Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP
2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi Fie un triunghi şi ', ', mijloacele laturilor [ ], [ ] respectiv [ ] a) Medianele ', ' şi sunt concurente în punctual G (centrul de greutate al triunghiului ) astfel încât: G = 2G', G = 2G', G = 2G (G împarte fiecare mediană în raportul -2) b) Vectorul de poziţie al lui G faţă de un punct oarecare P P este dat de formula PG = P + P + P 3 ( ) G a) Notăm intersecţia medianelor ' şi ' cu G Din asemănarea triunghiurilor G G G şi G ' deducem: = = = 2, deoarece ' este linie G' G ' mijlocie în triunghiul Rezultă G = 2G', G = 2G Fie P un punct oarecare din plan vem PG = ( P ( 2) P' ) = ( P + 2P' ) ( 2) 3, unde 2 P ' = P + P, deci PG = P + P + P 3 ( ) Notăm intersecţia medianelor ' şi ' cu G ' Printr-un calcul analog obţinem PG ' = ( P + P + P 3 ) Rezultă PG = PG', deci G = G', adică medianele sunt concurente b) Formula vectorului de poziţie a lui G rezultă de la a)
3 Problema (Năstăsescu IX, p 68) Relaţia lui Leibniz Pentru orice punct P din planul triunghiului avem unde G este centrul de greutate al triunghiului P + P + P = 3PG,
4 Problema (Năstăsescu IX, p 69, teoremă) Teorema lui Pappus Fie un triunghi Se consideră punctele ', ' şi, distincte ' ' de vârfurile triunghiului, astfel încât avem = = = λ În aceste condiţii, ' ' triunghiurile şi ' ' au acelaşi centru de greutate Fie G şi G ' centrele de greutate al triunghiurilor şi ' ', iar P un punct oarecare din plan Scriem relaţia lui Leibniz pentru G şi G ' Obţinem: P + P + P = 3PG, P ' + P' + P = 3PG' vem: ( λ ) P' = P λ P ( λ ) P' = P λ P ( λ ) P' = P λp Prin adunare găsim ( λ )( P ' + P' + P ) = ( λ ) ( P + P + P ) de unde G = G', deci PG = PG',
5 Problema (Năstăsescu IX, p 72, teoremă) Teorema lui Thales Se consideră un triunghi şi o dreaptă d care nu trece prin niciunul dintre punctele,, şi intersectează pe în M şi pe în N tunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Dreapta MN ; M N b) vem relaţia = M N ele trei situaţii posibile sunt illustrate mai jos N M M N M N ) Demonstrăm implicaţia b) a) M N Notăm = = λ, unde λ 0 (deoarece M, N ) Rezultă relaţiile, M N M = λm, N = λ N, de unde M = λ λ, λ N = λ λ λ vem MN = M + N = M N = ( ) = Prin urmare λ λ MN 2) Demonstrăm implicaţia a) b) Notăm M N = m şi = n Vom arăta m = n M N Presupunem, prin absurd, că MN şi m n Fie pe dreapta unicul punct P astfel încât P M P = m vem =, deci, conform implicaţiei anterior demonstrate, P M P avem MP Rezultă că dreptele MN şi MP sunt confundate şi P = N, deci m = n, în contradicţie cu presupunerea iniţială 6 Problema (Năstăsescu IX, p 74, teoremă)
Teorema bisectoarei Fie un triunghi şi un punct D [ ] Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Semidreapta [ D este bisectoarea unghiului ; D b) vem relaţia = D E D ) Vom arăta că a) b) Prin punctul construim paralela la D până intersectează dreapta în E plicăm teorema lui Thales în E, unde D E Obţinem D = () D E vem E D (alterne interne), E D (corespondente) şi D D ( [ D bisectoare), deci D E Prin urmare, E este isoscel, D deci E =, iar din () obţinem = D 2) Vom arăta că b) a) Notăm = λ Rezultă că D împarte în raportul λ D' Fie [ D ' bisectoarea unghiului onform ), = = λ, deci punctul D' D ' împarte în raportul λ Prin urmare D = D', deci [ D este bisectoarea unghiului 7 Problema (Năstăsescu IX, p 74, teoremă)
Vectorul de poziţie al centrului cercului înscris în triunghi Fie un triunghi, I centrul cercului înscris în triunghi şi un punct oarecare P Vectorul de poziţie al punctului I faţă de P este dat de formula PI = ( ap + bp cp ) a + b + c +, unde am notat = c, = a şi = b P I În triunghiul fie ', ', picioarele bisectoarelor din vârfurile,, ' c ' a b onform teoremei bisectoarei avem: =, =, = ' b ' c a c Rezultă că punctul ' împarte segmental în raportul, deci b c ' = b c c b adică ' = + b + c b + c b ' c ' c Din = rezultă = vem ' + ' = = a, deci obţinem ' b ' + ' b + c ac ab ' =, ' = b + c b + c [I este bisectoare în triunghiul ', deci aplicând teorema bisectoarei, avem I b + c b + c = = c = I' ' ac a
b + c Rezultă că punctual I împarte segmental ' în raportul deci a b + c PI = P P' b + c a () a ' c c um =, rezultă că ' împarte segmentul în raportul deci ' b b c P' = P P b c c b deci P' = P + P (2) b + c b + c b Înlocuind (2) în (), avem = a b + c b c PI P + P + a + b + c a + b + c b + c b + c P de unde obţinem formula din enunţ
8 Problema (Năstăsescu IX, p 8, propoziţie) Relaţia lui Sylvester În orice triunghi, avem relaţia O + O + O = OH, unde notăm centrul cercului circumscris cu O, centrul de greutate G şi ortocentrul cu H O O H P D În cazul când triunghiul este dreptunghic, relaţia este evidentă De exemplu m = 90, atunci H = şi O este mijlocul lui [ ], iar relaţia se reduce la dacă ( ) 0 O + O = 0 Dacă triunghiul nu este dreptunghic, fie D punctual diametral opus lui în cercul Patrulaterul HD are laturile opuse paralele (avem H şi D, deci H D ; analog H şi D, deci H D ), deci este parallelogram Rezultă că circumscris şi P mijlocul laturii [ ] mijlocul diagonalei [ HD ] coincide cu mijlocul P al laturii [ ] În triunghiul HD, OP este linie mijlocie, deci H = 2OP um, O = O rezultă O + O = 2OP, deci O + O = H sau O + O = OH O, de unde O + O + O = OH
9 Problema (Năstăsescu IX, p 82, teoremă) Dreapta lui Euler În orice triunghi, punctele O, G, H sunt coliniare (unde notăm centrul cercului circumscris cu O, centrul de greutate G şi ortocentrul cu H ) şi avem OH = 3OG Dreapta care conţine punctele O, G, H se numeşte dreapta lui Euler a triunghiului onform relaţiei lui Leibniz, avem 3PG = P + P + P, P P Pentru P = O, avem 3 OG = O + O + O = OH, deci OH = 3OG Prin urmare punctele O, G, H sunt coliniare şi sunt situate astfel: O G H Evident, dacă triunghiul este echilateral, punctele dreapta lui Euler nu este determinată O, G, H coincide, deci
0 Problema (Năstăsescu IX, p 83, teoremă) Teorema lui Menelaus Fie un triunghi şi trei puncte ', ' şi, diferite de vârfurile triunghiului Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Punctele ', ', sunt coliniare ' ' b) vem relaţia: = ' ' ' ' Notăm = m, = n, = p ' ' )Demonstrăm implicaţia b) a) Presupunem că mnp = şi vom arăta că ', ', sunt coliniare vem ' = n', deci ' = ( n ) n Vom exprima în funcţie de ', iar în funcţie de ' vem: = ' + ' = ' + ' = ' m m, deoarece ' = m' ( p) n( p) = + = + p =, deoarece ' = p m Obţinem: ' = " m( n) n m n( p) m n( p) um mnp =, avem = În adevăr = m( n) n m( n) n m mn( p) = m( n) + mnp = 0 În concluzie există x, y R *, cu x + y = şi ' = x' + y, deci punctele ', ', sunt coliniare 2)Demonstrăm implicaţia a) b) Presupunem, prin absurd, că există punctele ', ', care sunt coliniare şi totuşi mnp
Notăm mn = q, deci mnq = şi q p onstruim unicul punct Q astfel încât Q = q Din mnq = Q rezultă că ', ', Q sunt coliniare, iar din q p rezultă că Q Prin urmare dreptele ' ' şi au în comun două puncte distincte, ' şi Q, deci ele coincid, ceea ce este fals Problema (manual IX EDP989, p 43, pr3) Teorema lui Menelaus
Fie un triunghi şi ', ', trei puncte coliniare astfel ca ', ' şi ' ' Să se arate că: = ' ' P Se duce prin o paralelă la care intersectează dreapta ' ' în P Din teorema P ' fundamentală a asemănării rezultă: P' ~ ' şi deci = ' sau ' P = ' Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă şi P' ~ ', de unde se P ' ' obţine = şi P = ' ' ' ' ' ' şadar =, de unde rezultă = ' ' ' ' 2 Problema (manual IX EDP989, p 43, pr4) Reciproca teoremei lui Menelaus
Se consideră punctele ', ', situate pe dreptele,, determinate de laturile triunghiului Dacă două dintre ele sunt situate pe laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri de laturi, şi este satisfăcută relaţia ' ' =, atunci cele trei puncte sunt coliniare ' ' Putem admite că ' [ ] ; atunci ' ' şi ambele puncte ', se găsesc fie pe laturile triunghiului, fie pe prelungirile acestora Dacă am avea ', din teorema lui ' ' ' Thales ar rezulta =, ceea ce împreună cu = ne-ar da ' = ' ' ' ' în contradicţie cu ' ' Deci ' taie într-un punct " şi se observă " [ ] (căci ' nu poate intersecta o singură latură sau toate cele trei) Putem scrie în virtutea " ' teoremei lui Menelaus = " ' " ' Obţinem = ; ţinând seama şi de ", ' [ ] rezultă " = ', deci punctele " ' ', ', sunt coliniare 3 Problema (Năstăsescu IX, p84, propoziţie) Relaţia lui Van ubel
Fie un triunghi şi punctele ', ' şi, diferite de vârfurile triunghiului, astfel încât dreptele ', ' şi ' sunt concurente într-un punct P tunci P ' avem relaţia = + P' ' Punctual P poate fi în interiorul sau în exteriorul triunghiului P P plicăm teorema lui Menelaus în ' cu transversala ', P, şi apoi în ' cu transversala ', P, Obţinem: P' ' P ' P ' =, de unde = = () ' P P' P' ' P' ' P ' =, de unde = (2) ' ' P ' P' dunând membru cu membru (), (2) şi ţinând cont că ' + ' = obţinem: ' P ' ' P P + = ' P' + = = P' P' 4 Problema (Năstăsescu IX, p85, teoremă) Dreapta Newton-Gauss
Mijloacele celor trei diagonale ale unui patrulater complet sunt coliniare (dreapta formată cu aceste mijloace se numeşte dreapta Newton-Gauss a patrulaterului complet) (Se numeşte patrulater complet figura formată din patru drepte, două câte două neparalele şi care sunt astfel încât câte trei dintre ele nu sunt concurente ceste drepte sunt laturile patrulaterului Laturile se intersectează două câte două în 6 puncte numite vârfurile patrulaterului Pentru fiecare vârf format prin intersecţia a două laturi se formează vârful opus, care este intersecţia celorlalte două laturi Prin urmare, cele 6 vârfuri se grupează două câte două în perechi de vârfuri opuse: (, ' ), (, ' ),, Segmentele ', ', ' se numesc diagonalele patrulaterului complet) d M N P Fie M mijlocul lui ', N mijlocul lui ', P mijlocul lui ' vem de arătat că M, N, P sunt coliniare Pentru aceasta, considerăm mijlocul " al lui, mijlocul " al lui şi mijlocul " al lui Rezultă că M "", N " ", P "" şadar, punctele M, N, P sunt pe laturile triunghiului " " " oliniaritatea punctelor M, N, P revine, conform teoremei M" N" P" lui Menelaus, la relaţia = () M" N" P" În triunghiul, avem " " şi M, ' M" ' Rezultă = M" ' N" ' P" Similar vom avea = şi = N" ' P" Înlocuind, rezultă că () este adevărată 5 Problema (Năstăsescu IX, p90, teoremă) Teorema lui eva
Fie un triunghi şi trei puncte ', ' şi, diferite de vârfurile triunghiului Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) dreptele ', ', ' sunt concurente sau paralele; ' ' b) avem relaţia = ' ' M M Vom demonstra implicaţia a) b) )Presupunem că ', ', ' sunt concurente în M plicăm teorema lui Menelaus în ' pentru punctele ',, M şi apoi în ' pentru punctele ',, M Obţinem:
M' ' M' ' =, =, de unde = sau ' M ' ' M ' ' ' ' ' ' ' ' ' = Deoarece = şi =, obţinem = ' ' ' ' ' ' 2)Presupunem că dreptele ', ', ' sunt paralele ' ' plicând teorema lui Thales deducem =, = de unde obţinem ' ' ' ' = ' ' ' ' Prin urmare, avem = = ' ' Implicaţia b) a) se demonstrează prin reducere la absurd
6 Problema (Năstăsescu IX, p90, propoziţie) Punctual lui Gergonne Dacă în triunghiul notăm M, N şi P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile [ ], [ ] şi [ ], atunci dreptele M, N şi P sunt concurente într-un punct (punctul lui Gergonne) P N M vem P = N (tangentele din acelaşi punct la un cerc au lungimi egale), P = M, M = N P M N Prin urmare =, deci dreptele M, N şi P sunt concurente sau P M N paralele, conform teoremei lui eva um D ( ), E ( ) şi F ( ), cele trei drepte nu pot fi paralele, deci sunt concurente