Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017
Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al lui b. Proprietăţi: a b, b c a c a b, b a a = ±b... Definiţie Un număr p Z \ { 1, 0, 1} se numeşte ireductibil dacă singurii săi divizori sunt ±1, ±p. Definiţie Un număr p Z \ { 1, 0, 1} se numeşte prim dacă p ab p a sau p b.
Divizibilitate în Z Teorema fundamentală a aritmeticii Orice număr p Z \ { 1, 0, 1} se scrie în mod unic, pâna la semn şi ordinea factorilor, ca un produs finit de numere ireductibile. Teoremă Orice număr p Z \ { 1, 0, 1} este ireductibil dacă şi numai dacă este prim.
Numere prime Teorema lui Euclid Există o infinitate de numere prime. Fie π : N N π(n) = #{p N p n ; p prim} Teorema numerelor prime π(n) lim n n = 1. ln n Formulare probabilistică : Fie n >> 0 şi p {1, 2,..., n} un număr natural ales aleatoriu. Probabilitatea ca acesta să fie prim este aproximativ 1/ ln n.
Cel mai mare divizor comun Definiţie Fie a, b Z. Spunem că d N este cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b, d = (a, b), dacă: 1 d a, d b; 2 d a, d b d d. Definiţie Numerele a, b Z se numesc prime între ele dacă (a, b) = 1. Teoremă Fie a, b Z. Atunci există cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b, d = (a, b). In plus, există u, v Z astfel încât d = ua + vb.
Algoritmul lui Euclid Presupunem b a. r 0 := b!q 1, r 1 Z, a = b q 1 + r 1, 0 r 1 < r 0 r 1 0 :!q 2, r 2 Z, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 2 0 :!q 3, r 3 Z, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2... r n 1 0 :!q n, r n Z, r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1 r n 0 :!q n+1, r n+1 Z, r n 1 = r n q n+1 + r n+1, 0 r n+1 < r n Lemă Există n N astfel încât r n 0 şi r n+1 = 0. Atunci algoritmul se opreşte după n + 1 paşi şi r n = (a, b).
Algoritmul lui Euclid Propoziţie Cu notaţiile de mai sus, r k+2 < r k 2 pentru orice k {0, 1,..., n 1}. Corolar Fie a, b Z, b a. Fie k = [log 2 b] + 1 numărul biţilor necesari pentru scrierea lui b în baza 2. Atunci algoritmul lui Euclid se opreşte după cel mult 2k împărţiri. Corolar Fie a, b Z. Atunci algoritmul lui Euclid furnizează cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b în timp polinomial (în raport cu lungimea totală k a numerelor a şi b): O(k 3 ).
Cel mai mare divizor comun Alte metode de determinare a celui mai mare divizor comun: folosind descompunerile în factori ireductibili: produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică; timp exponenţial metoda diferenţelor: timp polinomial (O(k 2 )). (a, b) = (a, a b); Avantajul utilizării Algoritmului lui Euclid: furnizează, fără consum suplimentar de timp şi resurse, perechea (u, v) Z 2 cu proprietatea d = (a, b) = ua + vb.
Funcţia indicatoare a lui Euler Definiţie Funcţia ϕ : N N, ϕ(n) = card{p N p < n, (p, n) = 1} se numeşte funcţia indicatoare a lui Euler.
Funcţia indicatoare a lui Euler Proprietăţi Dacă m, n N,(m, n) = 1 atunci ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n); Dacă m 1, m 2,..., m n N,(m i, m j ) = 1 oricare ar fi i j atunci ϕ(m 1... m n ) = ϕ(m 1 )... ϕ(m n ) Dacă p este un număr prim, atunci ϕ(p) = p 1; Dacă p este un număr prim, atunci ϕ(p α ) = p α (1 1/p); Dacă p q sunt numere prime, atunci ϕ(pq) = (p 1)(q 1); Dacă n N şi n = p α 1 1... pαr r este descompunerea sa în factori ireductibili, atunci ) ) ϕ(n) = n (1 1p1... (1 1pr.
Congruenţe Fie n N. Spunem că a, b Z sunt congruente modulo n, a b (mod n), dacă n (a b). Propoziţie Relaţia de mai sus este o relaţie de equivalenţă. Exemple n = 0: a b (mod 0) a = b. n = 1: a b (mod 1), oricare ar fi a, b Z.
Inelul claselor de resturi modulo n Fie n N, n 2. Mulţimea claselor de echivalenţă în raport cu relaţia de mai sus are o structură naturală de inel comutativ, cu unitate, notat Z n. Proprietăţi Fiecare element din Z n are un unic reprezentant a în mulţimea {0, 1, 2,..., n 1}. Clasa de echivalenţă corespunzătoare: â. Elementul â Z n este divizor al lui 0 dacă şi numai dacă (a, n) > 1. Elementul â Z n este inversabil dacă şi numai dacă (a, n) = 1. Inelul Z n este un corp dacă şi numai dacă n este număr prim.
Inelul claselor de resturi modulo n Proprietăţi Fie Z n mulţimea elementelor inversabile din inelul Z n. Atunci card Z n = ϕ(n). Fie n un număr prim. Atunci grupul multiplicativ (Z n, ) are cel puţin un generator. Numărul generatorilor acestui grup este ϕ(n 1). Fie â Z n Atunci şi (u, v) Z 2 cu proprietatea 1 = ua + vn. â 1 = û. Inversul elementului â Z n este determinat folosind Algoritmul lui Euclid, în timp polinomial!
Câteva rezultate importante Propoziţie Numărul natural n este prim dacă şi numai dacă ecuaţia x 2 = a are cel mult două soluţii, oricare ar fi a Z n. Teorema lui Wilson Numărul natural n 2 este prim dacă şi numai dacă Teorema lui Euler (n 1)! + 1 0 (mod p). Fie n N \ {0, 1} şi a Z astfel încât (a, n) = 1. Atunci Teorema lui Fermat a ϕ(n) 1 (mod n). Fie p N un număr prim şi a Z astfel încât p a. Atunci a p 1 1 (mod p).
Câteva rezultate importante Lema chineză a resturilor Fie m 1,... m k N astfel încât (m i, m j ) = 1, i j, şi a 1,... a k Z. Atunci sistemul de congruenţe x a i (mod m i ), i {1,..., k} are soluţie unică în Z M, unde M = m 1... m k. Teorema Congruenţa ax b (mod n) are soluţii dacă şi numai dacă (a, n) b. In acest caz ecuaţia are exact d = (a, n) soluţii în Z n.
Simbolul Legendre Fie p 3 un numar prim. Ne interesează care dintre elementele b Z p este un pătrat perfect în Z p. In acest caz b se numeşte rest pătratic. Să observăm că, dacă g este un generator al lui Z p, atunci există un unic j {1, 2,... p 1} astfel încât b = g j. Elementul b este un rest pătratic dacă şi numai dacă j este par, caz în care ecuaţia x 2 = b are soluţiile ±g j/2. Pentru orice b Z, notăm: ( ) b p = 0 dacă p b 1 dacă (b mod p) este pătrat perfect 1 in rest Teoremă Daca p este un număr prim, atunci, oricare ar fi b Z, ( ) b b p 1 2 (mod n). p
Legea reciprocităţii pătratice Legea reciprocităţii pătratice Fie p, q 3 două numere prime impare. Atunci ( ) ( ) ( ) q p p = ( 1) (p 1)(q 1)/4 q dacă p q 3 (mod 4) = ( ) p q p q în celelalte cazuri Legea reciprocităţii pătratice este folosită pentru construcţia unor algoritmi eficienţi care decid dacă un element b este un rest pătratic sau nu.
Simbolul Jacobi Fie n un număr natural cu descompunerea în factori ireductibili n = p a 1 1... par r şi b N. Notăm: ( ) ( ) b b a1 ( ) b ar =... n p 1 p r Teoremă Oricare ar fi m şi n două numere naturale impare, ( m ) ( = ( 1) (m 1)(n 1)/4 n ). n m