este valoarea lui a? 3. Fie x n numărul de şiruri de n biţi care nu conţin subşirul 0. Să se determine o formulă de calcul pentru x n.. Un şir de cifre zecimale este special dacă are un număr par de zerouri. Fie S n numărul şirurilor speciale de lungime n. (a) Să se găsească o formulă de calcul a lui S n. (b) Care este valoarea lui S? Structura ciclică a permutărilor Reţineţi că
O permutare π = p, p,..., p n reprezintă şi funcţia bijectivă π : {,,..., n} {,,..., n}, π(i) = p i pentru i n. Rezultă că putem calcula cu permutări ca funcţii: să le compunem (π π ), să le inversăm (π ), să le ridicăm la putere (π n = π }. {{.. π } ; π 0 =,,..., n ). n ori Interpretarea unei permutări π ca funcţie bijectivă cu ajutorul reprezentării poziţionale: n... π = p p... p n Un ciclu este o funcţie bijectivă π : {a, a,..., a n } {a, a,..., a n } astfel încât π(a ) = a, π(a ) = a 3,..., π(a n ) = a. Notaţia pentru un ciclu: (a, a,..., a n ) Interpretarea unui ciclu ca funcţie bijectivă: (a a... a n ) Orice permutare poate fi descompusă într-o compoziţie de cicluri disjuncte, numită structură ciclică a permutării respective. Reprezentarea permutărilor ca structuri ciclice permite studiul grupului de simetrii al unor configuraţii de interes (vezi Teoria lui Pólya). Exemple. Fie π = 7,,,, 3,,. (a) Să se indice structura ciclică şi tipul permutării π. (b) Să se calculeze permutările π şi π. Răspuns: Ştim că 3 7 π = 7 3 (a) π are structura ciclică π = (, 7, )(, )(3, ). Rezultă că tipul permutării π este [0,,, 0, 0, 0, 0] 7
(b) 3 7 π = π π = 3 7 3 7 π = 7 3 =,,, 7, 3,,. Fie permutarea π = (, 0, 3, 7, )()(, 9)()(8,, ). (a) Să se calculeze permutările π, π 3 şi π. (b) Să se indice reprezentarea poziţională a permutării π. Răspuns: (a) π = π π = (, 3,, 0, 7)()()(9)()(8,, ) π 3 = π π = (, 7, 0,, 3)()(, 9)()(8)()() π = (,, 7, 3, 0)()(, 9)()(8,, ) (b) π = 0,, 7, 9,,,,,, 3, 8, Teoria lui Polya Oferă criterii de numărare a tuturor configuraţiilor posibile, dacă se ţine cont de grupul de simetrii al configuraţiei câte culori se pot folosi pentru a colora configuraţia respectivă. Exemple comentate: Ex. Se consideră un şirag de mărgele cu culori dintr-o colecţie de m culori. Configuraţia spaţială a şiragului este 3 Fiecare cerculeţ n reprezintă poziţia n a unei mărgele în şirag. Câte şiraguri diferite de acest fel se pot alcătui? 8
Răspuns: Lema lui Burnside ne permite să răspundem la această întrebare. Mai întâi determinăm operaţiile care nu modifică aranjamentul spaţial al acestei configuraţii. Mulţimea acestor operaţii se numeşte grup de simetrii al configuraţiei. În acest exemplu, grupul de simetrii G este format din operaţiile următoare: (a) Permutarea identitate (nu mută nici o mărgea): ()()(3)()()() (b) Rotaţia cu 80 în jurul mijlocului segmentului 3 : (, )(, )(3, ) 3 3 (c) Rotaţia în jurul axei verticale de simetrie: (, )(, )(3, ) 3 3 9
(d) Rotaţia în jurul axei orizontale de simetrie: (, )(3)()(, ) 3 3 G = { ()()(3)()()(), (, )(, )(3, ), (, )(, )(3, ), (, )(3)()(, )}. Conform lemei lui Burnside, dacă avem m culori disponibile numărul de şiraguri diferite de acest fel este N = C π, unde G π G G este numărul de permutări din G, C π este m a unde a este numărul de cicluri al permutării π. Pentru şiragul nostru, numărul de variante posibile este N = ( C ()()(3)()()() + C (,)(,)(3,) + C (,)(,)(3,) + C (,)(3)()(,) ) = ( m + m 3 + m 3 + m ) = (m + m + m 3 )/ Observaţie: Pentru a aplica Lema lui Burnside, trebuie să descoperiţi toate simetriile unei configuraţii. Lema lui Burnside se poate aplica şi pentru configuraţii spaţiale. (Vezi exemplul următor.) Ex.. În câte feluri pot fi colorate vârfurile unui tetraedru regulat cu cel mult 3 culori? Răspuns: Vom desena un tetraedru regulat cu vârfurile numerotate de la la, şi vom determina grupul de simetrii al configuraţiei tetraedrale: 3 0
Cea mai evidentă simetrie este permutarea identitate, care nu schimbă poziţia nici unui colţ: ()()(3)() Apoi, putem răsuci teraedrul cu 0 sau cu 0 în jurul unei înălţimi: În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(, 3, ), ()(,, 3) În jurul înălţimii din vârful 3: (3)(, 3, ), (3)(,, 3) În jurul înălţimii din vârful : ()(,, 3), ()(, 3, ) Alt tip de simetrii răsucesc tetraedrul cu 80 în jurul uneia din cele trei axe care trec prin mijloacele a două muchii opuse: 3 (, )(3, ) 3 3 3 (, 3)(, ) 3 3 (, )(, 3) G = { ()()(3)(), ()(, 3, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), ()(,, 3), (3)(,, ), (3)(,, ), ()(,, 3), ()(, 3, ), (, )(3, ), (, 3)(, ), (, )(, 3)} Numărul căutat este N = (m + m ) pentru m = 3, adică (3 + 3 )/ = (8 + 99)/ =.
Exerciţii propuse (Set 3). Câte coliere diferite cu mărgele de cel mult 3 culori există? 3. În câte feluri se pot colora muchiile unui tetraedru cu cel mult 3 culori? 3 3. Să se calculeze numărul de colorări diferite a configuraţiei următoare cu cel mult culori. 3 7 Pólya a descoperit şi o metodă de calcul al colorărilor diferite al unei configuraţii C, daca se precizează de câte ori se foloseşte fiecere culoare: La fel ca şi pentru Lema lui Burnside, mai întâi se determină grupul de simetrii G al configurţiei C. Apoi se calculează inventarul de modele al configuraţiei C pentru m culori. Dacă configuraţia C are n componente care se colorează cu cel mult m culori y, y,..., y m, atunci inventarul de modele este polinomul F G (y,..., y m ) cu coeficienţi întregi şi variabilele y, y,..., y n astfel încât F G (y,..., y m ) = a (k,k,...,k m)y k y k... ym km k,...,k m unde fiecare a (k,...,k m) este numărul de colorări diferite a configuraţiei C cu
k componente colorate cu culoarea y k componente colorate cu culoarea y... k m componente colorate cu culoarea y m. F G (y,..., y m ) se poate calcula în paşi: P. Mai întâi se determină polinomul în x,..., x n : P G (x, x,..., x n ) = G M π (x, x,..., x n ) unde M π (x, x,..., x n ) = x λ x λ... x λn n şi permutarea π are tipul [λ, λ,..., λ n ]. ( m ) m m P. F G (y, y,..., y m ) = P G y i, yi,..., Exemplu ilustrat: i= i= Altfel spus, F G (y, y,..., y m ) we obţine din P G (x, x,..., x n ) înlocuind x cu y + y +... + y m x cu y + y +... + y m... x n cu y n + y n +... + y n m De multe ori, calculul inventarului de modele F G (y, y,..., y m ) este foarte costisitor. Se recomandă folosirea unui sistem de calcul simbolic (de exemplu, Mathematica) pentru efectuarea de calcule cu aceste polinoame. Ex.3. Două molecule sunt izomeri dacă au aceeaşi compoziţie de atomi, dar au structuri spaţiale diferite. Molecula de naftalină are 0 atomi de carbon dispuşi în colţurile unei structuri dublu hexagonale, iar 8 din cei 0 atomi, situaţi la poziţiile numerotate în figura de mai jos, sunt legaţi la câte un atom de hidrogen: π G i= y n i 7 8 3 (a) Naftolul se obţine înlocuind unul din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu un grup hidroxil (OH). Câţi izomeri de naftol există? 3
(b) Tetrametilnaftalina se obţine înlocuind patru din atomii de hidrogen ai naftalinei de la poziţiile numerotate cu grupuri de metil (CH 3 ). Câţi izomeri de tetrametilnaftalină există? Răspuns: Răspunsurile la ambele întrebări pot fi găsite calculând inventarul de modele al moleculei de naftalină, căreia i se colorează nodurile numerotate de la la 8 cu două culori: roşu (r) şi galben (g). Vom considera că poziţiile colorate cu roşu sunt cele cu carbon legat la hidrogen. Atunci Coeficientul lui r 7 g este numărul de izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este numărul de izomeri de tetrametilnaftalină. Se vede uşor că grupul de simetrii al naftalinei este G = { ()()(3)()()()(7)(8), (, )(, )(3, 7)(, 8), (, )(, 3)(, 8)(, 7), (, 8)(, 7)(3, )(, )} Rezultă că P G (x, x, x 3, x, x, x, x 7, x 8 ) = (x8 + 3 x ), deci F G (r, g) = ( r + g) 8 + 3 (r + g ) ) = r 8 + r 7 g + 0 r g + r g 3 + r g + r 3 g +... + g 8 Coeficientul lui r 7 g este sunt izomeri de naftol. Coeficientul lui r g este sunt izomeri de tetrametilnaftalină. Exerciţii propuse (Set ). Câte coliere diferite cu mărgele se pot forma dacă se folosesc mărgele verzi, două galbene, şi două roşii? 3. În câte feluri se pot colora muchii ale unui tetraedru cu roşu, una cu albastru, şi 3 cu galben?
3 3. Câte zaruri diferite se pot alcătui dacă i se numerotează feţele cu numere de la la?. Benzenul este o hidrocarbură cu atomi de carbon plasaţi în vârfurile unui hexagon regulat, şi atomi de hidrogen, fiecare legat la câte un atom de carbon. 3 (a) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor? (b) Câţi izomeri se pot obţine dacă în molecula de benzen se înlocuiesc doi atomi de hidrogen cu doi atomi de clor şi alţi atomi de hidrogen cu doi atomi de brom? Numere Stirling [ n k] = numărul Stirling de cicluri: în câte feluri pot fi puse n persoane la k mese rotunde identice astfel încât nici o masă să nu rămână neocupată. Exemplu: [ 3 ] = deoarece sunt posibilităţi de a pune 3 persoane la o masă rotundă: 3 posibilitatea ciclul (, 3, ) 3 posibilitatea ciclul (,, 3)
{ n k} = numărul Stirling de mulţimi: în câte feluri se poate partiţiona o mulţime cu n elemente în k submulţimi nevide disjuncte. Exemplu: { 3 } = 3 deoarece sunt 3 posibilităţi de împărţire în grupuri: Formule de calcul pentru C(n, k) ( n 0) = ( n n) =. Dacă n > k > 0 atunci ( n k grup grup posibilitatea {, 3} {} posibilitatea {, 3} {} posibilitatea 3 {, } {3} ) ( = n ) ( + n k k ). Triunghiul numerelor C(n, k) (sau ( n k) ): ( n ) k k = 0 3 7 8... n! n = 0 3 3 3 0 0 0 0 70 7 7 3 3 7 00 8 8 8 70 8 8 030 Formule de calcul pentru [ ] n k. [ { ] n dacă n = 0 0 = 0 dacă n > 0 Dacă n atunci [ ] [ n = şi n Dacă n şi k atunci [ n k n ] = C(n, ) = n(n )/ ] [ = (n ) n ] [ + n ] k k.
Triunghiul numerelor [ n k] : [ n ] k k = 0 3 7 8... n! n = 0 0 0 3 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 7 8 70 7 0 70 7 73 7 00 8 0 00 308 33 79 90 3 8 030..... Formule de calcul pentru { } n k { { { n } = n { n} =. n } dacă n = 0, 0 = 0 dacă n > 0. Dacă n > k atunci { } { n k = k n } { k + n k }. Triunghiul numerelor { n k} : } k = 0 3 7 8... { n k n = 0 0 0 3 0 3 0 7 0 0 0 3 90 7 0 3 30 30 0 8 0 7 9 70 00 8. 0.......... Exerciţii rezolvate. În câte feluri se poate forma un şir de 7 caractere, dacă se folosesc doar litere din mulţimea {a, b, c, d} şi fiecare literă trebuie să apară cel puţin o dată în şir? 7
Răspuns: Fie s un astfel de şir, şi f(x) mulţimea poziţiilor din x unde apare litera x {a, b, c, d}. De exemplu, dacă s = aabddcb atunci f(a) = {, }, f(b) = {3, 7}, f(c) = {} şi f(d) = {, }. Se observă că f este o funcţie bijectivă de la mulţimea A = {a, b, c, d} la P, unde P este o partiţie a mulţimii de poziţii {,, 3,,,, 7} în grupuri astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin un element. Ştim că Numărul de astfel de partiţii P este numărul Stirling de mulţimi { 7 }. Pentru fiecare astfel de partiţie P există! funcţii bijective de la A la P (deoarece A şi P sunt mulţimi cu elemente.) Conform regulii produsului, există! {7 } = 30 = 800 astfel de funcţii f, deci 800 astfel de şiruri.. Fie r n,k numărul de posibilităţi de a împărţi n persoane în k grupuri disjuncte, astfel încât fiecare grup să aibe cel puţin persoane. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci r n,k = k r n,k + (n ) r n,k. Răspuns: Faptul că partea dreaptă este o sumă de termeni ne sugerează să încercăm să aplicăm regula sumei. Distingem două cazuri disjuncte: Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de persoane. Acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () alegem una din celelalte n persoane care să stea la masă cu persoana n, apoi () formăm k grupuri de cel puţin persoane din clee n persoane rămase. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în (n ) r n,k moduri. Cazul : Persoana n face parte dintr-un grup de cel puţin 3 persoane. Şi acest caz poate fi descompus în o secvenţă de paşi: () formăm k grupuri de cel puţin persoane cu primele n persoane, apoi () adăugăm persoana n la oricare din cele k grupuri formate la primul pas. Conform regulii produsului, acest caz se poate realiza în r n,k k moduri. Conform regulii sumei, rezultă că r n,k = (n ) r n,k + r n,k k = k r n,k + (n ) r n,k. Exerciţii propuse (Set ) 8
. Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling [ ] n+ n când n.. Folosiţi un raţionament combinatorial (regula sumei, regula produsului) pentru a găsi o fomulă simplă de calcul a numărului Stirling { } n+ n când n. 3. Fie A = {a, b, c,..., x, y, z} alfabetul de caractere latine minuscule. Câte şiruri de 0 de caractere din A se pot forma dacă fiecare literă din A trebuie să apară cel puţin o dată?. Folosiţi un raţionament combinatorial pentru a demonstra că, dacă n > k >, atunci C(n, k) = C(n, k) + C(n, k ). 9