C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
|
|
- Horea Marin
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea pânzei. Observaţie 2.2. Pânza σ este specificată dacă sunt precizate componentele funcţiei vectoriale σu, v) = xu, v), yu, v), zu, v)). O altă modalitate este folosirea vectorului de poziţie r = ru,v) = xu,v) ı+yu,v) j+zu,v) κ sau parametrizarea σ: x = xu,v), y = yu,v), z = zu,v), u,v) D. Observaţie 2.3. Fie I v = {u u,v) D} şi I u = {v u,v) D}. Pentru o pânză σ : D R 3 şi pentru orice u,v) D funcţiile σ u : I u R, σ u t) = σu,t) σ v : I v R, σ v t) = σt,v) sunt drumuri în R 3. Definiţie 2.4. O pânză σ : D R 3 se numeşte simplă dacă σ este injectivă pe mulţimea D. Definiţie 2.5. O pânză σ : D R 3 se numeşte netedă dacă aplicaţia σ este de clasă 1 pe D şi u v, pentru orice u,v) D, unde u = x uu,v) ı+y uu,v) j+z uu,v) κ, v = x vu,v) ı+y vu,v) j+z vu,v) κ Observaţie 2.6. Vectorul u este tangent la curba σ v, iar v este tangent la curba σ u. ondiţia u v înseamnă că vectorii u şi v sunt nenuli şi liniar independenţi. În aceste condiţii ei formează vectorii directori ai planului tangent la suprafaţă. Ecuaţia planului tangent este x xu,v ) y yu,v ) z zu,v ) x uu,v ) y uu,v ) z uu,v ) x vu,v ) y vu,v ) z vu,v ) =. Aceeaşi condiţie u v 1
2 2 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ ne asigură în acelaşi timp că în fiecare punct al suprafeţei putem considera vectorul normal N = u v. Versorul normalei este vectorul de lungime 1 pe direcţia normalei, adică N n = ± N = ± u v u v. Definiţie 2.7. O suprafaţă se numeşte orientabilă sau cu două feţe dacă normala la suprafaţă variază continuu pe întrega suprafaţă. Pentru o astfel de suprafaţă alegerea unui semn pentru versorul normalei înseamnă alegerea unei feţe a suprafeţei. Observaţie 2.8. Există suprafeţe care au o singură faţă. Un exemplu este banda lui öbius. Z X Y Definiţie 2.9. Două pânze σ 1 : D 1 R 3 şi σ 2 : D 2 R 3 se numesc echivalente dacă există o funcţie h : D 1 D 2 de clasă 1, bijectivă, cu inversa de clasă 1 astfel încât jacobianul lui h să fie strict pozitiv în orice punct al lui D 1, iar σ 1 = σ 2 h. Observaţie 2.1. Notăm prin σ 1 σ 2 faptul că pânzele σ 1 şi σ 2 sunt echivalente. Relaţia este o relaţie de echivalenţă. De asemenea, se verifică imediat faptul că două pânze echivalente au aceeaşi imagine, iar dacă una este simplă sau netedă şi cealaltă are aceeaşi proprietate. Definiţie e numeşte suprafaţă o clasă de pânze echivalente. Observaţie O suprafaţă este mulţimea tuturor pânzelor care au o imagine dată şi o orientare precizată. O suprafaţă se poate specifica în 4 feluri: 1) forma parametrică: σu,v) = xu,v),yu,v),zu,v)), u,v) D 2) forma vectorială: r = xu,v) ı+yu,v) j+zu,v) κ, u,v) D 3) forma explicită: z = fx,y), x,y) D 4) forma implicită: Fx,y,z) =, x,y,z) A R 3, precizând orientarea aleasă. Forma explicită nu este altceva decât o parametrizare de forma u,v,fu,v)), unde f este o funcţie de clasă 1. Forma implicită ne conduce la forma explicită cel puţin local, în jurul unui punct dat, datorită teoremei funcţiilor implicite. Oricare din aceste forme duce la identificarea unei suprafeţe şi de aceea vom folosi noţiunea de suprafaţă în legătură cu oricare din aceste forme.
3 2.2. ARIA UNEI UPRAFEŢE 3 Exemplu Pânza descrisă de x = 1 u v)x A +ux B +vx, y = 1 u v)y A +uy B +vy, z = 1 u v)z A +uz B +vz, D = {u,v) u,1), v,1), u+v < 1} are ca imagine porţiunea din planul determinat de punctele Ax A,y A,z A ), Bx B,y B,z B ) şi x,y,z ) aflată în interiorul triunghiului AB. Pentru u,1), drumurile σ u sunt segmente paralele cu A care umple triunghiul. Pentru v,1), drumurile σ v sunt segmente paralele cu AB. Exemplu Pânza descrisă de x = x +rcosvsinu, y = y +rsinvsinu, z = z +rcosu u, π ), v, π ) 2 2 este o porţiune din sfera de ecuaţie x x ) 2 + y y ) 2 + z z ) 2 = r 2, cu centrul x,y,z ) şi raza r. O altă pânză echivalentă este x = u + x, y = v + y şi z = z + r 2 u 2 v 2, pentru u,v >, u 2 + v 2 < r 2. Într-adevăr, funcţia hu,v) = rcosvsinu,rsinvsinu) cu jacobianul Jh) = r 2 sinucosu > este de clasă 1 pe, π 2) 2 şi are inversa h 1 u,v) = 2.2 Aria unei suprafeţe arcsin u 2 +v 2 r ),arctg v de clasă 1. u Definiţie Fie σ o pânză netedă descrisă vectorial prin ru,v), unde u,v) D iar D este o mulţime deschisă şi conexă. Fie o submulţime D care are arie. Numim arie a porţiunii de suprafaţă σ) numărul real Ariaσ)) = u v dudv. Observaţie O justificare pentru această formulă este următoarea: considerăm mulţimea = [a,b] [c,d] şi fie o partiţie a intervalului [a,b], respectiv [c,d] u = a < u 1 < < u n = b, v = c < v 1 < < v m = d. Notând kj = [u k 1,u k ] [v j 1,v j ]calculămarialui însumândariileimaginilorσ kj ). Aproximăm aria imaginii σ kj ) cu aria paralelogramului format de vectorii Dar ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 ), ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 ). ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 ) = uξ k,v j 1 ) u k u k 1 ), ξ k u k 1,u k ) ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 ) = vu k 1,η j ) v j v j 1 ), η j v j 1,v j ). uma Σ 1 = = n m [ ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 )] [ ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 )] k=1 j=1 n k=1 j=1 m uξ k,v j 1 ) vu k 1,η j ) u k u k 1 )v j v j 1 )
4 4 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ aproximează suma Ariaσ)) = n k=1 j=1 m Ariaσ kj )). Datorităfaptuluicăfuncţiilevectoriale u şi v suntcontinueped sumaσ 1 areaceeaşi valoare la limită cu suma Σ 2 = n k=1 j=1 m uξ k,η j ) vξ k,η j ) u k u k 1 )v j v j 1 ) care tinde la integrala dublă u v dudv. Observaţie e poate arăta că aria porţiunii suprafeţei σ) nu depinde de parametrizare. Expresia dσ = u v dudv se numeşte element de suprafaţă. Vom da în continuare câteva formule de calcul pentru dσ. Avem unde Atunci u ı j κ r v = x u y u z u x v y v z v = A ı+b j+ κ, A = y u z u y v z v, B = z u x u z v x, v = x u y u x v y v. dσ = u v dudv = A 2 +B dudv. Dacă suprafaţa are reprezentarea explicită z = zx, y) atunci formula devine dσ = 1+z x 2 +z y 2 dxdy. O altă reprezentare a elementului de suprafaţă pentru pânze se poate obţine plecând de la formula şi notând u v 2 = u 2 v 2 sin 2 u, v) = u 2 v 2[ 1 cos 2 u, v) ] = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 u, v) = u u) v v) u v) 2 E = u r u = x 2 u +y u 2 +z u 2 G = v r v = x 2 v +y v 2 +z v 2 F = u r v = x ux v +y uy v +z uz v. Rezultă dσ = EG F 2 dudv.
5 2.3. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ ÎN RAPORT U ARIA 5 Exemplu ă calculăm aria sferei de rază R. Datorită simetriei, aria sferei va fi de 8 ori aria porţiunii din octantul pozitiv, care se parametrizează Avem şi atunci x = Rcosvsinu, y = Rsinvsinu, z = Rcosu, u, π ), v, π ). 2 2 E = x 2 u +y u 2 +z u 2 = Rcosvcosu) 2 +Rsinvcosu) 2 + Rsinu) 2 = R 2 G = x 2 v +y v 2 +z v 2 = Rsinvsinu) 2 +Rcosvsinu) = R 2 sin 2 u F = x ux v +y uy v +z uz v = π 2 Ariasferei) = 8 π 2 EG F2 dudv = 8R 2 cosu) π 2 v π 2 = 4πR Integrale de suprafaţă în raport cu aria Definiţie Fie σ o pânză netedă descrisă vectorial prin ru,v), unde u,v) D iar D este o mulţime deschisă şi conexă. Fie o submulţime D care are arie. Fie F : U R o funcţie continuă pe o mulţime deschisă U R 3 ce conţine pe = σ). Numim integrală de suprafaţă în raport cu aria de speţa I) numărul real Fx,y,z)dσ = Fxu,v),yu,v),zu,v)) u v dudv. Observaţie 2.2. Dacă suprafaţa este inclusă în planul XOY atunci z = şi vectorul de poziţie se reduce la r = x ı+y j. În acest caz, x y = ı j = κ şi dσ = dxdy. Rezultă Fx,y,z)dσ = Fx,y,)dxdy. Integrala de suprafaţă se reduce la o integrală dublă în cazul suprafeţelor incluse în planul XOY. Observaţie Aria suprafeţei este dată de formula Aria) = dσ. asa unei plăci subţiri având forma suprafeţei, cu densitatea punctuală dată de funcţia ρ se calculează cu formula masa) = ρx,y,z)dσ. Exemplu ă se calculeze x 2 +y 2 +z 2 )dσ, unde : x 2 +y 2 = z 2, z 1.
6 6 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ uprafaţa este un con care se poate scrie în formă explicită z = x 2 +y 2, iar x,y), unde este discul centrat Z în origine de rază r = 1. Elementul de suprafaţă se calculează plecând de la z x = z y = x x2 +y 2 y x2 +y 2 şi folosind formula dσ = 1+z x) 2 + 2dxdy z y) = 2dxdy. X Y Obţinem I = x 2 +y 2 +z 2 )dσ = x 2 +y 2 +x 2 +y 2 ) 2dxdy = 2 2 x 2 +y 2 )dxdy. Trecând la coordonate polare, se obţine I = 2 2π 1 2 dϕ ρ 3 dρ = 4π 2 ρ4 1 4 = π Fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafaţă Definiţie Fie o suprafaţă netedă orientabilă pe care fixăm o anumită orientare alegând un anumit semn pentru versorul normalei la suprafaţă. Fie un câmp vectorial continuu v = Px,y,z) ı + Qx,y,z) j + Rx,y,z) κ definit pe un domeniu care conţine suprafaţa. e numeşte fluxul lui v prin faţa suprafeţei determinată de n, integrala de suprafaţă Φ v) = v ndσ. Observaţie Produsul v n dσ se numeşte flux elementar. Dacă v reprezintă câmpul vitezelor unui fluid în mişcare, atunci v ndσ este cantitatea de fluid ce trece prin elementul de suprafaţă în unitatea de timp, în sensul indicat de n. Dacă v şi n au sensuri opuse atunci produsul v n dσ este negativ. Fluxul se schimbă printr-un semn, dacă se schimbă sensul normalei la suprafaţă. Observaţie Dacă notăm cu α,β şi γ unghiurile pe care le face n cu axele de coordonate OX, OY, respectiv OZ, atunci Φ v) = v ndσ = P cosα+qcosβ +Rcosγ)dσ. Dacă notăm cu dydz, dzdx şi dxdy proiecţiile elementului de suprafaţă dσ pe planele de coordonate YOZ, ZOX, respectiv XOY, obţinem Φ v) = v ndσ = P dydz +Qdzdx+Rdxdy. Integrala de suprafaţă P dydz +Qdzdx+Rdxdy se numeşte integrală de suprafaţă în raport cu coordonatele de speţa a II-a).
7 2.5. FORULA LUI TOKE 7 Observaţie Pentru calculul fluxului ţinem cont de expresia versorului normalei şi de expresia elementului de suprafaţă. Φ v) = v ndσ = v u v u r u v dudv v = v u P Q R r v)dudv = x u y u z u x v y v z dudv. v Exemplu ă se calculeze fluxul vectorului v = x ı + y j + zx 2 + y 2 ) κ prin faţa exterioară a paraboloidului z = x 2 +y 2, din interiorul cilindrului x 2 +y 2 = 1. Paraboloidul z = x 2 +y 2 intersectează cilindrul x 2 +y 2 = 1 pentru z = 1. Ecuaţia suprafeţei este Z z = x 2 +y 2, x,y), unde : x 2 + y 2 1. Normala la suprafaţă face cu axa OZ unghiul γ > π 2, deci cosγ <. Rezultă că Fluxul este x y n = x. y Φ v) = X v ndσ = D n v x y)dxdy. alculăm produsul mixt. Avem v x x y x 2 +y 2 ) 2 r y) = 1 2x 1 2y = x2 +y 2 ) 2 2x 2 +y 2 ). Rezultă că [ Φ v) = x 2 +y 2 ) 2 2x 2 +y 2 ) ] dxdy, D unde D este discul x 2 +y 2 1. e trece la coordonate polare şi se obţine Φ v) = 1 dρ 2π ) ρ 6 = 2π 6 2ρ4 1 4 ρ 4 2ρ 2) 1 ρdϕ = 2π ρ 5 2ρ 3 )dρ 1 = 2π 6 1 ) = 2π 2 3. Y 2.5 Formula lui tokes Teoremă Fie o suprafaţă orientabilă, netedă pe porţiuni şi deschisă, având ca frontieră curba, simplă, închisă, netedă pe porţiuni, orientată astfel încât dacă cineva parcurge curba având suprafaţa la stânga sa, versorul normalei este orientat de la picioare la cap. Fie v = Px,y,z) ı+qx,y,z) j+rx,y,z) κ un câmp vectorial de clasă 1 pe un domeniu ce include suprafaţa. În aceste condiţii, P dx+qdy +Rdz = ) R y Q z dydz +P z R x) dzdx+ ) Q x P y dxdy.
8 8 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ Observaţie În cazul unei suprafeţe plane care este inclusă în XOY, teorema lui tokes se reduce la teorema lui Green: ) P dx+qdy +Rdz = Q x P y dxdy. Z n Y X Observaţie 2.3. Formula lui tokes se poate rescrie v d r = rot v ndσ, ceea ce înseamnă că circulaţia vectorului v de-a lungul unei curbe închise este egală cu fluxul rotorului printr-o suprafaţă deschisă care se sprijină pe curba. Exemplu ă se calculeze circulaţia vectorului v = y 2 ı + z 2 j + x 2 κ de-a lungul laturilor triunghiului cu vârfurile A2,,), B,2,) şi,,2), parcurse în sens orar dacă sunt privite din origine. Z x+y +z = 2 n B Y O A Aplicăm formula lui tokes fr) X v d r = rot v ndσ,
9 2.5. FORULA LUI TOKE 9 pentru suprafaţa triunghiului : z = 2 x y, x,y), unde este mulţimea din planul XOY mărginită de OAB. Normala la suprafaţa triunghiului face unghi ascuţit cu axa OZ, ceea ce înseamnă că semnul lui n se alege astfel încât n κ >. Versorul normalei la o suprafaţă dată explicit are formula n = ±1 1+z x) 2 +z y) 2 z x ı z y j+ κ ). În cazul nostru n = 1 1+z x) 2 +z y) 2 z x ı z y j+ κ ) = 1 3 ı+ j+ κ). Rotorul vectorului v este ı j κ rot v = x y z y 2 z 2 x 2 = 2z ı 2x j 2y κ. Obţinem rot v ndσ = = 2 3 = 2 3 2z ı 2x j 2y κ) D = 4 Aria) = 8. x+y +z)dσ 2 3dxdy 1 3 ı+ j+ κ) dσ
8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multProbleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea
Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 3 2012/2013 Capitolul 2 n 1 0 0 377 T 0 2 1 f 1 c0 2,9979010 0 0 2 0 c 0 f 8 m s n r 0 n T 2 1 f c0 c n c 0 0 n f ITU G.692 "the allowed channel frequencies are based on a 50 GHz grid with the reference
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multMicrosoft Word - ObPatratice.doc
Obiecte patratice Primitive de desenare în OpenGL: desenare de puncte, segmente, poligoane Nu exista primitive pentru: cercuri, elipse, arcuri de cerc/elipsa, obiecte 3D mai complexe. Aceste obiecte trebuie
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multPowerPoint Presentation
Metode de reprezentare a) Metoda E b) Metoda Clasificarea desenelor tehnice dupa modul de reprezentare: a) Desenul în proiectie ortogonala b) Desenul în perspectiva Dispunerea proiecţiilor Tipuri de reprezentări
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator
Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare parametrice. Principiul de funcţionare: Modificarea inductivităţii mutuale a unor bobine cu întrefier variabil sau constant. Ecuaţia care exprimă
Mai multPowerPoint Presentation
1/23 0. Modelare Descr. 3D ~ R 3 1. Proiectie Descr. 2D~ R 2 2. Transf. fereastra Descr. 2D~ N 2 2/23 Printr-o transformare a unui punct P(x,y,z) R 3 se va obţine un alt punct P (x,y,z ) R 3. a) Translaţie
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multIDESC, Universitatea Alexandru Ioan Cuza, Iasi Centrul Regional Iasi pentru Tineri Capabili de Performanta, Iasi C
http://stoner.phys.uairo/phi.html IDESC, Universitatea Alexandru Ioan Cuza, Iasi Centrul Regional Iasi pentru Tineri Capabili de Performanta, Iasi CONCURSUL Φ 007 Marks: / Setul - Clasa a XII-a O sfera
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII I BE An I - ETTI CS 2 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CAPITOLL I CICITE ELECTICE DE CENT CONTIN GENEALITĂȚI Circuitul electric de curent continuu
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multcarteInvataturaEd_2.0_lectia5.pdf
Lect ia3 Diagrame Veitch-Karnaugh 5.1 Noţiuni teoretice Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafică a funcţiilor logice. Pentru o funct ie de N variabile, diagrama corespunz
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multOlimpiada Națională de Astronomie şi Astrofizică Aprilie 2019 Analiza Datelor - Seniori Problema 1 - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 c
Problema - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 conține liniile spectrale ale hidrogenului. Se cunosc lungimile de undă ale hidrogenului, obținute în condiții de laborator: Hα = 656,3 nm; Hβ
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multA.E.F. - suport laborator nr.1 sem.ii Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atin
Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: termeni și concepte uzuale din analiza cu elemente finite, noțiuni
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multSlide 1
BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită
Mai multC2- Energia solara la limita superioara a atmosferei terestre Mişcarea Pământului in jurul Soarelui Mişcarea Pământului în jurul soarelui este o mişca
C2- Energia solara la limita superioara a atmosferei terestre Mişcarea Pământului in urul Soarelui Mişcarea Pământului în urul soarelui este o mişcare în câmp de forţe centrale. Legile care guverneaă această
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai mult8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s
8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai mult