Diagnoza sistemelor tehnice Curs 5: Metode de detectare a defectelor bazate pe modele de semnal /
Metode de detectare a defectelor /
Teste statistice de detectare a modificarilor 3/
Testarea caracterului aleator al semnalelor Aleator inseamna impredictibil. Interesant este ca fiecare valoare aleatoare nu poate fi prezisa de una singura, insa luata colectiv, impreuna cu un set mai mare de valori, urmeaza un anumit patern, o anumita distributie. Testarea caracterului aleator al semnalelor se realizeaza cu ajutorul asa numitului test al semnelor. Secventa de N valori este impartita in doua clase sortate dupa deviatia de semn + sau -, in raport de valoarea mediana. Valorile consecutive care apartin unei clase sunt considerate o secventa. 4/
Testarea caracterului aleator al semnalelor Fie n si n numarul de secvente - si +. Daca n sau n este mai mare de si cealalta este mai mare de, se poate demonstra (Neuilly and Cetame, 993) ca numarul de secvente r= n + n poate fi aproximat cu o distributie normala cu : r n n n + n = + σ r = n n ( n n n n ) ( ) ( ) n + n n + n Ipoteza de test H este: valorile semnalului sunt aleatoare si functia de decizie este r r Z = σ r 5/
Testarea caracterului aleator al semnalelor Ipoteza de test H este: valorile semnalului sunt aleatoare si functia de decizie este r r Z = σ r Ipoteza este validata de un test bilateral cu nivel de incredere -α. Domeniul de acceptare pentru H este asigurat de urmatoarea conditie. u α / u < Z < u α / α / u e π u α / Unde este valoarea astfel incat α = / du 6/
5.4 5.3 5. 5. 5 4.9 4.8 4.7 Testarea caracterului aleator al Exemplu: ( ) x( i) = 5+ b i 4.6 3 4 5 6 7 8 9 5.5 5.4 5.3 5. 5. 5 4.9 4.8 4.7 3 4 5 6 7 8 9 7/ semnalelor unde b(i) este un semnal aleator, gaussian, de medie zero si deviatie standard σ=. Value e Symptom value Value Symptom value.5 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9.5.5 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9 N=4; α=.5 Concluzie: Pentru diferite semnale de zgomot cu aceiasi parametrii ai testului, pot apare anumite alarme chiar daca semnalul este aleator. Deci parametrii testului nu sunt corect alesi.
Testarea caracterului aleator al semnalelor 5.5 5.4 5.3 5. 5. 5 4.9 4.8 Exemplu: ( ) x( i) = 5+ b i unde b(i) este un semnal aleator, gaussian, de medie zero si deviatie standard σ=. Value Symptom value.5.5 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 N=4; α=. 4.7 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Value 3 N=4; α=. 8/ Symptom value 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9 Concluzie: Nivelul de incredere pentru acest test trebuie sa fie foarte mare (- α)
Testarea caracterului aleator al semnalelor.6.4...8.6.4. Exemplu: x( i) ( ) = b i X =.*random('chi',,,n); unde b(i) este un semnal aleator, cu distributie chi Value Symptom value.5.5 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 N=4; α=. Concluzie: Testul confirma caracterul aleator al semnalului 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 9/
Testarea caracterului aleator al semnalelor Exemplu: Se considera un semnal sinusoidal Unde b(i) este un semnal de zgomot cu distributie normala, de medie si varianta. Lungimea semnalului este n= ( ) x( i) = 5+ sin(6 πi / n) + b i 6.5 for i=:n X(i)=5+sin(*i/(N/6)*pi); end; X=X +.5*randn(,N); 6 5.5 5 4.5 4 3.5 4 6 8 Symptom value Value 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9 N=4; α=. Concluzie: Testul infirma caracterul aleator al semnalului /
Teste de normalitate a semnalelor Aceste teste verifica faptul ca semnalele aleatoare au o distributie normala (gaussiana). Sunt cunoscute mai multe tipuri de teste printre care : Kolmogorov-Smirnov (K-S test), Jarque Bera sau Lilliesfors. Testele evalueaza ipoteza H: valorile semnalului urmaresc o distributie normala impotriva ipotezei H: valorile semnalului nu urmaresc o distributie normala. Diferenta intre cele 3 tipuri de teste este data de presupunerile asupra mediei si variantei semnalelor analizate. Astfel testul K-S presupune ca media si varianta distributiei normale sunt cunoscute in timp ce testele Jarque Bera sau Lilliesfors considera ca aceste valori sunt necunoscute. /
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate utilizeaza numerele Skewness si Kurtoisis. Skewness este o măsură a asimetriei distribuției in jurul valorii medii. Când indicele are valori pozitive, distributia este alungită la dreapta. Când indicele are valori negative, distributia este alungită la stanga. S = N xi N k= 3 ( x) 3 σ Pentru o distributie normala S=. /
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate utilizeaza numerele Skewness si Kurtoisis. Kurtosis este o măsură a înăltimii distributiei. K = N k N k= ( x x) 4 4 σ Pentru o distributie normala K=3. 3/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Jarque-Bera Acest test compara valorile obtinute pentru numerele S si K cu valorile asteptate pentru o distributie normala, cu ajutorul unei distribitii chi Calculeaza astfel numarul: N ( K 3) JB= S + 6 4 Unde S si K sunt evaluarile numerelor Skewness si Kurtosis iar N este lungimea semnalului. Cu un nivel de incredere de 95% (α=.5) JB = 5.99 pentru o distributie normala. De aceea daca JB<5.99 atunci semnalul are o distributie normala. Testul Jarque-Bera trebuie utilizat pentru o ferestra de analiza mai mare de de valori. 4/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Jarque-Bera Exemplu: X(:N/) = 3; t = :N-N/; X(N/+:N) = 3-.*t; X = X +.*randn(,n); 3.6 3.4 3. 3.8 Value -. -.4 -.6 -.8 4 6 8 4 6 8 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN) a) N= ; α =.5;.6.4. Symptom m value.5.8 4 6 8 4 6 8 6 5 4 3 Value Symptom value 4 6 8 4 6 8 -. -.4 -.6 -.8-4 6 8 4 6 8 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 b) N= 5; α =.5; Concluzie: este important ca lungimea ferestrei de analiza sa fie cat mai mare 5/.6.8..4.6.8 3 3. 3.4 3.6 4 6 8 4 6 8
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Jarque-Bera Exemplu: 4 3 X=randn(,N); N= ; α =.5; - - -3-4 4 6 8 4 6 8 Value Symptom value - - 5 5 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 5 5 Testul este aplicat unui semnal cu o distributie normala si detecteaza corect aceasta situatie 6/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Lilliefors Acest test calculeaza o estimare a mediei si variantei x N N x i= i ( x ) i i x = = σ = N Urmand o normalizare a datelor N xi x Z i = i =,..., N σ Se calculeaza functia de distributie a datelor normalizate: F( z) = p( Z z) = number of Zi z N ( ) Se calculeaza distanta verticala maxima dintre functia de distributie cumulativa F(z) si G(z) care este functia cumulativa de distributie normala ( ) ( ) D= sup z F z G z t G( z) = p( Z z) = e dt π t 7/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Lilliefors In final se accepta Ipoteza H: valorile semnalului urmaresc o distributie normala cu o medie si varianta nespecificate impotriva Ipotezei H: valorile semnalului nu urmaresc o distributie normala, cu un grad de increderea -α atunci cand valoarea calculata D> d α,n Unde 967) d α,n este este o valuare specifica testului in forma tabelata (Lilliefors, 8/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Lilliefors.8 Exemplu: 4 3 X=randn(,N); Value.6.4. 4 6 8 4 6 8 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN) - - -3-4 4 6 8 4 6 8 Symptom value.5 4 6 8 4 6 8 N=; α=.5 Concluzie: Valorile semnalului urmaresc o distributie normala 9/
Teste de normalitate a semnalelor Testele de normalitate Lilliefors Exemplu:..8.6.4...8.6.4. 4 X =.*random('chi',,,n); 4 6 8 4 6 8 Value Symptom m value...5 4 6 8 4 6 8 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).8.6.4. 4 6 8 4 6 8 N=; α=. / 8 6 4..4.6.8...4.6.8. Concluzie: Valorile semnalului nu urmaresc o distributie normala
Teste statistice de detectare a modificarilor Testele Neyman-Pearson Sunt teste utilizate pentru a decide intre doua ipoteze H si H. Pragul de decizie Xlim este calculat utilizand α astfel incat sa se satisfaca xlim relatia x x ( ) σ α = e dx πσ Testul poate fi utilizat pentru detectarea modificarilor de medie a unui semnal. Sunt posibile doua cazuri: -modificarea unei valori a unei medii cunoscute -modificarea valorii unei medii necunoscute P(Y) β = Ylim p Y / H ) dy ( p Y / H ) ( σ p Y lim / H ) ( p Y lim / H ) ( p Y / H ) σ ( α = Ylim p Y / H ) dy ( Y H Ylim µ µ H /
Teste statistice de detectare a modificarilor Testele Neyman-Pearson Pentru detectarea modificarea unei valori a unei medii cunoscute ipotezele testului sunt: Ipoteza H: semnalul are media x si deviatia standardσ Ipotezei H: semnalul are media x si deviatia standardσ Pragul de decizie intre cele doua ipoteze este Unde P( xlim / H) λ= P( x / H ) lim si regula de decizie σ γ = ln( λ) + x x N x i H H γ N( x + x ) /
Teste statistice de detectare a modificarilor Testele Neyman-Pearson Pentru detectarea modificarea unei valori a unei medii necunoscute ipotezele testului sunt: Ipoteza H: semnalul are media x si deviatia standardσ Ipotezei H: semnalul nu are media x si deviatia standardσ Pragul de decizie intre cele doua ipoteze este γ = σ N ln( λ) Unde 3/ λ= P( xlim / H) si regula de decizie H P( x / H ) lim N ( x x ) i H γ
Teste statistice de detectare a modificarilor Testele Neyman-Pearson- Exemplu Semnal Semnal Semnal 3 4 X(:N/) = ; X(N/:N) =.3; X = X +.7*randn(,N); Lungimea semnalului Momentul aparitiei 5 5 5 modificarilor Medie X Medie X.3.3.5 Sigma.6.6.6 Deviatia mediei(%) 3% 3% 5% Raportul semnal/zgomot 3 db db 3 db X(:N/) = ; X(N/:N) =.3; X = X +.*randn(,n); 3.5 X(:N/) = ; X(N/:N) =.5; X = X +.7*randn(,N); 3 -.8.6.4..8 3.5.5 - - 3 4 5 6 7 8 9 4/.6 3 4 5 6 7 8 9-3 4 5 6 7 8 9
Teste statistice de detectare a modificarilor TesteleNeyman-Pearson Exemplu(N= 3; x = ;σ =.6;α=.5) Semnal Semnal Valu ue 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN) e Value 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN) Symptom value.5 Symptom value.5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 5/
Teste statistice de detectare a modificarilor Testele Neyman-Pearson Exemplu Semnal (N= 3; x = ; σ =.6; α =.5) Semnal (N= 3; x = ; σ =.6; α =.) Valu ue Symptom value 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9 Value Symptom value 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Symptom Value (-->OK, -->ALARM, -->UNKNOWN).5 3 4 5 6 7 8 9 6/