Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 59. Metoda directă a lui Lyaunov Metoda directă a lui Lyaunov, numită şi cea de a doua metodă a lui Lyaunov, serveşte entru investigarea stabilităţii locale sau globale a stărilor de echilibru ale unui sistem. Atributul direct se datorează fatului că, sre deosebire de rima metodă, de data aceasta nu se mai recurge la liniarizarea modelului matematic al sistemului în vecinătatea stării de echilibru ), ci la oerarea directă cu modelul (.98'), model scris în raort cu un sistem de ae translatat în unctul de echilibru. Pentru ingineri interretările fenomenologice sunt esenţiale și obligatorii, inclusiv în domeniul teoriei sistemelor. În acest contet în secțiunea.. se rezintă fundamentarea fenomenologică a metodei directe a lui Liaunov din, bazată e ideea că stabilizarea unui sistem fizic într-un unct de echilibru (rocesul care decurge ână când sistemul ajunge în starea de echilibru) oate fi corelată cu energia şi modul de variaţie al acesteia în tim. Fundamentarea este rezentată rin intermediul unui eemlu şcoală care se regăseşte, sub o formă sau alta, în foarte multe cărţi dedicate studiului sistemelor neliniare. Rezultatul este aoi generalizat calitativ în secțiunea.. Metoda directă de analiză a stabilităţii unui sistem într-un unct de echilibru este sintetizată în final în secțiunea.. rintr-o într-o formulare matematică concentrată și abstractă... Fundamentarea fenomenologică a metodei directe a lui Lyaunov Se consideră sistemul masă-resort-amortizor din Fig. 4. Căruciorul de masă M se mişcă fără frecare e un lan orizontal sub acţiunea combinată a forţei eterioare F(t), a forţei ouse de resort F r(t) şi a forţei ouse de amortizor F (t). Delasarea este notată cu. Prin ioteză, resortul şi amortizorul au caracteristicile nelinare: k, k k F r F Fig. 4. Sistem masă-resort-amortizor F (t) k (t) k (t), (4.4) r resectiv F (t) k (t) (t). (4.4) Toţi coeficienţii sunt constanţi şi strict ozitivi. Presuunem că sistemul a fost scos din starea de echilibru rin acţiunea forţei F(t) şi că la un moment t = este lăsat liber (F(t) =, t > t = ). La momentul t =, oziția (t) şi viteza (t) iau, resectiv, valorile () şi () v. În aceste condiţii, entru t > t = mişcarea căruciorului este descrisă de egalitatea: M (t) F (t) F (t). (4.4) r Folosind eresiile din (4.4) şi (4.4), egalitatea (4.4) devine M (t) k (t) (t) k (t) k (t) (4.4') Se observă că (t) =, t > este o soluţie a ecuaţiei (4.4') şi ca urmare =, este un unct de echilibru al sistemului masă-resort-amortizor ). ) Aleandr Mihailovici Lyaunov - renumit matematician rus; şi-a rezentat metoda în anul 89 în cadrul tezei de doctorat întitulată Problema Generală a Stabilităţii Mişcării. Rezultatul oate fi regăsit cu ușurință recurgând și la asocierea MM-ISI bazat e considerarea oziției și a vitezei ca variabile de stare:. (k/m) (k/m) (k/m)
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 6 Ne interesează dacă sistemul autonom (4.4') este stabil sau instabil în vecinătatea unctului de echilibru. Pentru a răsunde la întrebare vom folosi ca şi funcţie ajutătoare energia mecanică a sistemului, E(t), care, aşa cum se va vedea în continuare, oate fi corelată cu evoluţia temorală a sistemului autonom. Eresia energiei mecanice este: în care: mişcare, iar E(t) E (t) E (t), c Ec(t) M (t) este energia cinetică înmagazinată în căruciorul aflat în k k 4 E(t) [k k ] d (t) (t) este energia otenţială 4 Fr înmagazinată în resort (energie elastică). Rezultă: k k 4 E(t) M (t) (t) (t). (4.44) 4 Orice delasare a căruciorului este redată rintr-o traiectorie de stare ((t), (t)),t [t,tf ]. Presuunem că sistemul arcurge o astfel de traiectorie. Ne interesează cum variază în tim energia mecanică, atunci când sistemul arcurge o traiectorie de stare. Pentru aceasta calculăm derivata energiei mecanice în raort cu timul: E(t) M (t) (t) k k (t) (t) (t) (t) k În consecinţă, dacă (t) avem: (t) (t) (t) [M (t) k (t) k (t)] (4.45) E (t) (4.46) Înterretarea rezultatului, ţinând seama şi de (4.4') şi (4.44), este următoarea: Atunci când viteza sistemului este nenulă, adică (t ), energia mecanică a acestuia scade. Fatul că la un moment dat viteza este nulă nu înseamnă neaărat că sistemul nu este în stare de mişcare. În adevăr, din (4.4') rezultă că în momentele în care ( t), dar ( t) utem avea ( t) ; accelerația fiind nenulă mişcarea continuă, iar energia sistemului scade în continuare. Energia sistemului nu va mai scădea decât atunci când vom avea simultan ( t) şi ( t), iar ca urmare și (t) =, adică atunci când sistemul se găseşte în unctul de echilibru. În adevăr, dacă ( t) şi ( t), cu notaţia consacrată, (t) = = const., din (4.4') deducem că k k. (4.47) Singura situaţie, fizic osibilă, în care egalitatea (4.47) are loc, este: =. (4.48) Din (4.44) rezultă că valoarea = coresunde tocmai regimului ermanent constant în care energia mecanică a sistemului este minimă (min{e} = ).
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 6 Deducem că variaţia temorală a energiei sistemului oate fi corelată cu evoluţia acestuia în lungul unei traiectorii de stare în sensul că evoluţia este asociată cu scăderea energiei mecanice ână când energia obţine o valoare minimă. Să observăm în continuare că otrivit rel. (4.44) energia ia numai valori ozitive şi că scăderea valorii ei imune scăderea valorii maime osibile a fiecăreia dintre (t) comonententele vectorului de stare al sistemului (la momentul curent: (t) ma (t) E(t), ma (t) E(t) ). În concluzie, atingerea minimumului k M energetic E= este asociată cu atingerea de către sistem a unctului de echilibru. Pentru a arofunda rocesele care au loc în sistemul din Fig. 4, în Fig. 5 se ilustrează comortarea sistemului e un interval de tim de secunde (stânga sus), resectiv secunde (jos) în situaţia în care acesta evoluează în regim liber coresunzător condiţiilor iniţiale () = -. m, () =.. m/s. În dreata sus este redată traiectoria de stare () entru cazul din figura din stânga sus..8.6.6.4.4. [m ], E [J ]. E t [m/s] -. -.4 -. 4 5 6 7 8 9 t [s].6 -.6 -.. [m].5.4 [m], E [J]... E -. -. 4 5 6 7 8 9 t [s] Fig. 5. Comortarea sistemului masă-resort amortizor din Fig. 4, în regim liber (F=) în cazul când M = kg, k =5 Nm -, k = 4.5 Nm -, k =.5 Nm - s, () = -. m, () =.. m/s.
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 6 Se observă scăderea monotonă a energiei E şi variaţiile oscilante ale oziţiei. Disiarea energiei mecanice (acumulate în resort şi corul căruciorului rin aducerea sistemului în starea iniţială se face rin frecare în amortizor) este un roces care durează mai mult de secunde. În Fig. 6 sunt redate variaţiile rimelor două derivate temorale ale energiei: de = de(t)/dt şi de = d E(t)/dt. Se observă că viteza de variaţie a energiei mecanice este în ermanenţă negativă (< ). de - de - 4 5 6 7 8 9 t [s] Fig. 6. Variația rimelor două derivate temorale, de(t)/dt și de(t)= d E(t)/dt, ale energiei mecanice a sistemului din Fig. 4 în regim liber (F=) la care se referă Fig. 5. În Fig. 7 este ilustrată, în sistemul cartezian,, E traiectoria E(, ) ), de formă siralată, e care, în tim, unctul caracteristic al sistemului Λ(,, E) se delasează sre originea sistemului de coordonate, adică sre starea de reaos. E.5.4... d/dt - O -. -... Fig. 7. Traiectoria siralată a unctului caracteristic al sistemului din Fig. 4. Duă cum s-a arătat descreșterea monotonă a valorii lui E(t) este asociată cu scăderea valorii maime osibile a fiecăruia dintre termenii eresiei (4.44) 4). Aceasta nu ) Energia ca funcție de oziție și viteză.
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 6 înseamnă însă o scădere monotonă a valorii lui, resectiv a normei a vectorului de stare al sistemului, sre valoarea coresunzătoare unctului de echilibru. Denumim curbe de nivel curbele de ecuaţie: k k M 4 E, (4.49) 4 în care E are rol de arametru. Fiecare curbă de nivel este o curbă închisă. Presuunem că rerezentăm toate curbele de nivel într-un singur lan: O. Cu cât valoarea lui E este mai mică, cu atât curbele de nivel sunt, în medie, mai aroiate de originea lanului (coresunzătoare unctului de echilibru). La un moment dat t unctul caracteristic Λ(,, E) se roiectează e o singură curbă de nivel. Pe măsură ce valoarea lui E scade, roiecția se mută otrivit traiectoriei siralate din Fig. 7 e altă curbă de nivel, în medie mai aroiată de originea lanului ș.a.m.d. 5 ână când ajunge în originea lanului O. Ansamblul roiecțiilor rerezintă tocmai o traiectorie de stare: ((t), (t)),t [t,t ]. f Constatarea este valabilă indiferent de situaţia de dezechilibru rodusă iniţial: orice traiectorie de stare ((t), (t)),t [t,tf ] sau orice traiectorie ((t), (t),e(t)),t [t,tf ] ajung în final în unctul de echilibru. Recaitulând, vom reţine următoarele concluzii: ) Sistemul are unctul de echilibru (, ) ca singur unct în care energia mecanică are valoarea. În orice alt unct de funcţionare energia mecanică a sistemului, funcție continuă și derivabilă în raort cu și, este strict ozitivă. ) Stabilitatea asimtotică a sistemului ( lim (t),lim (t) ) este reflectată de tendinţa de scădere a energiei totale, în tim, sre valoarea în lungul oricărei traiectorii de stare a sistemului. ) Instabilitatea sistemului, oate fi asociată cu tendinţa de creştere nemărginită a energiei totale, în tim, sau cu rezența de oscilaţii biolare ale vitezei de variaţie a energiei mecanice (semnul lui E (t) se schimbă)... Generalizarea calitativă a fundamentării fenomenologică a metodei directe a lui Lyaunov Calitativ, metoda directă a lui Liaunov se bazează e generalizarea în doi aşi a concluziilor fundamentării fenomenologice. Într-un rim as realizăm că în locul energiei totale a sistemului, considerată ca (t) funcţie de vectorul de stare E(, ) E, utem utiliza orice altă funcţie (t) t t 4 Cei doi termeni sunt ozitivi, iar valoarea lui E este, așa cum s-a discutat, un majorant care scade monoton în tim. 5 Traiectoria siralată din Fig. 7 este asezată e surafaţa unui con neregulat cu vârful în originea sistemului de ae (entru care: ).
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 64 (t) scalară V continuă care din unctul de vedere al corelării cu vectorul de (t) stare se încadrează în siritul concluziilor anterioare. Într-un al doilea as realizăm că din unct de vedere matematic roblemele se un la fel entru orice sistem. Deci, în locul sistemului masă-resort-amortizor şi a (t) funcţiei V se oate considera orice alt sistem de vector de stare, (t) [ V() V continuă cu rorietă- n ţile: T n], şi coresunzător o funcţie ) V() =, V() > entru ; ) Stabilitatea asimtotică a sistemului ( lim (t) ) este reflectată de tendinţa de scădere a valorii lui V() sre valoarea în lungul oricărei traiectorii de stare; ) Instabilitatea sistemului este reflectată rin tendinţa de creştere nemărginită a funcţiei V(), în tim, sau rezența de oscilaţii biolare ale vitezei de variaţie V (t), a acestei funcţii, cel uțin în lungul unei traiectorii de stare a sistemului. Metoda directă a lui Lyaunov de analiză a stabilităţii stării de reaus = a unui sistem se bazează găsirea unei funcţii V() cu rorietăţile ) și ). Nu eistă însă metode general alicabile entru găsirea unei astfel de funcţii. În ractică imaginăm funcţiile V() în funcţie de sistemul analizat şi de regimurile de funcţionare care ne interesează astfel încât să îndelinească rorietatea ), iar aoi verificăm dacă ele au și rorietatea ). Ori de câte ori este osibil recurgem la o interretare energetică. Funcțiile alese cu rorietatea ) le numim funcții candidat Lyaunov. O funcţie candidat Lyaunov care îndelineşte și rorietatea ) este denumită funcţie Lyaunov. Legătura cu traiectoriile sistemului se realizează rin intermediul ecuațiilor de stare ale acestuia. Dacă rorietățile sunt îndelinite doar într-o vecinătate lui = atunci avem garanţia că starea de reaos este asimtotic stabilă doar în acea vecinătate şi vorbim desre stabilitate locală a stării =. În acea vecinătate starea de reaos se manifestă ca un atractor. Atunci când funcţia candidat îndelineşte cele două rorietăţile în întreg saţiul stărilor sunem că starea de reaos este global asimtotic stabilă. t. Metoda directă a lui Lyaunov. Funcţii şi teoreme asociate. În mod riguros, metoda directă a lui Lyaunov se bazează e definiţiile şi teoremele recizate în continuare. Definiţia (funcţie local ozitiv definită şi funcţie global ozitiv definită): O funcţie scalară continuă de variabilă vectorială, V(), se numeşte local ozitiv definită într-o vecinătate sferică S a unctului =, S, dacă V() = (4.5) V() > entru S,. (4.5) Dacă S curinde întreg saţiul stărilor sunem că funcţia este global ozitiv definită.
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 65 Note: i) Dacă entru S, avem V( >, sunem că V este ozitiv semi-definită. ii) Dacă funcția V() este ozitiv definită/semidefinită, sunem că V() este negativ definită/semidefinită. iii) Funcţiile ozitiv semidefinite sau ozitiv definite, folosite entru investigarea stabilităţii stării de echilibru = a unui sistem, şi care au rorietatea că sunt derivabile în raort cu sunt denumite în mod frecvent funcţii-candidat Lyaunov. Definiţia (funcţie Lyaunov): Se numeşte funcţie Lyaunov (moale) asociată sistemului f(), (4.5) o funcţie scalară continuă, V(), local ozitiv definită într-o vecinătate sferică S a unctului =, S, care are derivate arţiale continue în raort cu şi a cărei dv((t)) derivată în raort cu timul V () dt este negativ semidefinită în lungul oricărei traiectorii de stare a sistemului situată integral în S, adică Dacă V (), entru S,. (4.5) V (), entru S,. (4.54) atunci V() se numeşte funcţie Lyaunov tare. Pentru a oeraţionaliza definiţia vom observa că legătura dintre funcţia Lyaunov şi sistemul (4.5) căreia îi este asociată se oate face foarte simlu, astfel: T T dv((t)) V d V V V () f(). (4.55) dt dt În eresia finală, aare rodusul scalar dintre gradientul funcţiei Lyaunov, membrul dret al ecuaţiei de stare, f(). T V, şi Teorema (Teorema de stabilitate locală a lui Lyaunov rima teoremă a unctului de echilibru) 6) : Fie sistemul f() cu = unct de echilibru. Dacă eistă o funcţie Lyaunov (moale), resectiv o funcţie Lyaunov tare, V(), asociată sistemului, definită e S, atunci în vecinătatea S starea de echilibru = este stabilă (în sens Lyaunov), resectiv asimtotic stabilă. Teorema rerezintă un instrument util şi uternic entru investigarea stabilităţii locale, resectiv a stabilităţii asimtotice locale a stării de echilibru = a sistemelor de forma f(). Aşa cum s-a recizat, metoda de utilizare a acestui instrument conţine două etae: i) adotarea unei funcţii-candidat Lyaunov V() 6) Pentru demonstrația acestei teoreme v.: Slotine, J.-J. E., Li, W, Alied Nonlinear Control, Prentice Hall, 99 (biblioteca UPT) și ft://.8.54.49/iaomagecc/alied%nonliear%control%%5bslotin%99--prentice%hall%5d.df,. 6-6.
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 66 ii) analizarea îndelinirii condiţiei de funcţie Lyaunov de către funcţia candidat (condiţie de suficienţă). Notă: Punctele nevralgice ale alicării acestei teoreme sunt: lisa unei metode generale de construcţie a funcţiilor Lyaunov; lisa unei metode generale de a identifica vecinătatea S a unei funcţii Lyaunov găsite. Cu rivire la rimul unct nevralgic este imortant de recizat că negăsirea unei funcţii Lyaunov nu înseamnă că starea de echilibru este instabilă, ci doar că nu suntem caabili de a folosi entru acel caz instrumentul oferit de metodă. 7) În ceea ce riveşte a doua remarcă trebuie să reţinem că vecinătatea S nu este unică și nu coincide în cazul stabilităţii locale cu mulţimile de uncte din staţiul stărilor în care inegalităţile (4.5), (4.5) şi (4.54) sunt îndelinite. Teoretic, delimitarea lui S nu este necesară. Pentru alicaţiile ractice trebuie însă determinată o vecinătate imlicaţiile care decurg din rezultat. S cu toate Definiţia (funcţie radial nemărginită): O funcţie continuă f(), entru avem f (). f : R n R, se sune că este radial nemărginită dacă Teorema (Teorema de stabilitate globală a lui Lyaunov a doua teoremă de stabilitate a unctului de echilibru): Fie sistemul f () cu f : R n R şi = unct de echilibru. Starea de echilibru = este global asimtotic stabilă (în sens Lyaunov) dacă eistă o funcţie n Lyaunov tare, definită e R, radial nemărginită. Teorema rerezintă, la rândul ei, un instrument de analiză a stabilităţii, utilizabil în aceeaşi manieră ca şi teorema. Eemlul : Să se analizeze folosind metoda directă a lui Lyaunov stabilitatea sistemul u (a) în cazul când u = const. Soluţie: Punctul de echilibru al sistemului (a) se obține ca soluție a sistemului algebric. Rezultă unctul Λ(, ) Λ( u, u). u Matricea sistemului (a) fiind A, cu ajutorul criteriului Hurwitz deducem cu ușurință fatul că sistemul (a) este asimtotic stabil. Pentru a analiza stabilitatea sistemului (a) cu ajutorul metodei directe a lui Lyaunov, translatăm în realabil originea sațiului stărilor în unctul de echilibru Λ. În acest sco facem schimbarea de variabile ~ -, ~ -, ceea ce înseamnă efectuarea în (a) ~ ~ u, ~ ~ u, ~, ~ a substituțiilor. Duă efectuarea calculelor rezultă sistemul: 7) Datorită dificultăților de factură matematică entru sistemele neliniare se lucrează cu condiţii de suficienţă, şi nu cu condiţii de necesitate şi suficienţă ca şi în cazul sistemelor liniare. De asemenea, de cele mai multe ori imunerea unor condiţii de suficienţă nu este asociată şi cu metode de a asigura satisfacerea condițiilor resective.
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 67 ~ ~ ~ ~ ~ ~ (b) Sistemul (b) are starea de reaos ~ ca stare de echilibru. Adotăm entru sistemul (b) funcția candidat Lyaunov V() ~ ( ~ ~ ). (c) Ea este derivabilă și îndelinește condițiile V() = și V( ~ ), ~. Derivata temorală a lui V( ~ ) este: V ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ ) ~ ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ ). Se observă că V () ~, ~. În consecință: V( ~ ) este o funcție Lyaunov tare iar starea de reaos a sistemului (b), resectiv starea de echilibru a sistemului (a) sunt local asimtotic stabile. În final vom remarca fatul că V( ~ ) este radial nemărginită. Rezultă că starea de reaos a sistemului (b), resectiv starea de echilibru a sistemului (a) sunt global asimtotic stabile. Eemlul : Pentru sistemul masă-resort-amortizor din secțiunea. este valabil MM-ISI (v. nota de subsol din secțiunea.) (k/m) (k/m) (k/m). (d) Întreaga discuție referitoare la stabilitatea stării de echilibru a sistemului s-a urtat considerând dret funcție candidat Lyaunov energia mecanică totală (v. rel. (4.44)): k k E(t) M (t) 4 (t) (t). 4 Potrivit rel. (4.45) s-a obținut: E (t) k (t) (t) Se observă că E(t) este o funcție Lyaunov moale radial nemărginită. Ca urmare starea de reaos este stabilă. Eemlul : Se consideră sistemul (4.56), cu arametrii,. Să se studieze stabilitatea stării de reaus a sistemului. β ( ) α (4.56) Soluţie: Prin calcule elementare constatăm că sistemul are ca unic unct de echilibru starea de reaus =, =. Fie funcţia V() (a b), a, b. Se observă că V() =, V(), R - {}, recum şi că V() este continuă şi derivabilă e R. Deci V() este o funcţie-candidat Lyaunov (etaa i)) Pentru etaa ii) calculăm eresia derivatei temorale a lui V: (4.57) V a b a b[ β( ) α] (a bα) bβ( ) Adotăm entru a şi b o ereche de valori astfel încât V b β ( ) a α. Atunci, eresia (4.57) devine: b. (4.58)
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 68 Imunând lui V( ) condiţia (4.5), rezultă că ea este satisfăcută e mulţimea (domeniu în formă de bandă din lanul stărilor O ): W'O = {(, ), R} R, (4.59) iar imunând condiţia (4.54), rezultă mulţimea (domeniu cu 4 benzi): W O = {( *, ), R } R. (4.6) Potrivit acestor rezultate deducem vă V() este o funcție Lyaunov moale în vecinătatea sferică S a starii = de rază r =. Alicând acum teorema de stabilitate locală a lui Lyaunov rezultă că în această vecinătate starea de reaus este stabilă, iar în anumite subdomenii ale acesteia este asimtotic stabilă. Notă: Potrivit definiţiei stabilităţii stării de reaos =, trebuie identificate două sfere cu centrul în unctul O(,), S şi S,, entru care să fie valabilă definiţia de la ag. 67. Întrucât investigarea analitică a roblemei este dificilă, încercăm să ne facem o imagine desre roblemă cu ajutorul Fig. 8 în care sunt rerezentate mai multe traiectorii de stare ale sistemului (4.56). Traiectoriile ornesc din unctele iniţiale notate şi numerotate în tabel. Punctele iniţiale sunt fie în interiorul domeniilor W'O şi W O, fie e frontiera acestora. Nici una dintre traiectorii nu se situează integral în vecinătatea sferică S. Toate ajung însă în această vecinătate astfel că, în final tind asimtotic sre starea de echilibru..5 4 5.5 -.5 - -.5-6 7 8 - -.5 - -.5.5.5 Fig.8. Traiectorii de stare ale sistemului (4.56) în cazul =, =. Traiectoriile au numărul de ordine din tabel. ().4.4 -.4 -.4 - -.4.4.8 () - - - - Nr. traiectorie 4 5 6 7 8 9 În Fig. 9 sunt rerezentate variaţiile funcţiei V(), în lungul celor traiectorii de stare din Fig. 8. Se observă că, cu eceţia traiectoriilor şi 7, funcţia V este descrescătoare în lungul traiectoriilor. Potrivit Fig. 8, traiectoriile şi 7 ărăsesc la un moment dat domeniile W'O şi W O, duă care revin în aceste domenii. Pe intervalele resective de tim V() este crescătoare. 9
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 69.5 V.5 V.5 V 5 9.5.5 4 t [sec].5.5 8 6 7 t [sec].5.5 t [sec] Fig. 9. Variația funcției V(t)=. 5 în lungul celor traiectorii de stare din Fig. 7 (a=, b=) Constatarea sugerează că este osibil ca, adotând în locul lui V() (a b), a, b o altă funcție Lyaunov, să obținem o vecinătate sferică toate traiectoriile din Fig. 8. S o unctului de echilibru care să includă Teorema (Teorema de instabilitate globală a lui Lyaunov): Fie sistemul f () cu f : R n R şi = unct de echilibru. Starea de echilibru = este instabilă (în sens Lyaunov) dacă eistă o funcţie ozitiv definită e cu rorietatea că V ( ). (4.6) n R,