Laborator 7- Distributii de probabilitate clasice Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 15.nov.2017 1
1 Preliminarii Matlabul lucreaza cu functia de repartiţie dată de următoarea definiţie: Definition 1 Dacă X este variabila aleatoare funcţia F (x) = P (A X ) = P (X < x) se numeste functia de repartitie a variabilei X. Lemma 2 Fie F (x) functia de repartitie a v.a. X atunci: 1. 0 F (x) 1, x R 2. P(a X < b) = F (b) F (a) 3. P(a<X<b)=F(b)-F(a)-P(x=a) 4. P(a<X b) = F (b) F (a) P(x=a)+P(x=b) Theorem 3 Functia de repartitie a oricarei v.a X este o functie nedescrescatoare, continua la stânga şi lim F (x) = 0; lim F (x) = 1 x x Definition 4 Fie F(x) funcţia de repartiţie a unei variabilei X dacă o funcţie integrabilă f(x) a.î. F (x) = x f(u)du (1) atunci X se numeşte v.a. continuă, iar f(x) se numeşte densitate de probabilitate sau densitate de repartiţie a lui X. Example 5 Se consideră 4 urne cu componenţa U 1 = {3 bile albe,5 bile negre}, U 2 = {4 bile albe,8 bile negre},u 3 = {3 bile albe,7bile negre},u 4 = {4 bile albe,2bile negre}. Se extrage o bila din fiecare urna.care este probabilitatea a) o bila alba? b)nici o bila alba. Solution 6 Vom scrie urmatorul script Matlab 2
p1=[3/8 5/8]; p2=[1/3 2/3]; p3=[3/10 7/10]; p4=[2/3 1/3]; p12=conv(p1,p2); p34=conv(p3,p4); p=conv(p12,p34) Se obtine p = 0.0250 0.1625 0.3722 0.3431 0.0972 Rezulta :a)p=0.341, b)p=0.0972 Example 7 Fie variabila aleatoare X care se referă la aruncarea unui zar, anume dacă în urma aruncării zarului se obţine 4 sau 6 se pierde o miză (X=-1),iar dacă se obţine un număr prim 2,3,5 se câştigă o miză (X=1), altfel nu se câştigă şi nu se pierde nimic (X=0). Să se reprezinte prin puncte şi bare funcţia de probabilitate şi funcţia de repartiţie pe aceaşi figură. Solution 8 Variabila aleatoare X are distribuţia: ( ) 1 0 1 X = Scriem următorul program Matlab 1 3 1 1 6 2 x=[-1:1]; p=[1/3,1/6,1/2]; pc=[1/3,1/6,1/2]; subplot(1,3,1),plot(x,p, o ) axis([-1.5 1.5 0 1]) title( Functia de probabilitate ) subplot(1,3,2),bar(x,p) axis([-1.5 1.5 0 1]) title( Functia de probabilitate prin bare ) subplot(1,3,3),stairs(x,pc) title( Functia de repartitie ) 2 Functiile Matlab pdf,cdf Concluzionam ca distribuţia variabilei aleatoare X poate fi precizată prin ceea ce numim funcţie densitate de probabilitate (pdf=probability 3
distribution function)definită prin f (x i ) = p i, i I sau prin funcţia de repartiţie (cdf=cumulative distribution function). Dacă valorile p i, i I sunt calculate atunci folosind instrucţiunile plot,bar, stairs se pot reprezenta grafic funcţia de probabilitate (pdf),şi funcţia de repartiţie (cdf).anume dacă vectorul x conţine valorile variabilei aleatoare X,iar p probabiltăţile corespunzătoare, atunci instrucţiunile: plot(x,p, s ) bar(x,p) stairs(x,p) vor reprezenta grafic respectiv functia de probabilitate prin simbolul s functia de probabilitate prin bare si functia de repartitie (functia in scara).remarcăm faptul că dacă X ia o infinitate numărabilă de valori, atunci trebuie să ne limităm un număr finit de valori ale variabilei aleatoare, iar reprezentările grafice se vor face face pe domeniul cuprins între valorile minimă şi maximă.ale acestora. 3 Legi de probabilitate de tip discret clasice 3.1 Legea binomiala(bino) Definition 9 Spunen ca variabila aleatoare X urmează legea binomială B(n,p) dacă are distrubuţia: ( ) k X P (n, k) unde iar p (0, 1) şi q = 1 p. P (n, k) = Funcţia de probabilitate estė: f(x n, p) = ( ) n p k q n k k ( ) n p x q n x x Example 10 Sa se scrie un program in Matlab care sa reprezinte grafic functia de probabilitate(prin puncte si bare) si functia de repartitie ale legii B(n,p). Codul Matlab este: 4
n=input( n= ); p=input( p= ); x=0:n; f=binopdf(x,n,p); subplot(1,3,1);plot(x,f, o ) axis([-0.5 n+0.5 0 max(p)+0.002]) title( Functia de probabilitate ) subplot(1,3,2),bar(x,f) axis([-0.5 n+0.5 0 max(p)+0.002]) title( Functia de probabilitate ) f=cdf( bino,x,n,p); subplot(1,3,3),stairs(x,f) title( Functia de repartitie ) axis([0 n 0 1]) Executam scriptul pentru n=7, p=0.3 3.2 Legea hipergeometrica Definition 11 Spunen ca variabila aleatoare X urmează legea hipergeometrica H(n,M,K) dacă are distrubuţia: ( ) k X P (n, k) unde P (n, k) = ( ) ( ) K M K k n k ( ), n K M m n Variabila aleatoare X reprezinta numarul succeselor obtinute in n extrageri dintr-o populatie de volum M fara intoarcere daca numarul indivizilor cu proprietatea cercetata este K. Functia de probabilitate corespunzatoare este: ( ) ( ) K M K f(x n, M, K) = x n x ( ) m, n K M n Example 12 Sa se demonstreze ca daca p= K M K si q= adica ca la M M probabilitatile ca la prima extragere sa se obtina succes, respectiv insucces,iar M, atunci ( ) n P (n, k) p k q n k k 5
adica se obtine distributia binomiala. Scriem scriptul clf; M=input( M: ); K=input( K(K<=M): ); n=input( n(n<=k): ); x=0:n; p=k/m; fh=hygepdf(x,m,k,n); fb=binopdf(x,n,p); bar(x,[fh,fb ]) colormap spring Il executam pentru M=100,K=40,n=10 3.3 Legea lui Poisson Definition 13 Spunen ca variabila aleatoare X urmează legea lui Poisson Po(λ) dacă are distrubuţia: ( ) k X p k (λ) unde p k (λ) = λk k! e λ, λ > 0 Functia de probabilitate corespunzatoare este: f(x λ) = λx x! e λ, x = 0, 1,... Variabila aleatoare X numara de cite ori apare un anumit eveniment intr-un interval de timp, pe o distanta, pe suprafata. Poisson a aratat ca aceasta lege este un caz limita a legii binomiale, adica daca np λ, n. De aici aceasta lege se mai numeste si lege a evenimentelor rare. Example 14 Sa se scrie un program care sa reprezinte grafic prin bare functiile de probabilitate B(n,p) si Po(λ). Scriptul este clf; n=input( n= ); p=input( p= ); 6
lambda=n*p; vi=fix(lambda-3*sqrt(lambda)); vf=fix(lambda+3*sqrt(lambda)); x=vi:vf; fb=binopdf(x,n,p); f1=poisspdf(x,lambda); colormap autumn bar(x,[fb,f1 ]) Se lanseaza in executie pentru n=100,p=0.05 4 Legi de probabilitate continue 4.1 Legea normala Example 15 Sa se reprezinte grafic functia densitate de probabilitate (PDF) si functia de repartitie a legii normale notata N(m,σ) definite prin f(x m, σ) = 1 σ m)2 exp( (x 2π 2σ 2 si Φ(x) = 1 2π x Definim un script normala.m. m=input( mu= ); s=input( sigma= ); x=m-3*s:0.01:m+3*s; f=normpdf(x,m,s); F=normcdf(x,m,s); subplot(1,2,1), %grid on plot(x,f, k- ) grid on title( Densitatea de probabilitate ) subplot(1,2,2), %grid on plot(x,f, k- ) grid on title( Functia de repartitie ) exp( t 2 )dt Dupa lansarea in executie dam media mu=0, dispersia sigma=1. 7
4.2 Funcţia Matlab normspec Funcţia normspec reprezintă reprezintă grafic densitatea de probabilitate a legii normale de parametrii m şi σ şi umbreşte aria mărginită de dreptele perpendiculare pe axa absciselor ce trec prin punctele axei precizate prin cele două componente ale vectorului sp,curba ce reprezintă reprezintă graficul densităţii de probabilitate şi axa absciselor. Parametrul p după executia funcţiei normspec conţine valoarea ariei umbrite. Example 16 Să se scrie un program Matlab care să reprezinte grafic densitatea de probabilitate a legii N(m,σ) şi va umbrii dreptele de ecuaţie x = a, x = b, a < b Solution 17 Scriem scriptul urmator: clf; m=input( mu= );s=input( sigma= ); a=input( a= );b=input( b= ); p=normspec([a,b],m,s); %parametrul num2str(a)care transforma valoarea numerica %a lui a intr-un sir de caractere xlabel([ a=,num2str(a), b,num2str(b)]) ylabel( Densiatea de probabilitate ) title([ Probabilitatea intre a si b :,num2str(p)]); 4.3 Functia Matlab disttool Această funcţie MATLAB acestuia se face prin: >>disttool este un program demonstrativ.lansarea în urma căreia se produce o fereastră grafică interactivă privind funcţiile de repartiţie CDF şi funcţiile de probabilitate PDF. 8