1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob

Transcriere

1 1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: (a) Sa se calculeze u iterval de icredere de prag 0.1 petru M(X). (b) Presupuem ca X are dispersia cuoscuta, Petru acelasi prag, 0.1, se poate gasi u iterval de icredere mai bu decat cel calculat aterior? Daca da, sa se calculeze oul iterval. dimesiue esatio: = 10 medie esatio: X = deviatie stadard esatio: s = α = (a) dispersie X ecuoscuta statistica t se aplica formula 3a: t = TINV(α, 1) = TINV(0.1, 9) = 3.25 (tabel 2) limita iferioara: X t s = = limita superioara: X + t s = = (b) iformatie suplimetara dispersie X: σ 2 = 0.69 σ = 0.83 dispersie X cuoscuta statistica z se aplica formula 1a: z = NORMSINV(α/2) = NORMSINV(0.05) = (tabel 1) limita iferioara: X z σ = = limita superioara: X + z σ = = itervalul are lugimea aproximativ jumatate fata de itervalul aterior = I cadrul uui proces de estimare a mediei uei populatii oarecare, u statisticia vrea ca probabilitatea ca media de selectie sa difere de media adevarata cu mai puti de 0.2σ sa fie mai mare de Ce volum de selectie trebuie sa foloseasca? trebuie determiata valoarea miima petru dimesiuea uui esatio, difereta maxima ditre media de selectie si media reala este data de lugimea itervalului de icredere care poate fi calculat lugime iterval de icredere, folosid statistica z (formula 1a): 2z σ lugime trebuie sa fie maxim 0.2σ: 2z σ < 0.2σ > 100 (z ) 2

2 probabilitate mai mare de 0.95 α < 0.05 petru α = 0.04 z = NORMSINV(0.02) = > U producator de rulmeti pretide ca diametrul mediu al rulmetilor este de 10 mm, cu o dispersie de Admitem ca diametrul este o v.a. ormala. Pe u lot de 20 rulmeti masurati s-a gasit diametrul mediu 9,98 mm si o dispersie empirica de Sa se determie itervale de icredere petru diametrul mediu si dispersie cu icrederea Valorile pretise de fabricat se afla i aceste itervale? valori teoretice: media: µ = 10 dispersia: σ 2 = 10 4 σ = 10 2 valori masurate: media: x = 9.98 dispersia: s 2 = s = dimesiue esatio: = 20 icredere 99% α = 0.01 (a) iterval de icredere petru medie σ cuoscut statistica z, formula 1a se aplica exact ca la exercitiul 1, puctul (b) (b) iterval de icredere petru dispersie se aplica statistica χ, formula 4: χ 2 critic,sup = CHIINV(α/2, 1) = CHIINV(0.005, 19) = (tabel 3) χ 2 critic,if = CHIINV(1 α/2, 1) = CHIINV(0.995, 19) = (tabel 3) limita iferioara: ( 1)s χ 2 = critic,sup limita superioara: ( 1)s χ 2 = critic,if Se aruca o moeda de 64 de ori. Testati la u ivel de semicatie de 5% daca moeda este corecta, sau daca moeda este cotrafacuta i favoarea capului, i urmatoarele situatii: (a) apare capul de 38 ori (b) apare capul de 42 ori doua valori posibile la efectuarea experimetului: cap = 1, ba = 0 moeda corecta la oricate repetari umar egal de aparitii petru cap ( 1 ) si ba ( 2 ): 1 = 2 media teoretica: µ = = (0.5 1) (0.5 0) 2 2 deviatie stadard teoretica (formula 5a): σ = = dispersie cuoscuta se aplica testul z petru medie petru a verifica daca media este 0.5 versus ipoteza alterativa simetrica media 0.5 dimesiue esatio: = 64

3 (a) 38 aparitii cap medie esatio x = = 0.59 H 0 : µ = 0.5(µ 0 ) H a : µ 0.5 z = ( ) 64 = 1.44 (formula 1b) 0.5 z = NORMSINV(α/2) = NORMSINV(0.05/2) = z < z u se respige H 0 moeda este corecta (b) 42 aparitii cap medie esatio x = = 0.65 H 0 : µ = 0.5(µ 0 ) H a : µ 0.5 z = ( ) 64 = 2.5 (formula 1b) 0.5 z = NORMSINV(α/2) = NORMSINV(0.05/2) = z > z se respige H 0 moeda u este corecta 5. U producator de casete audio pretide ca o caseta de 90 mi. dureaza de fapt 92 mi. i medie cu deviatia stadard de 1.8. Se selecteaza 36 de bezi si se obtie o medie de 91.4 mi. La u ivel de semificatie de 5% se poate respige pretetia producatorului, i favoarea ipotezei ca durata medie este mai mica de 92 mi.? date teoretice: medie: µ = 92 deviatie stadard: σ = 1.8 date masurate: medie: x = 91.4 dimesiue esatio: = 36 ivel de semificatie 5% α = 0.05 dispersie cuoscuta test z: H 0 : µ = 92(µ 0 ) H a : µ < 92 (ipoteza alterativa asimetrica la staga) z = ( ) 36 = 2 (formula 1b) 1.8 z = NORMSINV(α) = NORMSINV(0.05) = z < z se respige H 0 6. U esatio de volum 8 ditr-o populatie ormala are x = 4.65 si (x x) 2 = Testati la u ivel de semificatie de 2% daca media distributiei este 4.3. date masurate: dimesiue esatio: = 8 medie: x = 4.65 (x x) 2 deviatie stadard (formula 5a): s = ivel de semificatie 2% α = = = 0.3 8

4 dispersie populatie ecuoscuta, dispersie esatio cuoscuta test t: H 0 : µ = 4.3(µ 0 ) H a : µ 4.3 (ipoteza alterativa simetrica) t = ( ) 8 = 3.3 (formula 3b) 0.3 t = TINV(α, 1) = TINV(0.02, 7) = t > t se respige H 0 7. La u exame se aalizeaza puctajul x obtiut de fiecare cadidat i parte. Se aleg 250 de cadidati si se gaseste ca x = si x 2 = (a) Gasiti u iterval de icredere de ivel 90% petru puctajul mediu, m. (b) Testati ipoteza H 0 : m = 49.5, impotriva ipotezei H a : m < 49.5, cu ivelul de semificatie α% si gasiti α date masurate: astfel icat H 0 sa fie respisa. dimesiue esatio: = 250 x medie: x = = = deviatie stadard (formula 5b): s = x 2 x2 = (a) icredere 90% α = 0.1 se cuoaste doar dispersia esatioului statistica t se aplica formula 3a, ca la exercitiul 1, puctul (a) (b) se aplica testul t ca la exercitiul 6 se icearca valori diferite petru α: 0.1, 0.2,... se observa ca icepad de la α > 0.4 H 0 este respisa

5 Barem Fiecare problema a fost puctata de la 1 la 10. Nota fiala e media poderata a acestor ote, folosid poderile de mai jos. Poderile au fost alese i asa fel icat sa fie otele cat mai mari, dar i aumite limite de bu simt date de dificultatea problemelor. Oricum u sut direct proportioale cu dificultatea, dupa cum era ormal. Poderi: 1. 20% 2. 5% 3. 15% 4. 5% 5. 20% 6. 15% 7. 20% La majoritatea problemelor trebuiau doar idetificate datele (media, dispersia, etc.) si aplicata formula corespuzatoare. Daca se metioa formula care trebuie folosita, sau faptul ca se foloseste statistica z sau t, se putea lua aproape puctajul complet, fara sa se mai duca toate calculele paa la fial. Au fost puctate paa si cele mai eisemate observatii. Se putea lua absolut lejer ota 8. Cu toate astea otele lasa foarte mult de dorit...

6 P {x z σ < µ < x + z σ } = 1 α (1a) z = (x µ 0) σ (1b) Table 1: z α NORMSINV(α) NORMSINV(1 α) = NORMSINV(α) (2) ============================================================ { P x t s < µ < x + z s } = 1 α (3a) t = (x µ 0) s (3b) Table 2: t TINV(α, df) df/α ============================================================ P { ( 1)s 2 χ 2 critic,sup < σ 2 < } ( 1)s2 = 1 α (4) χ 2 critic,if Table 3: χ 2 CHIINV(α, df) df/α ============================================================ (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x µ) 2 σ = (5a) x 2 1 σ = + + ( ) x2 x1 + + x 2 (5b)