1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare, o singur¼a dat¼a. Câte strângeri de mân¼a au loc? b) A aţi numerele impare de trei cifre care au cifra sutelor egal¼a cu 5, cifra zecilor par¼a şi suma cifrelor egal¼a cu 14: 2. C¼asuţa lui Apolodor. Apolodor şi-a construit o c¼asuţ¼a pe care a pus un num¼ar. Vrei s¼a a i ce num¼ar are? Pentru asta trebuie s¼a ştii c¼a dac¼a scazi num¼arul c¼asuţei din cel mai mic num¼ar de trei cifre diferite, iar apoi adaugi cel mai mic num¼ar de dou¼a cifre diferite, obţii 55. 3. Codul secret. Dac¼a descifrezi urm¼atorul mesaj, vei g¼asi o comoar¼a. Fiecare liter¼a din mesajul codi cat NE PLACE COCULESCU reprezint¼a câte o cifr¼a diferit¼a de zero. Fiind un cod secret, litere diferite pot reprezenta cifre egale. A aţi codul ec¼arei litere, folosind urm¼atoarele informaţii: a) N = 3 2 + 4 7; b) suma literelor primului cuvânt al mesajului este 10; c) suma vocalelor din al doilea cuvânt al mesajului este 15; d) P este egal cu num¼arul de litere din al treilea cuvânt al mesajului; e) L este un sfert din suma dintre P şi E; f) C este r¼asturnatul literei P; g) O este cu 3 mai mic decât C şi cu doi mai mic decât U; h) S este egal cu C + U P. Dac¼a ai calculat corect, a ¼a c¼a acea comoar¼a eşti chiar tu! 4. Cinci prieteni la concurs. Alin, Bogdan, Ciprian, Dan şi Eugen au fost la un concurs unde s-au dat 4 probleme. Pentru o problem¼a complet rezolvat¼a se acord¼a 7 puncte, pentru una rezolvat¼a parţial se primesc 5 sau 3 puncte, iar pentru o problem¼a nerezolvat¼a se acord¼a 0 puncte. Ar¼ataţi c¼a: a) unul din cei cinci prieteni poate obţine 16 puncte; b) este posibil ca Alin, care a rezolvat complet dou¼a probleme, s¼a e întrecut de Bogdan, care nu a rezolvat complet nicio problem¼a; c) este posibil ca Ciprian şi Dan s¼a aib¼a acelaşi punctaj, deşi Ciprian a rezolvat complet trei probleme, iar Dan a rezolvat complet doar dou¼a probleme; d) dac¼a Eugen a obţinut 17 puncte, atunci a rezolvat m¼acar o problem¼a complet. Clasa a IV-a 1. Numere, numere. Determinaţi suma numerelor naturale a şi b pentru care Câte soluţii are problema? 30 8 360 : (a b) = 12 (12 + 48 : 16) : 2. La m¼asurat! Gigel s-a hot¼arât s¼a-şi m¼asoare camera folosind diverse obiecte. A g¼asit bâta de baseball a tat¼alui s¼au care era de dou¼a ori mai lung¼a decât rigla sa de 20 cm. A m¼asurat o parte din peretele lung, care era cât cinci bâte de baseball, apoi a g¼asit un panto or de când avea doi ani care avea un sfert din lungimea unei bâte şi a m¼asurat zece panto ori pân¼a s-a terminat restul peretelui. Peretele cel scurt era cât opt panto ori şi trei bâte de baseball. A aţi care este perimetrul camerei lui Gigel (în centimetri şi în metri). Cristina Dumitrache, C.N.I.M. Slatina
2 3. Modelino. Carina şi Andrada s-au apucat s¼a modeleze animale şi p¼as¼ari din plastilin¼a. Au modelat 27 de biluţe reprezentând capete de c¼aţei, urşi şi pui. A venit şi David care s-a apucat s¼a modeleze picioarele, toate 84. Nu le-a mai r¼amas mult¼a plastilin¼a, aşa c¼a au f¼acut codiţe de pui de dou¼a ori mai multe decât cele de c¼aţei, iar urşii au r¼amas, cum credeţi? F¼ar¼a coad¼a... Câţi urşi, c¼aţei şi pui au modelat cei trei copii? Cristina Dumitrache, C.N.I.M. Slatina 4. Poveşti. Maria a citit în vacanţ¼a 6 poveşti, în total 71 de pagini. Num¼arul de pagini al primelor dou¼a poveşti reprezint¼a numere consecutive impare. Urm¼atoarele dou¼a însumeaz¼a 25 de pagini, a treia având un sfert din num¼arul de pagini al celeilalte. A cincea are cu 18 pagini mai mult decât a şasea şi de 4 ori mai multe. Câte pagini are ecare poveste citit¼a de Maria? Clasa a V-a 1. Not¼am cu S (n) ; U (n) suma cifrelor num¼arului natural n; respectiv ultima cifr¼a a sa. Determinaţi numerele naturale n care au proprietatea n + S (n) + U (n) = 2012: 2. Copiii din clasa noastr¼a au 12 sau 13 ani. Toţi împreun¼a au 316 ani. A aţi câţi copii sunt în clas¼a şi câţi au 12; respectiv 13 ani. S.L.T. 3. Ar¼ataţi c¼a mulţimea f1; 2; 3; :::; 143g se poate scrie ca reuniunea a trei mulţimi A; B; C; disjuncte dou¼a câte dou¼a, astfel încât s (A) = 2s (B) = 3s (C) ; unde cu s (M) s-a notat suma elementelor mulţimii M: 4. Suma a 11 numere naturale, nenule, distincte este mai mic¼a decât 96: Ar¼ataţi c¼a se pot alege dou¼a din ele cu suma 13: Maria Pop Clasa a VI-a 1. Determinaţi cel mai mic num¼ar natural N care admite trei scrieri diferite de forma N = 17a + 19b; unde a; b 2 N: Dan Nedeianu 2. Împ¼arţind num¼arul natural 100 la dou¼a numere naturale pare consecutive se obţine acelaşi rest nenul. A aţi suma resturilor obţinute prin împ¼arţirea numerelor de la 1 la 100 la cele dou¼a numere pare considerate. Marius Perianu 3. Fie AB şi CD dou¼a drepte concurente în punctul O: Fie [OP bisectoarea unghiului [AOC, [OT bisectoarea unghiului \P OB şi [OR bisectoarea unghiului \T OD: Ştiind c¼a m(\p OR) = 140 ; determinaţi m¼asura unghiului \AOD: C¼at¼alin St¼anic¼a 4. Determinaţi p¼atratele perfecte de forma COCU LESCU; scrise în baza 10; ştiind c¼a acestea se divid cu 625; iar literele distincte semni c¼a cifre distincte. Costel Anghel
3 Baraj Juniori II 1. Determinaţi numerele de patru cifre distincte care difer¼a de r¼asturnatele lor printr-un num¼ar de forma abbb: Bogdan Ioniţ¼a, Titu Zvonaru 2. Se consider¼a un num¼ar natural n 1; astfel încât n şi 5n au împreun¼a un num¼ar par de cifre. Ar¼ataţi c¼a n conţine cifra 1: 3. Fie p un num¼ar prim. Determinaţi numerele naturale n 1 care au proprietatea d 1 d 2 :::d k = n p ; unde d 1 ; d 2 ; :::; d k sunt divizorii lui n: 4. În ecare p¼atr¼aţel al unei table 5 5 se plaseaz¼a la întâmplare câte un num¼ar de la 1 la 25, astfel încât oricare dou¼a p¼atr¼aţele s¼a conţin¼a numere diferite. a) Demonstraţi c¼a exist¼a dou¼a linii şi dou¼a coloane care au proprietatea c¼a p¼atr¼aţelele situate la intersecţiile acestora conţin numai numere impare. b) Exist¼a întotdeauna dou¼a linii şi dou¼a coloane aşa încât p¼atr¼aţelele situate la intersecţiile acestora s¼a conţin¼a numai numere pare? Clasa a VII-a 1. Determinaţi numerele prime p pentru care p (p + 17) se poate scrie ca produsul a dou¼a numere naturale consecutive. Lucian Tuţescu 2. a) Ar¼ataţi c¼a pentru orice num¼ar natural n 2; exist¼a a; b 2 N ; distincte, astfel încât 1 a + 1 b = 1 n : b) Fie p un num¼ar prim şi a; b 2 N ; distincte, astfel încât 1 a + 1 b = 1 p : Ar¼ataţi c¼a num¼arul a2 + b 2 (a + b) este p¼atrat perfect. Lucian Petrescu 3. Fie a 2 un num¼ar natural. Determinaţi numerele raţionale x; y; z; t cu proprietatea c¼a x 4 + y4 a + z4 a 2 + t4 a 3 = xyzt: 4. Fie ABCD un p¼atrat şi punctele M 2 DA; N 2 AB; P 2 BC; Q 2 CD; astfel încât A 2 (MD) ; B 2 (NA) ; C 2 (P B) ; D 2 (QC) şi AM + CP = BN + DQ: Ar¼ataţi c¼a MP? NQ: Clasa a VIII-a 1. Se consider¼a o mulţime M de 2012 numere reale cu proprietatea c¼a pentru orice a; b 2 M; num¼arul a 2 + b p 2 este raţional. Ar¼ataţi c¼a, pentru orice x 2 M; num¼arul x p 2 este raţional. S:L:T: 2. Se consider¼a un num¼ar natural a format cu 9 cifre nenule şi distincte, cu ultima cifr¼a 5: Ar¼ataţi c¼a a nu este p¼atrat perfect. [ ]
4 3. Se consider¼a un cub ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 : Punctul A se proiecteaz¼a pe A 0 B; A 0 C; A 0 D respectiv în P; Q; R: Ar¼ataţi c¼a: a) A 0 C? (P QR) ; b) AP QR este patrulater inscriptibil. [ ] 4. Se consider¼a 100 de puncte în plan M 1 ; M 2 ; : : : ; M 100 şi un p¼atrat de latur¼a 1. Ar¼ataţi c¼a exist¼a dou¼a vârfuri adiacente A; B ale p¼atratului astfel ca suma perimetrelor triunghiurilor AM 1 B, AM 2 B; : : :, AM 100 B s¼a e mai mare ca 241: Baraj Juniori I 1. Se consider¼a numerele prime p 1 < p 2 < ::: < p 99 : Ar¼ataţi c¼a numerele p 1 + p 2 ; p 2 + p 3 ; :::; p 98 + p 99 ; p 99 + p 1 nu pot toate p¼atrate perfecte. Marius Ghergu 2. Se consider¼a submulţimile disjuncte A = fa 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < a 6 g şi B = fb 1 > b 2 > b 3 > b 4 > b 5 > b 6 g ale mulţimii f1; 2; 3; :::; 12g : Pentru orice i 2 f1; 2; :::; 6g de nim numerele c i = max (a i; b i ) min (a i ; b i ) : Calculaţi c 1c 2 :::c 6 : 3. Pe laturile BC; CA şi AB ale triunghiului ABC se consider¼a punctele D; E şi respectiv F astfel încât DB DC = EC EA = F A : Fie M un punct situat pe segmentul [EF ] şi fng = AM \ BC: F B Ar¼ataţi c¼a AM = MN dac¼a şi numai dac¼a F A = F B sau MF = ME: Bogdan Ioniţ¼a, Titu Zvonaru 4. Şapte drepte au proprietatea c¼a ecare împarte suprafaţa unui trapez T în dou¼a trapeze T 1 şi T 2 cu raportul ariilor S 1 = 1. Ar¼ataţi c¼a cel puţin trei dintre aceste drepte sunt concurente. S 2 2 Vasile Pop Clasa a IX-a 1. Fie a; b; c 2 (0; 1) : Demonstraţi inegalitatea: a 3b 2 + 2bc + 3c 2 + b 3c 2 + 2ca + 3a 2 + 2. Determinaţi numerele reale x care au proprietatea c 3a 2 + 2ab + 3b 2 1 1 4 a + b + 1 b + c + 1 : c + a n n + 1 < x < 2n + 1 n Costel Anghel pentru orice n 2 N : 3. Se consider¼a numerele raţionale pozitive q 1 ; q 2 ; :::; q 2012 cu suma egal¼a cu 1: Pentru ecare num¼ar natural n; consider¼am num¼arul a n = fnq 1 g + fnq 2 g + ::: + fnq 2012 g ;
5 unde fxg reprezint¼a partea fracţionar¼a a num¼arului real x: Determinaţi cel mai mare element al mulţimii A = fa n j n 2 Ng : S.L.T. 4. Fie ABC un triunghi, I centrul cercului s¼au înscris şi punctele M 2 (AB) ; N 2 (BC) ; P 2 (CA) astfel încât [AM] [BN] [CP ] : Ar¼ataţi c¼a dac¼a!! AB IM + BC IN + CA IP! =! 0 ; atunci triunghiul ABC este echilateral. Claudiu Mîndril¼a, Târgovişte Clasa a X-a 1. Rezolvaţi ecuaţia 2012 x3 + log 2012 x = 2012 x2 : Lucian Tuţescu, Aurel Chiriţ¼a 2. Determinaţi termenul general al şirului (x n ) n1 de numere reale nenule astfel încât 2 x1 + 2 2x2 + 2 3x3 + ::: + 2 nxn = 2 x n ; pentru orice n 2 N : Ludovic Longaver 3. Se consider¼a funcţiile f; g : R! R; f (x) = p x 4 + 3x 2 + 4x + 5; g (x) = p x 4 9x 2 2x + 26 şi numerele m = min ff (x) + g (x) j x 2 Rg ; M = max ff (x) g (x) j x 2 Rg : Ar¼ataţi c¼a m = M: 4. Determinaţi funcţiile f : Q +! Q + care veri c¼a relaţiile f (x) = f 1 x şi (x + 2) f (x) = (x + 1) f (x + 1) ; pentru orice x 2 Q +: Manuela Prajea Clasa a XI-a 1. Fie A 2 M 2 (C) cu proprietatea c¼a det A 2 + A + I 2 = det A 2 A + I 2 = 3: Ar¼ataţi c¼a A 2 A 2 + I 2 = 2I 2 : Marius Perianu 2. Fie A; B 2 M n (Z) pentru care exist¼a p; q 2 Z; (p; q) = 1; astfel încât det A + pq B = 0: Ar¼ataţi c¼a p j det A şi q j det B: S.L.T. 3. Fie (x n ) n1 R + un şir m¼arginit, astfel încât lim n!1 r nx x n + k n 2 k=1 n! = 1 4 :
6 Ar¼ataţi c¼a lim n!1 x n = 1: 4. Şirul (a n ) n1 are proprietatea a n 1 m a m m n ; (8) m; n 2 N ; m n: Ar¼ataţi c¼a şirul (a n ) n1 este convergent. Clasa a XII-a 1. Fie (a n ) n1 un şir de numere reale nenule convergent la zero. Determinaţi funcţiile f : R! R care admit primitive şi au proprietatea f (x + a n ) = f (x) + a n ; 8x 2 R; 8n 1: 2. Ar¼ataţi c¼a orice grup de matrice din M 2 (C) în raport cu înmulţirea matricelor, al c¼arui element neutru este diferit de I 2 ; este izomorf cu un subgrup al grupului (C ; ) : Marian Andronache 3. Fie n 2 un num¼ar natural liber de p¼atrate, D n mulţimea divizorilor naturali ai num¼arului n şi D D n o mulţime cu propriet¼aţile: a) 1 2 D; b) dac¼a x 2 D atunci n x 2 D; c) dac¼a x; y 2 D atunci (x; y) 2 D, unde (x; y) este cel mai mare divizor comun al numerelor x şi y. Ar¼ataţi c¼a num¼arul de elemente al mulţimii D este de forma 2 k, cu k 2 N: 4. Fie f : R! R o funcţie continu¼a şi a; b 2 R; a < b; astfel încât Z b a f (x + sin n) dx Z b a f (x) dx; pentru orice n 2 N: Ar¼ataţi c¼a f (a) = f (b) :