Noţiuni de algebră booleană (în lucru)
Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt valabile 6 axiome:
Axiomele algebrei booleene 1. Mulţimea B conţine cel puţin două elemente diferite 2. Axioma închiderii: operaţiile (+) şi (.) sunt operaţii interne adică: a,b B (i) a+b B (ii) a.b B
Axiomele algebrei booleene 3. Existenţa elementelor neutre pentru operaţiile binare (i) element neutru faţă de operaţia (+) notat cu 0 a.î.: a B, a+0=a (i) element neutru faţă de operaţia (.) notat cu 1 a.î. a B, a.1=a
Axiomele algebrei booleene 4. Comutativitate a,b B (i) a+b=b+a (ii) a.b=b.a 5. Distributivitatea a,b B (i) a+(b.c) =(a+b).(a+c) (ii) a.(b+c)=a.b+a.c
Axiomele algebrei booleene 6. Existenţa elementului opus a B, există elementul opus lui a, notat a a.î.: (i) a+a'=1 (ii) a.a'=0
Denumirea operaţiilor Operaţia + se numeşte sumă logică, adunare logică, surjecţie şi o vom numi pe scurt sumă Operaţia. se numeşte produs logic, înmulţire logică, conjuncţie şi o vom numi pe scurt produs Operaţia se numeşte negare sau complementare
Prioritatea operaţiilor În cadrul unei algebre booleene operaţiile au urmatoarea prioritate ( ) expresiile din paranteză operaţia de complementare. operaţia de înmulţire logică + operaţia de sumare logică
Principiul dualităţii Axiomele algebrei booleene sunt prezentate în perechi fiecare axiomă din pereche fiind duala celeilalte O axiomă se poate obţine din duala sa modificând operaţia + cu operaţia. şi elementul 0 cu elementul 1 (şi invers). Exemplu: existenţa elementului opus (i) a + a = 1 (ii) a. a = 0
Proprietăţile algebrei booleene Idempotenţa a B (i) a + a = a (ii) a.a = a Proprietăţile lui 0 şi 1 a B (i) a+1=1 (ii) a.0 = 0
Proprietăţile algebrei booleene Unicitatea lui 0 şi 1 Elementele 0 şi 1 sunt unice Unicitatea elementului opus Pentru a B, a este unic Distincţia dintre 0 şi 1 Elementele 0 şi 1 sunt distincte Involuţia a B, (a')'=a
Proprietăţile algebrei booleene Absorbţia a,b B (i) a + a.b = a (ii) a.(a+b) = a Asociativitatea a,b,c B (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a. (b. c) = (a. b). c
Proprietăţile algebrei booleene De Morgan a,b B (i) (a + b) = a. b (ii) (a. b) = a + b
Exemple de algebre booleene Algebra binară B={0,1} împreună cu operaţiile Definire alternativă a operaţiilor
Exemple de algebre booleene Simboluri Contact normal deschis (cnd) Contact normal închis (cni) K= mulţimea contactelor electrice împreună cu operaţiile: Legare în serie Legare în paralel Schimbarea stării contactului
Comutativitate a b b a a b b a
Element neutru a 1 a a a 0
Distributivitate a a a b c b c b a b a c a c
Element opus a a 0 a 1 a
Idempotenţa a a a a a a
Proprietăţile lui 0 si 1 a 0 0 a 1 1
Absorbţia a a a b a a a b
De Morgan a d a b F b d F a b d a F d F b
Funcţiile booleene de două variabile n=2 nr. de variabile 2 2 =4 combinaţii de valori pentru variabile 2 2 2 =16 funcţii de 2 variabile
Funcţiile booleene de două variabile F0 = 0 Funcţia constantă 0 F1 = A.B (SI) AND F2 = AB' Inhibiţie (A dar nu B) F3 = A Identitate F4 = A B Inhibiţie (B dar nu A) F5 = B Identitate F6 = AB' + A'B SAU-Exclusiv (XOR), se notează şi A B F7=A+BSAU F8 = (A + B)' SAU-NU (NOR) (în logica matematică denumită funcţia lui Peirce, se mai notează A B F9 = A'B' + AB Echivalenţă, se notează şi A B F10=B' Complement, NU (NOT) F11 = A + B' Implicaţie (B implică A), se notează şi B A F12 = A'Complement, NU (NOT) F13= A' + B Implicaţie (A implică B), se notează şi A B F14 = (AB)' SI-NU (NAND) - în logica matematică denumită funcţia Sheffer, se mai notează A B F15 = 1 Funcţia constantă 1