Termeni Definiţia 2.4 Termenii lui L sunt expresiile definite astfel: (T0) Orice variabilă este termen. (T1) Orice simbol de constantă este termen. (T2) Dacă m 1, f 2F m ş i t 1,...,t m sunt termeni, atunci ft 1...t m este termen. (T3) Numai expresiile obţinute aplicând regulile (T0), (T1), (T2) sunt termeni. Notaţii: I Mulţimea termenilor se notează Term L. I Termeni: t, s, t 1, t 2, s 1, s 2,... I Var(t) estemulţimeavariabilelorcareaparîntermenult. Definiţia 2.5 Un termen t se numeşte î n c h i s dacă Var(t) =;. Definiţia 2.6 le atomice ale lui L sunt expresiile de forma: I (s = t), undes, t sunt termeni; I (Rt 1...t m ),under 2R m ş i t 1,...,t m sunt termeni. Definiţia 2.7 le lui L sunt expresiile definite astfel: (F0) Orice formulă atomică este formulă. (F1) Dacă ' este formulă, atunci ( ') este formulă. (F2) Daca ' ş i sunt formule, atunci ('! ) este formulă. (F3) Dacă ' este formulă, atunci (8x') este formulă pentru orice variabilă x. (F4) Numai expresiile obţinute aplicând regulile (F0), (F1), (F2), (F3) sunt formule. 5 6 Notaţii I Mulţimea formulelor se notează Form L. I : ',,,.... I Var(') estemulţimeavariabilelorcareaparînformula'. Convenţie De obicei renunţăm la parantezele exterioare, le punem numai atunci când sunt necesare. Atunci când nu e pericol de confuzie, scriem s = t î n l o c d e ( s = t), Rt 1...t m î n l o c d e ( Rt 1...t m ), 8x' î n l o c d e ( 8x'), etc.. Propoziţia 2.8 (Inducţia pe formule) Fie I I o mulţime de formule care are următoarele proprietăţi: conţine toate formulele atomice; este închisă la,! ş i 8x (pentru orice variabilă x). Atunci =Form L. Este folosită pentru a demonstra că toate formulele satisfac o proprietate P: definim cafiindmulţimeatuturorformulelorcare satisfac P şi aplicăm inducţia pe formule pentru a obţine că =Form L. 7 8
Convenţii Conectori derivaţi Conectorii _, ^, $ ş i cuantificatorul existenţial 9 sunt introduşi prin următoarele abrevieri: ' _ := (( ')! ) ' ^ := ('! ( ))) ' $ := (('! ) ^ (! ')) 9x' := ( 8x( ')). I În practică, renunţăm la parantezele exterioare, le punem numai atunci când sunt necesare. Astfel, scriem ', '!, dar scriem ('! )!. I Pentru a mai reduce din folosirea parantezelor, presupunem că I are precedenţă mai mare decât ceilalţi conectori; I ^, _ au precedenţă mai mare decât!, $. I Prin urmare, formula ((('! ( _ )) ^ (( ) $ ( _ ))) va fi scrisă ('! _ ) ^ ( $ _ ). I Cuantificatorii 8, 9 au precedenţă mai mare decât ceilalţi conectori. I Aşadar, 8x'! este (8x')! ş i n u 8x('! ). 9 10 Notaţii L-structura Definiţia 2.9 O L-structură este un cvadruplu De multe ori identificăm un limbaj L cu mulţimea simbolurilor sale non-logice şi scriem L =(R, F, C). I Scriem de multe ori f (t 1,...,t m ) în loc de ft 1...t m ş i R(t 1,...,t m ) în loc de Rt 1...t m. I Pentru simboluri f de operaţii binare scriem t 1 ft 2 î n l o c d e ft 1 t 2. I Analog pentru simboluri R de relaţii binare: scriem t 1 Rt 2 î n loc de Rt 1 t 2. unde I A este o mulţime nevidă; A =(A, F A, R A, C A ) I F A = {f A f 2F}este o mulţime de operaţii pe A; dacăf are aritatea m, atuncif A : A m! A; I R A = {R A R 2R}este o mulţime de relaţii pe A; dacăr are aritatea m, atuncir A A m ; I C A = {c A 2 A c 2C}. 11 I A se numeşte universul structurii A. Notaţie: A = A I f A (respectiv R A, c A )senumeştedenotaţia sau interpretarea lui f (respectiv R, c) în A. 12
Exemple - Limbajul egalităţii L = Exemple - Limbajul aritmeticii L ar L = =(R, F, C), unde I R = F = C = ; I acest limbaj este potrivit doar pentru a exprima proprietăţi ale egalităţii I L = -structurile sunt mulţimile nevide Exemple de formule: egalitatea este simetrică: 8x8y(x = y! y = x) universul are cel puţin trei elemente: 9x9y9z( (x = y) ^ (y = z) ^ (z = x)) L ar =(R, F, C), unde I R = { <}; < este simbol de relaţie binară, adică are aritatea 2; I F = { +,, Ṡ}; +, sunt simboluri de operaţii binare şi Ṡ este simbol de operaţie unar (adică are aritatea 1); I C = { 0}. Scriem L ar =( <; +,, Ṡ; 0) sau L ar =( <, +,, Ṡ, 0). Exemplul natural de L ar -structură: N := (N,<,+,, S, 0), unde S : N! N, S(m) =m +1 este funcţia succesor. Prin urmare, < N =<, + N =+, N =, Ṡ N = S, 0 N =0. Alt exemplu de L ar -structură: A =({0, 1},<,_, ^,, 1). 13 14 Exemplu - Limbajul cu un simbol de relaţie binar Exemple - Limbajul grupurilor L Gr L R =(R, F, C), unde I R = {R}; R simbol binar I F = C = ; I L-structurile sunt mulţimile nevide împreună cu o relaţie binară I Dacă suntem interesaţi de mulţimi parţial ordonate (A, apple), folosim simbolul apple î n l o c d e R şi notăm limbajul cu L apple. I Dacă suntem interesaţi de mulţimi strict ordonate (A,<), folosim simbolul < î n l o c d e R şi notăm limbajul cu L <. I Dacă suntem interesaţi de grafuri G =(V, E), folosim simbolul E î n l o c d e R şi notăm limbajul cu L Graf. I Dacă suntem interesaţi de structuri (A, 2), folosim simbolul 2 î n l o c d e R şi notăm limbajul cu L 2. L Gr =(R, F, C), unde I R = ;; I F = {, 1 }; simbol binar, 1 simbol unar I C = {ė}. Scriem L Gr =(;;, 1 ;ė) saul Gr =(, 1, ė). Exemple naturale de L Gr -structuri sunt grupurile: G =(G,, 1, e). Prin urmare, G =, 1 G = 1, ė G = e. Pentru a discuta despre grupuri abeliene (comutative), este tradiţional să se folosească limbajul L AbGr =(R, F, C), unde I R = ;; I F = { +, }; + simbol binar, simbol unar; I C = { 0}. Scriem L AbGr =( +,, 0). 15 16
Interpretare (evaluare) Fie L un limbaj de ordinul I şi A o L-structură. SEMANTICA Definiţia 2.10 O interpretare sau evaluare a(variabilelor)luil î n A este o funcţie e : V! A. În continuare, e : V! A este o interpretare a lui L in A. Definiţia 2.11 (Interpretarea termenilor) Prin inducţie pe termeni se defineşte interpretarea t A (e) 2 A a termenului t sub evaluarea e: I dacă t = x 2 V,atuncit A (e) :=e(x); I dacă t = c 2C,atuncit A (e) :=c A ; I dacă t = ft 1...t m,atuncit A (e) :=f A (t A 1 (e),...,ta m(e)). 17 18 Prin inducţie pe formule se defineşte interpretarea a formulei ' sub evaluarea e. (s = t) A (e) = (Rt 1...t m ) A (e) = ' A (e) 2{0, 1} 1 dacă s A (e) =t A (e) 1 dacă R A (t1 A(e),...,tA m(e)) Negaţia şi implicaţia I ( ') A (e) =1 ' A (e); I ('! ) A (e) =' A (e)! A (e), unde,!: {0, 1} {0, 1}!{0, 1}, Prin urmare, I ( ') A (e) =1 () ' A (e) = 0. p q p! q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 I ('! ) A (e) =1 () ' A (e) =0sau A (e) =1. 19 20
Relaţia de satisfacere Notaţie Pentru orice variabilă x 2 V ş i o r i c e a 2 A, definim o nouă interpretarea e x a : V! A prin e(v) dacă v 6= x e x a (v) = a dacă v = x. (8x') A (e) = ( 1 dacă ' A (e x a )=1pentruoricea 2 A Fie A o L-structură şi e : V! A ointerpretarealuil î n A. Definiţia 2.12 Fie ' oformulă.spunemcă: I e satisface ' î n A dacă ' A (e) =1. Notaţie: A '[e]. I e nu satisface ' î n A dacă ' A (e) =0. Notaţie: A6 '[e]. Corolar 2.13 Pentru orice formule ', ş i o r i c e v a r i a b i l ă x, (i) A '[e] () A 6 '[e]. (ii) A ('! )[e] () A '[e] implică A [e] () A 6 '[e] sau A [e]. (iii) A (8x')[e] () pentru orice a 2 A, A '[e x a ]. Dem.: Exerciţiu uşor. 21 22 Relaţia de satisfacere Relaţia de satisfacere Fie ', formule şi x ovariabilă. Propoziţia 2.14 (i) (' _ ) A (e) =' A (e) _ A (e); (ii) (' ^ ) A (e) =' A (e) ^ A (e); (iii) (' $ ) A (e) =' A (e) $ A (e); ( (iv) (9x') A 1 dacă există a 2 A a.î. ' A (e x a )=1 (e) = Dem.: Exerciţiu uşor. Arătăm, de exemplu, (iv). (9x') A (e) =1 () ( 8x ') A (e) =1 () (8x ') A (e) =0 () există a 2 A a.î. ( ') A (e x a )=0 () există a 2 A a.î. ' A (e x a )=1. Corolar 2.15 (i) A (' ^ )[e] () A '[e] ş i A [e]. (ii) A (' _ )[e] () A '[e] sau A [e]. (iii) A (' $ )[e] () A '[e] ddacă A [e]. (iv) A (9x')[e] () există a 2 A a.î. A '[e x a ]. 23 24
Semantică Semantică Fie ' formulă a lui L. Fie ' formulă a lui L. Definiţia 2.16 Spunem că ' este satisfiabilă dacă există o L-structură A ş i o evaluare e : V! A a.î. A '[e]. Spunem şi că (A, e) este un model al lui '. Atenţie! Este posibil ca atât ' cât şi ' să fie satisfiabile. Exemplu: ' := x = y î n L =. Definiţia 2.17 Spunem că ' este adevărată î n t r - o L-structură A dacă pentru orice evaluare e : V! A, A '[e]. Spunem şi că A satisface ' sau că A este un model al lui '. Notaţie: A ' Definiţia 2.18 Spunem că ' este formulă universal adevărată sau (logic) validă dacă pentru orice L-structură A, 25 Notaţie: ' A '. 26 Semantică Echivalenţe şi consecinţe logice Fie ', formule ale lui L. Definiţia 2.19 ' şi sunt logic echivalente dacă pentru orice L-structură A şi orice evaluare e : V! A, Notaţie: ' Definiţia 2.20 A '[e] () A [e]. este consecinţă semantică a lui' dacă pentru orice L-structură A ş i o r i c e e v a l u a r e e : V! A, Notaţie: ' Observaţie (i) ' ddacă '!. (ii) ' A '[e] ) A [e]. ddacă ( ' ş i ' ) ddacă $ '. 27 Pentru orice formule ', ş i o r i c e v a r i a b i l e x, y, 9x' 8x ' (1) 8x' 9x ' (2) 8x(' ^ ) 8x' ^8x (3) 8x' _8x 8x(' _ ) (4) 9x(' ^ ) 9x' ^9x (5) 9x(' _ ) 9x' _9x (6) 8x('! ) 8x'!8x (7) 8x('! ) 9x'!9x (8) 8x' 9x' (9) 28
Echivalenţe şi consecinţe logice ' 9x' (10) 8x' ' (11) 8x8y' 8y8x' (12) 9x9y' 9y9x' (13) 9y 8x' 8x9y'. (14) Dem.: Exerciţiu. Propoziţia 2.21 Pentru orice termeni s, t, u, (i) t = t; (ii) s = t! t = s; (iii) s = t ^ t = u! s = u. Dem.: Exerciţiu uşor. 29