Multii, unctii, nuere reale ) Multiea A are 6 eleente, iar ultiea B are 4 eleente. Se stie ca A B contine 56 de subultii. Cate eleente are intersectia A B? A) B) C) D) E) 4 Solutie. Se stie ca o ultie inita cu n eleente are n subultii. Din relatia n 56, rezulta ca A B are n8 eleente. Cunoscand relatia: A B A + B A B () (prin X a desenat nuarul de eleente al unei ultii inite X) rezulta A B. Raspunsul corect este deci D). OBSERVATIE. Relatia () se deduce usor tinand cont de deinitia operatiilor de reuniune si intersectie. In anualele de clasa a IX-a (editiile 98-998) este propusa ca eercitiu. ) Cate eleente are ultiea:, y N N + 5y 997 {( ) } A) B) 99 C) 996 D) E) 997 Solutie. Aici intra pe taraul rezolvarii ecuatiilor dioantice liniare in doua variabile. Aceste ecuatii (care nu se studiaza in scoala) apar totusi in eercitii din unele culegeri de larga circulatie (Nita/Nastasescu sau Pirsan/Lazanu de eeplu). Fora unei astel de ecuatii este: a + by c, a, b, c Z () Evident ca se cer solutiile intregi ale acestei ecuatii. De regula ave ( a, b) (dar nu este obligatoriu), Daca ( a, b) d >, ave doua posibilitati: a) ie d c si atunci prin sipliicare cu d se obtine o ecuatie in care ( a, b ) b) ie c nu este divizibil cu d si atunci ecuatia nu are solutii in Z Z (deoarece ebrul stang este divizibil cu d, iar ebrul drept nu este). In cazul in care ( a, b), se cauta o solutie particulara (, y ) a ecuatiei (aceasta este de regula usor de gasit; eista insa si cazuri rebele, in care deterinarea ei devine o problea diicila). Solutia generala a ecuatiei () este data de: + bt, t Z () y y at Scriind ca solutia particulara (, y ) veriica ecuatia (), ave: a + by c (*) Inlocuind in ecuatia () solutia generala (), rezulta: a by a + bt + b y at a + abt + by abt a + by ( ) ( ) c +
Mai ulte despre acest tip de ecuatii puteti ala din lucrarea Copendiu de ateatica de A.E. Beju si I. Beju, aparuta la Ed. Stiintiica in 98 (de apt, si subsenatul tot de acolo s-a inorat). Reveni acu la ecuatia data: + 5y 997. O solutie particulara este:, y 99. Conor celor airate ai inainte, solutia generala este: + 5t, t Z y 99 t Observa insa ca trebuie sa cauta solutii naturale, adica intregi si pozitive. Se pun deci conditiile: + 5t t 99 99 t Eista de valori intregi ale lui t in intervalul [; 99]. Prin urare, ultiea are de eleente. Raspunsul corect este A). ) Cate eleente are ultiea: n + 5 Q, n,,...,? n n + 4 A) 999 B) C) D) 989 E) 998 Solutie. Un pri raspuns care ar veni in intea oricui este. Ne reainti insa de deinitia ultiii: eleentele sale trebuie sa ie distincte ({,,4,} contine doar eleente si nu 4). Prin urare, trebuie sa vede daca eista perechi ( n ), n, n n (unde ( n) n astel incat ( ) ( ), n n + 5 ) si ai precis cate astel de perechi distincte eista. n n + 4 n + 5 n + 5 Egalitatea ( n ) ( n ) se scrie. Dupa inultiri in n n + 4 n n + 4 diagonala, reduceri si grupari de tereni cu care nu va ai plictisesc, rezulta: n n sau n n + n + n 5 Aceasta a doua egalitate ne oera perechile de care ave nevoie. Aduna si scade o unitate, pentru a o transora: ( n + )( n + ) 6 De aici rezulta: n + n a) care nu convine pentru ca n are o valoare n + 6 n 5 inoerioara lui. n + n b) n + n n + n Solutia este aceeasi cu cea de la punctul b) (neavand n + n iportanta care din paraetrii n,n are valoarea si care are valoarea ).
Siilar, si solutia de la punctul a) (care de apt nu este o solutie) adite o sietrica. Prin urare, singura pereche ( n,n ) cu n n care satisace egalitatea ( n ) ( n ) este (,). Multiea data are deci -999 de eleente. Raspunsul corect este A). 4) Se stie ca. Care este valoarea epresiei + + 7 7 7 A) B) 7 C) D) E) 7 9 E? 6 + + Solutie. Cea ai la indeana idee pare rezolvarea ecuatiei si calculul lui. Nuai ca ecuatia nu adite solutii reale si calculul cu nuere coplee este etre de incood. Ideea ingenioasa este sa iparti ractia initiala cu, scriind egalitatea data sub ora:. + + Nota t + si ave deci: t + t t + In acelasi spirit, epresia E se scrie sub ora: E (4) + + Raane sa epria + in unctie de t +. Pentru aceasta, ridica t la puterea a treia: t + + + + + t + 8 46 + + t t 7 7 7 Din relatia (4), rezulta iediat ca E. Raspunsul corect este C). 46 7 + 7 5) Cu care din nuerele uratoare trebuie sa apliica ractia: + 4 pentru rationalizarea nuitorului? A) 4 + + 4 B) 4 + 4 C) 4 5 + 4 D) 4 5 E) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect. 4
Solutie. Sigur ca o varianta este sa inulti nuitorul ractiei pe rand cu iecare din nuerele propuse, oprindu-ne daca rezultatul este rational. In caz ca nici unul din cele patru produse nu este rational, raspunsul corect este E). Aceasta etoda de orta bruta contravine insa spiritului logic al ateaticii. Fie a + b + c 4, a, b, c Q nuarul cautat. Eectua produsul: ( a + b + c )( ) 4 + 4 a + 6b c + ( a + b + 6c) + ( a b + c) 4 Acest nuar este rational daca si nuai daca: a + b + 6c a + b 6c a + b 6c a c, b 4c a b + c a b c 6a b 4c Cu nici unul dintre nuerele A)-D) nu satisace aceste conditii, raspunsul corect este E). 6) Cate eleente are ultiea: { Z N} D 7 Solutie. Fie A) doua B) patru C) unul D) niciunul E) trei y 7 N y 7 y 7 ( + y)( y) 7 Deci, nuerele intregi + y si y trebuie sa se gaseasca printre divizorii lui 7. Posibilitatile sunt: + y 7 i) 9, y 8 y + y ii) 9, y 8. Aceasta nu este o solutie, deoarece y 7 y trebuie sa ie pozitiv. + y 7 iii) 9, y 8 Nici aceasta nu este o solutie. y + y iv) 9, y 8 y 7 D 9,9. Raspunsul corect este A). Rezulta { } 7) Se dau nuerele: a, ( 5) b 4 + 4 6 π c 7 d 86 e,456789... (dupa virgula sunt scrise toate nuerele naturale). Care dintre acestea sunt rationale?
A) a si e B) a, b si e C) doar a D) niciunul E) a si b Solutie. Este clar ca a este rational. La el de clar este ca nuerele c si d sunt irationale. Raan in discutie doar b si e. In cazul lui b, daca eectua calculele, rezulta: b 8 care este evident rational. 6 Nuarul e are o reprezentare zeciala ininita, care insa nu este periodica. Prin urare, nu este rational. Raspunsul corect este deci E). 8) Se dau unctiile i : Di R, i, 4 : ( ) 4 + 7 + ( ) ( ), 4 + 6, < 4 ( ) + + deinite pe doeniile aie. Care dintre ele sunt injective? A) toate B) doar C) si D), si 4 E) niciuna Solutie. Epresia unctiei se rescrie sub ora: ( ) ( 4) + 7. Se observa acu cu ( ) ( ) 7. Prin urare, unctia nu este injectiva. usurinta ca Pentru, scrie: 5 ( ) +. Din egalitatea ( ) ( ) rezulta asadar: 5 5 5 5 + +. Functia este injectiva. Pentru, trebuie analizate trei situatii: i) daca astel incat ( ) ( ), +, < ( )( ) + >. Cu, rezulta ii) daca astel incat 4 + 6 4 + ( ) ( ) 6 <,. Ave ( ) 4 + 6 < 8, ( ) 8 Rezulta ( ) ( ). Prin urare, si unctia este injectiva. R astel incat ( ) ( ) iii) ie. In ine, pentru 4, ie, 4 4 + + ( )( + + + ) + + + + + >. Insa, +. Rezulta ca si 4 este 4 injectiva. Raspunsul corect este deci D).
9) Functia : R, ( ) ( ) ( + ) + 4 5, R unde Z este strict +, > descrescatoare pe R. Cate valori poate lua paraetrul? A) o ininitate B) doua C) niciuna D) una E) patru Solutie. Pentru ca unctia sa ie strict descrescatoare pe R, trebuie ca: i) raurile sale (adica restrictiile la intervalele (, ] si (, )) sa ie strict descrescatoare; ii) liita la stanga a unctiei in sa ie superioara liitei la dreapta. i) Restrictiile unctiei la intervalele date sunt unctii de gradul I, deci onotonia lor este stabilita de senul coeicientului lui. Se pun deci conditiile: < + < ii) Nu ai este necesar sa pune aceasta conditie, din oent ce ultiea acceptabila de valori pentru a devenit vida. Raspunsul corect este C). ) (Olipiada, 98, enunt odiicat). Fie ultiea R \ {,} E si unctia : E E, ( ). Se deinesc unctiile k : E E, k prin: o, o,..., k k o. Cate solutii are ecuatia ( ( ) )? 997 A) doua B) niciuna C) una D) ai ult de doua E) nici unul din raspunsurile A)-D) nu este corect Solutie. Se calculeaza pe rand unctiile, k. Ave: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) E ( ) Cu E este eleent neutru pentru operatia de copunere a unctiilor, rezulta ai departe oarte siplu ca: 4 7... k + 5 8... k + 6 9... k E k
(puteti deonstra airatiile prin inductie dupa k ). Noi nu ai pierde tipul si observa ca 997 665 +. Ecuatia de rezolvat este deci ( ( ) ) sau. Ecuatia are solutia, in tip ce ar avea solutia E. Prin urare, ecuatia data are o singura solutie. Raspunsul corect este C).