O. Bddescu, M. Cimpoegu, Gh. Crdciun, H. Csapo, M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu, C. Mogog, M. Pdunescu, L. Petrescu, A. Pogtaru, A. Rdducan, G. Rdducan, C. Scdiceanu, N. Seimeanu, N. Stdnicd, N. Suciu, M.Zaharia Pregdtirea exam en ului de ma$-fi,\ ln 25 de septamdni ffi e2 W SIG IYl
O" Bidescu, M. Gimpoegu, Gh. Griciun, H. Gsap6, M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu, C. Mogog, M. Piuneseu, L" Petrescu, A. Pogtail, A. Rdducan, G. Riducan, G. Scdiceanu, N. Seimeanu, N. Stinici, N. Snciu, M. Zaharia Pregefi rea examenului de EVATUARE NATIONALA 2017 Tn 25 de saptem0ni Matematici @SIGilIA
CUPRINS Cuvdnt tnainte...,... 3 Temele recapitulate tn testele sdptdmdnale...4 Programa pentru evaluarea nalionald la matematicd..."... 6 Memorator...:... 19 Recapitularea materiei prin exercigii Si probleme Enunfuri Solulii 1. Mulyimea numerelor rea\e..... 29... 51 2. Calcul algebric 33... 53 3. Funclii... 35...54 4. Ecualii, inecualii;i sisteme de ecualii 36...55 5. Elemente de organizarea datelor. 39...57 6. Mdsurare ;i mdsuri... 40...57 7. Triunghiul.... 41...,...57 8. Patrulaterul convex... 42... 58 9. Cercul... 44..."... 59 10. Puncte, drepte, plane, unghiuri, corpuri geometrice... 45... 60 Planifrcaru sdptdmdnald a recapituldrii pentru Evaluarea Nagionald...66 Modele dc tate sdptdmdnale pentru recopitulare Enunluri... 69 Indical:ii ;i rezolvdri... l0l Subicctele dsle saa prupase dc cfrre minister 201 0 Model propus 127... 181 Subiectul dat tn sesiunea speciald...... 128......IBz Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 130... 184 2011 Model propus 131... 185 Subiectul dat tn sesiunea speciald... I 3 3...... I87 Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 134... 189 332
201 2 Model prapus Subiectul dat in sesiunea speciald... Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulie Varianta de rezervd 136... I 90 138...... r92 139...... 194 t4t... 1 95 201 3 Model propus...;. Subiectul dat in sesiunea speciald Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie Varianta de rezervd r42... t9 6 t44..."... 1 98 l, 46... 19 9 t 47... 201 201 4 Model propus... Testul de pregdtire 1. Testul de pregdtire 2... Testul de pregdtire 3... Testul de pregdtire 4... Testul de pregdtire 5... Subiectul dat in sesiunea speciald Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie Varianta de rezervd 49... 2A2 1 50..."... 204 I 52... 20 5 1 54......". 206 I 56... 208 157..."... 209 1 s9...".... 2rI I 61......212 t 62... 2t3 201 5 Model propus Simulare... Subiectul dat fn sesiunea speciald Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie Varianta de rezervd.:... 64... 2t 5 1 66...... 21 6 t67... 218 I 69...... 219 t7 0..."... 220 241 6 Model propus...i... Simulare... Subiectul dat in sesiunea speciald Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie Varianta de rezervd I7 2... " 222 t7 3 "... 223 175 ))< 17 6,...,... ZZS 1 78... 228 JJJ
Tixte finatc pmtru pregdtirea Emmenului de Evalaare Nagionald Enanfurt Solufii
27 0... 3r7 27 I... 3 I 8 272... 3 l9 27 3... 321 27 s... 322 27 6... 323 27 7... 324 27 9... 324 280...... 325 28 I... 326 283...... 327 284... 328 285...... 329 287... 3 30 335
MEMORATOR Operafii cu puteri ALGEBRA l. a*' a": a^+n, oricare at fi a e R*, m, n Z 2. a-: an: am-n, oricare ar ft a R*, z, n e Z 3. (a-)': a^', oricare at ft a lr-, z, n 7 4. (a ' by: an. b', oricare ar fi a, b e R', m, n e t e)' =fi, oncare ar fi a, b e R*, n e z 6. a-t =!, aer.. IVlodulul unui numir real I x-dacdx>-0 l.lxl=i I I l--r,dacdx<0 z.lxl>o,vxelr 3.1*.y l=l'l.lyl.l!_14.' lyl- lyl 5.lrl<ae-a{x(cooricare ar fi a Partea intreagi qi frac{ionarfl a unui numir real t. ' = [']* {"} 3. [x]<x< [;r]+ t z.fxlez +.0<{r}< t Operafii cu radicali L.J;.,{b=Jrb, a7o, b2o, #=8, a2o, b>o 3'94' =JV ' a>o' n ez +.(aje)' =anjf, a+0, b>0, nez s. JF =lal,c e R 19
Rafionalizarea numitorului t. nrft=*,c>0,b*a,. n*n' ---o----o-*ue + Ji).6>0. c>o tl b-", c b-c Formule de calcul prescurtat l.(atb)'=o'+2ab+t 2.(a+b)(o*b)=o'-b' 3. (a + b + c)t = a' + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac. Media aritmetici: m -q+a2+"'+a, on Media aritmetici ponderati: *, - 4' Pt* az' pzi "'+ an' It' Pt* Pz+...* Pn Media geornetrici 2 ffi, =,ji1, a70, b>-0 Inegalitatea rnediilor: mo) rn, Funcfia de gradul I:. ;f :lr + lr, /(x) : ex I b, a * 0.. Graficul funcliei de gradul I este o dreapt6.. Gr n o, ={o(-2, o)}, o, n o, ={n (0, b)} @unctele de intersecfie ale graficului funcfiei cu axele de coordonate) Ecua{ia de gradul al doilea ax2 + bx+c =0, aob,c elr,a * 0 L=b2-4ac;*rr=J#. Dacd A > 0, atunci existi x,,, e lr,x, t x,. Daci A = 0, atunci existdx,,, e lr,x, = x,. Dacd A < 0, atunci ecuafia nu are r6d6cini reale. 20
Memorator GEOMETRIE PLANA Unghiuri formate de doui drepte palelele cu o secantl i :?, 2 = $ (unghiudaltemeexterne) 3 = 5, 4 = 6 (ungfuirrialerneinterne) i = i a = $ i =G,i =i (rmgliuricorespondente) Triunghiuri. -(<l)+ m(<r)+ m(<c) = 18oo Clasfficare dupd unghiuri: r Triunghi dreptunghic Tiiunghi asculitunghic /\ /\ /\ /\ r Tfiunghi obtuzunghic Clasificare dupd laturi : o Tiiunghi oarecare (scalen) r Triunghi isoscel r Tiiunghi echilateral Cazuri de congruen\d: Triunghiuri oarecare L.u.L. S-..,4 /\\ trulua4 MLLLh4 2t
Memorator Triunghiuri dreptunghice NA Lxq\ I. C.C. II. c.u. \'. h M. LU. IV. I.C. h\\ t\{\ A N /\ h,\\\,\ Nq t Linii importante ln triunghi: 1. Mediana este segmentul care une$te un vdrf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.. Medianele unui triunghi sunt concurente; punctul lor de intersec{ie este centrul de greutate al triunghiului.. Centrul de greutate se afld pe mediani la 213 de vfuf qi ll3 de bazd.. intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzitoare ipotenuzei este jumdtate din ipotenuzd (z ' n=89\ Z l. A n\ /\\ Atot UV DT cf'--- I -----D I I t.gb -t" -"tt-'t- \-- 2. Mediatoarea este dreapta perpendiculard pe o laturd dusd prin mijlocul acesteia.. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente; puncful lor de intersecfie este in centrul cercului circumscris triunghiului.. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depirtat de capetele segmentului. 3. inilfimea este perpendiculara dusd dintr-un v6rf al triunghiului pe latura opusi.. inillimile unui triunghi sunt concurente; punctul lor de intersectie se numegte ortocentrul triunghiului. 4. Bisectoarea (unui unghi) este semidreapta cu originea in vdrful unghiului, care imparte unghiul in doui unghiuri congruente.. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente; punctul lor de interseclie este centrul cercului inscris in triunghi. I,/\ /\,/\ /\ AoA /'(\ /t\ s/ J lc' r' if'r t\\ tr---l< /\tta -----r. \,z'\-, 22
5. Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a 4 doud laturi dintr-un triunghi. /\. Linia mijlocie este paraleld cu a treia laturd gi are lungimea yl-{ egald cu jumdtate din lungimea acesteia (^ = T) t Relalii metrice in triunghiuri. Teorema inilfimii: intr-un triunghi dreptunghic, lungimea indlfimii corespunzdtoare ipotenuzei este media geometrici a lungimilor proiecfiilor catetelor pe ipotenuzi (lo' = BD' DC). ' A-.*+ Memorator Teorema catetei: intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometricd a lungimii proiec{iei sale pe ipotenuzd qi a lungimii ipotenuzei lebz = BD' BC, AC2 = CD. BC). 'Teorema lui Pitagora: intr-un triunghi dreptunghic, p6tratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pitratelor lungimilor catetelor (ACz =,an2 + AC'z).. Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacd intr-un triunghi pitratul lungimii unei laturi este egal cu suma pdtratelor lungimilor celorlalte doud laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.. Teorema lui Thales: O paraleld la una din laturile unui triunghi determind pe celelalte doul laturi, sau pe prelungirile lor, segmente propor{io nale. DEIIBC --'-- =42=4. 'AB AC' D4/1. Reciproca teoremei lui Thales: Daci o dreaptd" DE D L intersecteazi laturile AB qi AC ale unui triunghi ABC qi determind pe acestea segmente propor{ionale, atunci ea este paralels cu BC. o Asemdnarea triunghiurilor. Teorema fundamentali a aseminirii. O paraleli dusb la una din laturile unui triunghi formeazd cu celelalte doud laturi un triunghi asemenea cu cel inilial l,dellbc=aade - LABC).. Criterii de aseminare: 1. U.U.: Doud triunghiuri care au doud perechi de unghiuri congruenteo sunt asemenea (A=M,B:ft=MBC-LMNa).,4-4./ l\,tt l\ s/ b \r.' D M,/\rA" 2. L.U.L.: Doui triunghiuri care au un unghi sengruent qi laturile ce formeazi unghiul sunt proporlionale, sunt asemen "^ (a=r,#=ffi**bc -LMNP). i 3. L.L.L.: Doud triunghiuri care au toate lafurile propor{ionale, sunt asemenea. (#=#=#=MBC -^MNP). 23