urbe de ărgime constantă. Triunghiu ui Reueaux Temistoce ÎRSAN 1 Abstract. The aim of this artice consists in informing the readers on the curves of constant width and - especiay - on the Reueaux triange with its appications. Keywords: curve of constant width, Reueaux triange, arbier theorem. MS 2010: 97G10. ercu are proprietatea că distanţa dintre două tangente paraee ae sae este aceeaşi, oricare ar fi perechea de tangente considerată; anume, această distanţă este ungimea diametruui cercuui. Se pune întrebarea: această proprietate este caracteristică cercuui? Răspunsu este negativ, iar aprofundarea acestei chestiuni ne conduce a o casă remarcabiă de curbe având proprietăţi interesante şi apicaţii importante în tehnică este vorba de curbee de ărgime constantă. Această prezentare are scop informativ. Pentru a face mai simpă expunerea vom considera că toate curbee ce vor interveni sunt convexe (în fapt, prin aceasta nu s-a impus o restricţie, deoarece curbee a care ne vom referi sunt în mod necesar convexe). Vom face ape în mod curent a cunoştinţe eementare privind curbee şi muţimie convexe [1, 4]. 1. Definiţii şi exempe. Dată o curbă pană închisă şi o direcţie, se numeşte ărgimea curbei în direcţia distanţa d între dreptee de sprijin 1 d 1 şi d 2 ae curbei ce sunt paraee între ee şi perpendicuere pe (fig. 1). Dacă ărgimea curbei este aceeaşi în orice direcţie, se spune că ea este de ărgime constantă. Există o casă vastă de curbe de ărgime constantă. ercu este ce mai simpu exempu de acest fe. Un at exempu simpu este triunghiu ui Reueaux 2 : cu centru în fiecare vârf a triunghiuui echiatera A se construieşte arcu de cerc ce uneşte ceeate două vârfuri rămase şi se obţine triunghiu curbiiniu format din arcee, A, A (fig. 2). Dacă este ungimea aturii triunghiuui echiatera, pentru triunghiu ui Reueaux obţinem imediat că are: 1) ărgimea, 2) perimetru π, 3) aria 1 2 (π 3) 2, 4) unghiurie din vârfuri de 120, 5) razee cercurior circumscris şi înscris egae cu 3, respectiv 1 3Š. 1 Prof.dr., Univ. Tehnică,,Gh. Asachi, Iaşi; t birsan@yahoo.com 1 O dreaptă de sprijin este o dreaptă ce are ce puţin un punct comun cu curba şi o asă de o parte a ei. O curbă închisă şi convexă are două şi numai două drepte de sprijin paraee cu o direcţie dată. 2 După numee ui Franz Reueaux (1829-1905), inginer german considerat creatoru mecanicii moderne, care a studiat această formă în scop apicativ [2]. Forma este cunoscută, însă, din Evu Mediu: apare în mai mute manuscrise ae ui Leonardo da Vinci sau în arhitectură, ca profi de ferestre ae unor catedrae. Leonhard Euer a studiat în ucrarea De curvis trianguaribus curbee triunghiuare şi cee de ărgime constantă (numite de e orbiforme) [5]. 97
Δ d 1 A d d 2 Fig. 1 Fig. 2 Modu în care a fost obţinut triunghiu Reueaux poate fi utiizat pentru a găsi noi curbe de ărgime constantă. În fig. 3 este indicat un pentagon curbiiniu de ărgime constantă obţinut având a bază un pentagon reguat; arcee care- mărginesc sunt arce de cerc cu centree în unu din vârfurie pentagonuui şi care unesc extremităţie aturior opuse. Evident, putem vorbi de poigoane curbiinii de ărgime constantă cu un număr impar de arce - poigoane Reueaux, o generaizare a triunghiuui Reueaux. Toate aceste curbe sunt acătuite dintr-un număr finit de arce de cerc egae, iar ărgimea or este egaă cu diametru poigonuui reguat de bază. De atfe, s-a arătat că poigoanee Reueaux sunt singuree curbe de ărgime constantă formate dintr-un număr finit de arce de cerc de aceeaşi ungime. Menţionăm că în Marea ritanie monedee de 20 şi 50 pence au forma de heptagoane Reueaux. Şi în ate ţări circuă astfe de monede: otswana, anada, ipru, Iordania, Mauritania [5]. A A A Fig. 3 Fig. 4 urbee de ărgime constantă date ca exempu mai sus au vârfuri, anume, punctee comune arceor ce compun curba sunt puncte unghiuare. Se poate însă trece cu uşurinţă a poigoane curbiinii cu ărgime constantă fără vârfuri (netede). În fig.4 este iustrat acest procedeu de trecere pe cazu triunghiuui Reueaux; o construcţie simiară se poate face pentru oricare poigon Reueaux. Arcu din fig. 2 este înocuit cu arcuùa A concentric cu e, dar de rază + 0 ( 0 > 0 dat) şi a fe se 98
construiesc arceeù,ù. Se închide curba cu arcee de cercù,ù A,ùA cu centree în vârfurie A,, respectiv şi de rază 0. Evident, curba obţinută, paraeă cu triunghiu Reueuax, are ărgimea + 0 şi este netedă. Utiizând procedee asemănătoare, se pot construi curbe de ărgime constantă pornind cu P 1 P P 8 poigoane nereguate având un număr par de aturi. În fig. 5 se consideră un patruater compet 2 F D E P ADEF (echivaent, patru drepte care se intersectează) şi apoi un punct P 1 pe dreapta A. Se A 7 construiesc succesiv următoaree arce de cerc:ùp 1 P 2 P 3 cu centru în F,ùP 2 P 3 cu centru în D,ùP 3 P 4 cu centru în E,...,ùP 8 P 1 cu centru în. Este simpu de P 6 arătat că utimu arc construit are ca extremitate P 4 punctu P 1 şi că P 1 P 5 = P 2 P 6 = P 3 P 7 = P 4 P 8. P5 a urmare, curba închisă obţinută este formată din Fig. 5 arce (neegae) de cerc şi are ărgime constantă. Procedeu este vaabi si pentru un număr oarecare (par sau impar) de drepte care se intersectează. Aşadar, există o infinitate de curbe de ărgime constantă. Observăm că toate curbee de mai sus sunt formate din arce de cerc. Menţionăm că acest fapt nu este obigatoriu şi că există curbe de ărgime constantă pentru care nicio porţiune, oricât de mică, nu este arc de cerc. 2. Proprietăţi. Teorema ui arbier. Enunţăm câteva proprietăţi importante ae curbeor de ărgime constantă [4,5,7]: I. ercu este singura curbă de ărgime constantă care are un centru de simetrie. II. urbee de ărgime constantă au în vârfuri unghiuri interioare de ce puţin 120. Numai triunghiu Reueaux are în cee trei vârfuri unghiuri interioare de 120. III. Printre curbee de ărgime constantă, cercu mărgineşte o suprafaţă de arie maximă, iar triunghiu Reueaux una de arie minimă. IV. ercurie înscris şi circumscris unei curbe de ărgime constantă sunt concentrice şi suma razeor or este egaă cu ărgimea curbei. Am văzut deja că perimetru triunghiuui Reueaux este dat de formua P = πd, unde d este ărgimea sa (în acest caz, egaă cu ungimea a aturii triunghiuui echiatera de bază) şi tot prin cacu eementar se verifică că formua este vaabiă pentru orice poigon Reueaux. O proprietate surprinzătoare a curbeor de ărgime constantă a fost stabiită în anu 1860 de către matematicianu francez Joseph-Émie arbier (1838-1889). Teorema ui arbier. urbee de ărgime constantă d au perimetru ega cu πd. Demonstraţie. Vom putea da doar o schiţă de demonstraţie, bazată pe conceptu agebric de adunare Minkowski a muţimior convexe. Un punct O fiind uat ca origine de vectori, suma a două muţimi convexe K 1 şi K 2 este muţimea, notată K 1 +K 2, formată din extremităţie vectorior OA+ O, A K1 şi K 2 (adunarea vectorior 99
efectuându-se după regua paraeogramuui). Vom utiiza următoaree proprietăţi ae sumei de muţimi convexe [4,7]: 1) ărgimea muţimii sumă într-o direcţie dată este suma ărgimior muţimior termen în acea direcţie; 2) perimetru sumei este ega cu suma perimetreor muţimior termen; 3) suma dintre o muţime convexă şi simetrica sa faţă de un punct arbitrar are o simetrie centraă. Putem acum demonstra afirmaţia enunţată. Fie K o curbă de ărgime constantă d şi fie K simetrica sa faţă de un punct uat arbitrar. K este tot o curbă de ărgime constantă d şi cu aceaşi perimetru ca şi K. onform proprietăţii 1), K + K este o curbă de ărgime constantă egaă cu 2d, iar din 2) rezută că perimetru sumei K + K este ega cu suma perimetreor muţimior K şi K. Pe de ată parte, conform proprietăţior 3) şi I, deducem că suma K + K este un cerc. Aşadar, suma perimetreor muţimior K şi K este egaă cu perimetru cercuui de diametru 2d, adică π 2d. Obţinem că dubu perimetruui muţimii K este ega cu 2πd, deci perimetru muţimii K este πd, ceea ce trebuia arătat. Obsevaţie. În [3], pentru teorema ui arbier este prezentată o demonstraţie probabiistică eementară ce are a bază probema acuui ui uffon. 3. Rotaţia într-un pătrat. Fie o curbă de ărgime constantă d şi o direcţie arbitrară. Se trasează atât dreptee de sprijin perpendicuare pe cât şi aceea paraee cu. ee două perechi de drepte determină un pătrat de atură d circumscris curbei. Rotind direcţia, acest pătrat se va roti în juru curbei rămânând în orice moment circumscris ei. Atfe spus, fixând pătratu, curba se va roti fiind înscrisă în orice moment în pătrat. Fig. 6 Fig. 7 Să uăm drept curbă un triunghi Reueaux şi să- rotim în pătratu circumscris ui. În orice moment a rotaţiei, două dintre vârfurie triunghiuui ating două aturi adiacente ae pătratuui, pe când a treiea vârf parcurge un arc de curbă în apropierea ceui de-a patruea vârf a pătratuui [5]. Geiβner şi Zeiter (2000) arată că muţimea acoperită de triunghiu Reueaux se obţine,,rotunjind coţurie pătratuui a arce de eipsă şi stabiesc eementee care determină eipsee din care fac parte cee patru arce (în fig. 6 este indicată această muţime şi una dintre eipse). Suprafaţa acoperită este aproximativ 98,77% din suprafaţa pătratuui. Menţionăm şi faptu că pe parcursu 100
rotirii centru triunghiuui Reueaux nu rămâne fix, ci trasează o curbă formată din patru arce de eipsă (Wagon, 1991), care este indicată în fig. 7 [6]. Aceste proprietăţi ae triunghiuui Reueaux stau a baza construirii burghieor care pot da găuri,,aproape pătrate, a unor mecanisme care transformă un tip de mişcare în atu, proiectoareor de fim sau a compresoruui rotativ a motoruui Wanke. Ate poigoane Reueaux sunt utiizate pentru a face găuri pentagonae, hexagonae sau octogonae. 4. Extinderi în spaţiu. Se spune că un corp convex din R 3 este de ărgime constantă d, dacă distanţa dintre panee oricărei perechi de pane de sprijin ae sae este egaă cu d. Există o infinitate de corpuri de ărgime constantă d. Sfera este ce mai simpu exempu de acest fe. Dar, spre deosebire de situaţia simiară din pan, nu există corpuri de ărgime constantă mărginite numai de suprafeţe de sferă (exceptând sfera însăşi). e mai simpu corp de ărgime constantă, diferit de sferă, se obţine rotind un triunghi Reeaux în juru uneia din axee sae; corpu rezutat are voum minim printre corpurie de rotaţie de ărgime constantă dată. Simiar triunghiuui Reueaux, în spaţiu avem tetraedru Reueaux, care se obţine ca intersecţie a ceor patru sfere de rază centrate în vârfurie unui tetraedru reguat de muchie, dar acesta nu are ărgime constantă. Însă, acesta poate fi modificat în două moduri diferite şi obţinut două suprafeţe (corpuri) de ărgime constantă [4,5]. Teorema ui arbier nu rămâne vaabiă în spaţiu, corpuri de aceeaşi ărgime pot avea ariie suprafeţeor or diferite. Avem, însă, un rezutat important în această privinţă. Umbra unui corp pe un pan este proiecţia ortogonaă pe pan a corpuui. Evident, dacă corpu are ărgime constantă d, atunci şi umbree sae pe orice pan vor fi de ărgime constantă d; conform teoremei ui arbier, aceste umbre au perimetru πd. Este adevărată şi afirmaţia inversă, adică avem: un corp convex are ărgime constantă dacă şi numai dacă umbree sae au aceaşi perimetru. ibiografie 1. H. Rademacher, O. Toepitz Despre numere şi figuri, Ed. ştiinţifică, ucureşti, 1968. 2. F. Reueaux The Kinematics of Machinery, Macmian, New York, 1876; Dover Pubications, 1964. 3. G. Sudan âteva probeme matematice interesante, (cap. 5, 37-49), Ed. Tehnică, ucureşti, 1969. 4. I. M. Yagom, V. G. otyansky Figuri convexe, Moscova-Leningrad, 1951 (în. rusă). 5. https://en.wikipedia.org/wiki/reueaux triange. 6. http://mathword.wofram.com/reueauxtriange.htm. 7. http://www.cut-the-knot.org/ctk/arbier.shtm. 101