BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro
CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU
Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită de un circuit pe la bornele sale de legătură cu exteriorul se consumă pe laturile circuitului. Se consideră un circuit care are legătură cu exteriorul prin bornele 1, 2,...,,..., m: Prin borna 1, potențialul și așa mai departe... V1 1 m l l V I = 1 = 1 j = 1 injecteză în circuit curentul = U I j j Dacă nu avem legătură cu exteriorul circuitul se numește izolat m = 1 VI = 0 primul termen este zero l l = 1 j= 1 U I j j = 0 I
Dacă aplicăm Legea lui Ohm pentru o latură de circuit avem: Uj Ej jij Ij + = și facem j l l l l l l 2 UjIj + EjIj = jij = 1 j = 1 = 1 j = 1 = 1 j = 1 ( ) = 0 în sistem izolat l l l l 2 EjIj = jij Bilanțul puterilor = 1 j = 1 = 1 j = 1 (conservarea puterilor) P G P P G = P
Enunț: Bilanțul puterilor (conservarea puterilor) puterea debitată de sursele dintr-un circuit se consumă pe rezistențele din acel circuit Observații: P G - puterea generată, este pozitivă în suma algebrică, dacă E și I au același sens, negativă în caz contrar (sumă algebrică); P - puterea consumată, este întotdeauna pozitivă (sumă aritmetică).
Teorema transferului maxim de putere (Transfer maxim de putere) Presupunem că avem o sursă de tensiune electromotoare reală, E, cu rezistența internă, i, care debitează (este conectată la) pe un rezistor (o sarcină), s Puterea transmisă rezistorului: P s = I s 2 Ce valoare trebuie să aibă rezistența să transmită putere maximă? s pentru ca sursa I = s 2 E E Ps = s + ( + ) i s i 2 Găsim maximul puterii prin anularea derivatei când Ps P 0 max = s
P s 2 1 2 s 2 s + i 2 s 2 i s = E = E = E = 2 3 3 3 s ( s + i ) ( s + i ) ( s + i ) ( s + i ) 0 i s = 0 i s = Condiția de transfer maxim de putere Condiția de transfer maxim de putere este îndeplinită atunci când rezistența de sarcină este egală cu rezistența internă a sursei. Puterea este maximă: 2 Pmax = si max E E I = P = + s 2 ( 2 ) max s 2 s i s = i P 2 2 E E = = 4 4 max s 2 s s s = i P max = E 2 = 4s s i
Observație: Dacă avem un circuit complex (cu o configurație mai complicată): Sursa debitează putere maximă când i =, unde AB AB este rezistența echivalentă a circuitului la bornele A și B
Metode de rezolvare a circuitelor electrice de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirchhoff Presupune scrierea unui sistem de ecuații format din l ecuații, având l necunoscute, rezultat în urma aplicării Teoremei I a lui Kirchhoff pentru (n-s) noduri independente, respectiv aplicării Teoremei a II-a lui Kirchhoff pentru b bucle independente, calculate cu Teorema lui Euler, de forma: I = 0 N I = b, pentru (n-1) sau (n-s) noduri independente b E, pentru b= l -n+1 sau b= l -n+s bucle independente a) (n-1) sau (n-s) ecuații rezultate în urma aplicării Teoremei I a lui Kirchhoff pentru (n-1) sau (n-s) noduri independente, unde s reprezintă numărul reţelelor neconexe b) b= l -n+1 sau b= l -n+s ecuații rezultate în urma aplicării Teoremei a II-a lui Kirchhoff pentru b= l -n+1 sau b=l-n+s bucle independente
Fiind date: configurația rețelei electrice de curent continuu, valorile rezistențelor, și a surselor de tensiune, E, respective de curent, I g Se pot determina folosind metoda Teoremelor lui Kirchhoff: - curenții - tensiunile - puterile ETAPELE de aplicare ale metodei teoremelor lui irchhoff 1. Se analizează topologic circuitul pentru a stabili: - numărul de laturi, l ; - numărul de noduri, n; - numărul de rețele conexe, s; - numărul de bucle independente: b= l -n+1 sau b= l -n+s; - numărul de noduri independente: (n-1) sau (n-s). 2. Se stabilesc arbitrar sensuri de parcurgere pentru curenții din cele l laturi ale circuitului; 3. Se stabilesc arbitrar sensuri de parcurgere pentru cele b bucle independente;
4. Se scrie sistemul de ecuații corespunzător metodei teoremelor lui Kirchhoff de forma: I = 0 N I = b, pentru (n-1) sau (n-s) noduri independente b E, pentru b= l -n+1 sau b= l -n+s bucle independente 5. Se rezolvă sistemul de ecuații format din l ecuații și se determină cele l necunoscute (curenții din laturile circuitului) Observație: Curenții obținuți negativi în urma rezolvării sistemului au sens contrar celui arbitrar ales la etapa 2). Etape opționale: 6. Se calculează tensiunile; Modalități de verificare: 7. Se calculează puterile. 8. Se verifică rezolvarea corectă prin oricare din următoarele trei modalități posibile: a) Prin aplicarea Teoremei a II-a a lui Kirchhoff pe o altă buclă; b) Calculând tensiunea între două noduri pe minim două trasee diferite; c) Verificând conservarea puterilor (bilanțul puterilor).
ESTICȚII în aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff (Surse ideale de curent) În cazul circuitelor care conțin surse ideale de curent există următoarele restricții în aplicarea metodei: a)latura care conține sursa ideală de curent,, poate fi cuprinsă într-o singură buclă independentă, deoarece prin sursa ideală de curent poate să treacă un singur sens de parcurgere, prin urmare cele b bucle independente se vor alege ținând cont de această observație; b)latura care conține sursa ideală de curent,, are conductanța nulă, rezistența infinită, prin urmare ecuația rezultată aplicând Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru bucla care conține sursa indelă de curent se va înlocui în sistemul specific metodei teoremelor lui Kirchhoff cu expresia: valoarea curentului din latura care conține sursa ideală de curent egală cu valoarea sursei ideale de curent, I g I g I g Un sistem de ecuații format din l ecuații, având (l - x) necunoscute, unde x reprezintă numărul surselor ideale din circuit
Metoda curenţilor ciclici (de ochiuri, de buclă, fictivi) În sistemul specific metodei teoremelor lui Kirchhoff are loc o substituție ingenioasă a necunoscutelor: în locul celor l curenți din laturi se introduc b= l - n+s curenți de buclă (ciclici sau de ochiuri). Se operează cu noi variabile numite curenți de ochiuri (de bucle sau ciclici). Curentul ciclic este un curent fictiv. Metoda presupune că, cele b= l - n+s bucle independente, sunt parcurse de curenți fictivi (de buclă) notați cu: ' ' ' I1, I2,..., I b Numărul ecuațiilor sistemului și numărul necunoscutelor se reduce de lal la b=l-n+s, deoarece primele (n-s) ecuații date de Teorema I a lui Kirchhoff dispar, devin identități. Curenții reali din laturile circuitului se vor determina ca sume algebrice ale tuturor curenților fictivi (ciclici), care concură (trec) prin latura respectivă.
Metoda presupune scrierea unui sistem de ecuații de forma: ' ' ' + + + = 11I 1 12I2 1 bib E b1 I + I + + I = E ' ' ' 21 1 22 2 2b b b 2, b = l n + s I + I + + I = E b ' ' ' b1 1 b2 2 bb b b Este un sistem de ecuații compatibil, având b ecuații și b necunoscute. Curenții de buclă prin cele b bucle independente sunt notați cu: sensuri arbitrar alese și sunt necunoscutele sistemului. ' ' ' I1, I2,..., I b au
Termenii din sistem de forma: j b b = E reprezintă resistența proprie buclei independente și este egală cu suma aritmetică a tuturor rezistențelor din bucla independentă (întotdeauna pozitivă), j b 0 reprezintă rezistența comună buclelor independente și j (pozitivă ' ' dacă curenții fictivi I și au același sens prin latura comună și ' I negativă dacă și au sensuri opuse) j ' I j = sau < 0 j I j suma algebrică a tuturor tensiunilor electromotoare ale surselor care acționează în bucla independentă (se păstrează semnificația de la Teorema a II-a a lui Kirchhoff) sau < 0 b E (este pozitivă, dacă are același sens cu curentul fictiv E din bucla independentă, negativă în caz contrar) ' I
Se rezolvă sistemul de ecuații Curenții de buclă (fictivi) Curenții reali din laturile circuitului, ca fiind sume algebrice ale curenților fictivi (de buclă) care ar parcurge fictiv latura respectivă ESTICȚII în aplicarea metodei curenților ciclici (Surse ideale de curent) Sunt similare cu cele din cazul aplicării metodei teoremelor lui Kirchhoff pentru circuite electrice care conțin surse ideale de curent: a)latura care conține sursa ideală de curent va fi obligatoriu cuprinsă într-o singură buclă independentă, deoarece prin sursa ideală de curent poate să treacă un singur curent fictiv de buclă; b)ecuația corespunzătoare buclei independente care conține sursa ideală de curent se elimină și se înlocuiește în sistemul specific metodei curenților ciclici cu expresia: valoarea curentului fictiv de buclă egală cu valoarea sursei ideale de curent se reduce numărul necunoscutelor sistemului specific metodei, de la b necunoscute la (b-x) necunoscute, unde x reprezintă numărul surselor ideale din circuit
ETAPELE de aplicare ale metodei curenților ciclici: 1. Se analizează topologic circuitul: b, n, s,l 2. Se introduc curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese; 3. Se introduc curenții fictivi (de buclă) în cele b bucle independente cu sensuri arbitrar alese; 4. Se scrie sistemul de ecuații corespunzător metodei, format din b= l -n+s ecuații, având b necunoscute; 5. Se explicitează termenii din sistemul specific metodei; 6. Se rezolvă sistemul de ecuații și se determină curenții fictivi; 7. Se calculează curenții reali din laturile circuitului ca sume algebrice ale curenților fictivi care concură latura respectivă.
Metoda potențialelor nodurilor (tensiunilor nodale) - este o metodă duală; -în sistemul de ecuații corespunzător metodei teoremelor lui Kirchhoff se substituie necunoscutele astfel: în locul celor l curenți prin laturi se introduc (n-1) potențiale de noduri, după ce s-a ales arbitrar nodul neutilizat ca origine de potențial (potențial de referință), = 0 V n - se operează cu noi variabile numite potențialele nodurilor, egale ca număr cu numărul nodurilor independente (n-1) ale rețelei - se alege nodul n ca nod de referință, față de acest nod, celelalte noduri ale rețelei au potențialele: V 1, V 2... V, unde =n-1 - numărul ecuațiilor sistemului, ca și numărul necunoscutelor se reduce astfel de lal la (n-1), căci ultimele b ecuații ale sistemului specific metodei teoremelor lui Kirchhoff pentru buclele independente dispar, devenind identități
Metoda presupune scrierea unui sistem de ecuații de forma: G V + G V + + G V = I 1 G V + G V + + G V = I 1 11 1 12 2 1 sc N 21 1 22 2 2n sc N 1 2, =n-1 G V + G V + + G V = I 1 1 1 2 2 sc N - necunoscutele sistemului sunt cele (n-1) potențiale: V 1, V 2... V, unde =n-1
Termenii din sistem reprezintă: G Se numește conductanța proprie nodului și reprezintă suma conductanțelor laturilor care concură (se leagă) în nodul independent, ( G 0, întotdeauna pozitivă) G j = sc N I G j Se numește conductanța mutuală dintre nodurile independente și j și reprezintă suma cu semn schimbat a tuturor conductanțelor laturilor care leagă direct nodul de nodul j G. = G < 0 (întotdeauna negativă) j j - reprezintă curenții de scurtcircuit - intervin numai în laturile active (sunt injectați de către surse în nodul respectiv) - reprezintă suma algebrică a curenților de scurtcircuit injectați de surse în nodul respectiv,
Determinarea curenților de scurtcircuit injectați de: Sursa de tensiune: Sursa de curent: I sc E = = EG E = + sc N N I I g Suma este pozitivă dacă curenții de scurtcircuit sunt injectați în nod (sursele au sensul orientat (dirijat) înspre nodul considerat), negativă în caz contrar
Se rezolvă sistemul de ecuații și se obțin valorile necunoscutelor : V 1, V 2... V, unde =n-1 Curenţii reali din laturile circuitului se determină aplicând pe fiecare latură în parte Legea lui Ohm: U + E = I V1 V2 + E = I I V V + E = 1 2 I j = V V E (sau - E ) j j j j
ESTICȚII în aplicarea metodei potențialelor nodurilor (Surse ideale de tensiune) În cazul circuitelor care conțin surse ideale de tensiune metoda se poate aplica cu următoarele restricții: 1. Dacă în circuit există o sursă ideală de tensiune, atunci unul dintre nodurile laturii care conține această sursă se alege ca origine de potențial (potențial de referință), a.î. celălalt nod va avea potențialul egal cu valoarea sursei ideale de tensiune U = E 1 U = V 1 V 0 V V1 V0 = E = 0 0 1 V = E 1 1 a.î. ecuația corespunzătoare metodei pentru acest nod se va înlocui cu: valoarea potențialului acestui nod egală cu valoarea sursei ideale de tensiune
2. Dacă în circuit există mai multe surse ideale de tensiune, apar dificultăți în aplicarea metodei, a.î. este necesară eliminarea unor surse ideale de tensiune cu ajutorul Teoremei lui Vaschy (lăsând în circuit doar o sursă ideală de tensiune) Observații: 1. Surse de curent Calculul curenților reali din laturile circuitului Dacă în circuit există surse de curent, rezistențele laturilor cu surse de curent se consideră, deci conductanța laturii va fi egală cu zero, a.î. curentul care parcurge latura care conține sursa de curent va avea exact valoarea sursei de curent, indiferent dacă în serie cu sursa de curent mai există alte surse de tensiune sau rezistențe 2. Surse ideale de tensiune Calculul curenților reali din laturile circuitului Curentul prin latura cu sursa ideală de tensiune se determină aplicând Teorema I a lui Kirchhoff pe nodul în care este legată latura cu sursa, după ce s-au determinat curenții prin celelalte laturi adiacente nodului respectiv
ETAPELE de aplicare a metodei potențialelor nodurilor 1. Se analizează topologic circuitul; 2. Se alege un nod drept nod de referință (origine de potențial), față de care necunoscutele sistemului specific metodei vor fi V 1, V 2... V n-1 3. Se scrie sistemul de ecuații corespunzător metodei potențialelor nodurilor, format din (n-1) ecuații și se explicitează termenii din sistem; 4. Se rezolvă sistemul și se determină valorile potențialelor; 5. Se determină curenții din laturile circuitului aplicând Legea lui Ohm pe fiecare latură în parte: V n = 0 I j V V E = j j j
Vă mulţumesc!!!