APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU Pro. Poenaru Dan, Colegiul Economic I.Pop Cluj -Napoca Aşa cum s-a putut urmări în articolele precedente, pentru rezolvarea unor probleme de geometrie clasică ce vizează studiul variaţiei distanţelor, ariilor, volumelor în condiţii determinate de puncte variaţionale, instrumentul de investigaţie cel mai potrivit este analiza matematică. Consider că aplicaţia ce urmează este un eemplu el ocvent în acest sens: rezolvarea problemei de geometrie conduce la construcţia unei uncţii a l cărei graic evidenţiază un număr semniicativ de,,evenimente matematice speciice analizei, toate studiate în cadrul programei de liceu: - asimptotă; - puncte de etrem local; - punct unghiular; - puncte de inleiune.
Aplicaţie Se dau pătratul ABCD de latură AB şi triunghiul isoscel AMB, de bază AB, situate în plane perpendiculare. Se duc perpendicularele din C pe AM în punctul P, respectiv din D pe BM în punctul Q. Fie şi R mijlocul laturii AB. Să se studieze variaţia ariei triunghiului RPQ dacă punctul M este variabil. A D R P B C Q M SOLUŢIE: Mai întâi vom considera câteva airmaţii adevărate ce pot i demonstrate uşor cu ajutorul,,tehnicilor speciice geometriei în spaţiu cum ar i : [ AP] [ BQ], [ CP] [ DQ], PQ AB DC, CP şi DQ sunt concurente iar BP respectiv AQ sunt înălţimi în triungiul isoscel AMB cu [ BP] [ AQ]. Deasemenea în problemă se disting trei cazuri: I. AMB ascuţitunghic II. AMB dreptunghic P, Q, R coincid 0 III. AMB obtuzunghic A PQR Tratăm mai detaliat cazul I. Notăm MR şi căutăm să eprimăm aria triunghiului PQR în uncţie de. M PQ SR A S MR PQ PQR MS PQ Din PQ AB ; din MRB dreptunghic MB. Calculăm aria triunghiului AMB în două moduri: A P S R Q B A A AMB AMB AB MR PB MA PB PB
PB 4. din APB dreptunghic 4 4 4 PB AB AP 4 5. Înălţimea triunghiului dreptunghic APB este lungimea SR şi este dată de 5 4, AB PB AP SR, astel SR MR MS. Din MS şi relaţia rezultă PQ de unde PQ şi revenind la relaţia obţinem aria triunghiului: A PQR. Considerăm uncţia :,, : R Pentru cazul III. În urma unor deliberări asemănătoare cazului I. obţinem uncţia:, :[0, R Din cele trei cazuri uncţia corespunz ătoare studiului variaţiei ariei triunghiului este:,, 0, [0,,, :[0, R Preliminarii pentru întocmirea tabloului de variaţie şi trasarea graicului: Comportamentul uncţiei la,,capete este dat de 0 0 şi 0 0 lim y
este asimptotă orizontală. Funcţia derivată a uncţiei este: :[0,, R, 4 6, [0, 4 6,, 4 6 Derivata uncţiei pentru [0, este ; ecuaţia 0 conduce la 4 6 0. Prin rezolvarea ecuaţiei bipătrate se ajunge la unica soluţie din intervalul [ 0, şi anume iar. 4 6 Derivata uncţiei pentru, este ; ecuaţia 0 conduce la aceeaşi ecuaţie bipatrată 4 6 0 şi obţinem unica soluţie din intervalul, şi anume iar. Funcţia este continuă pe [ 0, dar nu este derivabilă în punctul ; în acest punct derivatele laterale sunt 0 respectiv 0 iar 0 ceea ce înseamnă că punctul,0 este un punct de întoarcere pentru graicul uncţiei. Din studiul derivatei a doua obţinem două puncte de inleiune vezi tabloul Tabloul de variaţie: 0 + + + 5 5 0 _ - + + + 0 0 + + + 0 + + + 0 i 0 0 i 4
5 A Q D C B R M y O i i A P Q M D C B R P ma ma A PQR 5 5,, i i 0 min min A PQR Graicul uncţiei - coneiuni
DOUĂ APLICAŢII PRACTICE, INTERESANTE, PENTRU VACANŢĂ NECULAI STANCIU Problema. Istoria SSMR Revista Gazeta Matematică s-a îniinţat în anul 895.Apoi s-a îniinţat şi Societatea Gazeta Matematică, care şi-a modiicat denumirea de trei ori în anul 9AB Societatea de Ştiinţe Matematice şi Fizice, în anul 9CA Societatea de Ştiinţe Matematice şi de la centenarul revistei poartă denumirea de astăzi Societatea de Ştiinţe Matematice din România.Dacă anul acesta sărbătorim centenarul Societăţ ii şi AB respectiv CA sunt pătrate perecte consecutive alaţi cei patru ani în care Societatea a avut denumirile SGM, SSMF, SSM şi SSMR. prin pătrat perect se înţelege produsul dintre două numere egale Soluţie. Dacă anul acesta serbăm centenarul soci etăţii rezultă că SGM s-a îniinţat în 90. AB=49 Anul modiicării denumirii în SSMF a ost 949. CA=64 Anul în care a luat denumirea SSM a ost 964. Deoarece centenarul revistei s-a serbat în 995 anul în care a lut denumirea actuală SSMR a ost anul 995. Problema. de magie-matematică CALENDARUL PERPETUU dedicată pt. DUMITRU M. BĂTINEŢU GIURGIU & MARCEL ŢENA Proesor, Şcoala cu clasele I-VIII George Emil Palade, Buzău
& oricărei persoane care doreşte să ale în ce zi a săptămânii a picat sau va pica o anumită dată din calendar Pentru orice dată din calendar, notată de eemplu, avem corespondent una şi numai una din zilele Luni, Marţi, Miercuri, Joi, Vineri, Sâmbătă şi Duminică, notate de eemplu y.rezultă că putem deini o uncţie y y. Se cere: a să găsiţi ormula y y ; b să determinaţi ziua în care pică data de 7.0.96 DMB-Giurgiu, respectiv data 8.0.95 MŢ-redactor şe al G.M.-B; c să determinaţi ziua în care v-aţi născut şi să întrebaţi părinţiisau oricine ştie, sau vezi teleonul mobil pentru conirmare. Soluţie. a Avem şapte zileluni, Marţi, Miercuri, Joi, Vineri, Sâmbătă şi Duminică, doisprezece luni şi mulţi anidintre care unii besecţi. Formula căutată trebuie să ţină seamă de toate acestea şi unele în pluseerciţiu!:vezi pe google, despre anii bisecţi. Noipoate şi alţii am găsit următoarele două ormule: A y A mod 7 4 L Z, pentru anii 900,,999; A y A mod 7 4 L Z, pentru ani 000,,099; unde am notat prin A numărul natural ormat din ultimile două cire ale anului A A căutat; = partea întreagă a numărulului ; Z numărul natural care reprezintă cira 4 4 căutată şi L cira corespunzătoare lunii căutatevezi tabelul. Luna Ian Feb Mar Apr May Iun Iul Aug Sep Oct Nov Dec L 4 4 0 5 0 6 4 6 Tabelul de mai sus se poate reţine oarte uşor: 44 - pătrat perect; 05 pătrat perect; 06 pătrat perect; 46=44+. Deoarece y este congruent modulo 7, avem y 0,,,,4,5,6. Facem asocierea: 4 0 Sâmbătă; Duminică; Luni; Marţi; 4 Miercuri; 5 Joi; 6 Vineri. Remarcă.În anii bisecţi, ziua din lunile ianuarie, respectiv, ebruarie corespunde cirei y. b ziua corespunzătoare datei 7.0.96 an bisect
Restul împărţirii: 6 9 7 7, este y, iar din 4 şi remarcă, rezultă, că ziua căutată este Luni 7 7 D.M.B Giurgiu. Data 8.0.95 Restul împărţirii: 5 8 9 7 7 ziua de Duminică. c Se aplică metoda descrisă la punctul a. Bonus..0.0 an bisect, luna ianuarivezi remarca!. Restul împărţirii: 6, este 7 7 corespunzătoare este Duminică., este y, iar asocierea 4 rezultă că redactorul şe s -a născut în y, dar acem y, de unde rezultă că ziua Notă. Cele două ormule de calcul calendarul perpetuu au ost date de cel mai mare geniu al omenirii - William James Sidis898 944, care a vut cel mai mare IQ între 50 şi 00.Se pare că cel mai mare IQ printre matematicieni l -a avut Gottried Willhelm von Leibniz 0.După unii se pare că IQ-ul cel mai mare dintre matematicieni l-ar i avut Srinivasa Ramanujan 887 90 numai că nu a putut i determinat deoarece era oarte slab la orice altceva în aară de matematică.
PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE ŞI PATRULATERE COMPLETE PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE Pro. Gurău Cornelia, Şcoala cu clasele I - VIII nr.4 Moineşti, Bacău Spunem că un patrulater ABCD este circumscriptibil dacă eistă un cerc tangent laturilor AB, BC, CD, DA. Se mai spune că este înscris în ABCD sau ca ABCD este circumscris lui. Teorema. Orice patrulater circumscriptibil este conve. Demonstraţie. Într-adevăr, dacă ABCD este circumscris unui cerc, dreapta AB este tangentă lui şi lasă de o parte o anumită parte a ei, H, cercul mai puţin punctul de tangenţă deci şi punctele de contact cu celelalte laturi. Urmează că BC şi AD sunt incluse în H, apoi că C, D sunt în H. Teorema. Pithot. Patrulaterul conve ABCD este circumscriptibil da că şi numai dacă AB + CD = AD + BC sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale. Demonstraţie. Fie ABCD circumscris cercului, punctele de contact pentru AB, BC, CD, DA iind notate prin M, N, P, Q ig.. Fig. Au loc următoarele egalităţi de ta ngente din diverse puncte la cercul : AM = AQ, BM = BN, CN =CP, DP = DQ. Urmează imediat: AB + CD = AM + MB + CP + PD = AQ +BN + CN + DQ =
=AQ + QD + BN + CN = AD + BC. Să presupunem acum că are loc egalitatea AB + CD = AD + BC. Vom considera că dreptele suport ale două laturi opuse, de eemplu AD cu BC, sunt secante în E. Mai presupunem că notarea v ârurilor asigură că are loc A D E, deci B C E. Fie cercul înscris în triunghiul ABE. Presupunem prin absurd că CD nu este tangentă lui. Eistă două tangente la paralele cu CD; alegem acea paralelă CD la CD ce separă punctele cercului şi E în semiplane distincte. Deoarece ABCD este ciurcmscriptibil rezultă AB + C D = AD BC. Scăzând această egalitate membru cu membru din ipoteza adoptată obţinempentru cazul din ig. Fig. CD - C D = D D CC. Ar urma segmentul CD să aibă lungime egală cu a liniei rânte de aceleaşi etremităţi CC DD, absurd. Observaţie. Condiţia de conveitate a patrulaterului ABCD intervine în demonstraţie suicient de subtil, poate insuicient de clar scos în evidenţă de schiţa de demonstraţie prezentată. Fig. înăţişează un patrulater în care AB AD, BC CD, deci are loc AB + CD = AD + BC ără a i circumscriptibil. Fig. Teorema. Bisectoarele interioare ale unui patrulater ABCD sunt concurente dacă şi numai dacă ABCD este circumscriptibil.
Demonstraţia este imediată. Dacă cele patru bisectoare sunt concuren te întrun punct I ce se proiectează ortogonal pe laturi în punctele M, N, P, Q are loc IM IN IP IQ şi cercul I, IM va i tangent tuturor laturilor de unghiuri adică laturilor patrulaterului. Dacă ABCD este circumscris cercului I,r, cele patru bisectoare interioare concură în I. PATRULATERE COMPLETE Menţionăm utilizarea denumirii de patrulater complet ABCDEF pentru un patrulater ABCD, unde {E}= AB CD, {F}= BC AD. Segmentele AC, BD, EF se numesc diagonale ale patrulaterului completig. 4. Fig.4 Teorema Newton-Gauss. Mijloacele P, Q, R ale diagonalelor AC, BD, EF unui patrulater complet sunt coliniare. Demonstraţie. Fie G, H, I mijloacele segmentelor CE, EB, BC. Punctele G, I, P sunt pe o paralelă la EBA; H, I, Q pe o paralelă la ECD, iar H, G, R pe o paralelă la BCF. Deci, P, Q, R sunt pe prelungirile laturilor triunghiului GHI. Conorm teoremei lui Menelaos coliniaritatea punctelor P, Q, R este echivalentă cu îndeplinirea egalităţi PI RG QH. PG RH Folosind linii mijlocii convenabile vom constata însă uşor: QI PI AB RG FC QH DE,,. PG AE RH FB QI DC Cu aceste egalităţi, relaţia este echivalentă cu AB FC DE AE FB DC. Ultima egalitate constituie relaţia lui Menelaos pentru triunghiul BEC şi punctele coliniare A, D, F, deci este adevărată ig.5.
Observaţie. Dreapta PQ se numeşte dreapta Newton -Gauss a patrulaterului complet ABCDEF. Bibliograie Bazele raţionamentului geometric, Dan Brânzei, Eugen Onoraş, Sebastian Aniţa, Gheorghe Isvoranu, Editura Academiei, Bucureşti, 98.
CONCURSUL PENTRU TITULARIZARE IULIE 0 Proba scrisă la MATEMATICĂ Corneliu Mănescu-Avram Această notă conţine soluţii alternative şi generalizări ale subiectelor. Problemele şi soluţiile originale sunt date în anee. SUBIECTUL I. b. Fie * n n o progresie aritmetică de numere naturale, Sn b b... bn şi an u Sn, unde u m este ultima ciră a numărului natural m. a Arătaţi că n n r Sn n bb n, n. 6 b Calculaţi a. 7 an n c Arătaţi că şirul * este periodic de perioadă 0. d Calculaţi am pentru m = 0 0.. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC şi A, B respectiv C mijloacele arcelor mici BC, CA respectiv AB ale cercului circumscris triunghiului ABC. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. a Demonstraţi că dreptele AA, BB şi CC sunt concurente. b Arătaţi că triunghiul BIA este isoscel. c Demonstraţi că punctul I este ortocentrul triunghiului A B C. d Demonstraţi că AI = IA dacă şi numai dacă r = R cos A, unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL al II-lea. Fie m *, d = m +, = a + şi N =.
a Veriicaţi dacă [ ]. c Demonstraţi că U [ ] dacă şi numai dacă =. d Arătaţi că mulţimile = { [ ] = } şi = { [ ] } sunt ininite.. Fie uncţia :, =, unde, este o constantă. a Arătaţi că orice primitivă a uncţiei este strict crescătoare pe. b Calculaţi sin d,. c Demonstraţi că uncţia nu are limită la. d Calculaţi Soluţii : 0 d. I.. a Demonstrăm egalitatea prin inducţie după n. Dacă n =, atunci. Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n şi o demonstrăm pentru n +. Acest apt revine la veriicarea identităţii n n r n n r n bb n bn n bb n, n, 6 6 ceea ce se poate ace cu uşurinţă, eprimând şi în uncţie de şi r. b Avem S 7 = 7b b 7 + r 7 6 7 7 mod 0, deci a 7 = u 7b 0 b 8, unde b 0 = b r. c Calculăm = + +... + observând că putem aplica ormula de la a pentru o progresie aritmetică de 0 de termeni., cu primul termen şi raţia r. Rezultă = 0a n + a n + 0 + 9r, aşadar = = =. d Din 0 0 mod 0 rezultă = = = 5 =.
. a Folosim coordonatele complee şi presupunem că ΔABC este înscris în cercul unitate. Fie a, b, c aiele vârurilor A, B, C respectiv. Schimbând eventual semnele numerelor a, b, c deducem [] că aiele mijloacelor arcelor BC, CA, AB sunt respectiv,,. Ecuaţiile bisectoarelor sunt =,, =, deci aiul punctului I este. Cu notaţiile,,, deducem. b Avem A B = =, A I = = =, deci A B = A I, aşadar triunghiul BIA este isoscel. c Dreapta B C are ecuaţia, deci este perpendiculară pe bisectoarea AA, astel că ortocentrul triunghiului A B C se ală pe această bisectoare. Cum latura triunghiului A B C a ost aleasă arbitrar, deducem că acest ortocentru coincide cu punctul I. d Avem AI = =, IA = = =, deci egalitatea AI = IA este echivalentă cu. Calculăm lungimea r a razei cercului înscris în triunghiul ABC : ecuaţia dreptei BC este ecuaţia perpendicularei din I pe BC este deci piciorul acestei perpendiculare are aiul, +, Rezultă z =. r = = = = =. Triunghiul ABC este înscris în cercul unitate, deci R =. Calculăm cos A = A ' sin A B b bc b c.
Egalitatea r R cos A este deci echivalentă cu a bb c c a b c care este echivalentă cu, deoarece triunghiul ABC este ascuţitunghic, deci 0., II.. a Avem = = + [ ]. b Se ştie că [ ] are o structură de inel comutativ şi unitar aţă de adunarea şi înmulţirea obişnuite din, deci în particular este parte stabilă a lui aţă de aceste operaţii. c Dacă, y[ ], atunci uncţia normă este multiplicativă şi. Rezultă că este inversabil în [ ] dacă şi numai dacă N este inversabil în, deci dacă şi numai dacă =. d Se veriică simplu că = U -, deci U - şi U + pentru orice număr natural n, aşadar cele două mulţimi sunt ininite. Notă. Toate airmaţiile rămân adevărate în cazul general d > număr natural liber de pătrate, cu ecepţia aptului că dacă unitatea undamentală a corpului pătratic este de normă, atunci U - =. Un astel de eemplu este [], mod 5, pentru care unitatea undamentală este ε = 4 4 4, b = a 4 şi N ε =. 5. a Funcţia ia numai valori strict pozitive pe, deci orice primitivă a ei este strict crescă toare pe uncţia este continuă pe, deci admite primitive pe. b Avem = ln cos ln cos. c Funcţia este o uncţie periodică neconstantă, deci nu are limită la +. d Se ace schimbarea de variabilă t = tg, dar aceasta nu este deinită pentru. Pe intervalele 0, şi, o primitivă a uncţiei este F arctg a tg a a
calcule elementare, deci o primitivă oarecare a uncţiei pe intervalul 0, este, 0, F C F C,. F C,, Din condiţia de continuitate a uncţiei F în punctul se obţine lim = = lim, de unde C C, C C, a C C. a Funcţia F obţinută astel este derivabilă în punctul şi F calcule a elementare. Integrala deinită poate i calculată acum cu ormula Leibniz-Newton : ' 0 d F F 0. a Bibliograie [] colectiv Culegere de probleme rezolvate pentru admiterea în învăţământul superior, Editura Ştiinţiică şi Enciclopedică, Bucureşti, 989 [] Hahn, Liang-shin, Comple Numbers and Geometry, The Mathematical Association o America, 994 [] Mănescu-Avram, C., O clasă de iraţionale pătratice cu perioada racţiei continue de lungime 4, Revista Mateino.ro, iunie 0 CATEDRA DE MATEMATICĂ, GRUPUL ŞCOLAR DE TRANSPORTURI PLOIEŞTI E-mail : avram05065@yahoo.com