20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls format dintr-o secvenţă de zerouri va elimina complet acest tip de zgomot. Dorim stabilirea condiţiilor în care filtrele studiate pot avea răspunsul la impuls format dintr-o secvenţă de zerouri. Răspunsul la semnalul treaptă determină capacitatea filtrului de a conserva detaliile. Un filtru care transformă semnalul treaptă va atenua detaliile şi contururile imaginilor. În acest capitol vom trece în revistă principalele clase de filtre neliniare utilizate în prelucrarea semnalelor. Dimensiunea N a ferestrei filtrului este impară ( N 2k 1) = +. Notaţia 2.1. Mulţimea eşantioanelor din interiorul ferestrei Mulţimea eşantioanelor din interiorul ferestrei va fi notată cu{ X X,..., } 1, 2 X N Notaţia 2.2. Eşantionul central al ferestrei Eşantionul central al ferestrei va fi notat cu * X. Notaţia 2.3. Mulţimea eşantioanelor ordonate Mulţimea eşantioanelor ordonate va fi notată cu { } X () 1, X ( 2),..., X ( N ). Pentru a evidenţia proprietăţile filtrelor, vom studia răspunsul acestora la impuls şi la semnalul treaptă. Definiţia 2.1. Semnal invariant Un semnal x (notat: x R ) este un invariant al unui filtru F ( o ) dacă nu se modifică după filtrarea cu F ( o ), adică F( x) = x. Definiţia 2.2. Fracţiunea critică Fracţiunea critică a unui filtru este fracţiunea minimă de valori extreme din fereastra filtrului care ar face ca ieşirea să fie tot o valoare extremă. Prin valori extreme înţelegem valori foarte mari (sau foarte mici), mult mai mari decât valorile normale ale eşantioanelor semnalului util. EXEMPLUL 2.1. Să considerăm un filtru median unidimensional cu fereastra de lungime N=3. Pentru semnalul din Figura 2.1, se observă că după două iteraţii se obţine un semnal invariant al filtrului.
22 Capitolul 2 - Filtre neliniare 23 jumătate din eşantioane sunt eşantioane ale zgomotului, rezultatul filtrării mediane va fi o imagine fără zgomot. Semnalul de intrare După prima iteraţie Următoarele iteraţiii (Semnal rădăcină) Figura 2.1. Obţinerea unui semnal invariant al filtrului median cu fereastra de lungime N=3 EXEMPLUL 2.2. Fracţiunea critică a unui filtru de mediere este 1 N (un singur extrem poate transforma ieşirea într-un extrem). Fracţiunea critică a filtrului median este ( k 1) + N ( k + 1 extreme consecutive vor face ca ieşirea filtrului să apară unul dintre acestea, dar k extreme nu). Fracţiunea critică este o măsură globală a robusteţii filtrului. Valorile apropiate de 0,5 indică un filtru foarte robust. Deci filtrul median poate elimina complet zgomotul de impulsuri cu densitate de 50%. Aceasta înseamnă că, dintr-o imagine în care Pentru a putea compara performanţele filtrelor vom folosi câteva imagini de test. Prima imagine, creată artificial, cuprinde anumite structuri care ne vor indica modul în care filtrele se comportă în diferite situaţii. Există o porţiune de tip tablă de şah care va fi folosită pentru a ilustra efectul filtrelor asupra marginilor de tip treaptă. Marginea este definită ca fiind hotarul dintre două regiuni având iluminări diferite. Există şi o structură ce conţine zone ce baleiază un spectru larg de frecvenţe. Aceasta va fi folosită pentru a studia comportarea filtrelor în frecvenţă. Peste această imagine nu vom adăuga zgomot. A doua imagine am folosit-o deoarece conţine mai multe categorii de forme ce creează probleme la filtrare. Dintre acestea amintim: regiuni întinse având o textură foarte fină, margini ascuţite, structuri regulate, detalii foarte fine, etc.. Pe această imagine se va studia modul în care ochiul percepe efectul filtrelor asupra categoriilor de mai sus. Vom adăuga zgomot de impulsuri de tip "sare şi piper" (în engleză: salt and pepper). Această lucrare va cuprinde numai o parte din imaginile rezultate în urma filtrărilor. Pentru exemplificare, vom prezenta numai rezultatele filtrărilor imaginii cu zgomot. O colecţie completă a imaginilor rezultate în urma experimentelor poate fi găsită pe Internet la adresa: http://www-dspgc.comm.pub.ro/courses/pirf/ndsp/ndsp.html.
24 Capitolul 2 - Filtre neliniare 25 Algoritmii folosiţi pentru implementarea filtrelor sunt prezentaţi în Anexa A. Ceilalţi parametrii ai filtrelor au fost aleşi ţinând seama şi de experimentele făcute cu filtrele neliniare, pentru a conduce la rezultate optime. Figura 2.2. Imaginea originală Figura 2.3. Imaginea cu zgomot de impulsuri Imaginea originală este o imagine digitală cu dimensiunea 395x432 pixeli. Pentru a putea face o comparaţie între diferitele filtre care vor fi studiate am încercat, acolo unde a fost posibil, să folosim aceeaşi dimensiune pentru ferestrele acestor filtre. Trebuie reţinut că, pentru unele filtre, rezultatele obţinute nu sunt cele mai bune. Există filtre pentru care folosirea unei ferestre de dimensiune mai mică duce la o îmbunătăţire considerabilă a rezultatelor. 2-2. FILTRUL DE MEDIERE BIDIMENSIONAL Definiţia 2.3. Filtrul de mediere bidimensional Filtrul de mediere bidimensional cu fereastră de dimensiune N N, ( N = 2k+ 1) este definit de:
26 Capitolul 2 - Filtre neliniare 27 k k 1 y i, j = x i+ m, i+ n ( ) ( 2 + 1) ( ) (2.1) 2 k m= k n= k Filtrul de mediere bidimensional păstrează proprietăţile filtrului de mediere unidimensional şi anume: este un filtru liniar trece jos, atenuează foarte bine zgomotul gaussian şi cauzează importante pierderi ale detaliilor. Vom filtra imaginile de test cu un filtru de mediere având fereastra de dimensiune 7x7. Din punct de vedere estetic, rezultatul filtrării imaginii de test are o calitate foarte slabă. Imaginea filtrată apare înceţoşată deoarece filtrul de mediere modifică suficient de mult marginile de tip treaptă. Filtrarea de mediere are ca efect o scădere a contrastului imaginii. Se poate observa că filtrul de mediere nu elimină complet detaliile foarte fine, cum sunt liniile foarte subţiri, ci doar le atenuează. Această proprietate este foarte importantă în cazul în care imaginea este destinată unui alt bloc de prelucrare (de exemplu unui sistem de recunoaştere a formelor), unde o modificare a detaliilor imaginii poate conduce la rezultate eronate. Filtrul de mediere se comportă ca un filtru trece jos, atenuând mai mult frecvenţele înalte. Filtrul de mediere atenuează suficient de bine zgomotul de impulsuri, mai ales în sensul erorii pătratice medii. Se pot vedea urme ale zgomotului de impulsuri deoarece filtrul de mediere nu elimină complet impulsurile, ci le atenuează şi le împrăştie pe o suprafaţă mai mare. Din această cauză imaginea obţinută are un aspect destul de neplăcut (aspect care poate fi chiar mai neplăcut decât cel al imaginii afectate de zgomot). Filtrul de mediere atenuează detaliile fine ale imaginii. Modelul de pe pălărie, modelul de pe eşarfă precum şi structura regulată din fundal sunt afectate de filtrarea de mediere. În concluzie, putem afirma că filtrul de mediere oferă rezultate total nesatisfăcătoare atât din punct de vedere al atenuării zgomotului cât şi din cel al conservării detaliilor. 2-3. FILTRUL MEDIAN BIDIMENSIONAL Definiţia 2.4. Filtrul median bidimensional Filtrul median bidimensional cu fereastră de dimensiune N N, ( N 2k 1) = + este definit de: (, ) { N N(, )} y i j = MED X i j (2.2) unde operatorul MED realizează o ordonare a elementelor matricei X ( i, j) şi apoi reţine valoarea centrală. Matricea ( i, j) de: X ( i, j) (, ) L (, + ) xi k j k xi k j k = M O M xi ( + k, j k) L xi ( + k, j+ k) unde xij (, ) este eşantionul de coordonate (, ) X este definită i j din imaginea X. (2.3)
28 Capitolul 2 - Filtre neliniare 29 Vom filtra imaginile de test cu un filtru median cu o fereastra de dimensiune 7x7. Se observă că filtrul median elimină complet detaliile foarte fine, cum ar fi liniile subţiri. Apare efectul "deplasării marginilor" (edge jitter). Acesta apare în zonele unde liniile subţiri întâlnesc marginile unor zone cu intensităţi diferite. Filtrul median nu atenuează zonele de tip treaptă din imagine. Astfel imaginea filtrată are un contrast foarte bun. Imaginile filtrate cu filtrul median au o calitate superioară celor filtrate cu filtrul de mediere. Filtrul median elimină complet zgomotul de impulsuri. Filtrul de mediere modifică aproape toate eşantioanele semnalului de la intrarea sa, indiferent dacă acestea sunt afectate de zgomot sau nu. În regiunile în care valorile eşantioanelor se modifică încet, filtrul median introduce mici elemente de formă pătrată. Acest fenomen este caracteristic filtrului median şi se numeşte "umbrire". Mecanismul producerii acestui fenomen este prezentat în continuare. EXEMPLUL 2.3. Să considerăm un filtru median unidimensional. Dacă fereastra se deplasează înainte, un nou eşantion va intra în fereastră şi unul vechi va ieşi. Dacă se întâmplă ca ambele eşantioane să aibă valori mai mici (sau mai mari) decât cea a eşantionului median curent, atunci ieşirea filtrului nu se modifică. Probabilitatea ca acest lucru să se întâmple, pentru un semnal afectat de zgomot alb gaussian, este 0,5. Probabilitatea ca ieşirea să rămână neschimbată, pentru un număr mai mare de eşantioane care intră şi ies, scade exponenţial, fiind totuşi destul de mare pentru ca efectul de umbrire să apară. Figura 2.4. Imaginea filtrată cu filtrul de mediere având fereastra de dimensiune 7x7 Detaliile foarte fine sunt atenuate şi de filtrul median. În locul unor structuri regulate de dimensiuni mici se obţine negativul acestora. Acest efect se numeşte schimbare de fază şi apare atunci când elementele unei structuri regulate au dimensiuni mai mici decât parametrul k al filtrului (unde N = 2k+ 1).
30 Capitolul 2 - Filtre neliniare 31 Filtrul median nu dă rezultate foarte bune dacă imaginea este afectată şi de zgomot gaussian. De aceea vom căuta alte filtre cu proprietăţi îmbunătăţite. Figura 2.5. Imaginea filtrată cu filtrul median având fereastra de dimensiune 7x7 În ambele cazuri filtrul neliniar (filtrul median) a fost mai performant decât filtrul liniar corespondent (filtrul de mediere). Filtrul median s-a comportat mai bine atât în privinţa reducerii zgomotului cât şi din punctul de vedere al calităţii imaginii obţinute după filtrare. Filtrul median prezintă câteva inconveniente majore: eliminarea detaliilor foarte fine, fenomenul de schimbare de fază şi efectul de umbrire.