Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a şi f : D! R. Spunem c¼a f este diferenţiabil¼a de ordinul n în x 2 D dac¼a f este derivabil¼a parţial de ordinul (n ) pe o vecin¼atate V D a lui x; iar derivatele parţiale de ordinul (n ) sunt diferenţiabile în x: Vom spune c¼a f este diferenţiabil¼a de ordinul n pe D dac¼a f este diferenţiabil¼a de ordinul n în orice x 2 D: Reamintim c¼a, pentru o funcţie diferenţiabil¼a într-un punct x; avem formula df = dx + ::: + k dx k : Va atunci natural s¼a consider¼am urm¼atoarea de niţie a diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0..2 Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a şi f : D! R o funcţie diferenţiabil¼a de ordin n în x 2 D: Numim diferenţial¼a de ordin n a funcţiei f în punctul x aplicaţia d n f : R k! R dat¼a prin d n f = dx + ::: + (n) dx k ; k unde notaţia din membrul drept semni c¼a faptul c¼a expresia din parantez¼a se ridic¼a, formal, la puterea simbolic¼a n dup¼a o formul¼a de tip binomial, în care puterea semni c¼a ordinul de derivare. Astfel, i i i (n) (n (n ) j 2) j (2) reprezint¼a reprezint¼a reprezint¼a @ n f n i @ n f j @ n f etc...., n i n 2 i 2 j
2 CURS 0. APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. PUNCTE DE EXTREM sau, în general, ( ) (2 ) (k ) 2 k unde + 2 + ::: + k = n: reprezint¼a @ n f 2 2 ::: k k ; Observaţia 0..3 S¼a observ¼am acum c¼a, deoarece f este diferenţiabil¼a de ordinul n în x; toate derivatele parţiale de ordin n exist¼a în baza De niţiei 0... De asemenea, dac¼a o funcţie este diferenţiabil¼a de ordinul n într-un punct, atunci derivatele parţiale mixte de orice ordin mai mic sau egal cu n exist¼a şi sunt egale. În baza formulei de mai sus rezult¼a c¼a, în cazul n = 2; diferenţiala de ordinul II a funcţiei f va avea formula d 2 f = = X i;jk i= sau, pentru orice h = (h ; :::; h k ) 2 R k ; dx i dx j i j kx (dx 2 i ) 2 + 2 X dx i dx j (0.) i i<j i j d 2 f(h) = X i;jk h i h j ; i j adic¼a diferenţiala de ordinul II este o form¼a p¼atratic¼a. Matricea ataşat¼a acestei forme p¼atratice este H = i j şi se numeşte matricea hessian¼a a lui f în x care, în baza egalit¼aţii derivatelor mixte, este o matrice simetric¼a. Ca de obicei, vom particulariza în cazurile k = 2 şi k = 3: Vom avea astfel, pentru k = 2 şi, pentru k = 3; d 2 f(x; y) = @2 f (x; y) 2 (dx)2 + @2 f @y (x; y) 2 (dy)2 + 2 (x; y) dx dy @y d 2 f(x; y; z) = @2 f (x; y; z) 2 (dx)2 + @2 f @y (x; y; z) 2 (dy)2 + @2 f (x; y; z) (dz)2 @z2 + 2 @2 f @y (x; y; z) dx dy + 2 @2 f @z (x; y; z) dx dz + 2 @2 f (x; y; z) dy dz: @y@z Exerciţiul 0. S¼a se scrie diferenţiala de ordinul II a funcţiei f : (0; ) R! R, în punctul (; 2); aplicat¼a în ( 3; 2): Vom avea f(x; y) = x y 00 (x; y) = f 2 xx(x; y) = y x y 0x = y (y ) xy 2 ; 00 (x; y) = f @y2 yy(x; y) = (x y ln x) 0 y = ln x (xy ) 0 y = ln x xy ln x = x y ln 2 x;
0.2. FORMULA LUI TAYLOR 3 Rezult¼a 00 (x; y) = f @y yx(x; y) = (x y ln x) 0 x = yxy ln x + x y x = yxy ln x + x y ; 00 (x; y) = f @y xy(x; y) = y x y 0 = y xy + y x y ln x: d 2 f(x; y) = y (y ) x y 2 (dx) 2 + x y ln 2 x (dy) 2 + 2 yx y ln x + x y dx dy; de unde Aşadar, şi d 2 f(; 2) = 2(dx) 2 + 2 dx dy: d 2 f(; 2)(h ; h 2 ) = 2h 2 + 2h h 2 d 2 f(; 2)( 3; 2) = 8 2 = 6: De niţia 0..4 Spunem c¼a f este de clas¼a C pe mulţimea D dac¼a f este diferenţiabil¼a pe D şi df este continu¼a pe D: Inductiv, vom spune c¼a f este de clas¼a C n pe mulţimea D dac¼a f este diferenţiabil¼a de ordin n pe D şi d n f este continu¼a pe D: Vom nota şi, prin conventie, C n (D) = ff : D! R p j f este de clas¼a C n pe Dg; n 2 N C 0 (D) = ff : D! R p j f continu¼a pe Dg: Spunem c¼a f este de clas¼a C pe mulţimea D dac¼a f este diferenţiabil¼a de orice ordin pe D: Vom nota C (D) = ff : D! R p ; f este de clas¼a C pe Dg: 0.2 Formula lui Taylor Pentru dou¼a puncte a; b 2 R k ; vom nota cu [a; b] segmentul închis de extremit¼aţi a; b; [a; b] = fa + t(b a) j 0 t g : S¼a formul¼am acum extinderea Teoremei lui Taylor la cazul funcţiilor de variabil¼a vectorial¼a. Teorema 0.2. (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie D R k o mulţime deschis¼a şi f : D! R o funcţie diferenţiabil¼a de ordin n + pe D şi punctele distincte a; x 2 D astfel încât [a; x] D: Atunci exist¼a c 2 (a; x) astfel încât f = f(a) +! df(a)(x a) + 2! d2 f(a)(x a) (0.2) + ::: + n! dn f(a)(x a) + (n + )! dn+ f(c)(x a): Demonstraţie. Fie fa + tv j t 2 Rg dreapta care trece prin a şi are direcţia v 6= 0 2 R k : De nim funcţia h(t) = f(g(t)) = f(a + tv) = (f g)(t); unde g(t) = a + tv: Avem din regula lanţului c¼a h 0 (t) dt = dh(t) = df(g(t)) dg(t) = (a + tv) dx + ::: + (a + tv) dx k (v ; :::; v k ) dt; k
4 CURS 0. APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. PUNCTE DE EXTREM deci h 0 (t) = (a + tv) v + ::: + (a + tv) v k = df(a + tv)(v); k pentru orice t su cient de mic astfel încât a + tv s¼a r¼amân¼a în D: Diferenţiind h 0 folosind din nou regula lanţului, obţinem @ h 00 (t) = (a + tv) v + ::: + @ (a + tv) v k v + ::: k @ + (a + tv) v + ::: + @ (a + tv) v k v k k k k = (a + tv)v 2 2 + ::: + @2 f (a + tv)v k v + :::+ k (a + tv)v v k + ::: + @2 f (a + tv)v k k k kx kx = (a + tv)v i v j = d 2 f(a + tv)(v): i j j= i= Putem diferenţia în continuare h 00 pentru a obţine şi în general h (3) (t) = kx kx kx i= j= l= @ 3 f i j l (a + tv)v i v j v l = d 3 f(a + tv)(v); h (l) (t) = kx kx @ k f ::: (a + tv)d i ::: d il = d l f(a + tv)(v) i ::: il i = i l = pentru orice l 2 ; k + : Aplic¼am acum Formula lui MacLaurin cu restul lui Lagrange funcţiei h şi obţinem c¼a exist¼a 2 (0; t) (sau (t; 0)) astfel încât h(t) = h(0) + t! h0 (0) + ::: + tn n! h(n) (0) + tn+ (n + )! h(n+) (): Luând v := x a şi t := ; vom obţine existenţa lui c := a + (x a) 2 (a; x) (c¼aci 2 (0; )) astfel încât are loc (0.2). 0.3 Aplicaţii ale calcului diferenţial în optimizare Fie D R k o mulţime dechis¼a nevid¼a, f : D! R o funcţie şi M D o mulţime nevid¼a. Observ¼am c¼a putem extinde de niţia punctelor de extrem local din cazul funcţiilor reale (i.e., De niţia??) în aceast¼a situaţie, dup¼a cum urmeaz¼a. De niţia 0.3. Spunem c¼a a 2 M este: (i) punct de minim local pentru f pe mulţimea M dac¼a exist¼a o vecin¼atate V a punctului a astfel încât f(a) f; pentru orice x 2 M \ V ; (ii) punct de maxim local pentru f pe mulţimea M dac¼a exist¼a o vecin¼atate V a punctului a astfel încât f(a) f; pentru orice x 2 M \ V ; (iii) punct de extrem local pentru f pe mulţimea M dac¼a e punct de minim sau de maxim local.
0.3. APLICAŢII ALE CALCULUI DIFERENŢIAL ÎN OPTIMIZARE 5 Dac¼a M = D în de niţia de mai sus, vom spune c¼a punctul a este punct de minim (respectiv, maxim, extrem) local pentru f: În cazul în care în de niţia de mai sus V = R k ; vom spune c¼a punctul a este punct de minim (respectiv, maxim, extrem) global pentru f pe M: În acest caz, are loc urm¼atoarea extindere a Teoremei lui Fermat. Teorema 0.3.2 (Fermat) Fie D R k o mulţime deschis¼a şi f : D! R o funcţie diferenţiabil¼a în a 2 D: Dac¼a a este punct de extrem local pentru f; atunci a este punct critic, adic¼a df(a) = 0: Demonstraţie. Presupunem, f¼ar¼a a restrânge generalitatea, c¼a a este punct de minim local pentru f: Pentru o direcţie oarecare v 2 R k ; vom avea df (a) = lim dv t!0 f(a + tv) t f(a) = df(a)(v): În cazul în care jtj este su cient de mic, num¼ar¼atorul fracţiei de mai sus este negativ, deoarece a este punct de minim local. Luând limitele la stânga şi la dreapta în expresia de mai sus, ambele egale cu df df df df (a); obţinem (a) 0 şi (a) 0; adic¼a (a) = df(a)(v) = 0; pentru dv dv dv dv orice v 2 R k ; de unde avem concluzia. Observaţia 0.3.3 Teorema lui Fermat ofer¼a, ca în cazul scalar, condiţii necesare pentru ca un punct s¼a e de extrem local. Aceste condiţii nu sunt su ciente, dup¼a cum reiese din urm¼atorul exemplu: e funcţia f : R 2! R, f(x; y) := x 2 y 2 : Atunci (x; y) = 2x; (x; y) = @y pentru orice " > 0; vom avea 2y; deci (0; 0) = (0; 0) = 0 şi df(0; 0) = 0: Totuşi, @y f("; 0) = " 2 > 0 = f(0; 0) şi f(0; ") = " 2 < 0 = f(0; 0); ceea ce arat¼a c¼a (0; 0) nu este punct de extrem local. Mai mult, dac¼a not¼am (a; b) := (0; 0); vom avea f(a; y) f(a; b) f(x; b); 8(x; y) 2 R 2 : (0.3) Un punct (a; b) care veri c¼a o relaţie de tip (0.3) pe o vecin¼atate a sa se numeşte punct şa pentru f: Aşadar, în cazul nostru, (0; 0) este punct şa pentru funcţia f: Pentru a determina punctele critice, sau staţionare, trebuie deci s¼a rezolv¼am sistemul de ecuaţii = 0; = 0; :::; = 0: 2 n Punctele de extrem se a ¼a printre soluţiile acestui sistem. Pentru a putea decide care dintre punctele staţionare este punct de extrem vom folosi urm¼atorul rezultat:
6 CURS 0. APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. PUNCTE DE EXTREM Teorema 0.3.4 (Condiţii su ciente de ordinul II) Fie D R k o mulţime deschis¼a, f : D! R o funcţie de clas¼a C 2 pe D şi a 2 D astfel încât df(a) = 0: Dac¼a: (i) d 2 f(a) este pozitiv de nit¼a, adic¼a d 2 f(a)(h) > 0; pentru orice h 2 R k n f0g ; atunci a este punct de minim local pentru f; (ii) d 2 f(a) este negativ de nit¼a, adic¼a d 2 f(a)(h) < 0; pentru orice h 2 R k n f0g ; atunci a este punct de maxim local pentru f; (iii) d 2 f(a) este nede nit¼a, adic¼a exist¼a x; y 2 R k astfel încât d 2 f(a) > 0 şi d 2 f(a)(y) < 0; atunci a nu este punct de extrem pentru f: Demonstraţie. Se foloseşte Formula lui Taylor. Urm¼atorul rezultat, ce reprezint¼a un caz particular al teoremei anterioare, poate util uneori. Teorema 0.3.5 Fie f o funcţie de clas¼a C 2 pe un deschis D R n şi a 2 D un punct critic. Fie H matricea hessian¼a în care vom nota, pentru uşurinţa scrierii (a) = ij. i j. Dac¼a toate numerele = 2 = 2 2 22 ; :::; n = 2 ::: n 2 22 ::: 2n ::: ::: ::: ::: n n2 ::: nn sunt strict pozitive, atunci d 2 f(a) este pozitiv de nit¼a şi a este punct de minim local; 2. Dac¼a toate numerele ; 2 ; :::; ( ) n n sunt strict pozitive, atunci d 2 f(a) este negativ de nit¼a şi a este punct de maxim local. Exemplul 0.3.6 S¼a se determine punctele de extrem ale funcţiei f(x; y; z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 2xy + 2xz: Avem,mai întâi: Rezolvând sistemul = 2x 2y + 2z; @y = 6y 2x @z = 0 @y = 0 @z = 0 = 4z + 2x: g¼asim a = (0; 0; 0) ca singurul punct staţionar. Construim mai departe matricea hessian¼a calculând derivatele parţiale de ordinul 2 şi obţinem 0 2 2 2 H = @ 2 6 0 A 2 0 4 Se calculeaz¼a imediat = 2 > 0; 2 = 2 > 0; 3 = 8 > 0 ceea ce spune c¼a d 2 f(0; 0; 0) este pozitiv de nit¼a, deci (0; 0; 0) este punct de minim local. Pentru funcţii de dou¼a variabile, Teorema 0.3.4 poate pus¼a sub forma:
0.3. APLICAŢII ALE CALCULUI DIFERENŢIAL ÎN OPTIMIZARE 7 Teorema 0.3.7 Fie f o funcţie de clas¼a C 2 pe un deschis D R n şi a 2 D un punct critic pentru f. Not¼am A = @2 f (a); B = @2 f 2 @y (a); C = @2 f (a). Dac¼a: @y2. B 2 AC < 0 şi A > 0, atunci a este punct de minim local. 2. B 2 AC < 0 şi A < 0, atunci a este punct de maxim local. 3. B 2 AC > 0, atunci a nu este punct de extrem. Observaţia 0.3.8 Dac¼a B 2 AC = 0 nu ne putem pronunţa dac¼a a este punct de extrem sau nu. În acest caz trebuie s¼a studiem diferenţialele de ordin superior ale lui f. S¼a ilustr¼am cele spuse anterior prin câteva exemple suplimentare. Exerciţiul 0.2 Determinaţi extremele locale libere ale funcţiei f : R 2! R dat¼a prin f(x; y) := x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 : Punctele critice ale funcţiei f se vor determina rezolvând sistemul 8 >< >: (x; y) = 0, @y (x; y) = 0 4x 3 2x 2y = 0 4y 3 2x 2y = 0: Soluţiile vor vectorii = (0; 0); a = ( ; ); b = (; ): Determin¼am diferenţiala de ordinul II pentru ecare dintre aceste puncte. Pentru aceasta, calcul¼am 8>< Vom avea Pentru ; obţinem >: 2 (x; y) = 2x2 2 @y 2 (x; y) = 2y2 2 (x; y) = 2: @y d 2 f(x; y)(h ; h 2 ) = @2 f 2 (x; y) h2 + @2 f @y 2 (x; y) h2 2 + 2 @2 f @y (x; y) h h 2 : d 2 f()(h ; h 2 ) = 2 (h + h 2 ) 2 ; o form¼a p¼atratic¼a pozitiv semide nit¼a, deci nu putem aplica Teorema 0.3.4. Observ¼am îns¼a c¼a, pentru " > 0 su cient de mic, avem f("; 0) = " 4 " 2 < 0 = f(0; 0); iar f("; ") = 2" 4 > 0 = f(0; 0); de unde rezult¼a c¼a nu este punct de extrem. Pentru a; vom obţine d 2 f(a)(h ; h 2 ) = 2 5h 2 2h h 2 + 5h 2 2 ; a c¼arei matrice este 0 2 2 0 Ne va rezulta c¼a d 2 f(a) este pozitiv de nit¼a, deci a este punct de minim local. Pentru b; vom avea de asemenea deci şi b este punct de minim local pentru f. : d 2 f(b)(h ; h 2 ) = 2 5h 2 2h h 2 + 5h 2 2 ;
8 CURS 0. APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. PUNCTE DE EXTREM Exerciţiul 0.3 G¼asiţi extremele locale libere ale funcţiei f : R 3! R, f(x; y; z) := (ax 2 + by 2 + cz 2 )e x2 y 2 z 2 ; unde a > b > c > 0 sunt parametri xaţi. Determin¼am mai întâi punctele critice. Obţinem sistemul 8 (x; y; z) = 0 >< (x; y; z) = 0 @y >: (x; y; z) = 0 8@z <, : 8 <, : x(a ax 2 by 2 cz 2 ) = 0 y(b ax 2 by 2 cz 2 ) = 0 z(c ax 2 by 2 cz 2 ) = 0: e x2 y 2 z 2 2x(a ax 2 by 2 cz 2 ) = 0 e x2 y 2 z 2 2y(b ax 2 by 2 cz 2 ) = 0 e x2 y 2 z 2 2z(c ax 2 by 2 cz 2 ) = 0 S¼a observ¼am c¼a dou¼a paranteze din cele de mai sus nu se pot anula simultan, din cauza condiţiei puse asupra lui a; b; c: Vom obţine aşadar punctele critice (0; 0; 0); (; 0; 0); (0; ; 0); (0; 0; ) Obţinem pentru diferenţialele de ordin II: deci (0; 0; 0) este punct de minim local, d 2 f(0; 0; 0)(h ; h 2 ; h 3 ) = 2 ah 2 + bh 2 2 + ch 2 3 ; d 2 f(; 0; 0)(h ; h 2 ; h 3 ) = 2e 2ah 2 + (b a)h 2 2 + (c a)h 2 3 = d 2 f( ; 0; 0)(h ; h 2 ; h 3 ); de unde (; 0; 0) sunt puncte de maxim local, d 2 f(0; ; 0)(h ; h 2 ; h 3 ) = 2e (a b)h 2 2bh 2 2 + (c a)h 2 3 = d 2 f(0; ; 0)(h ; h 2 ; h 3 ); d 2 f(0; 0; )(h ; h 2 ; h 3 ) = 2e (a c)h 2 + (b c)h 2 2 2ch 2 3 = d 2 f(0; 0; )(h ; h 2 ; h 3 ); de unde (0; ; 0); (0; 0; ) nu sunt puncte de extrem. Exerciţiul 0.4 S¼a se demonstreze inegalitatea j(x + y)e x2 y 2 j p e ; 8 (x; y) 2 R 2 : Soluţie. Determin¼am extremele globale ale funcţiei Avem x2 (x; y) = e y2 Punctele critice ale lui f sunt minim local f f : R 2! R; f(x; y) = (x + y)e x2 y 2 : ( 2x(x + y)); 2 ; 2 2 ;, 2 = p ; f e 2 ; x2 (x; y) = e @y y2 ( 2y(x + y)): 2 care sunt puncte de maxim, respectiv 2 ; = 2 p : e