Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu vectorial al spaţiului V. Definiţia.6. Se numeşte subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V orice submulţime V a acestuia, care împreună cu operaţiile de adunare a vectorilor şi respectiv de înmulţire a vectorilor cu scalari, definite pe V, capătă o structură de spaţiu vectorial peste corpul K. Definiţia.6. O submulţime nevidă V a lui V este un subspaţiu vectorial dacă sunt îndeplinite condiţiile: ) x + y V, oricare ar fi x, y V, ) α x V, oricare ar fi x V şi α K. Teorema.6. Definiţiile de mai sus sunt echivalente. Demonstraţie. Faptul că o submulţime a lui V, care este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6., este subspaţiu vectorial şi în sensul Definiţiei.6. rezultă imediat (demonstraţia este lăsată ca exerciţiu cititorului). Vom demonstra doar afirmaţia reciprocă. Presupunem că submulţimea nevidă V este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V în sensul Definiţiei.6.. Pentru a demonstra că este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6., vom verifica axiomele din Definiţia..3. Din condiţiile ) şi ) ale Definiţiei.6. rezultă că cele două operaţii ale spaţiului vectorial V sunt bine definite pe V. Proprietăţile de asociativitate şi comutativitate a adunării sunt adevărate, 39
Spaţii vectoriale finit dimensionale deoarece au loc în V, deci şi în V V. Faptul că orice x V are un opus tot în V rezultă din condiţia ) în care luăm α = - şi din Observaţia... Aplicând din nou condiţia ) deducem că, elementul neutru la adunare din V, aparţine şi lui V, căci = x V oricare ar fi x V, deci este element neutru şi pentru operaţia de adunare a vectorilor din V. În concluzie, V este grup abelian cu operaţia de adunare a vectorilor. Axiomele a) - d) din Definiţia..3 sunt verificate în mod evident (sunt consecinţe ale condiţiei ) şi ale ipotezei că V este spaţiu vectorial). Deci V este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6.. Exemplul.6. Submulţimea V = {(x, x, x 3, ), x i R, i =,, 3} a lui R împreună cu operaţiile cu operaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire a acestora cu scalari, moştenite de pe R, este un subspaţiu vectorial al lui R. Într-adevăr, dacă x = (x, x, x 3, ) şi y = (y, y, y 3, ) sunt doi vectori din V atunci x + y = (x + y, x + y, x 3 + y 3, ) V, iar α x = (α x, α x, α x 3, ) V, oricare ar fi α K. Atunci, conform Definiţiei.6., V este subspaţiu vectorial al lui R. Exemplul.6. Fie V un K spaţiu vectorial. Întrregul spaţiu vectorial V, precum şi mulţimea formată numai din vectorul nul din V sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Ele se numesc subspaţii improprii. Celelalte subspaţii ale lui V se numesc subspaţii proprii. Observaţia.6. Fie V un subspaţiu propriu al spaţiului vectorial finit dimensional V. Avem dim K V < dim K V.
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Într-adevăr, deoarece orice bază a lui V este sistem liniar independent în V, aplicăm Teorema.3. şi rezultă concluzia. Dacă dimensiunile celor două spaţii vectoriale sunt egale, adică dim K V = dim K V, atunci este clar V = V şi V nu mai este spaţiu propriu. Fie acum G o submulţime nevidă a spaţiului vectorial V. Vom nota G submulţimea tuturor combinaţiilor liniare formate cu vectori din G. Este clar că G V. Teorema.6. Mulţimea G, împreună cu operaţiile definite pe V este un suspaţiu vectorial al acestuia. Demonstraţie. Fie x, y G. Fiecare dintre cei doi vectori este o combinaţie liniară de vectori din G, deci şi suma lor va fi tot o combinaţie liniară de vectori din G. Analog se deduce că αx, α K este din G. Folosind Definiţia.6., rezultă concluzia. Subspaţiul G definit mai sus se numeşte subspaţiul generat de G sau închiderea liniară a lui G sau încă, acoperirea liniară a lui G. Exemplul.6.3 Fie G = {x = (,, -, ), x = (, -,, 5), x 3 = (,, 3, ), x = (,,, 3), x 5 =(,, -, -), x 6 = (-,,, )} R. Să se determine o bază a subspaţiului generat de G. Conform definiţiei avem G = {α x + α x + α 3 x 3 + α x + α 5 x 5 + α 6 x 6, α i R, i {,,6} }. Este clar că {x, x,, x 6 } este un sistem de generatori pentru G. Din Exemplul.5.3, ştim că rangul matricei care are drept coloane componentele vectorilor x, x,, x 6 este egal cu 3. De aici deducem că doar trei dintre aceşti vectori sunt liniar independenţi, restul fiind combinaţii liniare ale acestor trei vectori. Folosind Propoziţia.. şi rezultatele obţinute în exerciţiul amintit mai sus, rezultă că x, x,
Spaţii vectoriale finit dimensionale x sunt liniar independenţi. Deci B = {x, x, x } este şi sistem de generatori pentru G şi, de aici, pentru G. Astfel, B este o bază pentru G. Exemplul.6. Fie V spaţiul vectorial real definit în Exemplul..3. Submulţimea V formată din totalitatea funcţiilor f C ([a, b]) care sunt pare este un subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea mulţimea funcţiilor f C ([a, b]), impare este un subspaţiu vectorial al lui V.(Demonstraţia afirmaţiilor de mai sus sunt lăsate în seama cititorului.) Teorema.6.3 Mulţimea vectorilor x V ale căror coordonate satisfac un sistem liniar şi omogen de n ecuaţii cu m necunoscute şi rangul matricei sistemului egal cu r este un subspaţiu vectorial de dimensiune m - r. Demonstraţie. Fie V mulţimea vectorilor x V ale căror coordonate (ξ, ξ,, ξ m ), într-o bază B = {u, u,,u m } a spaţiului V, satisfac sistemul omogen de mai jos: a ξ + a ξ +.+ a m ξ m = (.6.) a i ξ + a i ξ +.+ a im ξ m = a n ξ + a n ξ +.+ a nm ξ m = Este uşor de văzut că dacă y = η u + η u + + η m u m este un alt vector din V, atunci (ξ + η, ξ + η,, ξ m + η m ) este tot o soluţie a sistemului (.6.). Deci x + y V. Analog se arată că αx V, oricare ar fi α K şi V este un subspaţiu vectorial, conform Definiţiei.6.. Considerăm matricea A=(a ij ) i =..n, j =,..m a sistemului. Presupunem că (eventual în urma unei renumerotări) un minor nenul de ordinul r ce dă
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială rangul matricei A se află la intersecţia primelor r linii şi r coloane ale acesteia. Atunci ξ,, ξ r sunt variabile principale iar restul vor fi secundare. Sistemul din care eliminăm ecuaţiile secundare se scrie a ξ + a ξ +.+ a r ξ r = - a r+ ξ r+ - - a m ξ m.. a i ξ + a i ξ +.+ a ir ξ r = - a ir+ ξ r+ - - a im ξ m.. a r ξ + a r ξ +.+ a rr ξ r = - a rr+ ξ r+ - - a rm ξ m. Fiind un sistem compatibil determinat în necunoscutele ξ,, ξ r se va determina ξ = b ξ r+ + + b m-r ξ m,,ξ i = b i ξ r+ + + b im-r ξ m,, ξ r = b r ξ r+ + + b rm-r ξ m. Atunci vectorul x se scrie x = (b ξ r+ + + b m-r ξ m )u + + (b i ξ r+ + + b im-r ξ m )u i + +( b r ξ r+ + + b rm-r ξ m )u r + ξ r+ u r+ +.+ ξ m u m. Avem x = ξ r+ (b u + + b i u i + + b r u r + u r+ ) + + ξ r+j (b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j ) + + ξ m (b m-r u + + b im-r u i + + b rm-r u r + u m ). Notăm v j = b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j, j =,, m-r şi observăm că S ={v j, j =,, m-r} este un sistem de generatori pentru V. Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că S este sistem liniar independent. Fie α v + +α j v j + +α m-r v m-r = combinaţie nulă formată cu vectorii mulţimii S. Avem α (b u + + b i u i + + b r u r + u r+ ) + + α j (b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j ) + + α m-r (b m-r u + + b im-r u i + + b rm-r u r + u m ) =. Rearanjând termenii obţinem (α b + + α j b j + + α m-r b rm-r )u + + (α b i + + α j b ij + +α m-r b im-r )u i + + 3 o
Spaţii vectoriale finit dimensionale (α b r + + α j b rj + +α m-r b rm-r )u r + + α u r+ +.+ α j u r+j + α m-r u m =. Ţinând cont de faptul că B este, în particular, sistem liniar independent, deducem că α = α = = α m-r =. De aici rezultă că S este sistem liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru V este bază. Dimensiunea subspaţiului vectorial V este egală cu numărul vectorilor din S, adică cu m - r. Definiţia.6.3 Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n şi V un subspaţiu al său de dimensiune m < n şi x V, x V fixat. Mulţimea vectorilor de forma x = x + z, z V se numeşte varietate liniară. Se observă că o varietate liniară nu este un subspaţiu vectorial deoarece nu conţine vectorul nul al spaţiului..7 Intersecţii şi sume de subspaţii vectoriale Fie V şi V două subspaţii vectoriale ale aceluiaşi K - spaţiu vectorial V. Definiţia.7. Intersecţia subspaţiilor V şi V este mulţimea I formată din vectorii comuni celor două subspaţii: x I dacă şi numai dacă x V şi x V. Definiţia.7. Suma subspaţiilor V şi V este mulţimea S a vectorilor de forma x = x + x, x V, x V, adică S = {x V, x = x + x, x V, x V }. Facem observaţia că pentru intersecţia, respectiv suma subspaţiilor vectoriale V şi V se mai foloseşte şi notaţia V V, respectiv V + V.
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Teorema.7. Dacă V şi V sunt două subspaţii vectoriale ale aceluiaşi K -spaţiu vectorial V, atunci intersecţia acestora, V V, şi suma lor, V + V, sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Demonstraţie. Pentru început demonstrăm că intersecţia V V este subspaţiu vectorial. Fie x, y V V şi α K. Atunci, conform Definiţiei.7., x, y V şi x, y V. Deci x + y V, x + y V, αx V şi αx V. De aici rezultă că x + y, αx V V. Aplicăm Definiţia.6. şi deducem că V V este subspaţiu vectorial al lui V. Acum vom demonstra că V + V este subspaţiu vectorial. Fie x, y V + V şi α K. Din Definiţia.7. rezultă că există x, y V şi x, y V astfel încât x = x + x şi respectiv y = y + y. Se observă că x + y = x + x + y + y = x + y + x + y, şi cum x + y V iar x + y V ( V şi V fiind subspaţii vectoriale), deducem că x + y V + V. Mai trebuie să arătăm că αx V + V şi demonstraţia este încheiată. Avem αx = α( x + x ) = αx + αx, conform axiomei d) din definiţia spaţiului vectorial. Deoarece αx V iar αx V, este clar că αx V + V. Observaţia.7. Dacă V + V este suma subspaţiilor vectoriale V şi V atunci se poate spune că V + V este "cel mai mic subspaţiu" care le conţine. Altfel spus, dacă S este un alt subspaţiu al spaţiului V astfel încât V S, V S, atunci V + V S. Pe de altă parte subspaţiul intersecţie este "cel mai mare " subspaţiu inclus în cele două subspaţii în sensul că dacă I este un alt subspaţiu astfel încât I V şi I V 5
Spaţii vectoriale finit dimensionale atunci I V V. Între subspaţiile sumă şi intersecţie există următoarea relaţie: V V V + V. Observaţia.7. Noţiunea de sumă a subspaţiilor vectoriale se poate extinde la un număr n de subspaţii V, V,, V n ale spaţiului vectorial V astfel: "Submulţimea S (notată şi V + V + + V n ) a lui V, definită prin S = {x V, există x i V i, i =,,n astfel încât x = x + x + + x n }, se numeşte suma subspaţiilor V, V,, V n." În acelaşi mod ca şi în cazul n = se poate demonstra că S este un subspaţiu vectorial al lui V. Observaţia.7.3 Scrierea unui vector x V + V ca o sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V nu este neapărat unică. De exemplu, dacă V V (), atunci există y V V, y. Dacă x = x + x, atunci luăm y = x - y V şi y = x - y V şi observăm că x = y + y. În mod clar y x, y x şi astfel am obţinut două scrieri diferite ale lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V. Definiţia.7.3 Spunem că suma S a subspaţiilor vectoriale V şi V este directă dacă şi numai dacă orice vector x S se scrie în mod unic ca o sumă de doi vectori unul din V şi unul din V. În acest caz vom nota S = V V. Observaţia.7. Ca şi în Observaţia.7., definiţia de mai sus poate fi extinsă la cazul a n subspaţii vectoriale: "Spunem că suma S a subspaţiilor vectoriale V, V,, V n este directă dacă şi numai dacă orice vector x S se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din V i, i =,,n. Vom folosi notaţia S = V V V n " 6
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Teorema de mai jos furnizează condiţii necesare şi sufieciente pentru ca suma a două subspaţii vectoriale să fie directă. Teorema.7. Fie V şi V două subspaţii vectoriale ale spaţiului V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: ) S = V V ; ) I = (). Demonstraţie. " ) )". Presupunem prin absurd că I (). Folosind raţionamentul din Observaţia.7.3, rezultă că scrierea lui x ca o sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V nu este unică, ceea ce contrazice ipoteza. Deci presupunerea făcută este falsă şi I = (). " ) )" Fie x S şi x = x + x = y + y, x, y V, x, y V două scrieri ale lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V. Observăm că x - y = y - x = y şi, folosind proprietăţile subspaţiilor vectoriale V şi V, rezultă că y V şi y V. Deci y I = (). În consecinţă, x = y, x = y, adică scrierea lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V este unică. Din Definiţia.7.3 rezultă concluzia. Teorema.7.3 Dacă B = {u, u,,u p }, respectiv B = {v, v,,v k }, sunt baze în subspaţiile V, respectiv V, iar V V = () atunci B B este o bază în V V. Demonstraţie. Este uşor de văzut că, în general, dacă G, G sunt sisteme de generatori pentru V şi V atunci G G este sistem de generatori pentru V + V. De aici se deduce că într-adevăr B B este sistem de generatori pentru V V. 7
Spaţii vectoriale finit dimensionale Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că B B este sistem liniar independent. Dacă α u + α u +.+ α p u p + β v + β v + + β k v k = este o combinaţie nulă formată cu vectorii familiei B B atunci α u + α u +.+ α p u p = - β v - β v - - β k v k V V = (). De aici obţinem α u + α u +.+ α p u p =, β v + β v + + β k v k = şi, ţinând cont că B şi B sunt în particular sisteme liniar independente, rezultă α = α = = α p = β = β = = β k =. Am obţinut concluzia. Teorema.7. Dacă V este un subspaţiu vectorial al K-spaţiului vectorial V, atunci există în V un subspaţiu vectorial V astfel încât V = V V. V se va numi subspaţiul complementar al lui V în V sau complementul algebric al lui V. Demonstraţie. Fie B = {u, u,,u p } o bază în V. Deoarece B este familie liniar independentă în V, atunci ea poate fi extinsă la o bază în V (vezi Teorema.3.3). Fie acum B = { u, u,,u p,v, v,, v k } o bază în V, p + k = n, şi fie V subspaţiul vectorial generat de familia { v, v,, v k }. Vom demonstra că V este un subspaţiu care satisface cerinţele din teoremă. Din modul de construcţie al lui V, rezultă imediat că V = V + V. Mai trebuie să arătăm că suma este directă. Fie y V V. Atunci există α, α,, α p şi β, β,, β k scalari din K astfel încât y = α u + α u +.+ α p u p = β v + β v + + β k v k. De aici obţinem α u + α u +.+ α p u p - β v - β v - - β k v k = şi α = α = = α p = β = β = = β k =, 8
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială căci B este bază (în particular, sistem liniar independent). Deci y =, de unde V V = (). Conform Teoremei.7., suma subspaţiilor V şi V este directă. Observaţia.7.5 Subspaţiul complementar nu este unic determinat deoarece, conform demonstraţiei de mai sus, completarea unei baze din V la o bază în V se poate realiza într-o infinitate de moduri. Însă dimensiunea subspaţiul complementar este unic determinată, fiind egală cu diferenţa dintre dimensiunea spaţiului V şi cea a subspaţiului V. Teorema.7.5 (Grassmann) Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi V, V două subspaţii ale sale. Atunci dim K (V +V ) + dim K (V V ) = dim K V + dim K V. Demonstraţie. Fie B = {u, u,,u p } o bază în I = V V. Deoarece I V şi I V, vom extinde această bază, conform Teoremei.3.3, la câte o bază în V şi respectiv V, obţinând bazele B = {u, u,,u p, f p+, f p+,,f p+r } şi respectiv B = { u, u,, u p, v p+, v p+,, v p+k }. Vom arăta că B = {u, u,,u p, f p+, f p+,,f p+r, v p+, v p+,,v p+k } este o bază în V + V. Raţionănd ca în demonstraţia Teoremei.7.3, rezultă că B este un sistem de generatori pentru V + V. Trebuie să mai arătăm că B este sistem liniar independent. Facem o combinaţie liniară nulă cu vectorii familiei B şi cu scalari din K. Avem (.7.) α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + + β k v p+k + γ f p+ + γ f p+ + + γ r f p+r =. Deci α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + + β k v p+k = - γ f p+ - γ f p+ - - γ r f p+r = not z V V. De aici şi din faptul că B este bază în V V rezultă că z se scrie în mod unic ca o combinaţie de vectori ai familiei B. 9
Spaţii vectoriale finit dimensionale Deci există scalarii ζ i, i =,,p astfel încât z = ζ u + ζ u +.+ ζ p u p. Din ultimele două relaţii, rezultă că ζ u + ζ u +.+ ζ p u p = α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + +β k v p+k. Deoarece vectorul z V are coordonate unice în baza B, deducem că β = β = = β k = şi α i = ζ i, oricare ar fi i =,.., p. Înlocuind valorile β i, i =,,k găsite mai sus în relaţia (.7.) şi ţinând cont de faptul că B este sistem liniar independent, deducem că α i =, i =,, p şi γ i =, i =,, r. Astfel am demonstrat că toţi coeficienţii din relaţia (.7.) sunt nuli, deci B este sistem liniar independent. Demonstraţia a fost încheiată. Exemplul.7. Se consideră subspaţiile V şi V ale spaţiului R 5 generate de familiile de vectori G = {x = (,,, 3, ), x = (-,,,, )} şi respectiv G = {y = (,,, -, ), y = (-,,,, ), y 3 = (,,,, )}. Să se găsească câte o bază pentru spaţiile sumă şi respectiv intersecţie, dacă aceste sunt nenule. În ceea ce priveşte spaţiul sumă, V + V, ştim că acesta este generat de G G, deci V + V = {x V, x = α x + α x + β y + β y + β 3 y 3, α i, β j R, i =,, j =,, 3}. Pentru a găsi o bază este suficient să determinăm o subfamilie maximală de vectori liniar independenţi a lui G G, aşa cum rezultă din demonstraţia Teoremei.3.. Aplicând succesiv Lema substituţiei, vom înlocui vectorii din baza canonică cu vectori ai familiei G G atât timp cât este posibil, adică atât timp cât există vectori din G G, care nu au intrat încă în componenţa bazei, şi care au coordonate nenule în liniile corespunzătoare vectorilor din baza canonică, ce nu au fost încă 5
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială eliminaţi. Dacă această condiţie nu mai este satisfăcută, atunci este clar că vectorii din G G care nu au intrat în componenţa bazei sunt combinaţii liniare de vectorii din G G care au intrat. Deci acei vectori intraţi în bază sunt sistem de generatori pentru G G ; fiind şi sistem liniar independent, formează o bază pentru V + V. Tabelul.7. B x x y y y 3 B x x y y y 3 E - - x E E - E 3 x E 3 - E -3 E 5 y 3 - B x x y y y 3 B x x y y y 3 x - - x E E - E 3 - x E - - y E 5 - y 3 B x x y y y 3 B x x y y y 3 x x E - - y x - x E -5 y E 5 - y 3 Analizând tabelul de mai sus, rezultă că G G formează o bază, deci subspaţiul V + V are dimensiunea 5. Din Observaţia.6., deducem că V + V coincide cu R 5. Tot din tabelul de mai sus deducem că G şi G sunt familii liniar independente, deci sunt baze pentru spaţiile generate V şi V. Astfel dim R V = şi dim R V =3. Aplicând teorema lui Grassmann avem dim R (V V ) = dim R V + dim R V - dim R (V +V ) =. Deci V V = (). 5
Spaţii vectoriale finit dimensionale.8 Exerciţii. Fie K un corp de caracteristică şi V = K x K. Să se verifice dacă V împreună cu operaţiile (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), (x, x ), (y, y ) K x K α(x, x ) = (αx, ), α K are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K. R: Nu, deoarece nu este verificată axioma a) din Definiţia..3.( (x, x ) = (x, ) (x, x )).. Considerăm mulţimea R împreună cu operaţiile (x, x, x 3, x ) + (y, y, y 3, y ) = (x + y, x + y, x 3 + y 3, x + y ), α(x, x, x 3, x ) = (αx, αx, αx 3, αx ), α R. Să se verifice dacă aceasta are o structură de spaţiu vectorial peste corpul R. R: Nu, deoarece operaţia "+" nu este comutativă. 3. Fie mulţimea R pentru care definim operaţiile (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), (x, x ), (y, y ) R α(x, x ) = (αx, αx ), α R. Să se studieze dacă R este spaţiu vectorial real. R: Nu, deoarece operaţia "+" nu are element neutru.. Să se demonstreze că mulţimea matricelor cu n linii şi m coloane şi elemente reale, M nm (R), împreună cu operaţiile de adunare a matricelor şi înmulţire a acestora cu numere reale are o structură de spaţiu vectorial real. Să se determine o bază a acestui spaţiu. 5
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială R: Se verifică axiomele Definiţiei..3. Definim matricele E i,j M nm (R) astfel E i,j =. i................ j................... Familia B = { E i,j, i =,, n, j =,,m} este o bază în. M nm (R). 5. Să se stabilească dacă familiile de vectori de mai jos sunt liniar independente în spaţiile vectoriale corespunzătoare. a) {A =, B =, C = } în spaţiul vectorial real M 3 (R). b) {x = (-,,, 3), x = (,,, 3), x 3 = (, -,, 3)} în R. c) {p = t + t +, p = t +, p 3 = t + t + } în spaţiul P(t) al polinoamelor de orice grad, în nedeterminata t şi cu coeficienţi reali (vezi Exemplul..5). d) {y = (, i,, ), y = (,, + i, 3), y 3 = ( + i,,, )} în spaţiul vectorial complex C. R: a) Nu. b) Da. c) Nu. d) Da. 6. Să se demonstreze că mulţimea numerelor complexe dotată cu operaţiile de adunare a numerelor complexe şi înmulţire a numerelor reale cu numere complexe are o structură de spaţiu vectorial real. Indicaţie: Se verifică axiomele din Definiţia..3. 7. Să se calculeze dim C C şi respectiv dim R C. 53
Spaţii vectoriale finit dimensionale R: Se observă că {} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste el însuşi în timp ce {, i} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste corpul numerelor reale. Deci dim C C = iar dim R C =. 8. Să se demonstreze că B = {u = (,,,, ), u = (,,,, ), u 3 = (3,,,, ), u = (,,,, ), u 5 = (,,,, )} şi respectiv B = {v = (,,,, ), v = (,,,, ), v 3 = (,,,, ), v = (,,,, ), v 5 = (,,,, )} sunt baze în R 5 şi să se determine matricea de trecere de la baza B la baza B. Dacă (,,,, ) sunt coordonatele unui vector x în baza B să se determine coordonatele acestuia în baza B. R: Fie E, E,,E 5 o bază canonică în R 5. Aplicând Lema substituţiei obţinem: B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 E 3 E E 3 E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u 3 E - - - - - E 3 E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - - E - - u E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u -3 - - -3 E - - u - u 3 E 5 5
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială 55 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - 7 E - -3 - u - u 3 - u B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - u 5 - - 3 - u - u 3 - u Matricea de trecere este A = 3. Coordonatele vectorului x în baza B se determină folosind formula (..). Avem 5 3 ξ ξ ξ ξ ξ = 3/ 3/ 3/ / / / 3/ / 3/ / / / / / / / / / / / 3/ 3/ /, 5 3 ξ ξ ξ ξ ξ = 9 / 7 / 3/ 5 / /. 9. Să se determine subspaţiile generate de următoarele familii de vectori. Să se găsească câte o bază în aceste subspaţii şi să se precizeze dimensiunea lor. a) G = {p = t + t +, p = t +, p 3 = t 3 } P(t), b) G = {A =, B =, C =, D = } M (R)
Spaţii vectoriale finit dimensionale c) G 3 = {x = (, -,, 3), x = (,,, ), x 3 = (,, -, ), x = (,,, )} R. d) G = {y = (, i, ), y = ( + i,, ), y 3 = (, i, )} C 3, unde C 3 este considerat spaţiu vectorial real. R: a) Familia G este liniar independentă, deci este bază pentru spaţiul generat G. Avem G = {αt 3 + βt + (β + γ)t + β + γ, α, β, γ R}, iar dim R G = 3. b) Se constată că familia G este liniar independentă, fiind la rândul ei bază pentru spaţiul generat G. Deoarece dim R G = = dim R M (R), deducem că G = M (R), conform Observaţiei.6.. c) Rangul matricei care pe coloane componentele vectorilor din familia G 3 este. Atunci rezultă, conform Propoziţiei.., că familia G 3 este liniar independentă şi deci este bază în G 3. Ca şi în cazul punctului b) se deduce că G 3 = R. d) Deoarece relaţia αy + βy + γy 3 = este echivalentă cu sistemul β =, α + γ =, care are şi alte soluţii în afara soluţiei nule, rezultă că familia G este liniar dependentă. Se observă că {y, y } este sistem liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru G este o bază pentru G. Deci dim R G =, iar G = {αy + βy, α, β R}.. Se consideră familia de vectori G de la exerciţiul 9 despre care s-a demonstrat că este o bază a spaţiului vectorial real M (R). Să se arate că familia B = {A =, B =, C =, D = 3 } este de asemenea o bază pentru M (R) şi să se determine matricea de trecere de la G la B. R: Deoarece ecuaţia vectorială αa + βb + γc + δd = admite doar soluţia nulă α = β = γ = δ =, rezultă că B este un sistem liniar independent în M (R). Este uşor de văzut că acesta este şi sistem de generatori, deci este o bază pentru M (R). Elementele 56
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială matricei de trecere de la baza G la baza B sunt soluţiile sistemului de ecuaţii vectoriale A = m A + m B + m 3 C + m D B = m A + m B + m 3 C + m D C = m 3 A + m 3 B + m 33 C + m 3 D D = m A + m B + m 3 C + m D. Rezolvând sistemul de mai sus obţinem matricea de trecere M = (m ij ) i,j =,, = / /. / /. Să se verifice dacă mulţimile de mai jos sunt subspaţii vectoriale şi în caz afirmativ să se determine câte o bază pentru acestea. a) V = {(x, x, x 3, ), x i R, i =,, 3} R b) V = { x R 3, x = (x, x, x 3 ), x + x - x 3 + = } R 3 c) V 3 = {x R 3, x = (x, x, x 3 ), x + x - x 3 =, x - x + x 3 = } R 3 d) V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x + x - x =, x + x - x 3 = } R. R: a) Da, V este subspaţiu vectorial, deoarece sunt verificate condiţiile Definiţiei.6.. Dacă E = (,,, ), E = (,,, ), E 3 = (,,, ), E = (,,, ) sunt vectorii bazei canonice în R atunci este uşor de văzut că {E, E, E 3 } este o bază pentru V. b) V nu este subspaţiu vectorial. Într-adevăr dacă x, y V atunci avem x + x - x 3 + =, y + y - y 3 + = şi de aici x + y + x + y - x 3 - y 3 + =. Se observă că dacă x + y V, atunci avem x + y + x + y - x 3 - y 3 + =. Din ultimele două relaţii deducem că =, ceea ce este absurd. Deci x + y V şi având în vedere Definiţia.6. rezultă concluzia. c) V 3 este spaţiu vectorial, conform Teoremei.6.3. Rezolvând sistemul 57
Spaţii vectoriale finit dimensionale x + x - x 3 =, x - x + x 3 =, deducem că V 3 = {α(/3, -/3,), α R}. O bază a lui V 3 este {(/3, -/3,)}, dimensiunea lui fiind egală cu. d) Răspunsul este afirmativ, conform Teoremei.6.3. Procedând ca mai sus, deducem că V = {α(,,, ) + β(,,, ), α, β R }. Deoarece familia de vectori { e = (,,, ), e = (,,, ) } este liniar independentă, fiind în acelaşi timp sistem de generatori pentru V, rezultă că aceasta reprezintă o bază pentru V iar dim R V =.. Fie V spaţiul generat de familia F = { x = (-,,, ), x = (,,, ), x 3 = (,,, )} R şi V spaţiul generat de familia G = { y = (,,, ), y = (,, -, )} R. Să se determine subspaţiile V + V şi respectiv V V, precizând câte o bază pentru acestea precum şi pentru V şi V. R: Se cunoaşte faptul că F G este un sistem de generatori pentru V + V. Deoarece familia {x, x, y } este un sistem liniar independent maximal în F G deducem că acesta este sistem de generatori pentru F G, deci bază V + V. Dimensiunea lui V + V este egală cu 3. În acelaşi mod se poate stabili că {x, x } şi respectiv {y, y } sunt baze pentru V şi respectiv V, dimensiunile acestor subspaţii fiind egale cu. Aplicând teorema lui Grassmann se deduce că dim R V V =. Pentru a determina V V, observăm că V V = {x R, există numerele reale a, b, α, β, γ astfel încât ay + by = αx + βx + γx 3 }. Rezolvând ecuaţia vectorială încât ay + by = αx + βx + γx 3 cu necunoscutele a, b, α, β, γ, care este echivalentă cu sistemul a + b + α - β = a + b - β - γ = - b - α - β - γ =. Obţinem a = β + γ, b = β + γ, α = β + 3γ, β, γ R. Deci V V = {x R, x = (β + γ) y + (β + γ)y, β, γ R } sau V V = {x R, x = (β + γ)(3, 3, -, ), β, γ R}. Se observă că {(3, 3, -, )} este o bază pentru V V. 58
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială 3. Să se determine câte un complement algebric pentru fiecare din subspaţiile proprii de la exerciţiile şi. R: Ex. a). Am văzut că {E, E, E 3 } este o bază pentru V. Atunci subspaţiul vectorial generat de E este un complement algebric al lui V, conform demonstraţiei Teoremei.7.. Ex c). Deoarece {e = (/3, -/3,)} este o bază a spaţiului V 3 se observă că {e, E, E 3 }, unde E = (,, ), E 3 = (,, ), este o bază pentru R 3. Din aceleaşi motive ca cele folosite mai sus, subspaţiul generat de {E, E 3 } este un complement algebric al lui V 3. Ex. d). În spaţiul V avem baza { e = (,,, ), e = (,,, ) } care poate fi completată cu vectorii E 3, E (vectorii bazei canonice din R ) la o bază în R. Deci subspaţiul generat de {E 3, E } este un complement algebric al lui V 3. Raţionând ca mai sus se poate stabili că un subspaţiu algebric complementar al subspaţiului V R de la Exerciţiul este generat de familia {E 3, E } iar pentru subspaţiul V de la acelaşi exerciţiu putem considera subspaţiul generat de familia {E, E }.. Să se verifice dacă suma perechilor de spaţii vectoriale de mai jos este directă şi în caz afirmativ să se calculeze spaţiul sumă. a) V = {x R 5, x = (x, x, x 3, x, x 5 ), x + x - x + x 5 =, x - x + x 3 - x =, x + x - x 5 = } şi V = {(x, x, x 3, x, ), x i R, i =,, 3,} R 5. b) V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x + x - x 3 + x =, x - x + x 3 - x =, x - x 3 = } şi V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x - x 3 + x =, x - x + x = }. R: Pentru a vedea dacă suma este directă este suficient să calculăm V V şi să aplicăm Teorema.7.. a) Se observă că V = {x R 5, x = (x, x, x 3, x, x 5 ), x 5 = } 59
Spaţii vectoriale finit dimensionale astfel că V V este mulţimea vectorilor x = (x, x, x 3, x, x 5 ) din R 5 ale căror coordonate satisfac sistemul x + x - x + x 5 =, x - x + x 3 - x =, x + x - x 5 =, x 5 =. Acest sistem este compatibil nedeterminat, admiţând şi soluţii diferite de soluţia nulă. Deci V V () şi suma nu este directă. b) Ca şi în cazul punctului a), V V este mulţimea vectorilor x = (x, x, x 3, x ) din R ale căror coordonate satisfac sistemul x + x - x 3 + x =, x - x + x 3 - x =, x - x 3 = x - x 3 + x =, x - x + x =. Acest sistem este compatibil determinat şi admite doar soluţia nulă. Atunci V V = () şi suma este directă. Deoarece dimensiunile subspaţiilor V şi respectiv V sunt egale cu, deducem aplicând teorema lui Grassmann că dim R V V =. Deci V V = R. 5. Să se arate că suma subspaţiilor generate de familiile G = {e = (, 3,, 5), e = (,, 5, ), e = (3,, 6, 7)} şi G = {f = (,,, ), f = (,, 3, )} este directă şi egală cu întreg spaţiul. Să se determine descompunerea vectorului x = (,, 3, 7) în sumă de doi vectori, unul din G şi altul din G. R: Se demonstrează că dim R G = dim R G =. Deoarece G G este sistem de generatori pentru G + G în care avem sistemul liniar independent {e, e, f, f }, maximal (cu cel mai mare număr de vectori) putem spune că B = {e, e, f, f } este o bază pentru G + G. Deci dim R G + G =. Folosind teorema lui Grassmann deducem că dim R G G =, deci G G = () şi suma este directă. Mai mult G + G are dimensiunea egală cu şi rezultă că G + G = R. Vectorul x are coordonatele (,,, -) în baza B şi x = e + e + f - f. Atunci luăm x = e + e = (3,, 6, 7) şi x = f - f = (-, -, -3, ) şi x = x + x este descompunerea căutată. 6