Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48
Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48
Arbori de acoperire Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 3 / 48
Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. RPA (2019) Curs 3 4 / 48
Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. Fie v V cu l V (v) = M. Ω(M) = {p P M(p) = ω}. RPA (2019) Curs 3 4 / 48
Arbori de acoperire Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire. Dacă (v 1,v 2 ) E, l E (v 1,v 2 ) = t, l V (v 1 ) = M 1 şi l V (v 2 ) = M 2, atunci vom nota v 1 : M 1 t v 2 : M 2. În manieră naturală se poate extinde relaţia t la w, unde w T. Fie v V cu l V (v) = M. Ω(M) = {p P M(p) = ω}. Lab(T γ ) este mulţimea etichetelor nodurilor arborelui de acoperire corespunzător lui γ: Lab(T γ ) = {l V (v) v V} RPA (2019) Curs 3 4 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Propoziţie 1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Au loc următoarele proprietăţi: 1 T γ este finit ramificat 2 Fie v i0,v i1,...,v im noduri distincte două câte două astfel încât v ij d(v 0,v ij+1 ) pentru orice 0 j m 1. 1 Dacă l V (v i0 ) = l V (v i1 ) =... = l V (v im ), atunci m 1; 2 Dacă l V (v i0 ) < l V (v i1 ) <... < l V (v im ), atunci m P ; 3 T (γ) este finit. RPA (2019) Curs 3 5 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Dacă v 1,v 2 V, l V (v 1 ) = M 1, l V (v 2 ) = M 2, w T şi w v 1 : M 1 v2 : M 2, atunci: M 2 (p) = (M 1 + w)(p) pentru orice p P \Ω(M 2 ). RPA (2019) Curs 3 6 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Dacă v 1,v 2 V, l V (v 1 ) = M 1, l V (v 2 ) = M 2, w T şi w v 1 : M 1 v2 : M 2, atunci: M 2 (p) = (M 1 + w)(p) pentru orice p P \Ω(M 2 ). Definiţie 1 Fie γ o reţea Petri marcată, T γ arborele său de acoperire şi M o marcare. M este acoperibilă în T γ dacă există un nod v V : l V (v) M. RPA (2019) Curs 3 6 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Orice marcare accesibilă în γ este acoperibilă în T γ. RPA (2019) Curs 3 7 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Orice marcare accesibilă în γ este acoperibilă în T γ. Demonstraţie: Fie M [M 0. Există σ astfel încât M 0[σ M. Inducţie după σ Baza: σ = 0: M = M 0, există v 0, l V(v 0) = M 0 M 0. Pas inductiv: presupunem că, pentru M cu M 0[σ M şi σ = n, există un nod v V : l V(v) M. Fie M 0[σ M şi σ = n+1. Se arată că există v cu l V(v) M. RPA (2019) Curs 3 7 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Lema 1.3 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi M o marcare a lui N. Dacă M este acoperibilă în T γ, atunci M este acoperibilă în γ. RPA (2019) Curs 3 8 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Teorema 1 Fie γ = (N,M 0 ) o o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi M o marcare a lui N. M este acoperibilă în T γ ddacă M este acoperibilă în γ. Propoziţie 2 Fie γ = (Σ,M 0 ) o reţea Petri marcată, T γ = (V,E,l V,l E ) arborele ei de acoperire şi t T. Atunci, are loc: ( M [M 0 : M[t ) ( (v,v ) E : l E (v,v ) = t). RPA (2019) Curs 3 9 / 48
Arbori de acoperire Proprietăţi pentru arborele de acoperire Propoziţie 3 Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (1) Lab(T γ ) N P ; (2) [M 0 = Lab(T γ ); (3) [M 0 este finită. RPA (2019) Curs 3 10 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 11 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? Problema viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ viabilă? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie Problema mărginirii unei locaţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o locaţie p, este p mărginită? Problema mărginirii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ mărginită? Problema pseudo-viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ pseudo-viabilă? Problema acoperirii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, este M acoperibilă în γ? Problema accesibilităţii: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare M, M [M 0? Problema viabilităţii: dată o reţea Petri marcată γ, este γ viabilă? Problema marcării acasă: dată o reţea Petri marcată γ şi o marcare H, este H marcare acasă în γ? RPA (2019) Curs 3 12 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. O locaţie p P este nemărginită ddacă v V astfel încât l V (v)(p) = ω. (Prop. 3) Reţeaua γ este mărginită ddacă Lab(T γ ) N P (Prop. 3) O tranziţie t a lui γ este pseudo-viabilă ddacă (v,v ) E : l E (v,v ) = t. (Prop. 2) O marcare M a lui γ este acoperibilă ddacă există un nod v V: l V (v) = M M M. (Teorema 1) RPA (2019) Curs 3 13 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Fie γ o reţea Petri marcată şi T γ = (V,E,l V,l E ) arborele său de acoperire. O locaţie p P este nemărginită ddacă v V astfel încât l V (v)(p) = ω. (Prop. 3) Reţeaua γ este mărginită ddacă Lab(T γ ) N P (Prop. 3) O tranziţie t a lui γ este pseudo-viabilă ddacă (v,v ) E : l E (v,v ) = t. (Prop. 2) O marcare M a lui γ este acoperibilă ddacă există un nod v V: l V (v) = M M M. (Teorema 1) Teorema 2 Problemele acoperirii, mărginirii şi pseudo-viabilităţii sunt decidabile RPA (2019) Curs 3 13 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Exemplu t2 p1 t1 p2 t3 p3 t4 Reţea pseudo-viabilă Reţea nemărginită (toate locaţiile nemărginite) Marcarea (1, 2, 3) acoperibilă RPA (2019) Curs 3 14 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Exemplu p1 (1,0,0) t2 t1 p3 p2 2 t1 (0,1,2) t2 (1,0,w) t2 t1 (0,1,w) Marcarea (1, 0, 3) nu este accesibilă. RPA (2019) Curs 3 15 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie în reţele Petri Problema accesibilităţii este decidabilă pentru reţele Petri ( dar nu pe baza arborelui de acoperire!) Mayr 1981, Kosaraju 1982, Lambert 1992 există condiţii necesare pentru accesibilitate, bazate pe structura reţelei există clase particulare de reţele Petri pentru care problema accesibilităţii se poate rezolva în timp polinomial RPA (2019) Curs 3 16 / 48
Probleme de decizie în reţele Petri Probleme de decizie în reţele Petri Problema accesibilităţii este decidabilă pentru reţele Petri ( dar nu pe baza arborelui de acoperire!) Mayr 1981, Kosaraju 1982, Lambert 1992 există condiţii necesare pentru accesibilitate, bazate pe structura reţelei există clase particulare de reţele Petri pentru care problema accesibilităţii se poate rezolva în timp polinomial Problema viabilităţii este decidabilă pentru reţele Petri problema este recursiv echivalentă cu problema accesibiltăţii (Hack 1975) există condiţii necesare pentru viabilitate, bazate pe structura reţelei RPA (2019) Curs 3 16 / 48
Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 17 / 48
Proprietăţile reţelelor Petri pot fi studiate cu ajutorul grafului de accesibilitate (pentru reţele Petri mărginite ) sau a structurilor de acoperire. Dimensiunea grafurilor de accesibilitate/acoperire este foarte mare, deci analiza ineficientă Există tehnici de analiză a proprietăţilor comportamentale bazate pe structura reţelei Invarianţi RPA (2019) Curs 3 18 / 48
Matricea de incidenţă Matricea de incidenţă descrie structura reţelelor Petri. Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Dacă P = {p 1,...,p m } şi T = {t 1,t 2,...t n }, atunci vom consideră p 1 < p 2 <... < p m şi t 1 < t 2 <... < t n. Definiţie 2 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Matricea m n - dimensională dată prin: C(i,j) = W(t j,p i ) W(p i,t j ), 1 i m,1 j n se numeşte matricea de incidenţă a reţelei N. RPA (2019) Curs 3 19 / 48
Matricea de incidenţă C(i,j) = t j (p i ) numărul de puncte cu care se modifică marcarea locaţiei p i prin producerea lui t j. C = p 1 p 2 p 3 p 4 t1 t 2 t3 1 3 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 Matricea C are drept componente numere întregi. Orice matrice sau vector linie/coloană cu toate componentele 0 se va nota 0. RPA (2019) Curs 3 20 / 48
Observaţie Dată o matrice C cu coeficienţi în Z, există o infinitate de reţele Petri cu matricea de incidenţă C, dar o unică reţea pură cu matricea de incidenţă C. C = p 1 p 2 p 3 t1 t 2 2 2 3 0 1 1 p1 t1 p2 2 3 p1 t1 p2 2 5 2 2 2 2 t2 p3 t2 p3 RPA (2019) Curs 3 21 / 48
Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. RPA (2019) Curs 3 22 / 48
Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. Fie σ T. Funcţia caracteristică a lui σ este σ : {1,...,n} N, astfel încât σ(i) este numărul de apariţii al tranziţiei t i în σ. σ se poate reprezenta sub forma unui vector coloană n-dimensional (vectorul caracteristic al secvenţei σ). RPA (2019) Curs 3 22 / 48
Fie M o marcare şi t j o tranziţie posibilă la M, M[t j M. Dacă privim M ca pe un vector coloană m - dimensional, atunci: M = M +C f unde f este un vector coloană n - dimensional, cu 1 pe linia j şi 0 în rest. Fie σ T. Funcţia caracteristică a lui σ este σ : {1,...,n} N, astfel încât σ(i) este numărul de apariţii al tranziţiei t i în σ. σ se poate reprezenta sub forma unui vector coloană n-dimensional (vectorul caracteristic al secvenţei σ). Teorema 3 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri şi M, M două marcări. Dacă M [M, atunci există un vector f astfel încât M = M +C f RPA (2019) Curs 3 22 / 48
Matricea de incidenţă-exemplu M 1 = 0 2 2 1 C = 1 3 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 M 1 [t 1 t 3 t 1 M 2. M 2 = M 1 +C 2 0 1 = 0 2 2 1 + 1 3 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 2 0 1 = 0 2 2 1 + 2 2 2 2 = 2 0 4 3 RPA (2019) Curs 3 23 / 48
Un invariant locaţie este un vector reprezentând ponderi ataşate locaţiilor. Descriu modul în care punctele se conservă în reţea în marcările accesibile. Folosiţi pentru construcţia unor relaţii care sunt satisfăcute pentru toate marcările accesibile ale reţelei. Pe baza acestor relaţii se pot determina proprietăţi ale reţelei, cunoscând doar structura acesteia şi marcarea iniţială. RPA (2019) Curs 3 24 / 48
p1 2 t1 p2 t2 2 p3 t3 Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... RPA (2019) Curs 3 25 / 48
p1 2 t1 p2 t2 2 p3 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... RPA (2019) Curs 3 25 / 48
p1 t1 p2 t2 p3 2 2 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Pentru orice marcare M [M 0, M = Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... M(p 1 ) M(p 2 ) M(p 3 ) i M = (1,2,1) M = M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ). RPA (2019) Curs 3 25 / 48
p1 t1 p2 t2 p3 2 2 t3 Fie vectorul linie: i = (1,2,1). Pentru orice marcare M [M 0, M = Marcări accesibile: M 0 = (2,0,0)[t 1 M 1 = (0,1,0)[t 2 M 2 = (0,0,2)[t 3 M 3 = (1,0,1)[t 3 M 0 = (2,0,0)[t 1... M(p 1 ) M(p 2 ) M(p 3 ) i M = (1,2,1) M = M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ). Observaţie: i M 0 = i M 1 = i M 2 = i M 3 = 2. Pentru orice M: i M = 2 M(p 1 )+2 M(p 2 )+M(p 3 ) = 2. RPA (2019) Curs 3 25 / 48
Pentru o reţea oarecare, cum se determină un vector de ponderi x astfel încât pentru orice marcări accesibile M,M, să aibă loc x M = x M? se ştie că: f : M = M 0 +C f f : M = M 0 +C f dacă x M = x M, am avea x M 0 +x C f = x M 0 +x C f deci x C (f f ) = 0 deci trebuie găsit x astfel încât x C = 0. RPA (2019) Curs 3 26 / 48
Pentru o reţea oarecare, cum se determină un vector de ponderi x astfel încât pentru orice marcări accesibile M,M, să aibă loc x M = x M? se ştie că: f : M = M 0 +C f f : M = M 0 +C f dacă x M = x M, am avea x M 0 +x C f = x M 0 +x C f deci x C (f f ) = 0 deci trebuie găsit x astfel încât x C = 0. Definiţie 3 Fie N = (P,T,F.W) o reţea Petri. Se numeşte invariant locaţie (P-invariant) pentru N orice vector linie m-dimensional de numere întregi x, care verifică: x C = 0. RPA (2019) Curs 3 26 / 48
Exemplu p1 t1 p2 t2 p3 2 2 C = 2 0 1 1 1 0 0 2 1 t3 2 0 1 x C = (1,2,1) 1 1 0 = (0,0,0) = 0 0 2 1 x = (1,2,1) este P-invariant. RPA (2019) Curs 3 27 / 48
- definiţii Definiţie 4 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Dacă x este P-invariant al reţelei N, atunci mulţimea x = {p P x(p) 0} este numită suportul P-invariantului x. P-invariantul x este numit pozitiv dacă x 0. Un P-invariant pozitiv x > 0 este numit minimal dacă nu există un alt P-invariant x astfel încât 0 < x < x. RPA (2019) Curs 3 28 / 48
Observaţii Orice reţea are cel puţin un P-invariant, x = 0, dar ne vor interesa invarianţii nenuli. Vom spune că o reţea are P-invarianţi dacă are cel puţin un P-invariant nenul. Dacă x 1,x 2,...,x k sunt P-invarianţi pentru o reţea şi n 1,n 2,...,n k Z, atunci n 1 x 1 +n 2 x 2 +...+n k x k este P-invariant al reţelei. RPA (2019) Curs 3 29 / 48
Observaţii Orice reţea are cel puţin un P-invariant, x = 0, dar ne vor interesa invarianţii nenuli. Vom spune că o reţea are P-invarianţi dacă are cel puţin un P-invariant nenul. Dacă x 1,x 2,...,x k sunt P-invarianţi pentru o reţea şi n 1,n 2,...,n k Z, atunci n 1 x 1 +n 2 x 2 +...+n k x k este P-invariant al reţelei. p1 2 t1 t2 p2 p3 t3 (x 1,x 2,x 3 ) x 1 x 2 = 0 2x 1 +x 3 = 0 x 2 x 3 = 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 = 0 Nu există P - invarianţi (singura soluţie a sistemului este (0, 0, 0). RPA (2019) Curs 3 29 / 48
Exemple p2 t2 p3 t1 t3 p1 p4 1 1 0 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) 1 1 0 x 1 +x 2 = 0 0 1 1 = 0 = x 1 x 2 +x 3 x 4 = 0 x 3 +x 4 = 0 0 1 1 O infinitate de invarianţi de forma (α,α,β,β). Invarianţi minimali: (1,1,0,0), (0,0,1,1). RPA (2019) Curs 3 30 / 48
Proprietăţi Teorema 4 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Dacă x este un P-invariant nenul, atunci, pentru orice M [M 0, are loc: x M = x M 0. RPA (2019) Curs 3 31 / 48
Proprietăţi Teorema 4 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Dacă x este un P-invariant nenul, atunci, pentru orice M [M 0, are loc: x M = x M 0. Teorema reprezintă o condiţie necesară pentru accesibilitate: dacă M este o marcare şi există un P-invariant x astfel încât x M x M 0, atunci M [M 0 RPA (2019) Curs 3 31 / 48
Exemplu p1 t1 p2 t3 p3 t2 C = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 p4 M 0 = (1,0,0,0) T P-invarianţi de forma: (α,0,α,α). Fie marcarea M = (0,0,2,1) T şi invariantul x = (1,0,1,1) x M = 3, x M 0 = 1, deci M [M 0. RPA (2019) Curs 3 32 / 48
Proprietăţi Reciproca teoremei nu este adevărată: există marcări M pentru care are loc: x M = x M 0, dar care nu sunt accesibile: p1 t1 p2 t3 p3 t2 p4 Fie M = (0,0,1,0), M 0 = (1,0,0,0) Fie x = (α,0,α,α) x M = α = x M 0 M [M 0! RPA (2019) Curs 3 33 / 48
Proprietăţi Teorema 5 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă. Dacă x este un vector nenul de numere întregi ce verifică x M = x M 0 pentru orice M [M 0, atunci x este P-invariant al reţelei γ. RPA (2019) Curs 3 34 / 48
Proprietăţi Teorema 5 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă. Dacă x este un vector nenul de numere întregi ce verifică x M = x M 0 pentru orice M [M 0, atunci x este P-invariant al reţelei γ. Consecinţă 1 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată şi pseudo-viabilă şi x un vector nenul de numere întregi. Atunci ( M [M 0 )(x M = x M 0 ) x este P-invariant. RPA (2019) Curs 3 34 / 48
Proprietăţi Condiţia de pseudo-viabilitate esenţială: p1 p2 t1 t2 p3 t 2 nu este pseudo-viabilă C = 1 1 0 1 1 0 Marcări accesibile: M 0 = (1,0,0),M 1 = (0,0,1). Fie x = (1,1,1). x M 0 = x M 1 = 1. 1 1 x nu este P-invariant: (1,1,1) 0 1 = (0, 2). 1 0 RPA (2019) Curs 3 35 / 48
Proprietăţi Propoziţie 4 x este invariant locaţie ddacă t T : p P x(p) W(p,t) = p P x(p) W(t,p) RPA (2019) Curs 3 36 / 48
Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. RPA (2019) Curs 3 37 / 48
Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. t1 2 p1 t2 p2 t3 1 1 0 (x 1,x 2,x 3 ) 0 1 1 = 0 = 0 1 1 P-invarianţi de forma (0, α, α) p3 Reţeaua nu poate fi acoperită cu P-invarianţi (nu există x > 0 cu x(p 1 ) 0) RPA (2019) Curs 3 37 / 48
Definiţie 5 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu P-invarianţi dacă pentru fiecare locaţie p P există un P-invariant pozitiv x p cu x p (p) 0. Lema 3.1 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. N este acoperită cu P-invarianţi ddacă există un P-invariant x cu x = P. RPA (2019) Curs 3 37 / 48
Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. RPA (2019) Curs 3 38 / 48
Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. Afirmaţia (2) poate fi reformulată astfel: Dacă există x > 0 un P-invariant al reţelei γ cu x = P, atunci γ este mărginită. RPA (2019) Curs 3 38 / 48
Teorema 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. (1) Dacă x > 0 este un P-invariant al reţelei γ, atunci orice locaţie p x este mărginită. (2) Dacă γ este acoperită cu P-invarianţi, atunci γ este mărginită. Afirmaţia (2) poate fi reformulată astfel: Dacă există x > 0 un P-invariant al reţelei γ cu x = P, atunci γ este mărginită. Reciproca teoremei nu este adevărată RPA (2019) Curs 3 38 / 48
Exemplu invarianţi (α,β,α,β,0) reţea mărginită RPA (2019) Curs 3 39 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). RPA (2019) Curs 3 40 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). Definiţie 6 O marcare M a unei reţele Petri N este numită reproductibilă dacă există o secvenţă nevidă de tranziţii w astfel încât M [w M. RPA (2019) Curs 3 40 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Descriu secvenţe de tranziţii care au un efect total nul (conduc la aceeaşi marcare). Definiţie 6 O marcare M a unei reţele Petri N este numită reproductibilă dacă există o secvenţă nevidă de tranziţii w astfel încât M [w M. Dacă M este reproductibilă, există secvenţa de tranziţii w astfel încât M[w M, M [M, deci există un vector f astfel încât M = M +C f, deci C f = 0. RPA (2019) Curs 3 40 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 7 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Se numeşte T-invariant al reţelei N orice vector coloană n-dimensional y de numere întregi ce verifică relaţia C y = 0, unde C este matricea de incidenţă a reţelei N. RPA (2019) Curs 3 41 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 7 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Se numeşte T-invariant al reţelei N orice vector coloană n-dimensional y de numere întregi ce verifică relaţia C y = 0, unde C este matricea de incidenţă a reţelei N. Definiţie 8 1 Dacă y este T-invariant al reţelei N, atunci mulţimea y = {t k T y(k) 0} este numită suportul T-invariantului y. 2 T-invariantul y este numit pozitiv dacă y 0. 3 Un T-invariant pozitiv y > 0 este numit minimal dacă nu există un alt T-invariant y astfel încât 0 < y < y. RPA (2019) Curs 3 41 / 48
Invarianţi tranziţie Observaţii Orice reţea are cel puţin un T-invariant, y = 0. Vom spune că o reţea are T-invarianţi dacă are cel puţin un T-invariant nenul. Dacă y 1,y 2,...,y n sunt T-invarianţi pentru o reţea şi z 1,z 2,...,z n Z, atunci z 1 y 1 +z 2 y 2 +...+z n y n este T-invariant al reţelei. RPA (2019) Curs 3 42 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. RPA (2019) Curs 3 43 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. (= ): Fie y > 0 un T-invariant al reţelei N. Considerăm marcarea M dată prin M(p) = t k p y(k) W(p,t k ), pentru orice p P. Fie secvenţa: Are loc: M [w M. Marcarea M este reproductibilă. w = t y(1) 1...t y(n) n RPA (2019) Curs 3 43 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 7 O reţea Petri N are T-invarianţi pozitivi y > 0 ddacă N are marcări reproductibile. ( =) Fie M[w M. Atunci M = M +C w. Deci C w = 0 şi w este T-invariant. RPA (2019) Curs 3 43 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 9 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu T-invarianţi dacă pentru fiecare tranziţie t T există un T-invariant pozitiv y t > 0 cu t y t. RPA (2019) Curs 3 44 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Definiţie 9 Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri. Spunem că N este acoperită cu T-invarianţi dacă pentru fiecare tranziţie t T există un T-invariant pozitiv y t > 0 cu t y t. Lema 3.2 N = (P,T,F,W) este o reţea Petri acoperită cu T-invarianţi ddacă există un T-invariant y > 0 cu y = T. RPA (2019) Curs 3 44 / 48
Invarianţi tranziţie Exemplu p1 t1 t2 2 2 p2 t3 p3 1 1 0 0 2 1 2 0 1 x y z = 0 = T-invarianţi de forma (α, α, 2α). Reţeaua acoperită cu T-invarianţi. Marcări reproductibile: M 0 [t 2 t 3 t 3 t 1 M 0 sau (1,2,2)[t 1 t 2 t 3 t 3 (1,2,2). RPA (2019) Curs 3 45 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 8 Orice reţea Petri marcată viabilă şi mărginită este acoperită cu T-invarianţi. RPA (2019) Curs 3 46 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Teorema 8 Orice reţea Petri marcată viabilă şi mărginită este acoperită cu T-invarianţi. Se ştie că: dacă o reţea este viabilă şi mărginită, atunci există o marcare accesibilă M [M 0 şi o secvenţă de tranziţii σ astfel încât σ conţine toate tranziţiile din T M[σ M y = σ este T-invariant cu y = T. RPA (2019) Curs 3 46 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie t1 p1 t2 t3 p2 T-invarianţi de forma (0, α, α). ( ) x 1 1 1 y = 0 = 0 1 1 z { x+y z = 0 y +z = 0 Reţeaua nu este acoperită cu T-invarianţi, deci nu este viabilă sau nu este mărginită. RPA (2019) Curs 3 47 / 48
Invarianţi tranziţie Invarianţi tranziţie Există reţele acoperite de T-invarianţi care nu sunt mărginite/viabile: t2 p1 t1 p3 p2 t3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 x y z = 0 T-invarianţi de forma: (α,α,α) T Reţea acoperită de T-invarianţi, dar nemărginită RPA (2019) Curs 3 48 / 48