Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară 14 11 Sistem fundamental de soluţii 15 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii 17 13 Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă 0 13 Metoda seriilor formale 1 14 Transformarea z 4 Elemente din teoria interpolării 35 1 Sisteme Cebîşev 35 Interpolare Lagrange 4 3 Interpolarea Lagrange-Hermite 44 4 Diferenţe divizate 48 5 Algoritm pentru calculul diferenţei divizate 59 6 Polinomul de interpolare Lagrange-Hermite în C 61 3 Convergenţa procedeelor de interpolare prin polinoame 73 31 Spaţii liniar ordonate 73 3 Interpolare şi aproximare 76 33 Divergenţa interpolării Lagrange 77 331 Staţiu topologic Baire 77 33 Principiul condensării singularităţilor 80 333 Norma operatorilor integrali 8 334 Norma operatorului Fourier 83 335 Divergenţa polinoamelor de interpolare Lagrange 85 3

4 CUPRINS 4 Formule de derivare numerică 93 41 Aproximarea derivatei prin diferenţe 93 411 Extrapolarea Richardson 94 4 Aproximarea derivatei prin interpolare 97 5 Formule de integrare numerică 99 51 Natura aproximării 100 5 Formule de tip Newton - Côtes 10 53 Evaluarea restului 104 54 Formula trapezului 110 55 Formula lui Simpson 11 56 Integrale de tip Cauchy 113 57 Polinoame ortogonale 115 58 Formule de tip Gauss 10 59 Formula dreptunghiului (n = 1) 15 510 Cazuri speciale 16 5101 Formula de integrare numerică Lobatto 16 510 Formula de integrare numerică Radau 18 5103 Formula de cvadratură Gauss-Kronrod 19 511 Formula Euler-MacLaurin 130 5111 Polinoamele şi numerele lui Bernoulli 130 511 Formula Euler-MacLaurin 135 5113 Formule de integrare Euler-MacLaurin 137 6 Metoda celor mai mici pătrate 147 61 Determinarea unei funcţii de aproximare 147 6 Polinom trigonometric de aproximare 153 7 Transformarea Fourier discretă 157 71 Transformata Fourier discretă 157 7 Algoritmul transformării Fourier discretă rapidă 161 73 Aplicaţii ale transformatei Fourier discretă 16 731 Calculul coeficienţilor Fourier 16 73 Calculul coeficienţilor Laurent 164 733 Determinarea funcţiei analitice cunoscând partea reală 164 734 Calculul integralei Cauchy 166 74 Transformarea cosinus discretă 167

CUPRINS 5 8 Polinoame trigonometrice 173 81 Interpolare trigonometrică pe noduri oarecare 174 8 Interpolare trigonometrică pe noduri echidistante 180 83 Convergenţa polinoamelor de interpolare trigonometrică 184 9 Funcţii spline polinomiale 193 91 Interpolare cu funcţii spline cubice 193 9 Funcţia spline polinomială 0 91 Funcţia spline polinomială naturală 03 9 Interpolare cu funcţii spline polinomiale 05 93 Funcţii B-spline 07 931 Funcţii B-spline pe noduri echidistante 10 10 Interpolare cu sinus cardinal 13 101 Interpolare pe noduri echidistante în [0, π] 13 10 Interpolare pe noduri echidistante în R 17 11 Rezolvarea problemelor Cauchy 1 111 Metode de discretizare 11 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta 8 113 Scheme de calcul de tip Adams 40 114 Schema diferenţelor regresive 44 115 Schema de calcul predictor - corector 45 116 A-stabilitatea schemelor de calcul 48 1 Rezolvarea problemelor bilocale 55 11 Metoda tirului 55 13 Metode de homotopie 59 131 Rezolvarea unui sistem algebric de ecuaţii neliniare 59 II ALGEBRA LINIARĂ NUMERICĂ 61 14 Elemente de analiză matriceală 63 141 Definiţii, notaţii, proprietăţi 63 15 Rezolvarea sistem algebrice liniare 77 151 Numărul de condiţionare al unei matrice 78 15 Metoda Gauss - Jordan 80

6 CUPRINS 153 Inversarea unei matrice 84 154 Factorizarea LU 85 155 Cazul matricelor simetrice - Factorizarea Cholesky 94 156 Rezolvarea sistemelor tridiagonale 95 157 Metode iterative 97 158 Soluţie în sensul celor mai mici pătrate 306 16 Transformarea Householder 313 161 Transformata Householder 313 16 Descompunerea QR 315 163 Cea mai bună aproximaţie 319 164 Metoda celor mai mici pătrate 34 165 Bidiagonalizarea unei matrice 36 166 Reprezentare similară de tip Hessenberg a unei matrice 38 17 Valori şi vectori proprii 331 171 Forma normală Schur 331 17 Diagonalizarea unei matrice 336 173 Raza spectrală a unei matrice 338 174 Metode numerice 343 1741 Metoda puterii 343 174 Algoritmul QR 344 18 Descompunerea valorii singulare 349 181 Descompunerea valorii singulare 349 18 Calculul DVS 353 183 Sistemelor algebrice liniare şi omogene prin DVS 355 184 Metoda celor mai mici pătrate prin DVS 356 19 Spaţii Krylov 359 191 Definiţia spaţiului Krylov 359 19 Descompunerea Arnoldi 359 193 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuaţii liniare 36 1931 Varianta Ritz-Galerkin 364 193 Varianta reziduului minimal 364 194 Calculul valorilor şi vectorilor propri 365 195 Calculul elementului de cea mai bună aproximaţie 365

CUPRINS 7 III REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE 367 0 Rezolvarea ecuaţiilor neliniare 369 01 Preliminarii de analiză funcţională 369 0 Metoda liniarizării 376 03 Metoda liniarizării modificată 380 04 Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare 38 05 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice 386 06 Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale 39 IV REZOLVARE PRIN OPTIMIZARE 401 1 Elemente din teoria optimizării 403 11 Funcţionale diferenţiabile 403 1 Funcţionale convexe 405 13 Proprietăţi ale problemei de optimizare 408 14 Metode de descreştere 410 15 Metoda gradientului 411 Rezolvarea ecuaţiilor prin optimizare 415 1 Rezolvarea unui sistem liniar prin cele mai mici pătrate 415 Rezolvarea unui sistem neliniar prin cele mai mici pătrate 416 3 Rezolvarea unei ecuaţii liniare prin metode de optimizare 417 4 Metoda gradientului conjugat 419 V ANEXE 47 A Noţiuni de teoria erorilor 49 A1 Eroare absolută şi eroare relativă 49 A Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă 430 A3 Aritmetica numerelor în virgulă mobilă 431 A4 Standardul IEEE 754 433 A5 Controlul erorii 434 B Implementarea metodelor iterative 439 C Identităţi trigonometrice 441 D Determinarea unor parametri numerici 443

8 CUPRINS E Îmbunătăţirea convergenţei 447 E1 Ordinul de convergenţă al unui şir 447 E Îmbunătăţirea convergenţei unui şir 448 E3 Transformarea lui Euler 448 F Determinarea ordinelor de convergenţă 451 G Polinoame ortogonale clasice 457 G1 Polinoame Legendre 457 G Polinoame Hermite 460 G3 Polinoamele lui Laguerre 463 G4 Polinoame Cebîşev 466 H Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 467 H1 Schema de calcul explicită de tip Runge Kutta în 4 trepte 468 H Schema de calcul implicită de tip Runge Kutta în trepte 473 I Reprezentarea mulţimii de A-stabilitate 477 J Produsul Kronecker 481 K Ecuaţia matriceală Sylvester 483 L Curbe Bézier 485 L1 Reprezentarea Bézier a unui polinom 485 L Curbe Bézier 490 Bibliografie 491

Partea I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9

Capitolul 1 Diferenţe finite 11 Diferenţe finite Diferenţele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea şi derivarea numerică, integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi cu derivate parţiale Funcţiile care intervin în acest capitol sunt funcţii reale de o variabilă reală Printr-o diferenţă finită de înţelege un operator de forma Γ h f(x) = Af(x + ah) Bf(x + bh) (11) unde A, B, a, b sunt constante reale Se observă caracterul liniar al operatorului Γ h (λf + µg) = λγ h f + µγ h g Diferenţele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ 0 hf = f Diferenţele finite uzuale sunt: diferenţa finită progresivă Γ n hf = Γ h (Γ n 1 h f), n > 1 h f(x) = f(x + h) f(x); diferenţa finită regresivă h f(x) = f(x) f(x h); 11

1 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE diferenţa finită centrată δ h f(x) = f(x + h ) f(x h ) În cele ce urmează vom studia doar diferenţele finite uzuale Formulele explicite de calcul ale unei diferenţe finite de ordin superior sunt Teorema 111 Au loc egalităţile: (i) (ii) (iii) (iv) n h f(x) = n k=0 n h f(x) = n k=0 f(x + nh) = n k=0 f(x nh) = n k=0 ( ) n ( 1) k n k f(x + kh); ( ) n ( 1) k k f(x kh); ( ) n k k h f(x); ( ) n ( 1) k k k h f(x) (1) Demonstraţie n hf(x) se exprimă ca o combinaţie liniară a valorilor lui f în x, x + h,, x + nh, adică are loc o formulă de forma n hf(x) = n A k f(x + kh) k=0 Pentru determinarea coeficienţilor (A k ) 0 k n, alegem f(x) = e x şi atunci e x (e h 1) n = n A k e x+kh k=0 Dezvoltând binomul din membrul stâng găsim n k=0 ( n k ) ( 1) n k e x+kh = n A k e x+kh ( ) n Identificând coeficienţii lui e x+kh găsim A k = ( 1) k n k, adică relaţia (i) În mod asemănător se pot justifica şi celelelte relaţii Stabilim o serie de proprietăţi ale diferenţei finită progresivă Rezultate asemănătoare se pot deduce şi pentru celelalte diferenţe finite k=0

11 DIFERENŢE FINITE 13 Teorema 11 (Teorema de medie) Dacă funcţia f este derivabilă de ordin n atunci există c (x, x + nh) astfel încât n hf(x) = h n f (n) (c) (13) Demonstraţie Prin induţie matematică după n, pentru n = 1, utilizând teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv h f(x) = f(x + h) f(x) = hf (c) x < c < x + h Presupunem relaţia (13) adevărată pentru diferenţele de ordin n 1 Dacă g(x) = n 1 n f(x) atunci h n 1 n h f(x) h n = h( n 1 h f(x)) = h n n 1 h f(x+h) n 1 h n 1 h f(x) h n 1 h = g(x + h) g(x) = = g ( c) = d h f(x) ] h h n 1 x= c unde x < c < x + h Deoarece operatorul de derivare comută cu operatorul de diferenţă finită, rezultă că n h f(x) h n Utilizând ipoteza inducţiei, = d [ n 1 h dx h n 1 f(x) dx [ n 1 ] x= c = n 1 h f (x) h n 1 x= c n h f(x) h n = n 1 h h n 1 f (x) x= c = (f ) (n 1) (c) = f (n) (c), unde x < c < c < c + (n 1)h < x + nh Observaţia 111 Presupunând că funcţia f are derivata de ordinul n continuă, pentru h 0, din (13) rezultă n h lim f(x) = f (n) (x) (14) h 0 h n Diferenţa finită progresivă de ordin superior pentru produsul a două funcţii generalizează formula lui Leibniz

14 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Teorema 113 (Formula lui Leibniz) Are loc formula: n hf(x)g(x) = n k=0 ( n k ) k hf(x) n k h g(x + kh) (15) Demonstraţia teoremei se face prin inducţie matematică după n Observaţia 11 Să presupunem că funcţiile f, g au derivata de ordinul n continuă Împărţind (15) la h n şi utilizând Observaţia 111, pentru h 0, obţinem (f(x)g(x)) (n) = n k=0 ( n k ) f (k) (x)g (n k) (x) (16) 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (h = 1) α p p u(n) + α p 1 p 1 u(n) + + α 1 u(n) + α 0 u(n) = f n+p n N unde necunoscută este funcţia u : N R, iar coeficienţii α 0,, α p sunt constante reale Explicitând diferenţele finite progresive în funcţie de valorile funcţiei (1) obţinem a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n = f n+p n N, (17) unde u n = u(n) Presupunem că a 0 a p 0 În cele ce urmează, numim (17) ecuaţie cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi, de ordin p şi se cere soluţia care verifică în plus condiţiile iniţiale u 0 = v 0 u 1 = v 1 u p 1 = v p 1 (18) Teorema 11 Există cel mult o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (17) care verifică condiţiile (18)

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 15 În prealabil studiem ecuaţia cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n = 0 n N, (19) Teorema 1 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi formează un spaţiu liniar 11 Sistem fundamental de soluţii Teoria ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi este asemănătoare cu cea a ecuaţiei diferenţiale liniară, omogenă şi cu coeficienţi constanţi Definiţia 11 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N sunt liniar independente dacă relaţiile λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N implică λ 1 = = λ p = 0 Teorema 13 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N, soluţii ale ecuaţiei (19) sunt liniar independene dacă şi numai dacă au loc relaţiile u 1 n u p n n = u 1 n+1 u p n+1 0, n N (110) u 1 n+p 1 u p n+p 1 Demonstraţie Presupunem prin absurd că există n N astfel încât n = 0 Atunci sistemul algebric de ecuaţii liniare şi omogene λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0 λ 1 u 1 n+1 + + λ p u p n+1 = 0 λ 1 u 1 n+p 1 + + λ p u p n+p 1 = 0 (111) în necunoscutele λ 1,, λ p, admite o soluţie nebanală notată la fel Înmulţind ecuaţiile sistemului, respectiv cu a 0 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute, rezultă λ 1 ( 1 p 1 a i u 1 a n+i) + λ p ( 1 p 1 a i u p n+i p a ) = 0 p i=0 i=0

16 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Deoarece potrivit ipotezei, şirurile (u j k ) k N, cu diferenţe (19), ultima egalitate devine j = 1,, p sunt soluţii ale ecuaţiei λ 1 u 1 n+p + + λ p u p n+p = 0 Observăm că această egalitate completează relaţiile sistemului (111) Reluând înmulţirea ultimelor p egalităţi, respectiv prin a 0 a p,, a p 1 a p şi adunarea lor deducem λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n Procedând asemănător, înmulţim ecuaţiile sistemului (111), respectiv cu a 1 a 0,, ap a 0 şi sumând egalităţile astfel obţinute, găsim sau λ 1 ( 1 a 0 Repetând, deducem p a i u 1 n+i 1) + λ p ( 1 a 0 i=1 p a i u p n+i 1 ) = 0, i=1 λ 1 u 1 n 1 + + λ p u p n 1 = 0 λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n În felul acesta contrazicem liniar independenţa şirurilor Reciproc, presupunem prin absurd că şirurile (u j k ) k N, j = 1,, p nu sunt liniar independente, existând constantele λ 1,, λ p, nu toate nule astfel încât λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N Pentru orice n N, sistemul (111) are o soluţie nebanală, deci n = 0, ceea ce nu se poate Definiţia 1 p şiruri soluţii ale ecuaţiei (19) şi liniar independente formează un sistem fundamental de soluţii Importanţa unui sistem fundamental este reliefată în Teorema 14 Dacă (u j k ) k N, j = 1,, p formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe (19) atunci pentru orice altă soluţie (u k ) k N a ei, există constantele c 1,, c p astfel încât u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 17 Demonstraţie Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare în necunoscutele c 1,, c p c 1 u 1 0 + + c p u p 0 = u 0 c 1 u 1 1 + + c p u p 1 = u 1 (11) c 1 u 1 p 1 + + c p u p p 1 = u p 1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (11) admite o soluţie unică notată tot c 1,, c p Înmulţind ecuaţiile sistemului (11) respectiv cu a 0 a p, a 1 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute deducem sau c 1 ( 1 p 1 a k u 1 a k) + + c p ( 1 p 1 a k u p k p a ) = 1 p 1 a k u k, p a p k=0 k=0 k=0 c 1 u 1 p + + c p u p p = u p (113) Repetând raţionamentul, din aproape în aproape obţinem u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii Căutăm soluţii ale ecuaţiei cu diferenţe omogene (19) sub forma unei progresii geometrice u k = x k, k N Rezultă că x trebuie să fie rădăcina polinomului caracteristic f(x) = a p x p + a p 1 x p 1 + + a 1 x + a 0 Notăm prin x 1,, x p rădăcinile acestui polinom Cazul rădăcinilor distincte două câte două Teorema 15 Dacă x 1,, x p sunt rădăcini distincte două câte două ale polinomului caracteristic atunci şirurile (x n 1) n N,, (x n p) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogemă (19) Demonstraţie Verificăm condiţia de liniar independenţă, dată în Teorema 13, a celor p şiruri x n 1 x n p n = x1 n+1 x n+1 p = x n+p 1 1 x n+p 1 p

18 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE = (x 1 x p ) n V (x 1,, x p ) = (x 1 x p ) n 1 j<i p Cazul rădăcinilor multiple Stabilim un rezultat ajutător (x i x j ) 0 Teorema 16 Dacă f(x) este polinomul caracteristic şi ϕ : N R este o funcţie oarecare atunci a p x n+p ϕ(n + p) + a p 1 x n+p 1 ϕ(n + p 1) + + a 0 x n ϕ(n) = = x n [f(x)ϕ(n) + 1 1! xf (x) ϕ(n) + 1 p! xp f (p) p ϕ(n)] Demonstraţie Utilizând relaţia (iii) de la (1) au loc egalităţile ϕ(n) = ϕ(n) ( ) ( ) 1 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + ϕ(n) 0 1 ( ) ( ) ( ϕ(n + ) = ϕ(n) + ϕ(n) + 0 1 ) ϕ(n) ϕ(n + p) = ( p 0 ) ( p ϕ(n) + 1 ) ( ) p ϕ(n) + ( p + p ϕ(n) + ) p ϕ(n) pe care le înmulţim respectiv cu a 0 x n, a 1 x n+1, a x n+,, a p x n+p şi le însumăm, obţinând p p a k x n+k ϕ(n + k) = x n b k (x) k ϕ(n), unde b k (x) = p j=k ( j k k=0 ) a j x j = xk k! p j=k k=0 j(j 1) (j k + 1)x j k = xk k! f (k) (x) În consecinţă, dacă x este o rădăcină a polinomului caracteristic, având ordinul de multiplicitate r atunci şirul (x n ϕ(n)) n N, cu ϕ(n) polinom de grad cel mult r 1, este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (19) Mai mult,

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 19 Teorema 17 Dacă x 1, x,, x k sunt rădăcinile polinomului caracteristic, având respectiv ordinele de multiplicitate r 1, r,, r k, (r 1 + r + + r k = p), atunci şirurile (x n 1) n N (nx n 1) n N (n r1 1 x n 1) n N (x n ) n N (nx n ) n N (n r 1 x n ) n N (x n k ) n N (nx n k ) n N (n rk 1 x n k ) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă (19) Demonstraţie Presupunem prin absurd că şirurile (x n i ) n N, (nx n i ) n N,, (n r i 1 x n i ) n N, 1 i k sunt liniar dependente Atunci există constantele C i,0, C i,1,, C i,ri 1, 1 i k nu toate nule, astfel încât sau k (C i,0 x n i + C i,1 nx n i + + C i,ri 1n ri 1 x n i ) = 0, n N, i=1 k x n i P i (n) = 0, n N, (114) i=1 unde P i (n) = C i,0 + C i,1 n + + C i,ri 1n ri 1 Potrivit presupunerii făcute, polinoamele P i (n), i = 1,, k nu sunt toate identic nule Putem presupune că toate polinoamele care apar în relaţia (114) sunt neidentic nule Împărţind (114) prin x n 1 rezută P 1 (n) + ( x x 1 ) np (n) + + ( xk x 1 ) npk (n) = 0, n N (115) Aplicând relaţiei (115) diferenţa 1 n deducem ( x ) np,1 ( xk ) npk,1 (n) + + (n) = 0, n N, x 1 x 1 unde polinoamele P i,1 i =,, k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelor P i i =,, k 1 Pentru a 1 şi ϕ polinom are loc a n ϕ(n) = a n (aϕ(n + 1) ϕ(n)) unde aϕ(n + 1) ϕ(n) este un polinom de acelaşi grad cu ϕ

0 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Repetând raţionamentul de mai sus de k 1 ori deducem egalitatea ( xk x k 1 ) npk,k 1 (n) = 0 n N Pe de-o parte rezultă că polinomul P k,k 1 este identic nul, iar pe de altă parte este neidentic nul Contradicţia apărută justifică afirmaţia teoremei Exemplul 11 Şirul lui Fibonacci este definit prin ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 u n = 0, n N (116) Polinomul caracteristic este f(x) = x x 1 şi are rădăcinile 1± 5 Formula termenului general al şirului definit de (116) este u n = C 1 ( 1 + 5 ) n + C ( 1 5 ) n Dacă impunem condiţiile iniţiale u 0 = u 1 = 1 atunci coeficienţii C 1, C rezultă din sistemul u 0 = C 1 + C = 1 1 + 5 1 5 u 1 = C 1 + C = 1 5 5 Rezolvând sistemul de mai sus, se obţine C 1 = 1+ 5, C 5 = 1 Prin urmare [ u n = 1 ( 1 + 5 ) n+1 ( 1 ] 5 ) n+1 (117) 5 13 Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă Suntem în măsură să soluţionăm problema determinată de ecuaţia cu diferenţe neomogenă, liniară şi cu coeficoenţi constanţi (17) cu condiţiile iniţiale (18) Teorema 18 Dacă (u k n) n N, k = 0, 1,, p 1 formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă care satisfac condiţiile iniţiale u k n = δ k,n, k, n {0, 1,, p 1} atunci soluţia problemei (17)-(18) este Se presupune că p 1 u n = v i u i n + 1 n p f k+p u p 1 n k 1, n N (118) a p i=0 k=0 f k = 0 pentru k < p; u k n = 0 pentru n < 0, k = 0, 1,, p 1 (119)

13 METODA SERIILOR FORMALE 1 Demonstraţie Şirul (z n ) n N definit prin z n = p 1 i=0 v iu i n este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă care verifică condiţiile iniţiale (18) Verificăm că şirul (w n ) n N definit prin w n = 1 n p a p k=0 f k+pu p 1 n k 1 este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe neomogenă (17) care satisface condiţiile iniţiale omogene w n = 0, pentru n = 0, 1,, p 1 Dacă n {0, 1,, p 1} atunci pentru k = 1,,, n p au loc egalitatea f k+p = 0 şi în consecinţă w n = 1 a p f p u p 1 n 1 = 0, datorită condiţiilor iniţiale verificate de şirul (u p 1 n ) n Z Utilizând (119), au loc egalităţile Atunci = 1 a p p w n = 1 n p f k+p u p 1 n k 1 a = 1 p a p j=0 k=0 p a j w n+j = 1 a p j=0 a j n k=0 p j=0 a j k= f k+p u p 1 n+j k 1 = 1 a p k= f k+p u p 1 n k 1 f k+p u p 1 n+j k 1 = n k=0 f k+p p j=0 a j u p 1 n+j k 1 Pentru k = 0, 1,, n 1, deoarece şirul (un p 1 ) n Z este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă (19), au loc egalităţile p a j u p 1 n+j k 1 = 0 j=0 iar pentru k = n, din condiţiile iniţiale verificate de acelaşi şir, are loc p a j u p 1 j 1 = a p j=0 În consecinţă p j=0 a jw n+j = 1 a p f n+p a p = f n+p 13 Metoda seriilor formale Fie şirurile a = (a n ) n N, b = (b n ) n N şi seriile formale f a (x) = a n x n, f b (x) = b n x n n=0 n=0

CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Definiţia 131 Şirul c = (c n ) n N definit prin c n = n k=0 a kb n k se numeşte produsul de convoluţie ale şirurilor a şi b Se utilizează notaţia c = a b Dacă c = a b şi f c (x) = n=0 c nx n atunci f c (x) = f a (x)f b (x) Reluăm din nou ecuaţia cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi de ordin p (19) a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n = 0 n N Ataşăm ecuaţiei cu diferenţe polinomul caracteristic f(x) = a p x p + a p 1 x p 1 + + a 0, seria formală corespunzătoare şirului u = (u n ) n N, Φ(x) = n=0 u nx n Introducem polinomul g(x) = x p f( 1 x ) = a p + a p 1 x + + a 0 x p şi şirul α = (a p, a p 1,, a 0, 0, ) Astfel g(x) este seria formală ataşată şirului α Datorită relaţiilor (19), produsul de convoluţie α u are cel mult p termeni nenuli (α u) n = n α k u n k = a p u n + a p 1 u n 1 + + a 0 u n p = 0, n p k=0 În consecinţă produsul ψ(x) = g(x)φ(x) este polinom de grad cel mult p 1 Astfel Φ(x) = ψ(x) g(x) (10) Dacă f(x) = k j=1 (x x j) r j atunci g(x) = k j=1 (1 x jx) r j Se descompune ψ(x) în fracţii simple care se dezvoltă în serie tayloriană în jurul g(x) originii Soluţia ecuaţiei cu diferenţe se obţine identificând în (10) coeficienţii termenii lui x n, n N În exemplele următoare funcţia Φ se va deduce pe baza ecuaţiei cu diferenţe Exemplul 131 Şirul lui Fibonacci, se poate scrie cu condiţiile iniţiale u 0 = u 1 = 1 u n+ u n+1 u n = 0, n ; (11)

13 METODA SERIILOR FORMALE 3 sau Înmulţim (11) cu x n+ şi sumând se obţine a n+ x n+ x a n+1 x n+1 x de unde n=0 n=0 n=0 a n x n = 0, Φ(x) u 0 u 1 x x(φ(x) u 0 ) x Φ(x) = 0, Φ(x) = 1 1 x x Rădăcinile polinomului caracteristic f(x) = x x 1 sunt x 1 = 1+ 5, x = 1 5 şi 1 x x = (1 x 1 x)(1 x x) Descompunerea în fracţii simple a funcţiei Ψ(x) este Φ(x) = 1 ( x1 5 1 x 1 x x ) 1 x x şi în urma dezvoltării în serie se obţine ( Φ(x) = 1 5 Rezultă u n = 1 5 (x n+1 1 x n+1 ) Exemplul 13 Să se rezolve Procedând analog, se găseşte n=0 (x n+1 ) 1 x n+1 )x n u n+ u n+1 + u n = 0, n ; Φ(x) u 0 u 1 x x(φ(x) u 0 ) + Φ(x) = 0, de unde Φ(x) = u 0 + x(u 1 u 0 ) 1 x + x Descompunerea în fracţii simple este n=0 Φ(x) = u 0 u 1 1 x + u 1 u 0 (1 x) Dezvoltând în serie, rezultă Φ(x) = (u 0 u 1 ) x n + (u 1 u 0 ) (n + 1)x n = Prin urmare u n = u 0 + n(u 1 u 0 ) n=0 (u 0 + n(u 1 u 0 )) x n n=0

4 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE 14 Transformarea z Fie S mulţimea şirurilor de numere complexe x = (x n ) n Z Dacă x n = 0, n < 0 atunci şirul x se numeşte cu suport pozitiv Mulţimea acestor şiruri se notează cu S + { 0 n < 0 Exemplul 141 u = (u n ) n Z, cu u n = 1 n 0 Exemplul 14 δ k = (δ k,n ) n Z, cu δ k,n = { 0 n k 1 n = k Definiţia 141 Fie x, y S + astfel încât, pentru orice n Z, seria k Z x n ky k este convergentă Şirul z = (z n ) n Z definit prin z n = k Z x n k y k se numeşte produsul de convoluţie al şirurilor x şi y şi se notează cu z = x y Evident x y = y x Exemplul 143 Dacă x = (x n ) n Z, atunci şirul z = x δ k, z = (z n ) n Z este z n = x n s δ k,s = x n k n Z s Z Definiţia 14 Fie x = (x n ) n Z şi funcţia X(z) = x n n Z z n, definită în domeniul de convergenţă al seriei Laurent Operatorul ce ataşează şirului x funcţia X(z) se numeşte transformata z a şirului x L(x) = X Exemplul 144 Transformata z a şirului u este L(u)(z) = definită în coroana {z C : z > 1} Exemplul 145 L(δ k )(z) = 1 z k n=0 1 z n = z z 1,

14 TRANSFORMAREA Z 5 Exemplul 146 Dacă x = (x n ) n Z şi y = (y n ) n Z cu y n = x n k, n Z atunci L(y)(z) = n Z y n z = x n k n z n n Z = z k L(x)(z) Transformarea z se bucură de următoarele proprietăţi: Teorema 141 Operatorul L este liniar Teorema 14 Dacă x S atunci L(x δ k )(z) = 1 z k L(x)(z) Demonstraţie Şirul x δ k este (x n k ) n Z În consecinţă L(x δ k )(z) = n Z x n k z n = 1 z k n Z x n k z n k = 1 z k L(x)(z) Teorema 143 Are loc egalitatea L(x y) = L(x)L(y) x, y S Demonstraţie Dacă u = x y = ( k Z x n ky k ) n Z atunci L(u)(z) = n Z k Z x n ky k z n = k Z y k x n k = L(y)(z)L(x)(z) z k zn k n Z Teorema 144 Dacă x = (x n ) n Z şi X(z) = x n n Z z n este convergentă în coroana {z C : r < z < R} atunci are loc egalitatea x n = 1 z n 1 X(z)dz, (1) πi z =ρ unde discul delimitat de cercul z = ρ conţine toate singularităţile funcţiei X(z) Demonstraţie Calculăm integrala din (1) z n 1 X(z)dz = x k z n 1 k dz = πix n z =ρ k Z z =ρ

6 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE O aplicaţie a transformării z este rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe liniare şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (17) şi extindem mulţimea indicilor la Z, definind u n = 0, n < 0 şi f n+p = a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n, n < 0 Atunci ecuţia cu diferenţe (17) se poate scrie sau a p u n + a p 1 u n 1 + + a 1 u n p+1 + a 0 u n p = f n, n Z, a p (u δ 0 ) n + a p 1 (u δ 1 ) n + + a 1 (u δ p 1 ) n + a 0 (u δ p ) n = f n (13) Notăm u = (u n ) n Z, U(z) = L(u)(z), f = (f n ) n Z şi F (z) = L(f)(z) În urma aplicării transformării z asupra ecuaţiei (13) şi utilizând Teorema 14 obţinem ecuaţia U(z)(a p + a p 1 z Explicitând funcţia necunoscută, găsim U(z) = + + a 1 z p 1 + a 0 z p ) = F (z) z p F (z) a p z p + a p 1 z p 1 + + a 1 z + a 0 Potrivit formulei (1), termenii şirului u se calculează cu u n = 1 z n+p 1 F (z) dz πi z =ρ a p z p + a p 1 z p 1 + + a 1 z + a 0 Exemplul 147 Şirul lui Fibonacci, se poate scrie u n u n 1 u n = 0, n Extinzând mulţimea indicilor la Z, obţinem 0 n Z\{0, 1} u n u n 1 u n = u 1 u 0 n = 1 u 0 n = 0

14 TRANSFORMAREA Z 7 Ecuaţia transformatei z a şirului u = (u n ) n Z este de unde Dacă ρ > 1+ 5 atunci U(z)(1 1 z 1 z ) = u 0 + u 1 u 0, z U(z) = u 0z + (u 1 u 0 )z z z 1 u n = 1 πi z =ρ [u 0 z + (u 1 u 0 )z]z n 1 z z 1 Calculând integrala prin reziduuri obţinem [ u n = 1 u 0 ( 1 + 5 ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 + ] 5 ) n 5 [ 1 5 = ( 5 1)u 0 + u 1 5 u 0 ( 1 5 ( 1 + 5 Dacă u 0 = u 1 = 1 atunci se regăseşte (117) Probleme şi teme de seminar P 11 Să se calculeze ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 ] 5 ) n = ) n + ( 5 + 1)u 0 u 1 5 ( 1 5 ) n 1 n h 1 x n h 1 x 1 3 n h sin(ax + b) 4 n h cos(ax + b) 5 n h xex P 1 Să se arate că dacă F (x) = f(x) atunci n k=1 f(k) = F (n + 1) F (1)

8 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE P 13 Să se calculeze n k=1 1 k(k+1)(k+p) P 14 Să se demonstreze formula de însumare prin părţi n u(k) v(k) = u(n + 1)v(n + 1) u(1)v(1) k=1 P 15 Să se calculeze n k=1 kk Indicaţii n v(k + 1) u(k) 1 u(k) = k, v(k) = k u(k) = 1, v(k) = k şi se aplică rezultatul problemei anterioare Se derivează identitatea n k=1 kx = (n+1)x x x 1 şi se particularizează x = 1 3 Notând cu S suma căutată, au loc egaliăţile k=1 S = + + + n n n+1 = + + + n Înmulţind prima egalitate cu şi adunând rezultă ecuaţia în S S + n+1 = S + n n+1 4 Au loc egalităţile S = + + 3 + + n 1 + n + + + 3 + + n 1 + n + + 3 + + n 1 + n + + n 1 + n + + n = = ( n 1) + ( n 1 1) + 3 ( n 1) + + n 1 ( 1) + n ( 1) = = n n+1 ( + + + n ) =

14 TRANSFORMAREA Z 9 P 16 Să se arate că = ( ) 1 0 0 0 0 ( 0 ) ( ) 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 = 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 0 1 n ( ) 0 0 0 0 ( 0 ) ( ) 1 1 0 0 ( 0 ) ( 1 ) ( ) 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( n n n n ( 1) n ( 1) 0 n 1 ( 1) 1 n n ) şi Indicaţie Se scriu matriceal relaţiile s ( ) s x s = ((x 1) + 1) s = (x 1) i, s = 0, 1,, n, i (x 1) s = i=0 s ( s ( 1) s i i i=0 ) x i, s = 0, 1,, n P 17 Să se rezolve şi să se discute în funcţie de parametrul p ecuaţia cu diferenţe u n+ pu n+1 + u n = 0 P 18 Să se rezolve ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 6u n = n+ P 19 Să se rezolve sistemul x 1 x = 1 x i 1 +x i x i+1 = i i n 1 x n 1 +x n = n Indicaţie 1 Sistemul are soluţie unică Determinantul sistemului este 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 n = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

30 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE care dezvoltat după prima linie conduce la formula de recurenţă n = n 1 n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe este n = C 1 +C n Deoarece = 3, 3 = 4 se obţine n = n + 1 Se rezolvă ecuaţia cu diferenţe x k+1 x k + x k 1 = k, k N Determinăm sistemul fundamental al ecuaţiei cu diferenţe omogene corespunzătoare: (u 0 k ) k N, (u 1 k ) k N care satisface condiţiile iniţiale u 0 0 = 1 u 0 1 = 0 u 1 0 = 0 u 1 1 = 1 Se obţine u 0 k = 1 k u 1 k = k Utilizând formula (118) rezultă u k = v 0 (1 k) + v 1 k k3 k 6 3 Impunând condiţiile x 0 = 0 şi x n+1 = 0 găsim v 0 = 0, v 1 = n +n avem x k = k((n + 6 1) k ) 6 În final P 110 Să se rezolve sistemul a 1 a 0 +a 1 = 0 a i 1 +4a i +a i+1 = 6y i a n 1 a n +a n+1 = 0 i {0, 1, n}, unde (y i ) 0 i n sunt numere date Indicaţie 1 Din primele două ecuaţii { a 1 a 0 +a 1 = 0 a 1 +4a 0 +a 1 = 6y 0 rezultă a 0 = y 0 Asemănător, din ultimele două ecuaţii rezulta a n = y n Astfel sistemul se rescrie sub forma a 0 = y 0 a i+ +4a i+1 +a i = 6y i+1 0 i n a n = y n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe a i+ + 4a i+1 + a i = f i+ = 6y i+1 este i a i = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 i k 1, i (14) k=0

14 TRANSFORMAREA Z 31 (u 0 i ) i N, (u 1 i ) i N sunt soluţii ale ecuaţei cu diferenţe omogene care verifică condiţiile iniţiale u 0 0 = 1 u 1 0 = 0 u 0 1 = 0 u 1 1 = 1 Prin calcul direct rezultă u 0 i = (( ( 1)k 1 + 3) k 1 ( ) 3) k 1 3 u 1 i = u 0 i+1 Valoarea pentru a 1 din (14) se obţine din ecuaţia Se obţin n a n = y n = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 n k 1 a 1 = y 0u 0 n y n 6 n u 0 n+1 k=0 k=0 y k+1u 0 n k i a i = y 0 u 0 i a 1 u 0 n+1 6 y i+1 u 0 i k, i =,, n 1 k=0 P 111 Puterea factorială a lui x de ordin n cu pasul h este definită prin x [n,h] = x(x h) (x (n 1)h), x [0,h] = 1 Pentru h = 1 se utilizează notaţia x [n] = x(x 1) (x n + 1) Să se arate că 1 h x [n,h] = nhx [n 1,h] k h x[n,h] = A k nh k x [n k,h], k {0, 1,, n} P 11 Dacă P P n atunci are luc egalitatea, P (x) = n k=0 k h P (0) x [k,h] h k k!

3 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Indicaţie 1 = x [0,h], x [1,h],, x [n,h] sunt polinoame de grad respectiv 0, 1,, n În consecinţă are loc reprezentarea P (x) = n k=0 c kx [k,h] Calculăm n n j h P (x) = c k j h x[k,h] = c k A j k hj x [k j,h] k=j Pentru x = 0 se obţine j h P (0) = c jj!h j P 113 Numerele lui Stirling de speţa întâi S n i şi de speţa a doua Si n sunt introduse prin n n x [n] = S nx i i, x n = S i nx [i] i=1 Să se demonstreze formulele de recurenţă S i n+1 = k=j i=1 S i 1 n n S i n, S0 n = δ n,0, S i n = i Si n 1 + Si 1 n 1, S0 n = δ n,0 ( Indicaţie 1 Si n = ) 1 i! x [n] (i) x=0 Derivând de i ori egalitatea x [n+1] = x [n] (x n) se obţine ( ) (x [n+1] (i) ( ) = x [n] (i) ( ) (x n) + i x [n] (i 1) Pentru x = 0 rezultă ( (x [n+1]) (i) x=0 = i ( x [n]) (i 1) x=0 n ( x [n]) (i) x=0 şi se împarte la i! Si n = 1 i! i x n x=0 Calculăm i pentru produsul x n = x n 1 x i x n = i i 1 x n 1 + i x n 1 (x + i) Pentru x = 0 rezultă i x n x=0 = i i 1 x n 1 x=0 + i i x n 1 x=0 şi se împarte la i! P 114 Să se arate că n 0 n 0 q(q 1) (q i+1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i Indicaţie i n i S j S k j!k!n j+k+1 i n i (j + k + 1)! j=0 k=0 n q(q 1) (q i + 1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i q [i] (n q) [n i] dq = i n i = ( 1) n i S j S k i n i j=0 k=0 n 0 0 q j (n q) k dq

14 TRANSFORMAREA Z 33 P 115 Să se arate că S 0 0 S 0 1 S 1 1 1 = S 0 0 S 0 1 S 1 1 S 0 n S 1 n Sn n S 0 n S 1 n Sn n

34 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE

Capitolul Elemente din teoria interpolării Fie X o mulţime şi funcţia f : X R cunoscută numai prin valorile ei într-un număr finit de puncte x 1, x,, x n din mulţimea X: y i = f(x i ), i {1,,, n} O mulţime F de funcţii reale definite în X este interpolatoare de ordin n dacă pentru orice sistem de n puncte distincte x 1, x,, x n din X şi oricare ar fi numerele reale y 1, y,, y n există în F o singură funcţie care în punctele x i ia respectiv valorile y i, pentru orice i {1,,, n} În acest cadru problema de interpolare are următorul enunţ: Dându-se mulţimea interpolatoare F de ordinul n în X şi perechile (x i, y i ) X R, i {1,,, n}, cu proprietatea că i j x i x j, să se determine aceea funcţie ϕ F care în punctele x i ia respectiv valorile y i : y i = ϕ(x i ), i {1,,, n} Funcţia de interpolare ϕ şi f au aceleaşi valori în punctele {x 1, x,, x n } Se consideră că ϕ este o aproximare a funcţiei f Din punct de vedere teoretic se ridică următoarele probleme: Precizarea unor mulţimi interpolatoare (problema existenţei funcţiei de interpolare); Determinarea funcţiei de interpolare; Evaluarea diferenţei dintre o funcţie şi funcţia de interpolare corespunzătoare 1 Sisteme Cebîşev Considerăm funcţiile reale definite în intervalul compact [a, b] f 1, f,, f n (1) 35

36 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă egalitatea n λ i f i (x) = 0, x [a, b] i=1 are loc numai pentru λ 1 = = λ n = 0 Teorema 11 Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă există un sistem de puncte a x 1 < x < x n b astfel încât determinantul ( ) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f1, f V,, f n = f 1 (x ) f (x ) f n (x ) x 1, x,, x n 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Demonstraţie Presupunem prin absurd, că sistemul de funcţii (1) este liniar independent ( şi că pentru orice sistem ) de puncte a x 1 < x < x n b are loc f1, f egalitatea V,, f n = 0 x 1, x,, x n Atunci max{rang(f i (x j )) 1 i,j n : a x 1 < x < < x n b} = m n 1 Există punctele a x 0 1 < x 0 < < x 0 n b astfel încât rang(f i (x 0 j)) 1 i,j n = m şi λ 1, λ,, λ n o soluţie nebanală a sistemului algebric de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 0 1) + λ f (x 0 1) + + λ n f n (x 0 1) = 0 λ 1 f 1 (x 0 ) + λ f (x 0 ) + + λ n f n (x 0 ) = 0 λ 1 f 1 (x 0 n) + λ f (x 0 n) + + λ n f n (x 0 n) = 0 Deoarece rangul matricei (f i (x 0 j)) 1 i,j n este m, între vectorii v i = (f 1 (x 0 i ), f (x 0 i ),, f n (x 0 i )), i = 1,,, n există m vectori liniari independenţi Putem presupune că aceştia sunt printre v 1,, v n 1 Atunci pentru orice x [a, b] are loc egalitatea n i=1 λ if i (x) = 0 Într-adevăr matricea f 1 (x 0 1) f (x 0 1) f n (x 0 1) f 1 (x 0 n 1) f (x 0 n 1) f n (x 0 n 1) f 1 (x) f (x) f n (x)

1 SISTEME CEBÎŞEV 37 are rangul cel mult egal cu m Dacă v = (f 1 (x), f (x),, f n (x)) atunci există constantele µ 1, µ,, µ n 1 astfel încât v = n 1 i=1 µ iv i sau pe componente n 1 f j (x) = µ i f j (x 0 i ), j = 1,,, n i=1 Înmulţind relaţiile de mai sus, respectiv cu λ 1,, λ m şi sumând obţinem n λ j f(x j ) = j=1 n n 1 n µ i f j (x 0 i ) = µ i λ j f(x 0 i ) = 0 λ j n 1 j=1 i=1 i=1 j=1 În acest fel se contrazice independenţa familiei de funcţii (1) Reciproc, să( presupunem că există) sistemul de puncte a x 1 < x < x n f1, f b astfel încât V,, f n 0 x 1, x,, x n Dacă familia de funcţii (1) nu ar fi liniar independentă atunci ar exista constantele λ 1,, λ n, nu toate nule astfel încât n i=1 λ if i (x) = 0, x [a, b] În particular, sistemul omogen λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite ( o soluţie nebanală, ) cea ce contrazice ipoteza f1, f făcută asupra determinantului V,, f n x 1, x,, x n Definiţia 11 Sistemul de funcţii (1) este un sistem Cebîşev dacă pentru orice sistem de puncte a x 1 < x < < x n b determinantul ( ) f1, f V,, f n x 1, x,, x n este diferit de zero Observaţia 11 Orice sistem Cebîşev este alcătuit din funcţii liniar independente Observaţia 1 În orice interval [a, b] funcţiile 1, x, x,, x n sistem Cebîşev formează un

38 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Fie F = span{f 1, f,, f n } spaţiul liniar generat de funcţiile (1) Teorema 1 (Condiţia lui Haar) Sistemul (1) formează un sistem Cebîşev dacă şi numai dacă orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] Demonstraţie Să presupunem că familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev şi că există o funcţie f F \ {0} care se anulează cel puţin în n puncte a x 1 < x < < x n b adică n f(x j ) = c i f i (x j ) = 0, j {1,,, n} () i=1 În acest caz relaţiile () privite ca un sistem algebric de ecuaţii ( liniare şi omogene) f1, f în necunoscutele c 1,, c n admit o soluţie nebanală, deci V,, f n = x 1, x,, x n 0, ceea ce contrazice definiţia unui sistem Cebîşev Reciproc, presupunem că orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] şi prin ( absurd, că există sistemul ) de puncte a x 1 < x < f1, f < x n b astfel încât V,, f n = 0 Atunci sistemul algebric x 1, x,, x n de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite o soluţie nebanală Cu această soluţie nebanală definim f = n i=1 λ if i f aparţine mulţimii F \ {0} şi se anulează în punctele x 1,, x n Acest fapt contrazice ipoteza făcută, deci familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev Teorema 13 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci F formează o familie interpolatoare de ordin n în [a, b] Demonstraţie Fie a x 1 < x < < x n b şi numerele reale y 1, y,, y n Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare c 1 f 1 (x 1 ) + c f (x 1 ) + + c n f n (x 1 ) = y 1 c 1 f 1 (x ) + c f (x ) + + c n f n (x ) = y (3) c 1 f 1 (x n ) + c f (x n ) + + c n f n (x n ) = y n

1 SISTEME CEBÎŞEV 39 ( ) f1, f în necunoscutele c 1, c,, c n Determinantul sistemului V,, f n x 1, x,, x n este diferit de 0, deci (3) admite o soluţie unică c 1, c,, c n Funcţia f = n i=1 c if i satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i, i {1,,, n} Observaţia 13 Condiţia ca o familie de funcţii (1) să formeze un sistem Cebîşev este echivalentă cu condiţia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpolatoare de ordin n pentru spaţiul liniar F Pentru funcţia f F care satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i i {1,,, n} (4) folosim notaţia L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n ) Dacă y 1,, y n sunt valorile unei funcţii ϕ, respectiv în punctele x 1,, x n, atunci notaţia folose L(F; x 1,, x n ; ϕ) Teorema 14 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci soluţia problemei de interpolare (4) este sau L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = n i=1 y i 1 ( ) (5) f1, f V,, f n x 1, x,, x n f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 1 L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = ( ) (6) f1, f V,, f n x 1, x,, x n n f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f i (x) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) i=1

40 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Demonstraţie Potrivit teoremei (13) problema de interpolare (4) are o soluţie L(x) = L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) care verifică egalitatea L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (7) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Într-adevăr, determinantul dezvoltat după prima linie este o funcţie din F Acestă funcţie se anulează în x 1,, x n şi atunci, potrivit teoremei (1), determinantul este nul pentru orice x [a, b] Descompunem (7) într-o sumă de doi determinanţi + L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) 0 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 0 f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) + (8) = 0 Dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima coloană obţinem ( ) f1, f L(x)V,, f n + x 1, x,, x n f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) n + ( 1) i y i f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) = 0 i=1 f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) de unde se obţine imediat (5) Relaţia (6) se obţine analog, dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima linie ( ) f1, f Teorema 15 Dacă V, f n 0 şi y x 1, x, x 1, y,, y n R atunci n există o singură funcţie L F astfel încât L(x i ) = y i, i {1,,, n}

1 SISTEME CEBÎŞEV 41 Demonstraţie Reprezentarea L = n i=1 c if i şi condiţiile de interpolare conduc la sistemul algebric de ecuaţii liniare n c i f i (x j ) = y j, j {1,,, n}, (9) i=1 ( ) f1, f a cărui determinant V, f n este diferit de zero x 1, x, x n ( ) f1, f Teorema 16 Dacă V, f n 0, y x 1, x, x 1, y,, y n R iar L F n este funcţia de interpolare pentru care L(x i ) = y i, i {1,,, n} atunci L(x) f 1 (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (10) y n f 1 (x n ) f n ( n ) Demonstraţie Din (9) se obţine f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) c i = ( ) f1, f V, f n x 1, x, x n care dezvoltat după coloana i conduce la c i = V 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n n ( 1) i+j y j V j=1 ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) Prin urmare L(x) = V n n f i (x) ( 1) i+j y j V i=1 j=1 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) =

4 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII = V 1 ( f1, f, f n x 1, x, x n egalitate echivalentă cu (10) ) n j=1 y j f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x j 1 ) f n (x j 1 ) f 1 (x) f n (x) f 1 (x j+1 ) f n (x j+1 ) f 1 (x n ) f n (x n ) Cazul funcţiilor continue şi periodice Fie T > 0 şi C T (R) mulţimea funcţiilor continue şi periodice cu perioada T Definiţia 1 O familie de funcţii f 1,, f n C T (R) generează un spaţiu Haar periodic dacă pentru orice x R familia formează un sistem Cebîşev în intervalul [x, x + T ] Teorema 17 Dacă f 1,, f n atunci n este impar C T (R) generează un spaţiu Haar periodic Demonstraţie Fie 0 < x 1 < < x n < T Potrivit teoremei 13 există o funcţie f span{f 1,, f n } astfel încât f(x i ) = ( 1) i, i {1,, n} În consecinţă funcţia f admite câte un zero în fiecare din intervalele (x 1, x ), (x, x 3 ),, (x n 1, x n ) Dacă y (0, x 1 ) atunci f(y) < 0 Altfel, f ar mai avea un zero în intervalul (y, x 1 ), ceea ce ar contrazice condiţia lui Haar, 1 Presupunem prin absurd că n este număr par În intervalul [x 1, x 1 +T ] familia f 1,, f n formează un sistem Cebîşev Dar f(x n )f(y + T ) = f(y) < 0, adică f va avea încă un zero în intervalul (x n, y + T ) (x n, x 1 + T ), cea ce contrazice din nou proprietatea lui Haar Interpolare Lagrange Particularizăm rezultatele secţiunii anterioare pentru sistemul Cebîşev alcătuit din funcţiile 1, x, x,, x n În acest caz F coincide cu mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, P n Mulţimea P n este interpolatoare de ordinul n + 1 pe orice mulţime de puncte care conţine cel puţin n + 1 puncte distincte Problema

INTERPOLARE LAGRANGE 43 de interpolare corespunzătoare se numeşte problema de interpolare Lagrange, iar soluţia ei polinomul de interpolare Lagrange Teorema 1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este i=1 L(P n ; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = (11) n+1 (x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) = y i (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) Demonstraţie Determinantul V ) revine la determinantul lui Vandermonde V (x 1, x,, x n ) = Utilizând (5) găsim ( 1, x,, x n x 1, x,, x n 1 x 1 x n 1 1 x x n 1 x n+1 x n n+1 = 1 j<i n+1 (x i x j ) 1 x 1 x n 1 1 x i 1 x n i 1 1 x x n 1 x i+1 x n i+1 1 x n+1 x n n+1 ( ) = V (x 1,, x i 1, x, x i+1,, x n+1 = 1, x,, x n V (x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n+1 V x 1, x,, x n = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) i = 1,,, n + 1 Polinoamele l i (x) = (x x 1)(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n+1 ) (x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n+1 ), i {1,,, n + 1} se numesc polinoamele fundamentale Lagrange şi verifică relaţiile l i (x j ) = δ i,j, i, j {1,,, n + 1}

44 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII 3 Interpolarea Lagrange-Hermite Date fiind nodurile de interpolare x 1 < x < < x n+1, numerele naturale r 1, r,, r n+1 şi numerele reale f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1}, ne propunem să determinăm un polinom H(x) care să satisfacă condiţiile: H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} (1) Vom arăta că în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, cu n+1 m + 1 = (r i + 1) (13) i=1 există un singur polinom ce satisface condiţiile de interpolare (1), îi vom determina forma şi vom evalua restul f(x) H(x), în ipoteza în care datele de interpolare corespund funcţiei f Teorema 31 Dacă X şi Y sunt spaţii m dimensionale iar A (X, Y ) # este un operator liniar şi injectiv atunci A este bijectiv Demonstraţia 1 Fie e 1, e,, e m o bază în X Atunci Ae 1, Ae,, Ae m este o bază în Y Într-adevăr, dacă m i=1 λ iae i = 0, atunci datorită liniarităţii A( m i=1 λ ie i ) = 0 şi a injectivităţii m i=1 λ ie i = 0, deci λ 1 = λ = = λ m = 0 Dacă y Y, atunci există constantele c 1, c,, c m astfel încât y = m m c i Ae i = A( c i e i ), i=1 i=1 adică surjectivitatea operatorului A Demonstraţia Putem identifica A printr-o matrice din M n (R) Deoarece operatorul A este injectiv Ker(A) = {0} Din 14130 rezultă că dim(im(a)) = n adică operatorul A este surjectiv Teorema 3 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are soluţie unică în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, (13)

3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 45 Demonstraţie Definim operatorul A : P m R m+1 prin A(p) = (p(x 1 ), p (x 1 ),, p (r 1) (x 1 ),, p(x n+1 ), p (x n+1 ),, p (r n+1) (x n+1 )) (14) A este liniar şi injectiv Într-adevăr, dacă A(p) = 0, cu p P m atunci polinomul u(x) = n+1 i=1 (x x i) r i+1 divide polinomul p Deoarece n+1 grad(u) = (r i + 1) = m + 1 > grad(p), i=1 rezultă că p = 0 Din (31), rezultă că operatorul A este bijectiv, deci există un singur polinom H P m astfel încât sau A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 )) H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} Introducem notaţiile: u(x) = u i (x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 (15) u(x) (x x i ) r i+1 (16) Teorema 33 Expresia polinomului de interpolare Lagrange Hermite, soluţia problemei de interpolare Lagrange Hermite este n+1 r i H(x) = f (j) (x i )h i,j (x), (17) i=1 j=0 unde h i,j (x) = u i (x) (x x i) j j! r i j k=0 ( 1 ) (k) u i (x) (x x i )k x=x i k!

46 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Demonstraţie Fie (e i,j ) 1 i n+1, 0 j ri baza canonică în R m+1 Pentru fiecare i {1,,, n + 1}, j {0, 1,, r i } există polinomul h i,j P m astfel încât A(h i,j ) = e i,j, unde A este operatorul definit în (14) Atunci A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 )) = n+1 r i n+1 r i f (j) (x i )e i,j = f (j) (x i )A(h i,j ) = i=1 j=0 n+1 = A( i=1 i=1 r i j=0 j=0 f (j) (x i )h i,j ) Injectivitatea operatorului A implică (17) Din definiţia polinomului h i,j, rezultă că h i,j se divide prin u i (x)(x x i ) j Prin urmare h i,j (x) = u i (x)(x x i ) j g i,j (x), (18) unde g i,j este un polinom a cărui grad este gradg i,j = gradh i,j gradu i j = m ((m + 1) (r i + 1)) j = r i j Polinomul g i,j se poate scrie Din (18) găsim r i j g i,j (x) = k=0 i,j (x i) (x x i) k k! g (k) (x x i ) j 1 g i,j (x) = h i,j (x) u i (x) şi derivând de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obţinem j+k ( j + k s s=0 ) j+k ((x x i ) j ) (s) g (j+k s) i,j (x) = s=0 ( j + k s ) ( ) (s) h (j+k s) 1 i,j (x) u i (x) Pentru x = x i singurul termen diferit de 0 în membrul stâng se obţine pentru s = j iar în membrul drept, datorită definiţiei lui h i,j, singurul termen diferit de 0 se obţine pentru s = k Rezultă ( ) (k) j!g (k) i,j (x i) = h (j) 1 i,j u i (x) x=x i

3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 47 de unde g (k) i,j (x i) = 1 ( ) (k) 1, j! u i (x) x=x i k {0, 1,, r i j} Teorema 34 Dacă f este o funcţie de m + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) H(x) = u(x) f (m+1) (ξ) (m + 1)! (19) Demonstraţie Funcţia F : R R definită prin F (z) = u(z) f(z) H(z) u(x) f(x) H(x) admite zerourile x, x 1,, x n+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r 1 + 1,, r n+1 + 1 Spunem că F se anulează în 1 + n+1 i=1 (r i + 1) = m + puncte Din teorema lui Rolle rezultă că există ξ I astfel încât F (m+1) (ξ) = 0 Dar F (m+1) (ξ) = (m + 1)!(f(x) H(x)) f (m+1) (ξ)u(x) = 0, de unde se deduce (19) Cazuri particulare importante 1 Polinomul Taylor Fie n = 0 şi notăm x 1 = a, r 1 = r polinomul de interpolare H(x) satisface condiţiile În acest caz şi are expresia H (j) (a) = f (j) (a) j {0, 1,, r} H(x) = r f (j) (x a)j (a), j! j=0 ceea ce corespunde polinomului lui Taylor ataşat funcţiei f în punctul a, de grad r Polinomul lui Lagrange Dacă r i = 0, i = 1,,, n + 1 atunci regăsim polinomul de interpolare Lagrange n+1 H(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = i=1

48 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII n+1 = f(x i ) (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = i=1 = L(P n, x 1,, x n+1, f)(x) 3 Polinomul lui Fejér Fie r i = 1, i = 1,,, n + 1 Introducând notaţiile w(x) = n+1 i=1 (x x i) w ( x) = w(x) l i (x) = w i(x) w i (x i ) = x x i i {1,,, n + 1} w(x) (x x i )w (x i i {1,,, n + 1} ) găsim u(x) = w (x) şi u i (x) = wi (x), i {1,,, n + 1} Atunci ( ) 1 h i,0 (x) = wi (x) wi (x i) + (x x 1 i)( wi (x)) x=x i = ( ) 1 = wi (x) wi (x i) (x x i) w i(x i ) wi 3(x = i) ( ) ( ) = w i (x) wi (x 1 (x x i ) w (x i ) = l i) w i (x) 1 (x x i ) w (x i ), (x i ) w (x i ) şi h i,1 (x) = wi 1 (x)(x x i ) wi (x i) = l i (x)(x x i ) Expresia polinomului de interpolare devine i=1 n+1 n+1 H(x) = f(x i )h i,0 (x) + f (x i )h i,1 (x) = (0) i=1 i=1 n+1 ( ) = f(x i )li (x) 1 (x x i ) w (x i ) w (x i ) n+1 + f (x i )li (x)(x x i ) Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fejér 4 Polinomul de interpolarea Lagrange şi diferenţa divizată Scopul acestei secţiuni este reliefarea unor formule legate de polinomul de interpolare Lagrange Utilizăm notaţiile u(x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 i=1

4 DIFERENŢE DIVIZATE 49 u i (x) = u(x) (x x i ) r i+1 l i (x) = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = Din (1) avem = u i(x) u i (x i ) = u(x) (x x i )u (x i ) n+1 L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = (1) i=1 n+1 n+1 1 = u(x) f(x i ) (x x i )u (x i ) = f(x i )l i (x) i=1 Din teorema (34) deducem Teorema 41 Dacă f este o funcţie de n + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) = L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) + u(x) f n+1 (ξ) (n + 1)! () În particular, pentru f = 1 rezultă n+1 1 1 = L(P n ; x 1,, x n+1 )(x) = u(x) (x x i )u (x i ) (3) Împărţind (1) la (3) deducem formula baricentrică a polinomului de interpolare Lagrange L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = i=1 i=1 n+1 f(x 1 ) i=1 (x x i )u (x i ) n+1 1 i=1 (x x i )u (x i ) (4) O metoda utilă de calcul se bazează pe formula de recurenţă a polinoamelor de interpolare Lagrange Teorema 4 Are loc formula L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (5) (x x n+1 )L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) (x x 1 )L(P n 1 ; x,, x n+1 ; f)(x) x 1 x n+1