Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014

Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 Paul Ulmeanu January 6, 2014 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 1 / 22

Cuprins 1 Cuprins 2 Principii 3 Logica sistemului Date de intrare Logica sistemului 4 Calculul prob. de succes pentru x 7 = 0 5 Calculul MUT pentru x 4 = 0 6 Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 2 / 22

Cuprins Un Enunt de tip Simulare Construirea adecvata a modelului de calcul, corespunzator datelor de intrare si cerintelor precizate in enunt Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 3 / 22

Cuprins Un Enunt de tip Simulare Construirea adecvata a modelului de calcul, corespunzator datelor de intrare si cerintelor precizate in enunt Evaluarea modelului Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 3 / 22

Cuprins Un Enunt de tip Simulare Construirea adecvata a modelului de calcul, corespunzator datelor de intrare si cerintelor precizate in enunt Evaluarea modelului Solutii Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 3 / 22

Principii Premize Sistemul analizat are un numar de sapte componente binare si independente Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 4 / 22

Principii Premize Sistemul analizat are un numar de sapte componente binare si independente Logica sistemului este precizata prin indicarea unui set de trasee minimale (pt. cazul x 6 = 0) si a unui set de taieturi minimale (pt. cazul x 6 = 1) Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 4 / 22

Principii Premize Sistemul analizat are un numar de sapte componente binare si independente Logica sistemului este precizata prin indicarea unui set de trasee minimale (pt. cazul x 6 = 0) si a unui set de taieturi minimale (pt. cazul x 6 = 1) Construirea modelului face apel la tehnici algebrice prezentate la curs, in principal bazate pe produse disjuncte Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 4 / 22

Logica sistemului Date de intrare Date de intrare: Trasee minimale pt. cazul x 6 = 0 Componenta / Traseu 1 2 3 4 5 6 7 Traseu Traseu Traseu Traseu Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 5 / 22

Logica sistemului Date de intrare Date de intrare: Taieturi minimale pt. cazul x 6 = 1 Componenta indisponibila / Taietura 1 2 3 4 5 6 7 K1 K2 K3 K4 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 6 / 22

Logica sistemului Logica sistemului Factorizare - teorema Shannon Factorizare - teorema lui Shannon in raport cu componenta 6: SUCCES = x 6 SUCCES x6 =1 + x 6 SUCCES x6 =0 SUCCES x6 =1 = INSUCCES x6 =1 SUCCES x6 =1 = K1 +K2 +K3 +K4 x6 =1 (K1 +K2 +K3 +K4) x6 =1 = (K1 K2 K3 K4) x 6 =1 Pentru x 6 = 1, s-au notat: K1 = x 3 x 4 K1 = x 3 +x 4 K2 = x 1 x 3 x 5 K2 = x 1 +x 3 +x 5 K3 = x 2 x 4 x 7 K3 = x 2 +x 4 +x 7 K4 = x 1 x 2 x 5 x 7 K4 = x 1 +x 2 +x 5 +x 7 K1 K2 = x 3 +x 1 x 4 +x 4 x 5 K3 K4 = x 2 +x 7 +x 1 x 4 +x 4 x 5 K1 K2 K3 K4 = x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 4 x 5 +x 3 x 7 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 7 / 22

Logica sistemului Logica sistemului Factorizare - teorema Shannon Cazul x 6 = 1: traseele minimale sunt T 1 = {1, 4}; T 2 = {2, 3}; T 3 = {4, 5}; T 4 = {3, 7}. Cazul x 6 = 0: traseele minimale numerotate:t 1 = {1, 4}; T 2 = {2, 3}; T 5 = {2, 4, 5, 7}; T 6 = {1, 3, 5, 7}. Traseele sistemului: - trasee care nu au legatura cu starea componentei 6: T 1 = {1, 4}; T 2 = {2, 3}; T 5 = {2, 4, 5, 7}; T 6 = {1, 3, 5, 7} - trasee care sunt in legatura cu starea componentei 6: pt. x 6 = 1: T 3 = {4, 5}; T 4 = {3, 7}. T 3 T 3 = {4, 5, 6}; T 4 T 4 = {3, 6, 7}. Concluzie: Sistemul are sase trasee minimale: T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6. Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 8 / 22

Calculul prob. de succes pentru x 7 = 0 Calculul prob. de succes pentru x 7 = 0 In cazul in care componenta 7 este retrasa din exploatare / indisponibila, din cele 6 trasee minimale mai putem conta pe cele care NU-l contin pe 7: T 1 = {1, 4}; T 2 = {2, 3}; T 3 = {4, 5, 6} Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 9 / 22

Calculul prob. de succes pentru x 7 = 0 Diagrama de succes a sistemului in cazul x7 = 0 P x7 =0 = p 2 + (1 p 2 ) p (p + (1 p) p 2 ) P x7 =0 = 2 p 2 + p 3 2p 4 p 5 + p 6 Pentru p = 0.9 P x7 =0 = 0.977751 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 10 / 22

Calculul MUT pentru x 4 = 0 Calculul MUT - bazat pe lista traseelor minimale Vom aborda calculul MUT plecand de la lista traseelor minimale actualizate pentru cazul x 4 = 0. Sistemul are, in acest caz, trei trasee minimale, respectiv pe cele care NU contin componenta 4: T 2 = {2, 3}; T 4 = {3, 6, 7} ; T 6 = {1, 3, 5, 7}. Ecuatia logica bazata pe dezvoltare de produse disjuncte: SUCCES x4 =0 = T 2 + T 2 T 4 + T 2 T 4 T 6 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 11 / 22

Calculul MUT pentru x 4 = 0 T 2 = x 3 + x 2 x 3 T 2 T 4 = x 2 x 3 x 6 x 7 T 2 T 6 = x 1 x 2 x 3 x 5 x 7 T 4 = x 3 + x 7 x 3 +x 7 x 3 x 6 T 2 T 6 T 4 = x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 12 / 22

Calculul MUT pentru x 4 = 0 Avem: SUCCES x4 =0 = x 2 x 3 + x 2 x 3 x 6 x 7 +x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 P x4 =0 = p 2 + p 3 (1 p) + p 4 (1 p) 2 ν x4 =0 = 2λp 2 + p 3 (1 p)(3λ µ) + p 4 (1 p) 2 (4λ 2µ) MUT x4 =0 = P x4 =0/ν x4 =0 Numeric: pentru p = 0.9 P x4 =0 = 0.889461 pentru λ = 2 10 4 (1/h) µ = λp/(1 p) = 18 10 4 (1/h) ν x4 =0 = 0.0002181492 (1/h); MUT x4 =0 = 4077.3 (h). Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 13 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Pasul 1: Trasee minimale care contin atat componenta 3, cat si componenta 6 Traseu / Componenta 3 6 7 T4 Pentru identificarea vectorilor critici ceruti: conditia 1: x 3 =1 si x 6 = 1. Cum T4 este singurul traseu care contine cele doua componente: conditia 2: x 7 = 1 (pentru ca sistemul sa fie in stare de succes). Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 14 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Pasul 2: Restul traseelor - care nu contin componentele 3 si 6 Traseu / Componenta T1 T2 T3 T5 T6 1 2 4 5 7 Pentru x 3 = 1 si x 6 = 1, traseul T 5 nu mai este minimal. In plus, x 7 = 1. Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 15 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Pasul 3: Nici unul din traseele minimale indicate la pasul 2 nu trebuie sa fie functionale! Traseu / Componenta T1 T2 T3 T6 1 2 4 5 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 16 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Traseul T2 nefunctional daca si numai daca x 2 = 0 Traseu / Componenta T1 T2 T3 T6 1 2 4 5 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 17 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Similar, T1, T3 si T6 (Solutia 1) Traseu / Componenta T1 T2 T3 T6 1 2 4 5 Componente in stare de insucces: 1,2,5; Componente in stare de succes: 3,4,6,7 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 18 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Similar, T1, T3 si T6 (Solutia 4) Traseu / Componenta T1 T2 T3 T6 1 2 4 5 Componente in stare de insucces: 1,2,4,5; Componente in stare de succes: 3,6,7 Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 21 / 22

Vectori critici comuni componentelor 3 si 6 Din cele patru solutii, rezulta lista vectorilor critici comuni: V 1 = {!1,!2, 3,!4,!5, 6, 7} V 2 = {!1,!2, 3,!4, 5, 6, 7} V 3 = {!1,!2, 3, 4,!5, 6, 7} V 4 = {1,!2, 3,!4,!5, 6, 7} Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 22 / 22