Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte polinom laticial o expresie definită recursiv astfel: 1. Orice variabilă x L este un polinom laticial; 2. Dacă u(x 1, x 2,..., x n ), v(x 1, x 2,..., x n ) sunt polinoame laticiale, atunci (a) u(x 1, x 2,..., x n ) v(x 1, x 2,..., x n ), (b) u(x 1, x 2,..., x n ) v(x 1, x 2,..., x n ), (c) (u(x 1, x 2,..., x n )) sunt de asemenea polinoame laticiale; 3. Orice polinom laticial se obţine aplicând de un număr finit de ori regulile (1) şi (2). Exemplul 3.1 Dacă x, y, z L, atunci x, x y, x (y z) (x y (z y)) sunt polinoame laticiale. Teorema 3.1 (Proprietatea de izotonie): Dacă x i y i (i = 1,..., n), atunci f(x 1,..., x n ) f(y 1,..., y n ) (polinoamele laticiale sunt funcţii izotone de variabilele lor). 27
28 PRELEGEREA 3. Demonstraţie: Din x y rezultă: x z = (x y) z = x (y z) y z x z y (x z) = (y x) z = y z. Aceste relaţii verifică teorema pentru polinoame laticiale cu un singur operator ( sau ). Pentru polinoamele cu 0 operatori teorema este banală. Inductiv, să presupunem că f(x 1,..., x n ) este un polinom cu n (n > 1) operatori. Conform definiţiei, el provine din două polinoame laticiale u şi v legate printr-un operator sau la pasul (2a) sau (2b). Presupunem fără a micşora generalitatea că f = u v. Polinoamele u şi v au mai puţin de n operatori, deci u(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ), v(x 1,..., x n ) v(y 1,..., y n ). Folosind relaţiile de sus, vom avea f(x 1,..., x n ) = u(x 1,..., x n ) v(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ) v(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ) v(y 1,..., y n ) = f(y 1,..., y n ). Din y z y rezultă x (y z) x y. Deci x (y z) este un majorant pentru x y. Similar, din y z z rezultă x (y z) x z. Deci putem scrie două relaţii, numite legi semi-distributive : x (y z) (x y) (x z) (1) x (y z) (x y) (x z) (2) Din x z avem x z = z; atunci (1) devine x (y z) (x y) z (3) numită lege semi-modulară. Putem enunţa acum Teorema 3.2 (Teorema de minimax): Fie L o latice şi x ij L, (1 i m, 1 j n). Atunci ( m n n m x ij x ij ). i=1 j=1 j=1 i=1 Demonstraţie: Relaţia devine mai simplu de abordat dacă aranjăm elementele laticii sub formă de tablou: x 11 x 12... x 1n x 21 x 22... x 2n Să notăm y i = x m1 x m2... x mn n m x ij, z j = x ij. j=1 i=1 Vom avea pentru orice i, j relaţiile y i x ij z j. Deci y i este mai mare n n decât cel mai mic majorant al tuturor z j, adică i, y i z j. Cum z j este m n minorant pentru toţi y i, avem y i z j. i=1 j=1. j=1 j=1
3.2. LATICI MODULARE 29 Exemplul 3.2 Să aplicăm Teorema 3.2 tabloului x y z y z x z x y Obţinem relaţia (y z) (z x) (x y) (y z) (z x) (x y) (4) care seamănă cu o lege semi-distributivă. 3.2 Latici modulare Definiţia 3.1 Se numeşte latice liberă o latice L ale cărei elemente nu satisfac nici o altă relaţie înafara celor şase postulate (din a doua definiţie a laticilor), împreună cu consecinţele lor. Exemplul 3.3 Să considerăm laticea liberă cu trei elemente x, y, z, unde x > z. Folosind relaţia (3) şi proprietatea de izotonie, obţinem următoarele relaţii: x y x x (y z) (x y) z z y z; x y z y y y x y z; (y x) z y x, z y x (z y). Pe baza lor se poate construi diagrama Hasse: x y z y x x (y z) y (x y) z y x z y z Definiţia 3.2 O latice modulară este o latice cu proprietatea x z x (y z) = (x y) z. (M) Exemplul 3.4 Să considerăm laticea a b = a c c a (B) b a b = a c Ea nu este modulară deoarece avem c > b şi c (a b) = c > b = (c a) b. (A)
30 PRELEGEREA 3. Teorema 3.3 O latice este modulară dacă şi numai dacă nu conţine nici o sublatice izomorfă cu (B). Două latici sunt izomorfe dacă au aceeaşi diagramă Venn. Demonstraţie: Deoarece (B) nu este modulară, orice latice care conţine o sublatice izomorfă cu ea nu va fi modulară. Invers, dacă avem o latice în care există trei elemente x, y, z cu x > z, care nu verifică relaţia (M), regula (3) de semi-modularitate dă x (y z) > (x y) z. Conform Exemplului 3.3, o astfel de latice conţine o sublatice de forma (A), care la rândul ei conţine o sublatice de tipul (B). Izomorfismul dintre (B) şi sublaticea lui (A) se obţine notând a = y, b = (x y) z, c = x (y z). Atunci a b = y z şi a c = x y. Propoziţia 3.1 Într-o latice modulară, fie b, c două elemente cu b c sau c b. Atunci a b = a c şi a b = a c b = c. Demonstraţie: Implicaţia = este trivială. Pentru implicaţia inversă, să considerăm b c. Atunci b = b (a b) = b (a c) = (b a) c = (c a) c = c. Cazul c b se demonstrează analog. Observaţia 3.1 Dacă laticea nu este modulară, atunci ea conţine o sublatice de tipul (B), în care b c cu toate că a b = a c şi a b = a c. Observaţia 3.2 Condiţia b c sau c b este esenţială. Astfel, în laticea a b = a c a b c a b = a c avem a b = a c şi a b = a c dar b c. 3.3 Latici metrice Definiţia 3.3 Fie L o latice. O funcţie v : L R cu proprietatea v(x) + v(y) = v(x y) + v(x y), x, y L se numeşte evaluare a lui L. O evaluare este pozitivă dacă şi numai dacă x > y v(x) > v(y) (relaţia > din dreapta este inegalitatea uzuală din mulţimea R a numerelor reale).
3.3. LATICI METRICE 31 Definiţia 3.4 Se numeşte latice metrică o latice L pentru care se poate defini o evaluare pozitivă. Teorema 3.4 Dacă o latice este metrică atunci ea este modulară. Demonstraţie: Fie L o latice metrică, cu evaluarea pozitivă v. Din x > z rezultă x y z = y z, x y z = x y şi deci v((x y) z) = v(x y) + v(z) v(x y z) = v(x) + v(y) v(x y) + v(z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y z) v(x y z), v(x (y z)) = v(x) + v(y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y z) v(x y z), deci v((x y) z) = v(x (y z)). Dacă laticea este nemodulară, atunci din x > z am obţine regula de semimodularitate strictă x (y z) > (x y) z, deci v(x (y z)) > v((x y) z), contradicţie. Deci trebuie ca laticea L să fie modulară. Reciproca acestei teoreme este valabilă pentru latici modulare de lungime finită dotate cu evaluări pozitive (dacă există). Termenul de latice metrică vine de la posibilitatea de definire a unei distanţe δ(x, y): δ(x, y) = v(x y) v(x y). Reamintim, o distanţă este o funcţie cu valori nenegative d : L [0, + ), care verifică sistemul de axiome: (D 1 ) : d(x, y) = d(y, x), x, y L; (D 2 ) : d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z L; (D 3 ) : d(x, y) = 0 x = y. Acestea sunt postulatele unui spaţiu metric. Teorema 3.5 Într-o latice metrică, δ este o distanţă. Demonstraţie: Deoarece x y x y, avem δ(x, y) = v(x y) v(x y) 0. (D 1 ) rezultă folosind postulatele (1a) şi (1b) din definiţia laticilor. (D 2 ): pentru că v(x y)+v(y z) = v((x y) (y z))+v((x y) (y z)) v(x y z)+v(y) şi v(x y)+v(y z) = v((x y) (y z))+v((x y) (y z)) v(y)+v(x y z), avem δ(x, y) + δ(y, z) v(x y z) v(x y z) v(x z) v(x z) = δ(x, z). (D 3 ): din x = y rezultă x y = x y, deci v(x y) v(x y) = 0. Reciproc, v(x y) v(x y) = 0 implică x y = x y (pentru că evaluarea este pozitivă). Atunci x = x (x y) = x y şi la fel y = x y, adică x = y.
32 PRELEGEREA 3. Exemplul 3.5 Fie A o mulţime finită nevidă şi notăm L= 2 A. În laticea L (vezi şi prelegerea anterioară) definim evaluarea v(x) = card(x), X L. Definiţia este corectă, deoarece se verifică imediat relaţia v(x Y ) = v(x) + v(y ) v(x Y ). v este o evaluare pozitivă, deci laticea L este metrică; cu Teorema 3.4 rezultă că L este şi modulară. Se poate defini distanţa dintre două mulţimi prin δ(x, Y ) = card(x Y ) card(x Y ). De exemplu, pentru A = {a, b}, vom avea 3.4 Latici distributive δ {a} {b} {a, b} 0 1 1 2 {a} 1 0 2 1 {b} 1 2 0 1 {a, b} 2 1 1 0 Definiţia 3.5 O latice L este distributivă dacă x, y, z L [(x y) (y z) (z x) = (x y) (y z) (z x)]. (D) Teorema 3.6 O latice distributivă este modulară. Demonstraţie: Dacă x z atunci x z = z, x z = x. Înlocuind în (D) şi folosind postulatele (3a), (3b) din definiţia laticilor, se obţine imediat x (y z) = (x y) z, adică legea de modularitate (M). Atenţie, reciproca nu este adevărată! Să considerăm alte două postulate (duale): x (y z) = (x y) (x z) (D ) x (y z) = (x y) (x z) (D ) Teorema 3.7 Postulatele (D), (D ), (D ) sunt definiţii alternative pentru laticile distributive. Demonstraţie: Trebuie arătat că fiecare astfel de relaţie implică pe celelate două. Am arătat că (D) = (M). Presupunem (D) (deci şi (M)) adevărată şi să reunim cu x ambii membri ai relaţiei (D). x [(x y) (y z) (z x)] = x [(x y) (y z) (z x)]. Membrul stâng (cu (3b)) este x (y z), iar membrul drept folosind (M) devine [x ((x y) (y z))] (z x) = [x (y z)] (x y) (z x) = (x y) (x z), deci (D ) (s-au mai folosit proprietăţile de asociativiate şi absorbţie). (D ) se obţine prin dualitate.
3.4. LATICI DISTRIBUTIVE 33 Reciproc, să presupunem că avem o latice L în care proprietatea (D ) este satisfăcută. Înlocuim x cu (x y) (x z); atunci x y = (x y) (x z) y = y (x z) = (y x) (y z) şi analog x z = (z x) (z y). După ce utilizăm idempotenţa pentru a elimina termenul z y, din (D ) se obţine (D). Dual, (D) se poate obţine şi din (D ). Postulatul de modularitate (M) se poate obţine deci din oricare din ele, via (D). Exemplul 3.6 Laticea L definită în Exemplul 3.5 este şi distributivă, elementele ei verificând banal postulatul (D ) (sau (D )). Cele două legi (D ), (D ) pot fi generalizate la n elemente astfel: ( n ) ( n n ) n x y i = (x y i ), x y i = (x y i ). i=1 i=1 i=1 i=1 Aceste formule nu sunt adevărate pentru un număr infinit de elemente. Exemplul 3.7 Să considerăm laticea numerelor întregi nenegative, cu legea de ordine parţială definită prin x y z, xz = y. Cum x0 = 0, avem x 0 x. Deci 0 este elementul total 1 iar 1 este elementul nul 0. În particular, 2 + k=0 (2k + 1) = 2 0 = 2, + k=0 (2 (2k + 1)) = + k=0 1 = 1. Deci formula nu este adevărată deşi laticea luată ca exemplu este o latice distributivă. Cum o latice distributivă este modulară, ea nu poate avea o sublatice izomorfă cu (B). Să considerăm şi laticea u a b c d Teorema 3.8 O latice modulară L este distributivă dacă şi numai dacă nu are nici o sublatice izomorfă cu laticea (C). Demonstraţie: = : Presupunem că L are o sublatice izomorfă cu (C). Scriind relaţia de distributivitate pentru a, b, c, avem (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) adică d = u, contradicţie. Deci (C) nu este o latice distributivă. = : Notăm d = (x y) (y z) (z x), u = (x y) (y z) (z x). Dacă laticea nu este distributivă, trebuie ca d u pentru cel puţin un triplet (C)
34 PRELEGEREA 3. x, y, z L. Legea de semi-distributivitate (4) asigură d < u. Fie acum a = (u x) d, b = (u y) d, c = (u z) d. Avem u x = (x y) (y z) (z x) x = x (y z) şi la fel u y = y (z x). Deci a b = [x (y z)] d [y (z x)] = [x (y z)] [y (z x)], unde fiecare termen din d a fost absorbit de unul din ceilalţi termeni. Deci, folosind proprietatea de modularitate (M), avem a b = [[x (y z)] y] (z x) = [[(y z) x] y] (z x) = (y z) (x y) (z x) = u. Analog, b c = c a = u. Cum d < u, legea de modularitate asigură că a, b, c pot fi scrise şi sub forma a = u (x d), b = u (y d), c = u (z d); folosind un procedeu dual, ajungem la a b = b c = c a = d. Deci a, b, c, d, u formează o latice izomorfă cu (C). Corolarul 3.1 O latice este distributivă dacă şi numai dacă nu are nici o sublatice izomorfă cu (B) sau (C). Propoziţia 3.2 O latice L este distributivă dacă şi numai dacă a, b, c L [a b = a c, a b = a c = b = c] (vezi şi Propoziţia 3.1). Demonstraţie: = : Dacă laticea nu este distributivă, se poate găsi o sublatice formată din cinci elemente, izomorfă cu (B) sau (C), în care b c deşi a b = a c şi a b = a c. = : b = b (a b) = b (a c) = (b a) (b c) = (a c) (b c) = (a b) c = (a c) c = c. Teorema 3.9 O latice metrică este distributivă dacă şi numai dacă x, y, z avem v(x y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y) v(y z) v(z x) Demonstraţie: = : Dacă laticea este distributivă, avem v(x y z) = v(x) + v(y z) v(x (y z)) = v(x) + v(y z) v((x y) (x z)) = v(x) + v(y) + v(z) v(y z) v(x y) v(x z) + v((x y) (x z)). = : Dacă laticea este metrică, din egalitatea din teoremă, avem v(x (y z)) = v((x y) (x z)). Cum legea de semi-distributivitate dă x (y z) (x y) (x z) iar evaluarea v este pozitivă, se obţine x (y z) = (x y) (x z). În mod analog se poate scrie şi o teoremă duală. 3.5 Latici complementate Dacă o latice L are 0 şi 1 şi x, y L astfel ca x y = 0, x y = 1, atunci y este complementul lui x, iar x este complementul lui y. În general, un element x poate să nu aibă complement, poate avea mai multe complemente sau doar unul. 0 şi 1 dacă există sunt complementare.
3.5. LATICI COMPLEMENTATE 35 Exemplul 3.8 Să considerăm laticea (i): 1 1 b a b c a 0 0 (i) (ii) Elementul a are două complemente: b şi c, deoarece a b = a c = 1, a b = a c = 0. Similar b are drept complemente pe a şi c, iar c pe a şi b. În schimb, în laticea (ii), nici a şi nici b nu au nici un complement. Dacă x şi y sunt complementare în raport cu sublaticea [a, b] = {z a z b}, adică x y = a, x y = b, atunci x, y sunt relativ complementare unul altuia în raport cu [a, b]. Definiţia 3.6 O latice complementată este o latice în care fiecare element are un singur complement. O latice relativ complementată este o latice L în care a, b L cu a < b, [a, b] este o latice complementată. Teorema 3.10 Fie L o latice modulară şi x, y L două elemente complementate. Dacă a, b L verifică relaţia a x b, atunci x şi b (y a) sunt relativ complementare în raport cu [a, b]. Demonstraţie: Ştim că într-o latice modulară, din b > a rezultă b (y a) = (b y) a. Deci, dacă a x b, avem x b (y a) = x (y a) = (x y) a = 0 a = a, (x şi y sunt complementare în L), şi similar, x (b y) a = (b y) x = b (y x) = b 1 = b. Corolarul 3.2 O latice modulară complementată este relativ complementată. Exemplul 3.9 Fie laticea L= 2 A definită în Exemplul 3.5. Pentru fiecare X L, X = {a A a X} este complementul lui X. Avem X X = A, X X =. Laticea este deci complementată şi fiind şi modulară este relativ complementată. Teorema 3.11 O latice este distributivă dacă şi numai dacă orice complement relativ, dacă există atunci este unic. Demonstraţie: = : Fie y 1, y 2 două complemente ale lui x : x y 1 = x y 2 = 0, x y 1 = x y 2 = 1. Cum laticea este distributivă, conform Propoziţiei 3.2 rezultă y 1 = y 2. Acelaşi argument se aplică şi pentru complementele relative.
36 PRELEGEREA 3. = : Dacă complementul relativ este unic, atunci laticea nu admite nici o sublatice izomorfă cu (B) sau (C), deci conform Corolarului 3.1 laticea este distributivă. Vom nota complementul (unic) al unui element a L cu a. Deci: a a = 1, a a = 0. 3.6 Exerciţii Exerciţiul 3.1 Arătaţi că funcţia de evaluare nu este injectivă. (Indicaţie: folosiţi Exemplul 3.5). Exerciţiul 3.2 Demonstraţi că laticea definită în Exemplul 3.7 este distributivă. Exerciţiul 3.3 Daţi exemplu de latice modulară care nu este distributivă. Exerciţiul 3.4 Fie L o latice metrică distributivă şi v o evaluare. Atunci v(x y)+v(y z)+v(z x)+v(x y)+v(y z)+v(z x) = 2(v(x)+v(y)+v(z)). Exerciţiul 3.5 Într-un grup oarecare de oameni, 10 au ochi albaştri, 14 sunt căsătoriţi şi 16 sunt politicieni. Există doar un politician cu ochi albaştri care este căsătorit, dar sunt 21 care sunt sau căsătoriţi sau cu ochi albaştri, şi 4 politicieni sunt cu ochi albaştri. Câţi oameni sunt numai căsătoriţi sau numai cu ochi albaştri? Exerciţiul 3.6 Fie L o latice modulară şi a, b L, a < b. Să se arate că [a, a b] şi [a b, b] sunt izomorfe. Exerciţiul 3.7 Fie L o latice şi : o operaţie (numită reziduare ) definită prin axiomele: 1. (a : b) b < a, a, b L; 2. Dacă a b < c atunci c : b > a, a, b, c L. Să se arate că o latice distributivă finită este reziduată cu operaţia x : y = z. z y<x Exerciţiul 3.8 Orice latice reziduată L are elementul 1 şi x : x = 1 x L.