Antn NEGRLA Maria NEcRLA Slu[iile testelr de autevaluare pt fi cnsultate la adresa: http://www.edituraparalela45. rl dwn lad/slutii_teste_de_autevaluare _cnslidare_clasa8_p1 _201 8. pdf alugril ug0mctlig clasa n UFA [anga editia a Vl-a mlc 2000-Gffi0lldele
Cuprins RECAPTTULARE $r EVALUARE rnrlrar,a l. Teste cu exercifii gi prbleme recapitulative pentru pregdtireatestlrii inifiale...5 2. Mdele de teste pentru evaluarea initial[......14 ALGEBRA Capitlul. Numere reale l. Mullimi de numere. Frme de scriere a unui numr......1g...25 2. Recapitulare gi sistematizare prin teste......27 3. Reprezentarea pe ax6. rdnarea numerelr reale. valarea abslut. Aprximarea numerelr rea1e......2g Test de autevaluqre...35 4. ntervale de numere rea1e......3i 4.1. ntervale in lr.. Definilie, reprezentare pe ax6......37 4.2. Operalii cu intervale...40...45 5. Recapitulare gi sistematizare prin teste......47 6. Operafii cu mrmere rea1e......4g...59 7. Recapitulare gi sistematizarepinteste......61 8. Prbleme de matematici aplicat6 in via{a ctidian6......63 Capitlul. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere A. Opera{ii cu numere reale reprezentate prin litere......64 L Adunarea gi sc[derea.....64 2. nmullirea. mpdrfirea. Ridicarea la putere......66 3. Ordinea efectulrii perafiilr algebrice......69...71 4. Frmule de calcul prescurtat...73 4.1. Pdtratul sumei (diferenlei) a di termeni...73 4.2. Prdusul sumei cu diferen,ta....75 4.3. Pdtratul sumei a trei termeni....77 5. Descmpunerea in factri......7g 5.1. Metda factrului cmun......7g S.2.Utilizarea frmulelr de calcul prescurtat...g1 5.3. Gruparea termenilr...g3 5.4. Metde cmbinate...g5 5.5. Maxime gi minime. negaliti{i algebrice...g6...g9 6. Recapitulare gi sistematizare printeste......91 B. Raparte de numere reale reprezentate prin litere...g3 1. Amplificarea. Simplificarea......93...g7 2. Operalii cu raparte.....99
2.1. Adunarea qi sciderea "'"""""99 2.2-inmullirea. imp64irea. Ridicarea laputere... """""'l0l 2.3. Ordinea efectu[rii peraliilr qi flsirea parantezelr...103 """"""""""'109 3. Recapitulare gi sistematizare prin teste """"' 111 4. Prbleme de matematic[ apliiat5 in viala ctidian6""' ""'ll2 GEOMETRE Capitlul. Rela{ii intre puncte, drepte qi plane 1'. Puncte, dreptl, plane.beterminaria dreptei.-... """""""""""' 113 2. Determinarea pianului """""""'116 3. Piramida: descriere qi reprezentare. Tetraedrul. """""""" 1 18 4. Prisma: descriere gi reprizentare. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul...""""""" 120 """""""""""'123... 5. Pziliile relative a du6 drepte in spa,tiu; relaliade paralelismin spa!iu...--..125 6. Unghiuri cu laturile respectiv paralele; unghiul a du6 drepte in spaliu; dreptjperpendiculare """"""""""126 Z. nriliite relative ale unei drepte fa!6 de un plan...'... """" 128 """"""""""'131 8. Dreapta perpendiculars pe un plan. Distanla de la un punct la un plan...'...'...133 Test de'auieialuare """"""""""'137 9. pziliile relative a dud plane. Plane paralele. Distanla dintre dud plane paralele...139 10. inai.timeaprismei... """"""'143 l. Secliuni paralele ctbazair{ crpurile studiate. Trunchiul de piramida...1m Test de autivaluare """"""""""'14'7 12. Prbleme de matematicd aplicatl in viala ctidiand... """""""""""'149 13. Recapitulare qi sistematizate prin teste'..'. """""""""""' 150 Capitlul. Priec(ii rtgnale pe un plan l-. Prieclii de puncte, de segmente de dreapta qi de drepte pe un plan...'...153 2. Unghiul dinte dreapts gi un plan. Lungimea priecliei unui segment...'.'.'...'..156 """"""""""'159 3. Terema celr trei perpendiculare. Calculul distanfei de la un punct la dreapt6' Calculul distanlei de la un punct la un plan. Calculul distanfei dintre dui drepte paralele... """"""""""" 161 """"""""""'165 4. Recapitulare qi sistematizare prin teste -.-.--... """"""""'167 5. Ung[i diedru. Unghi plan crespunzetr diedrului. Unghiul dintre du6 plane...' 168 6. Plane perpendiculare... """""""""'171 Test de iutevaluare """"""""""'175 7. Prbleme de matematicd aplicati in viala ctidian6'... ""'177 8. Recapitulare qi sistematizate pinteste... """"""""' 178 Mdele de teze semestriale...180 Prbleme pentru pregtrtirea limpiadei qi a cncursurilr qclare...185 ndica{ii qi rispunsuri......189
Algebri Gapitlul Numere reale @ 1. Mullimi de numere. Frme de scriere a unui numir Obcervatii: a) Mul,timea ntati cu N* este N. : { t; 2;3;... n:...} Ci N. c N. H l{ 14 L) rci tr Eq).F b) Avem, pentm rice x,y e N, c6: i) x +y e N, r - y e N, gi cnsecin(ele: x * y : 0 inseamnd x : y : 0, iar x. y : inseamnix::1. 11) x - y e N numai dacix >y, iar x : y e N numai dacl existi z e N astfel incdt y. z : x. Dacd acest lucru nu are lc, se flsegte terema impirfirii cu rest x:yz t,cul e N,0 <t<y,y*0. iii)l e N, cu exceplia cazului 00. Mul{imea numerelr intregi, ntati cuz, este 18
Observalii: a)v*:z\{o\;inplus,sedefinesc: Z-: {...;-n;...;1;1;-l} qiz*: {1;2;...;n;...}, ct n e N*. Avem cdz* cz qi,inplus, N c Z. Z:Z w {0\ wzb) Avem, pentru x,!, Z, t e Z, cd: i) x+yez,x-y Z,x'YaZii) DacL x2 + f : O,atunci x : Y : 0. iii)x : y e Z, y* 0 dac[ 9i numai dacd existii ; e V.cu ir : y' r. in caz cntrar, x : yz * l, unde t e Z qio < 14 < LYl. Mulfimea numerelr rafinale, ntat6 cu Q, este: Observalii: rl A : ], existi y, z ez, z + O.asLfelincflt -r = i i t' z) a) Avem cd Z c. Q, iar mullimea Q \ Z se numeqte mullimea numerelr ralinale neintregi. De asemenea, Q- : Q \ {0}. b) un num5r rafinal este reprezentat de fraciie de frma 1,., x e z si 1' e z-. )' Vm numi fracfie pereche de numere intregi x, y, ctj y * O, scrisd sub frma. DuE v fraclii gi 1,cu x,!,z,tez,y.t*o,senumescfracfiiechivalente dacdxt:y.datl yt fraclie 1, se blin frac{ii echivalente cu ea prin: v ') * x"t i) amplificare: ;:;,ctrx,y, t e V-,Y' t *0; *{' x:t ii) simptificare'. L =;r,crtx,y,t e Z,y't+0;tlxqitly. O frac{ie L,*,y az,y+ 0, se numeqte frac{ie ireductibill dacd(x,y): l. v Unnumlrra{inalcare arecareprezentant fracfie L,*,y e Z,y+0, Se scrie sub v frmd zecimali imp6(ind numirdtrul x la numitruly. in func1ie de factrii in care se descmpune numitrul b al fiacliei ireductibil" 1, v frac\ia zecimald pate fi : i) fracfie zecimall finit[, dac6 numitrul cnline in descmpunerea sa numai factri de 2 sau/qi numai factri de 5; l{hh vt \) lci U.F E q) { ō t9
ii) frac{ie zecimali peridictr simpll, dacl descmpunerea numitrului in prdus de factri primi cnline al{i factri decdt 2 gi 5; iii) fracfie zecimali peridici mixt, daci descmpunerea numitrului in prdus de factri primi cnline factri de 2 sau/gi numai factri de 5, cdt qi un alt factr prim. Reciprc: Dacd un numdr ralinal este reprezentat printr- fracfie zecimali, el pate fi transfrmat sub frm[ de fracfie rdinartr flsind reguli de transfrmare pentru fiecare tip de fraclie zecimal5;. i) fraclie zecimali finitr:,,44br-4=r%4, ii) fractie zecimall peridici simplii: "lbrbrbrl)=, n4, iii) fracfie zecimalii peridicl mixti: a,\br..b(crcr,.ct)= a c) Pentru rice x, y c Q, avem ce x * y e Q, x -y e Q, x. y e eq,x+0,pez. 999...9000...0 \--wjgvj / cifre & cifre Q,x:-y e Q,.y *0,f e Mulfimea numerelr irafinale, ntatii cu R. \ Q, este mul1imea numerelr care se scriu zecimal cu infinitate de zecimale care nu se repettr peridic. Mul{imea numerelr reale, ntatd R, este mullimea frmatii din reuniunea mullimii numerelr ralinale cu mullimea numerelr iralinale. in md asemdnitr, R.- : R \ {0}. Avem qirul de incluziuni N c Z c Q c R.. H l{ l{ vt C, \) :ci () { ōeq) + = 20 Exerci[ii rezlvate:?) {. Se dd num[ru] "-. 15 a) Scrieli numirul sub frmd zecimald. b) Stabilili care este a23-a zecimald a fractiei. c) Cmparafi cifra miimilr cu cifra zecimilr. Slulie:?) a) 1=2,1(3). l5 b) a23-azecimald este 3. c) <3. 2, Fie mul\imeaa _ f s - i-4' Determinali mu llimile: A Slulie: Mullimeal se mai scrie: t, A: 1-2, i; s; -2$: r./,r+x, -fr; 32,000: 15:2,133... 30 :20 l5 :50 45 :50 45 :5.,10,(z); +Ja;3;.,f) n N,l r-:2, A^ Q, ^ (R - Q), - Z, A -Q qil - R. J' J 'tl +Z:3; ;l; A an : {z; 3; 5); A az : {-2; 2; 3; 5l; ))
lnq: r-q: tr {r,1,z;!;t:r\, -"= {i [-re, Q\, n-r: z t 3) O O O ctivit6ti de?nv6fre O O O {. stabilifi valarea de adev6r a prpziliilr: -zj1; *, :\,r n (R - a) : {*, t}, a)ncz; b)ncq; c)ngir\q; d)ncn; e)nclr.\z; 0ZgN; e)zez\q; h)q*z: i)q-r\q; j)q\zcq' k)relr\q; l)lr.\qcr.; m)zcq; flagz\n-; )NcN*. 2. a) Ardtali cd,: O Jr; (ii) J5; sunt numere iralinale. liii) s+r6; Ql 3Ji; (v) s * tt,.,6 b) Stabilili valarea de adevir a urmdtarelr prpzilii: (i) Prdusul rics.rr du[ numere iralinale este un numdr ira{inal. (ii) Suma ricirr dud numere iralinale este un numdr ira{inal' (iii) Suma dintre un numdr ralinal qi un numdr ira,tinal este un numdr iralinal. (iv) Prdusul dintre rice numdr iralinal gi rice numdr ralinal nenul este iralinal. (v) Pdtratul ricdrui numlr iralinal este numbr ralinal. (vi) Orice num[r ira]inal ridicat la puterea zer este numbr natural. 3. Amplificali fracliile: *t*, 70'2s'3',5 1,1,* 13 astfel inc6t sd aib[ acelaqi num6ritr. 4. Se cnsiderd fracliile: +,+,3 Ci l0 *, 12', 15 30 natural[ a numarului a, pentru care fracfiile reprezints simultan numere naturale. unde a * 0. Determinali cea mai micd valare 5. Amplificali fracliile: 1,1,1,1,] astret inc6t sd aibd acelaqi numitr, care sd fie t5'3-6-10' 5 egal cu c.m.m.m.c. al numitrilr lr' 1691212730303 6. a) Care dintre fracfiil"' sunt echivalente cu frac[ia :? ;; fr; 15, ;t i, O,;,; 8' s b) Amplificali cu 4 fracfiil", l' 2' 1' 4' :' 6' * 99' 13' ll' srs10202530 c) Simplificalicu 5 fracliile: T; 175; 45; 110; 85 d) Determinali din qirul urmdtr de fraclii: ^; 1 61 2 55 4 3 8 14 85 35 19 4'3'5 pe -- cele: --,-.,'i' 6' ll33' 2l' g' 15' 2.7' 15' 56' 72' 60 (i) ireductibile; (ii) subunitare; (iii) supraunitare; (iv) echiunitare.. H v, () rci.9 +- E q) +?t
H v) :. + Eq) + 7. Determinali valrile lui x, numdr natural, pentru care: a) (i) " 8 e N: (ii) J=. Z, (iii) --11- N; (iv) a e N; x-3 b) mullimile A: {4x;6x + 2) $i B : {2x - l;2x + l;3x + 2) au un singur element cmun; c) mullimile A : {2x - 3; 3x - l } 9i B : {4x - 7 ; x + 31 sunt egale. 8. Scrielisubfrma zecimald: -""-'-'5'!, lr 9, {,!, L, 4, 9, Y,?1. 3'15' g' 8' 16' 15' 25' 6' 18' 9. Scriefi sub frmd fracfinari: 4,15; 2,(18); 03(5a); 0,35(4); 0,91(6); 1,8(6); 5,02(7); 0,4(9); 0,41 (l 6); 0, 1(36); 1,0025; 0,008. {O. A. Preciza\i valarea de adev6r a prpziliiln a)8en; b)8ez; c)8eq; d)8er; e)4ez; 0-6 e N; g) -1. Q; h) -8,3 e lr; i)-j,9 e Z; j) 4,(5) e Q; 3 k) J8 e R; l) "/E..lR-Q; -1 ps-1-:19 = x; n) t{-3)+(+)f.2. B. Stabil{i valarea de adevdr a prpzifiilr:, lri e Q; p) J01T. R-Q, q),[v 4' ez; r) 0,(3)+.6(a) e R\Q; r--.--------l---- " s) Jt3 + 23 +33 + 43 e N; q,12'.fz a3ffi a v' u) {0} e R; v) 0 e R.; x) {0} c R; y)2eq\{-2,2}. {'1. Determinafi mulfimile: A: {* e N 13 <r'< 501; B: {x ezl24<f <tzty; C: {* ezlls<x2 <ez1; D: {xe Nl48 <3xz <192y; s: {x e Nl3 =G=r}, F: {* e Nl4 <J;.10} (Jie N). 12.FieA: {0;4;25;-&;0,36;0,4;3,Q7);6}. Determinali mul,timeab = {x e Q lx2 e l}. tr 13. Fie mulfimea: : {r-rr' r(-3)-' ;,,/,l; rffi; (-rl'; J"t E (-r " re} Calculali:l n N, A az,l n Q,l n (Q -Z),A n R.,l n (R-Q). {4. Fie murlimea:,:{o, -re,8,ljil',-j7, &,rril Stabilili valarea de adev[r a prpziliilr: a)lclr; b)ac.(r*q); c)l cq. { 5. Fie murrimear : {(6l', Ol, fi, - ea; $ez; *, - r} Stabilili valarea de adevdr a prpzifiilr: a)lcq; b)ac.(r-q); c)ler. J
{ 6. Determinali elementele mullimilr: A:{xeN.l x+3136}: A={.reli"' 2.r'1145}; C: {xenl x <21;8lx+5}; D: ;t i 1'; -J!-=X}; 1.r-l ) s:{*.zt _ 2r,2x+3.z\. 1. F={r.rE,]{eti,: t"" t r+l G: {-ez\{-2\rt*tt=t.z); H: {rez1!}2.7r. t x+2 --) ' t '2x-3 l 17. a) Care este prbabilitate a ca, alegdnd la int6mplare ua arrmir nfinl r dime grimele 170 de numere naturale, sd avem Ji. Q? b) Fie a : 13 Cdte numere intregi are mullimea {a,2a,3a, 65 { 8. Stabilili valarea de adevdr a prpziliilr: a).6-..6 e R \Q; d Jz+J: ={s +zj6; f-fe) Jz+^'6 *Jz-J: - -G. Q; b) J45 = Jz *.,6; 19. Demnstra\i cd urmdtarele numere nu sunt ralinale: d hn+3; O Jin+3; d) tlzlzl -2006''0 ; e) Jt + 3 + 32 +... + 3''n ; 4a,...,65a1? d) J.,6+:-/:-..6=J7: f---= r ------: -ri fl {7+ Jz+ -17-2J6:(J2) ") Jsn-a; r)"[7;,vnen*; g),[4rt +n, v n e N*; ttl,l+sesu +321312 +21580a ; D J;r'3'4'...'2011+3. 2O. Determinali numerele ralinale a qi b care indeplinesc cndilia:,ctb- A)-- ' t--=r_ 3Ji: ^12 -l +l '12.r-ab c) ' avj *-* - =2J1+5 2 J3-1. u) a(2...6).# =.,[i+4; t 2i. Ardta[i.a Jz-fi+{s-Jr:*J+s e Q ei {26-22.Determinali valarea de adev[r a prpziliilr: a)jier; b)j;er\q; OJiez; - unde x = J44l+2 + 4 +6+...+880. r---------: e{r:*+.,/s- zrf+zji e R \ e. d) Ji.Q, 23. Determinafi valarea de adevdr a prpzifiilr: a)jier; 0JxeZ; c)jiejr\q; d)jien, unde r = ^1243' -(2402 +3.240). H H v) \) rcj.9 + E q, -f =
24, Determinali valarea de adevlr a prpzifiilr: a)xelr.; b)xeq; c)xer.\q; undex=@. 25. Determinali mullimile: d)x ez, b) A : {..r "[t -ffi. $s;i$. G- 6fr 'tl2x+t).zl. lll-l- "),4: ] *.ul,lts-ej +'ltt-zjt +'l+t+tzjs.ul. --l 2x-t l 26. Determinali numerele naturale ab, gtiind ci indeplinesc cndiliile: cu5qi lab+ba eq. 27. a)aritali - cd q=.tg".2"*' -4'.32'e Qpentruricaren e N*. b) Determinali n e N astfel incdt a:216. ab este divizibil 28. Determinali cifrax,inbaza 10, astfel incdt:,)f.a; b)f.a; "tp-.u, d) F.n,*. tre 29. a) Determinali cdte numere naturale x * l,.r < 100 existi pentru care fractia x-2 = este ireductibile. 3x2 +2x -5 l{ H u g G rci.9 + E b) Determinafi numerele naturale x, x 1130, pentru care fracfia ' =] 2x'+4x-7- ""t" reductibild. c) Gbsi{i frma generald a numerelr x e N*, pentru care fracfia ' 3x+5 simplifica. = 3O. Fienumirulralinalr Q.Dac61lr ez gi 13r e Z,demnstralicdr ez. se pate q) { ō 24