ccccccccccccc

Transcriere

1 MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICE C4, Miercuri, D01,anii I (A+ C), Instrumente de modelare Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 1

2 INSTRUMENTE MATEMATICE DE MODELARE UTILIZATE - cuprins 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) 2. Ecuatii diferentiale cu derivate partiale(edp) 3. Ecuatii cu diferente (EDt) 4. Transformata Fourier 5. Transformata Laplace 6. Transformata z 7. Transformata z-modificata 8. Vectori si matrici 9. Algebra lineara 10.Variabile complexe Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 2

3 Bibliografie:EDO, EDt,transformate: Fourier, Laplace, z. [1] Jury, E.I.,Analysis and synthesis of sampled-data control systems, Communications and Electronics, 1954, 1-15 [2] Lathi, B.P., Linear Systems and Signals, OUP, Oxford, NY, USA, 2002 [3] Levine, W.S., The Control Handbook, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 1996 [4] Smith,S.W., The Scientist and Engineer s Guide to Digital Signal Processing, 2 nd edition, San Diego: California Technical Publishing, 1999 [5] Stanasila, O., Analiza matematica a semnalelor si undinelor, Matrix Rom, Bucuresti, 1997 [6] [7] Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 3

4 Bibliografie-ii: Transformate Fourier, Laplace; link-uri utile [8] [9] [10] [11] [12] McadInChem/mcad008/FT4FreeIndDecay.pdf [13] Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 4

5 1. Ecuatii diferentiale ordinare(edo) Ce sunt? - (i) Expresie diferentiala: o functie care contine variabile si derivatele acestora Ecuatie diferentiala (ED): o expresie diferentiala egalata cu zero. EDO: o ED care contine numai o singura variabila independenta EDP (ED Partiala): o ecuatie ce contine mai mult decat o singura variabila independenta. Variabila independenta: oricare marime precum: timp, presiune,temperatura, distanta, viteza, acceleratie etc Ordinul unei ED: valoarea/ ordinul celei mai mari derivate Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 5

6 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO), exemple (ii) Exemplul 1: (d 3 y/dt 3 ) (dy/dt) + 12y 2 (t) = cos(t) (1) este o EDO de ordinul trei, ordinul derivatei! Exemplul 2: a n (t)(d n y/dt n )+a n-1 (t)(d n-1 y/dt n-1 ) a 1 (t)(dx/dt) + a 0 (t)y(t) = r(t) (2) este o EDO de ord. n (cea mai mare derivata), cu coeficienti variabili in timp: a i (t), i = 0, 1, 2,., n Exemplul 3: a n (d n y/dt n )+a n-1 (d n-1 y/dt n-1 ) a 1 (dx/dt)+a 0 y(t) = r(t) (2-bis) este o EDO de ord. n (cea mai mare derivata), cu coeficienti constanti Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 6

7 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)- (iii)-edon si EDO-LTI EDO de ordinul n descriu sisteme LTI (LIT), deci MM aferente acestora In ingineria sistemelor si la determinarea MM aferente sistemelor LTI (cu intrarea u si iesirea y), EDO n este (coeficientii a i, b i constanti): a n (d n y/dt n )+a n-1 (d n-1 y/dt n-1 )+.. +a 1 (dy/dt) +a 0 y(t) = b 0 u(t) +b 1 (du/dt)+b 2 (d 2 u/dt 2 )+ +b m-1 (d m-1 y/dt m-1 ) +b m (d m u/dt m ), (m n) (3) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 7

8 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)- (iv)- lineare, variante si invariante EDO lineara: acea EDO la care coeficientii a i (t), b j (t) nu sunt functii de y(t) EDO varianta: acea EDO la care coeficientii a i (t), b j (t) sunt functii de timp (variabila independenta t ); EDO lineara cu coeficienti constanti: acea EDO la care toti coeficientii a i (t), b j (t), sunt constanti (valori numerice, nu sunt functii de timp). Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 8

9 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)-(v)- solutia acestora! O functie y(t) are o derivata unica (dy/dt), dar: Pentru o derivata data (dy/dt), exista o infinitate de functii posibile, y(t). Rezulta deci ca e imposibil sa determinam in mod unic pe y(t) Totusi, putem determina in mod unic pe y(t), doar daca mai exista informatii suplimentare (constrangeri), despre ea (adica despre y(t)). Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 9

10 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)- (vi)- solutia acestora! Solutia EDO de grad 2, 3,,n, se poate determina in mod unic, doar daca avem 2, 3,.,n informatii suplimentare despre y(t). Aceste informatii suplimentare se mai numesc constrangeri sau conditii suplimentare Daca aceste conditii suplimentare sunt date la timpul t=0 (in origine), ele se numesc conditii initiale. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 10

11 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO),vii Metode de determinare a solutiei (i) A). Metode in domeniul timp (t): 1. La ecuatii diferentiale ordinare 1.a. Metoda clasica (numai anumite intrari) 1.b. Metoda convolutiei (moderna, generala) 2. La ecuatii cu diferente (EDt) 2.a. Solutie prin metoda clasica 2.b. Solutie prin metoda convolutiei B). Metode in domeniul frecventa (s, ω) 1. Metoda transformatelor Fourier, Laplace, z Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 11

12 1. Determinarea solutiei EDO, (ii) 1.a): Metoda clasica (i) Daca in ecuatia (3) avem u(t)=0, aceasta se numeste EDO omogena (sau complementara). Se arata (fara demonstratie aici) ca solutia EDO este suma y(t)=y c (t)+y p (t), unde y c (t) este solutia complementara y p (t) solutia particulara La analiza sistemelor automate LTI, cele doua solutii (raspunsuri ale sistemului) se numesc y n (t) raspuns natural, si y f (t) raspuns fortat, adica y(t)=y n (t)+y f (t) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 12

13 1. Determinarea solutiei EDO, (iii) 1.a): Metoda clasica (ii) Solutia complementara (raspunsul natural) aferenta EDO, y c (t) (numita si y n (t)), se poate determina daca si numai daca y c (t) si toate cele n derivate succesive ale acesteia au aceeasi forma (altfel, suma acestora, in (3), niciodata nu va tinde spre zero pentru toate valorile lui t). Singura functie care are aceasta proprietate este functia exponentiala e λt, deci solutia EDO y c (t) este de forma y c (t)=c i e λ i t, unde λ i, i = 1, 2,.,n, sunt solutiile ecuatiei caracteristice aferente EDO (polinomul caracteristic egalat cu zero). De aceea, λ i se numesc: radacini caracteristice, sau, alteori valori caracteristice, sau valori proprii (eigenvalues) sau frecvente naturale. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 13

14 1. Determinarea solutiei EDO, (iv) 1.a): Metoda clasica (iii) Observatia 1: eigenvalue (valoare proprie) este (in L. Germana), termenul pentru valoare caracteristica Exponentialele e λ i t (i=1, 2,.,n), din solutia complementara y c (t) se numesc: - moduri caracteristice, sau, alteori - moduri naturale, sau, mai simplu - moduri Observatia 2: exista cate un mod caracteristic pentru fiecare radacina caracteristica Observatia 3: solutia complementara y c (t) este o combinatie lineara de moduri caracteristice Observatia 4: cele n radacini caracteristice λ 1, λ 2,, λ n pot fi distincte toate, sau radacini multiple (repetate): forma solutiei y c (t) nu se schimba Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 14

15 1. Determinarea solutiei EDO, (v) 1.a): Metoda clasica (iv) Solutia particulara (numita si raspuns fortat) aferenta EDO, y p (t), se poate determina numai daca (nu se poate, in oricare alt caz): Intrarea u(t) este ca forma a.i. rezulta numai un numar finit de derivate independente ale acesteia, respectiv avem cazurile: u(t) exponentiala, e st, o singura derivata independenta (diferentierea repetata a lui e st este aceeasi e st ); u(t) = t m diferentierea repetata, duce la m derivate independente; u(t) = k (constanta) derivata/ diferentiala rezulta zero; u(t) = cos(t) intrare sinusoidala; u(t) = t r e st; u(t) = e jt (s=jω), intrare exponentiala complexa. Observatie: forma raspunsului fortat yp (t) este deci asemanatoare cu forma functiei u(t) aplicata la intrare Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 15

16 1. Determinarea solutiei EDO, (vi) 1.b): Metoda convolutiei (i) Intrarea u(t) la aceasta metoda se exprima ca o suma de impulsuri Solutia este obtinuta ca o suma a solutiilor aferente tuturor impulsurilor ce compun intrarea Metoda se foloseste de proprietatea (principiul) superpozitiei, ce actioneaza numai la LTI LIT Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 16

17 1. Determinarea solutiei EDO, (vii) 1.b): Metoda convolutiei (ii) Daca intrarea u(t) este suma (sau integrala) unor t componente impulsuri, adica u( t) = u( t) δ ( t x) dx o iar pentru LTI tip EDO n (ec. (2) sau ec. (3)), solutia este y(t) = h(t), in CI nule, atunci, utilizand proprietatea de liniaritate, rezulta ca solutia ecuatiei LTI-EDO n cu u(t) de t mai sus, este y( t) = u( t) h( t x) dx o La aceasta solutie particulara trebuie sa se adauge si o solutie complementara (omogena), pentru a avea y(t)=y c (t)+y p (t) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 17

18 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) Compararea celor doua metode (I) Metoda convolutiei este laborioasa, comparativ cu metoda clasica; pe de alta parte, Metoda clasica are dezavantajul ca duce la obtinerea raspunsului total, din care nu pot fi separate cele doua componente, ce rezulta din conditiile interne si conditiile externe La analiza SA este avantajos sa avem exprimat raspunsul sistemului la o intrare u(t) care este o functie explicita de u(t); cu metoda clasica nu e posibil acest lucru. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 18

19 1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) Compararea celor doua metode (ii) Metoda clasica nu se poate aplica la orice tip de intrare, ci doar la cateva tipuri (numai la acele u(t) care au un numar finit de derivate independente) Rezulta ca, desi se poate aplica mai usor uneori la determinarea raspunsului unui sistem LIT de forma particulara, totusi, la studiile teoretice ale sistemelor LIT, metoda clasica este fara utilitate practica. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 19

20 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (i) 2. Ecuatii cu diferente (EDt) 2.1. Generalitati, forme 2.2. Cauzalitate 2.3. Determinarea solutiei iterative 2.4. Metoda clasica de determinare a solutiei Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 20

21 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (ii). Ce-i o relatie de recurenta? O relatie de recurenta este una care, in matematica, defineste o secventa in mod recursiv; adica, fiecare termen al secventei este definit/ calculat, in functie de termenii anteriori (precedenti). O ecuatie cu diferente este un tip specific de relatie de recurenta. Exemple de relatii de recurenta (lineare) cu coeficienti constanti: Secventa (numerele) Fibonacci, cu relatia de recurenta: Fn = F n-1 + F n-2, cu numerele initiale F 1 = 0 si F 2 = 1. Astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 etc Ecuatia determinarii dinamicii populatiei (ec. logistica): xn+1 = r.x n (1-x n ); 0 < x n < 1 populatia in anul n, deci x 0 este la anul 0, populatia initiala; r > 0, e un numar pozitiv ce reprezinta rata combinata a natalitatii si mortalitatii (modelul de predictie, neliniar, are si comportari haotice populatii de dimensiuni negative etc)). Seria Taylor Serii hipergeometrice (polinoame ortogonale si functii speciale) Functia Bessel etc Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 21

22 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (iii) 2.1 Generalitati, forme (i) Consideram doar EDţ lineare cu coeficienti constanti EDţ se pot exprima in doua forme: Prima, utilizeaza valorile din urma (intarziate, din trecut), cum sunt y[k- 1], y[k-2], y[k-3], u[k-1], u[k-2], u[k-3],.etc (operator de intarziere) A doua, utilizeaza termenii in avans, cum sunt y[k+1], y[k+2], y[k+3], u[k+1], u[k+2], u[k+3],.etc (operator in avans) O EDţ lineara generala, ord. n, cu operator in avans este: a n y[k+n]+a n-1 y[k+n-1]+.. +a 1 y[k+1]+a 0 y[k] = =b m u[k+m]+b m-1 u[k+m-1]+..+b 1 u[k+1]+b 0 u[k] unde, in membrul stang sau drept, y[k] sau u[k] sunt valorile acestor variabile la momentele de timp k+n, k+n-1, k+n-2, respectiv k+m, k+m-1 etc, etc. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 22

23 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (iv) 2.1 Generalitati, forme (ii) Conditia de cauzalitate cere ca solutia EDt sa nu depinda de valorile viitoare ale intrarii (nu se poate!) Deci, cu forma operatorului in avans (ec. de mai sus), cauzalitatea cere ca m n. Ecuatia cu diferente cauzala generala este atunci cand m = n, respectiv forma cu operator in/ de avans este: a n y[k+n]+a n-1 y[k+n-1]+.+a 1 y[k+1]+a 0 y[k] = b n u[k+n]+b n-1 u[k+n-1]+. +b 1 u[k+1]+b 0 u[k] (4) Ecuatia cu diferente cauzala generala este atunci cand m = n, respectiv forma cu operator de intarziere este: a n y[k]+a n-1 y[k-1]+.+a 1 y[k-n+1]+a 0 y[k-n] = b n u[k]+b n-1 u[k-1] +.. +b 1 u[k-n+1]+b 0 u[k-n] (5) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 23

24 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (v) 2.1 Generalitati, forme, observatii (iii) Observatii: Forma (5)-(cu operator de intarziere) se obtine din forma (4), unde se inlocuieste timpul k prin k-n, in intreaga ecuatie; De obicei, la o EDt coeficientul lui y[k+n] este normalizat la 1 (adica a n = 1); Unii coeficienti, din oricare membru (ai sau b j ), pot fi egali cu zero (adica sa lipseasca) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 24

25 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (vi) 2.2 Cauzalitate (i) Conditia de cauzalitate cere ca solutia EDt sa nu depinda de valorile viitoare ale intrarii. Deci, la formele EDt cu operator in avans (ec. (4) de mai sus), cauzalitatea cere ca m n. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 25

26 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (vii) 2.3 Determinarea solutiei iterative (i) Ecuatia (5) se poate scrie sub forma (6): y[k] = -a n-1 y[k-1]-a n-2 y[k-2] -..-a 1 y[k-n+1]-a 0 y[k-n]+ +b n u[k]+b n-1 u[k-1]+..+b 1 u[k-n+1]+b 0 u[k-n] (6) Adica, solutia y[k] (la momentul de timp k), se calculeaza cu (2n+1) date: adica solutia regreseaza in (se calculeaza cu) n valori din trecut ale y[k] (adica ale ei proprii), care sunt: y[k-1], y[k-2],..,y[k-n], plus, inca n valori din trecut si valoarea prezenta (una) ale intrarii, adica valorile u[k], u[k-1], u[k-2],,..,u[k-n] Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 26

27 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (viii) 2.3 Solutia iterativa; conditii initiale (ii) DACA INSA intrarea u[k] este cunoscuta la k = 0, 1, 2, 3,., atunci, valorile lui y[k] pentru k = 0,1,2,.., se pot calcula din cele 2n+1 conditii initiale (CI): y[-1], y[-2],.,y[-n] si u[-1], u[-2],..u[-n]. IN PLUS, daca sistemul este cauzal, adica daca u[k]=0 pentru k<0, vom avea u[-1] = u[-2]=.=u[-n]=0 si deci ne trebuie numai n CI, adica y[-1], y[-2], y[- n]. Deci, daca sistemul este cauzal, se pot calcula iterativ (adica recursiv), valorile y[0], y[1], y[2], y[3],. etc. De aceea, in literatura, ecuatia (6) se mai numeste ecuatie cu diferente recursiva. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 27

28 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (ix) 2.3 Solutia iterativa, exemplu (iii) Exemplu: Sa se rezolve iterativ ecuatia cu diferente y[k] - 0.2y[k- 1] = u[k], ce are conditia initiala y[-1] = 24, intrarea este u[k] = k 2 si pleaca din origine (adica din k=0). Rezolvare: Forma de scriere (6) de mai sus, pentru ecuatia noastra, este y[k] = 0.2y[k-1] + u[k]; La valorile k = 0, 1, 2, 3, 4,, vom avea succesiv: - k=0: y[0] = 0.2y[-1] + u[0] = 0.2(24)+0 = k=1: cu valoarea y[0] = 4.8 calculata mai sus, si u[1] = k 2 = (1) 2 =1, calculam y[1] = 0.2(4.8) + (1) 2 = k=2: cu valoarea lui y[1] = 1.96 din pasul anterior si u[2] = (2) 2, obtinem y[2] = 0.2(1.96) + (2) 2 = 4.392, apoi: - k = 3: y[3] = 0.2(4.392) + (3) 2 = k = 4: y[4] = 0.2(9.8784) + (4) 2 = Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 28

29 2. Ecuatii cu diferente (EDt), (x) 2.4 Det. solutiei prin alte metode (i) Procedura de calcul iterativ de mai sus e valabila doar la EDt, nu si la EDO. Ca si la EDO, la EDt se utilizeaza o notatie operationala similara operatorului de diferentiere, aici fiind vorba de un operator de avansare a secventei pe un interval de timp (pe o perioada de esantionare) Pentru determinarea solutiei EDt (4), (5), sau (6) de mai sus, adica y[k] = y c [k] + y p [k], exista, iarasi, tot doua tipuri de metode (clasica si de convolutie), care insa, nu fac obiectul cursului. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 29

30 B. Metode in domeniul frecventa (s, ω) B). Metode in domeniul frecventa (s, ω) - Metoda transformatelor Fourier, Laplace, Z Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 30

31 Transformate Fourier, Laplace, z (i) Fourier Jean-Baptiste-Joseph ( ) matematician francez; fiu de croitor, orfan la 8 ani, colegiu militar (calugari benedictini), sef catedra matematica la Ecole Normale (26 ani!), apoi la Ecole Polytechnique in Paris, baron, prefect de Paris, secretar al Academiei de Stiinta Paris, contemporan cu Napoleon, Laplace ( ), Lagrange ( ), Legendre ( ), Lavoisier ( ); in timpul Revolutiei Franceze ( a scapat de doua ori de ghilotina; numit in 1798 de Napoleon (Expeditia Egipteana), Guvernatorul Egiptului de Jos (Champollion, traducerea hieroglifelor ). Creditat (1824) cu descoperirea faptului ca gazele din atmosfera cresc temperatura suprafetei Pamantului si dau efectul de sera; facut baron de Napoleon; L-L-L Laplace, Lagrange si Legendre nu i- au recunoscut seria Fourier ( marele poem matematic, zice Maxwell), spunand ca nu are rigoare matematica; abia 15 ani mai tarziu isi publica rezultatele in Theorie analitique de la chaleur contributii: algebra, teoria ED, teoria analitica a propagarii caldurii in corpurile solide, serii F., transformate F.(TF-in timp continuu; TFD - in timp discret, iar aici si TFR-FFT) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 31

32 Transformate Fourier, Laplace, z (ii) Laplace Pierre Simon, marchiz de ( ) ( transformata s!) Transformata z matematician, astronom si fizician francez, contemporan cu Napoleon, Fourier, Legendre, Lagrange contributii: ED, EDO, EDP, teorie cosmogonica ( Kant-Laplace ), Tratat de mecanica cereasca, contributii in electromagnetism, generalizarea TF (adica integrandul are si factor exponentila real, nu numai imaginar, s = jω, respectiv transformarea este o functie de variabila complexa, s=σ + jω); transformt Laplace in timp discret este transformata z este transformata Laplace pentru sisteme in timp discret, adica transformata Laplace deghizata, sau transformata Laurentdeoarece se bazeaza pe aceasta serie), a fost introdusa cu acest nume, in anul 1958, de E.I. Jurie, in Sampled-Data Control, J. Wiley & Sons. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 32

33 Transformate Fourier, Laplace, z (iii) Familia Fourier, (i) Cei patru membri ai familiei Fourier: TFD (DFT) -Transformata Fourier Discreta TFTD (DTFT) -Transformata Fourier in Timp Discret TF (FT) - Transformata Fourier Continua (in timp continuu) SF (FS) - Seria Fourier Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 33

34 Transformate, generalitati (iv): Familia Fourier (ii) Din tabel, se observa ca cele patru transformate ale familiei se caracterizeaza prin: Timp [c/d] Transformata Frecventa Cele doua domenii, care sunt temporal si frecvential (timp, frecventa) TF continua Continua, aperiodica Continua, aperiodica Caracterul discret al unui domeniu implicit periodicitate in domeniul conjugat ( imaginar ) Seria Fourier Continua, periodica Discreta, aperiodica Continuitate intr-un domeniu implica aperiodicitate in domeniul conjugat Domeniul real /realitatea implica simetrie in domeniul conjugat TF in timp discret (TFTD) TF discreta (TFD-DFT) Discreta, aperiodica Discreta, periodica Continua, aperiodica Discreta, periodica Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 34

35 Transformate Fourier, interpretare in termeni de timp si frecventa (i) TF Directa transforma/descompune o functie din domeniul timp (original, real), intr-un spectru al componentelor ei de frecventa, adica intr-o functie in domeniul frecventa. Adica, TF descompune functia din domeniul timp in armonici de diferite frecvente TF Inversa sintetizeaza o functie din spectrul componentelor ei de frecventa Analogia obisnuita, posibila si utila este aceea dintre setul notelor muzicale (componentele de frecventa) si sunetul muzical reprezentat de aceste note (functia/ semnalul insusi) TF a unui semnal x(t) din domeniul t in domeniul frecventa - ω -, trebuie inteleasa in sensul cat de mult fiecare frecventa contribuie la semnal?. Aceasta idee este similara si de baza la oricare dintre transformarile Fourier. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 35

36 Transformate Fourier, interpretare in termeni de timp si frecventa (ii, continuare) Interpretarea obisnuita a acestei descompuneri (a functiei de timp, ce reprezinta un semnal fizic, de ex. tensiune, curent, turatie, nivel, ph etc), este aceea a spectrului de frecventa al semnalului. Modulul functiei imagine F rezultante de valoare complexa, reprezinta amplitudinile respectivelor frecvente (ω, ale armonicilor), in timp ce defazajele sunt calculate cu relatia arctan (Im {F}/ Re{F}) (caracteristicile Bode) Observatie: TF nu se utilizeaza numai la functii de timp si la frecvente temporale. TF pot fi utilizate si la analiza frecventelor spatiale ([cicli/m] sau [linii/mm]) deci la functii avand orice fel de variabile reale/ domenii (adica nu numai functii de timp ) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 36

37 Seria Fourier in formele trigonometrica si exponentiala Consideram seria Fourier a unei functii periodice, de perioada 2T: ~ f ( x) = Datorita formulei lui Euler: a 2 e i = cosθ + nxπ nxπ 0 + ( an cos + bn sin ) n= 1 T T θ i sinθ Functia de mai sus se poate rescrie ca in relatia (1): ~ f ( x) = c e inx n n= In care coeficientii de descompunere se calculeaza cu relatia (2): T π c 1 in t = T n e f ( t 2T ) T (1) (2) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 37

38 Transformata Fourier Frecventele sunt w n = nπ T si w = π T Prin urmare, (1) ~ si (2) reprezinta ca in (3): 1 iwx f ( x) e T = 2π n= T e iwt f ( t) dt w (3) Deoarece, pe de o parte, functia cu perioada T are, de asemenea, perioade kt pentru orice intreg k, iar pe de alta parte orice functie neperiodica se poate considera drept o functie cu perioada infinita, putem pune pe T la infinit si obtinem suma Riemann cu w, care converge catre integrala (4): ~ T 1 iwx iwt f ( x) = e e f ( t) dt dw 2π T (4) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 38

39 Definitia transformatei Fourier Integrala (4) sugereaza definitia formala de mai jos: Functia F(w) se numeste transformata Fourier a functiei f(x) daca are loc (5): iwt F( w) : F{ f ( t)}: = e f Iar functia (6): 1 1 iwx F { F( w)}: e F( 2 Se numeste transformata Fourier inversa a functiei F(w). = ( t) dt = w) dw (5) π (6) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 39

40 Integrala Fourier Daca f(x) and f (x) sunt continue pe portiuni in fiecare interval finit, iar f(x) este absolut integrabila pe R, adica converge, atunci e valabila relatia 1 2 [ f ( x ) + f ( x+ )] = 1 2π e iwx e iwt f ( t) dt dw Remarca: Conditiile de mai sus sunt suficiente, dar nu necesare. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 40

41 Transformata Fourier continua (TF) t T R, (i) Deci, daca f(t) este o functie reala de variabila reala t (t are valori intre - si + ), atunci transformata Fourier (TF) a lui f(t) este definita prin relatia (aici, TF este continua, adica t T R): unde: - ω este frecventa in [rad/s]; - i=sqrt(-1) - si e -iωt este exponentiala complexa data de relatia lui Euler: e -iωt = cos(ωt) i sin(ωt) Cu relatia lui Euler in cea de definitie, obtinem: F(ω) = Re(ω) + i Im(ω) unde R(ω) si Im(ω) sunt partile reala si imaginara ale F(ω), care permit obtinerea i) spectrului amplificarii, ii) spectrul de faza Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 41

42 Transformata Fourier continua (TF) (t Aplicatii: T R), (ii) In fizica, procesarea semnalelor,acustica, statistica, optica, geometrie, teoria probabilitatilor Proprietati: Descompune semnalul procesat in frecventele si amplitudinile sale componente TF este un operator linear Functiile de baza sinusoidale sunt functii proprii de derivare, adica, TF transforma EDO lineare cu coeficienti constanti in ecuatii algebrice ordinare. Utilizand teorema convolutiei, TF transforma operatia de convolutie (complicata), intr-o simpla inmultire TF discreta poate fi calculata rapid cu algoritmi TFR(FFT) utilizand calculatoare Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 42

43 Transformata Fourier continua(tf) (t Proprietati T (continuare) R), (iii) TF este inversabila, TF inversa are apropximativ aceeasi forma ca si TF directa (se observa din relatie ca TF in timp continuu reprezinta orice functie f(t), finita sau periodica, de patrat integrabil, ca o suma de exponentiale complexe ce au frecventele unghiulare ω si amplitudinile complexe F(ω)): Variante ale TF: TF continua (in timp continuu, t T R); TF discreta (in timp discret t T Z); Seria Fourier Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 43

44 sin(t)/t Functia sinc (cardinal; 1.2 atenuat): sin(t)/t line t Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 44

45 Transformata Fourier in timp discret (TFTD, (t T Z) TFTD (DTFT) este un membru al familiei TF, ce transforma o functie f(n) ce are variabila n de timp discret (un sir), adica n T Z. Functia imagine obtinuta cu TFTD este un spectru continuu si 2π periodic, adica F(e jω ) = F(e j(ω+2π) ). TFTD directa a unui sir f(n) este data, prin definitie, de relatia: TFTDI (IDTFT), adica transformata Fourier inversa [obtinerea sirului f(n)], se face cu relatia: TFTD (DTFT) difera de TFD (DFT) prin aceea ca aceasta din urma se aplica doar functiilor in timp discret f(n) care sunt finite si periodice. Adica, pentru un semnal de lungime finita N, f(n):n {0, 1, 2,.N-1}, TFD esantioneaza TFTD la intervale egale (periodice) k {0, 1, 2,.N-1}, dar in domeniul frecventa: Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 45

46 Transformata Fourier Discreta- TFD (t T Z), (I)- directa TF discreta (TFD) se utilizeaza: Numai daca functiile xk sunt definite in timp discret (t T Z), si sunt finite si periodice, la: Calcule stiintifice, EDP etc; Procesarea semnalelor etc. TFD directa, prin care, o secventa de numere complexe x 0, x 1,.., x n-1 este transformata intr-o secventa de n numere complexe, f 0, f 1,.,f n-1, cu relatia: Unde e este baza logaritmului natural, i este unitatea imaginara (i 2 =-1), iar π este Pi = Aplicarea directa a acestei relatii de calcul necesita O(n 2 ) operatii de calcul DAR, utilizand algopritmul TFR (FFT), relatia de mai sus se poate calcula numai in O(nlogn) operatii. Ordinul de complexitate in timp al algoritmului TFR este/ apartine numarului de n 2 operatii, adica TFD(n) O(n 2 ), spre deosebire de algoritmul FFT(TFR) O(n log n). (V. notatia matematica a marimii O big O notation, nu big 0 - zero!), ce descrie comportarea asimptotica a functiilor, adica ordinul de complexitate a acestora). Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 46

47 Transformata Fourier Discreta- TFD (t T Z), (II)-inversa TFD inversa (TFDI)se calculeaza cu: iii). Diversele variante de mai sus ale TF se pot generaliza, obtinandu-se TFG (Transformata Fourier Generalizata) unde, xk sunt reprezentate ca o suma de sinusoide, fj fiind amplitudinile Fourier. Observatii importante. i). TFD(DFT) este un caz special al TF in timp discret (TFTD, sau DTFT in L.E.), in care x k sunt definite pe domenii discrete dar infinite, deci spectrul este continuu si periodic ii). TFTD (DTFT) este, in esenta, inversa seriei Fourier iv). Exista si alte transformari timpfrecventa, prin care se poate obtine informatia in frecventa despre un semnal care este functie de timp: 1) TF in timp finit (scurt, mic), v. mai sus TFD 2) TF fractionara 3) Transformate wavelets 4) Transformate chirplets care insa nu sunt decat mentionate aici. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 47

48 Seria Fourier (i) TF continua de mai sus (in timp continuu) este o generalizare a seriei Fourier (SF)de mai jos, ce se aplica numai functiilor f(x) periodice (cu perioada 2π, adica de domeniu finit). Ea reprezinta aceste functii ca o serie de sinusoide (forma complexa a SF): unde coeficientii a n si b n din SF trigonometrica, sunt amplitudinile reale ale acesteia. unde F n sunt amplitudinile complexe ale armonicilor de ordinul n. Pentru functii de valoare reala, SF se scrie (f. trigonometrica) astfel: Observatie: TFTD (DTFT) este inversa seriei Fourier Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 48

49 Chirp, chirplet(s), wavelet(s) (i) Chirp este un semnal a carui frecventa creste ( up-chirp ) sau descreste ( downchirp ) linear sau exponential cu timpul, avand aplicatii la radare, sonare, in telecomunicatii digitale (modulatie chirp sau modulatie lineara in frecventa), compresia impulsurilor, procesarea imaginilor etc Chirplet este o portiune (o fereastra) a unei functii chirp, fereastra furnizand unele proprietati de localizare in timp Transformarea chirp (chirplet transform) este o modalitate de transformare parametrizata a frecventei semnalelor (alta decat lineara sau exponentiala), de forma g = f[(a.x +b)/(c.x + 1)], ce are trei parametri: a (scalare), b (translare), si c (modificare frecventa-chirpness) (propusa in 1991). Wavelet(s), in mod similar cu chirplet, este (sunt) o portiune dintr-o unda (numita si undina, undisoara, miniunda in literatura) O comparatie intre unde (waves), undine (wavelets), chirp si chirplet se poate observa in figura: Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 49

50 Chirp, chirplet(s), wavelet(s) (ii) Wavelet(s), transformari wavelet, analize wavelet, se refera la reprezentari ale unor semnale de lungime finita, sau a unor unde oscilante rapid descrescatoare (numite si wavelet mama). Transformarea wavelet poate fi continua (TWC) si discreta (TWD), cea discreta fiind cea mai utilizata, in special la bancuri de filtre FIR (Finite Impulse Response) Comparatie cu TF (unde semnalul e reprezentat ca o suma de sinusoide): TF este localizat numai in frecventa, (ω), in timp ce Wavelets sunt localizate atat in timp cat si in frecventa ( t si ω) Wavelets au rezolutie mai buna decat TF de timp scurt (Short-time FT), desi ultima e localizata, de asemenea, si in timp si in frecventa (nu e cazul aici) Utilizari (aplicatii) ale wavelets: analiza semnalelor diverse (in locul TF), dinamica moleculara, geofizica seismica, procesarea imaginilor, compresia datelor, climatologie, analize diverse (proteine, AND, EKG etc) Wavelet toolbox in Matlab! Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 50

51 Transformata Fourier Proprietati (i) TF are o serie de proprietati, cu ajutorul carora se pot determina (mai usor), TF ale multor functii comune: Linearitate (superpozitie) TF a functiilor deplasate in timp la stanga sau la dreapta TF a functiilor scalate in timp Inversarea (semnului) timpului Multiplicarea cu o putere a timpului t Multiplicarea cu exponentiala frecventei- exp(jω 0 t) Multiplicarea cu sinusul frecventei- sin(ω 0 t) Multiplicarea cu cosinusul frecventei- cos(ω 0 t) TF a derivatei unei functii in domeniul timp Inmultirea in domeniul timp Convolutia in domeniul timp Proprietatea de dualitate Teorema lui Parseval s.a. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 51

52 Transformata Fourier Proprietati (ii) 1. Linearitate (superpozitie): pentru usurinta, w = ω: Pentru oricare constante a, b are loc urmatoarea egalitate: F { af ( t) + bg( t)} = af{ f ( t)} + bf{ g( t)} = af( w) + bg( w) Demonstratia se face substituind expresia in relatia (5) de mai sus. 2. Scalarea Pentru oricare constanta c inmultita cu timpul t, are loc egalitatea de mai jos: F { f ( ct)} = 1 c w F( c ) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 52

53 Transformata Fourier Proprietati (iii) 3. Deplasarea in timp: Demonstratie: 0 4. Deplasarea in frecventa: Demonstratie: iwt0 F{ f ( t t0 )} = e F( w) F f t t iwt iwt0 { ( )} = f ( t t0 ) e dt = e F{ e iwt0 f ( t)} = F( w w 0 ) f ( u) e iwu iw { 0 t iwt0 iwt F e f ( t)} = e f ( t) e dt = F( w w 0 ) du Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 53

54 Transformata Fourier Proprietati (iv) 5. Simetria: Demonstratie: F{ F( t)} = 2πf ( w) Transformata Fourier inversa este: 1 1 = = iwt f ( t) F { f ( w)} F( w) e dw 2π si prin urmare avem: 1 itw 2πf ( w) = F( t) e dt = F{ F( t)} 2π Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 54

55 Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 55 Transformata Fourier Proprietati (v) 6. Modulare: Demonstratie: Utilizam formula lui Euler, proprietatea 1 (de linearitate) si 4 (deplasare in frecventa): )] ( ) ( [ 2 1 )} )sin( ( { )] ( ) ( [ 2 1 )} )cos( ( { w w F w w F t w t f F w w F w w F t w t f F + = + + = )] ( ) ( [ 2 1 )}] ( { )} ( { [ 2 1 )} )cos( ( { w w F w w F t f e F t f e F t w t f F t iw t iw + + = + =

56 Transformata Fourier Proprietati (vi) 7. Transformarea Fourier a derivatelor unei functii Presupunem ca f (n) este continua pe portiuni si absolut integrabila pe R. Atunci: F{ f ( n) ( t)} = ( iw) n F( w) In particular avem: ' F { f ( t)} = iwf ( w) iar F{ f '' ( t)} = w 2 F( w) Demonstratie: Se integreaza prin parti, utilizand definitia lui F{f (n) (t)}. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 56

57 8.Diferentierea (derivarea) in frecventa F{ t n f ( t)} = i n F ( n) ( w) In particular F { tf ( t)} = if ( w) si F { t 2 f ( t)} = F ( w) Care poate fi demonstrat utilizand definitia lui F{f(t)}, adica relatia de definitie a TF. Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 57

58 Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare Convolutia (teorema convolutiei)-i Convolutia a doua functii f(t) si g(t) este, prin definitie: Teorema: Demonstratie: du u t g u f g f ) ( ) ( * ) ]( * [ 2 1 )} ( ) ( { } { } { } * { w G F t g t f F g F f F g f F π } { } { ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( } * { ) ( g F f F du u t d u t g e u f e dt du u t g u f e g f F u t iw iwu iwt = = =

59 Seria si transformata Fourier in timp continuu, concluzii. Cu seria Fourier, functiile periodice pot fi descompuse in componentele lor de frecventa, acestea fiind functii ordinare de timp. Sistemele LTI pot fi considerate in termeni in care acestea au componente de frecventa (raspunsul in frecventa). Sistemele LTI pot fi considerate in termeni in care acestea pot avea semnale in domeniul timp (convolutia cu raspunsul la impuls) Prin intermediul transformatei Fourier pot fi observate si functiile aperiodice, ca avand componente de frecventa, ca semnalele periodice. Transformata Fourier in timp continuu se poate obtine extinzand formula de calcul al coeficientilor seriei Fourier in timp continuu pentru semnale periodice, la semnale aperiodice, respectiv: p p / 2 1 ikω t 1 0 ikω0t Xk = x(t)e dt = x(t)e dt p p 0 p / 2 Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 59

60 Transformata Fourier si VEZI FUNCTIILE: Matlab abs - calculeaza valoarea absoluta si modulul complex; angle - calculeaza defazajul in radiani al unui numar complex; fft si ifft calculeaza TF directa si inversa a unei secvente fftshift- calculeaza/ shifteaza componenta de frecventa zero a TFD pentru a centra spectrul ifftshift inversa lui fftshift fourier transformarea integrala Fourier in timp continuu (Symbolic Math Toolbox) ifourier - transformarea integrala Fourier inversa in timp continuu (Symbolic Math Toolbox) windows- ferestre pentru fft directe si inverse pe timp scurt::-barthannwin (Bartlett-Hann modificata); bartlett; blackman; blackmanharis; hann; chebwin (Chebyshev); kaiser; tukeywin; rectwin; gausswin; bohmanwin etc etc filter filtreaza o secventa de date utilizand un filtru digital Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 60

61 Exemplu de fft short-time cu o fereastra Bartlett-Hann, 128 puncte/esantioane, frecventa normalizata (x π rad/esantion), functia barthannwin Time domain 40 Frequency domain Amplitude Magnitude (db) Samples Normalized Frequency ( π rad/sample) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 61

62 Fereastra Bartlett cu 128 esantioane, aceeasi frecventa normalizata (fc. bartlett). Time domain 40 Frequency domain Amplitude Magnitude (db) Samples Normalized Frequency ( π rad/sample) Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 62

63 TC 2!!! Si TC3!! TC2 (tema de casa 2) este cu calcul simbolic 6 functii simbolice/ 6 pagini! TC3 (tema de casa 3) este cu functiile din slideul 60, adica diverse transformate Fourier, 10 pag Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 63

64 Tema de casa nr. 4 (TC4) Modificati, adaugati, revizuiti functia why din MATLAB, pentru a se potrivi gusturilor dvs. proprii (elev ajuns student; glumet; serios; neserios; cercetator; informatician; automatist; meticulos; bigot; amic/fiu/ fiica bun/ rau; visator; romantic; educat; cult; civilizat etc) Cea mai buna realizare (votata de dvs) va lua nota 10 si doua puncte in plus la examenul de semestru. Adresele de pentru dialog ale CD cu care interactionati la C si L: vdugan@ugal.ro si razvan.solea@ugal.ro Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 64