curs 9 v3 [Compatibility Mode]

Transcriere

1 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul major de intervenţie. Calitate în învăţământul superior Numărul de identificare al contractului: Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA Curs: 9. Elemente de analiza matematica. Integrale. Primitive. Grupele: M, M4, M5, M8, M9, M, M Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir

2 Primitive Definitie Fie f : I R. Daca eista F : I R cu proprietatile: F derivabila pe I F'()=f(), I atunci functia f admite primitive pe intervalul I. Se numeste integrala nedefinita a lui f si se noteaza f()d={f:i R = primitiva a lui f}, multimea primitivelor lui f

3 Integrale: Integrale nedefinite uzuale n + n+ n d = + C, n N \{ } d = ln + C d = + C d = + C d = ln + a + C + a d = arctg + C, a 0 + a a a a d = ln + C, a 0 a a + a 3

4 Integrale: Integrale nedefinite uzuale + a ( ) d = ln + + a + C, a 0 a a d = ln + a + C, a 0 d = arcsin + C, a 0 a a ln(a) a d = + C,a > 0 e d = e + C 4

5 Integrale: Integrale nedefinite uzuale sin()d = cos() + C cos()d = sin() + C tg()d = ln cos() + C ctg()d = ln sin() + C cos sin d = tg() + C d = ctg() + C 5

6 Metoda directa Fie intervalul [a,b]. Daca f:i R este continua pe I R, si F:I R este o primitiva a lui f, atunci f()d=f()+c 6

7 Metoda integrarii prin parti Daca f,g:i R sunt doua functii derivabile, cu derivate continue pe I R, atunci functiile f' g si g' f admit primitive si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia: f()g'()d=f()g() f'()g()d 7

8 Metoda integrarii prin parti Calculati h()d, unde h() = ln, >0 f()=ln g()= f()g'()d=f()g() f'()g()d g'()d=ln d = ln + C = (ln ) + C 4 8

9 Metoda integrarii prin parti Eercitiul nr. Calculati h()d, unde h() = ln, >0 Eercitiul nr. Calculati h()d, unde h() = ln, >0 Eercitiul nr.3 Calculati h()d, unde h() = e, R 9

10 Metoda integrarii prin parti Eercitiul nr.4 Calculati = R h()d, unde h() sin, Eercitiul nr.5 Calculati h()d, unde h() = sin, R Eercitiul nr.6 Calculati 3 3 h()d, unde h() sin cos, = + R 0

11 Metoda schimbarii de variabila Daca f:j R este continua pe intervalul J R, F:J R este o primitiva a lui f si u:i J este functie derivabila pe intervalul I R, atunci f(u())u'()d = f(t)dt = F(t) + C = F(u()) + C

12 Metoda schimbarii de variabila Calculati prin metoda schimbarii de variabila π π h()d, unde h() =, [-, ] cos cos cos (sin )' d = d = d = d cos (cos ) (sin ) (sin ) u() = sin() f (t) = t t dt = ln + C t t + sin d = ln + C cos sin +

13 Metoda schimbarii de variabila Eercitiul nr. Calculati 4 + h()d, unde h() =, R Eercitiul nr. Calculati sin h()d, unde h() =, R Eercitiul nr.3 Calculati h()d, unde h() + cos = sin cos, R 3

14 Metoda schimbarii de variabila Eercitiul nr.4 Calculati h()d, unde h() Eercitiul nr.5 Calculati 3 = sin, h()d, unde h() =, (0,) 3 Eercitiul nr.6 Calculati h()d, unde h(), R = + R 4