C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului, iar γ(b) reprezintă extremitatea drumului. Dacă γ(a) = γ(b) drumul se numeşte închis. Mulţimea γ([a, b]) se numeşte urma/traiectoria/imaginea/suportul drumului. Observaţie 4.2. Dacă m = 3 putem scrie drumul γ specificând componentele funcţiei vectoriale γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) sau γ: x = x(t), y = y(t), z = z(t), iar dacă m = 2, componenta a treia, z, lipseşte. t [a,b] Exemplu 4.3. Drumul descris de x = (1 t)x A +tx B, y = (1 t)y A +ty B, z = (1 t)z A +tz B, t [,1] are ca suport segmentul AB, parcurs de la A(x A,y A,z A ) la B(x B,y B,z B ). Exemplu 4.4. Drumul descris de { x = x +rcost, y = y +rsint, t [,2π] este drumul plan închis ce are ca suport cercul de ecuaţie (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2, cu centrul (x,y ) şi raza r, care este parcurs în sens trigonometric având originea şi extremitatea în punctul (x +r,y ). Definiţie 4.5. Drumul γ : [a,b] R m, γ (t) = γ(a + b t) se numeşte inversul drumului γ. Observaţie 4.6. Să observăm că γ (a) = γ(b), γ (b) = γ(a) şi γ ([a,b]) = γ([a,b]). Drumul γ are aceeşi urmă ca şi drumul iniţial, dar este parcurs în sens invers de la extremitatea drumului iniţial la originea acestuia. 1

2 URS 4. INTEGRALE URBILINII Definiţie 4.7. Fie γ 1 : [a,b] R m şi γ 2 : [b,c] R m două drumuri cu proprietatea că extremitatea primului coincide cu originea celui de-al doilea γ 1 (b) = γ 2 (b). Atunci putem defini reuniunea/juxtapunerea/compunerea drumurilor ca fiind drumul notat γ 1 γ 2 : [a,c] R m, definit prin { γ1 (t), t [a,b] (γ 1 γ 2 )(t) = γ 2 (t), t [b,c]. Definiţie 4.8. Fiind dat un drum γ : [a,b] R m şi o diviziune a intervalului [a,b] t = a < t 1 < < t n = b, drumurile γ k : [t k 1,t k ] R m, k = 1,2,...,n definite prin γ k (t) = γ(t), t [t k 1,t k ] formează descompunerea drumului γ asociată diviziunii. Putem scrie γ = γ 1 γ 2 γ n. Definiţie 4.9. Un drum γ : [a,b] R m se numeşte neted dacă aplicaţia γ este de clasă 1 pe [a,b] şi γ (t), pentru orice t [a,b]. Drumul γ se numeşte neted pe porţiuni dacă există o descompunere γ = γ 1 γ 2 γ n astfel încât toate drumurile γ k sunt netede. Observaţie 4.1. Un drum în spaţiu este neted dacă componentele sale x, y, z sunt funcţii derivabile cu derivatele funcţii continue pe [a,b] şi (x (t),y (t),z (t)) (,,), pentru orice t [a,b]. Definiţie 4.11. Două drumuri γ 1 : [a,b] R m şi γ 2 : [c,d] R m sunt echivalente dacă există o funcţie h : [a,b] [c,d] strict crescătoare şi continuă astfel încât h(a) = c şi h(b) = d şi γ 1 = γ 2 h. Observaţie 4.12. Dacă notăm prin γ 1 γ 2 faptul că γ 1 şi γ 2 sunt drumuri echivalente, atunci relaţia binară reprezintă o relaţie de echivalenţă. Într-adevăr, alegând h(t) = t avem γ γ, ceea ce arată proprietatea de reflexivitate. Pentrucăhestrictcrescătoare, eaesteinjectivă, iarpentrucăhecontinuăşih(a) = c şi h(b) = d rezultă că h([a,b]) = [c,d] şi deci h este surjectivă, ceea ce implică faptul că h este bijectivă. Astfel, există inversa funcţiei h, care este o funcţie continuă, strict crescătoare şi h 1 (c) = a şi h 1 (d) = b. În plus, avem γ 2 = γ 1 h 1. Am demonstrat că γ 1 γ 2 implică γ 2 γ 1, ceea ce reprezintă proprietatea de simetrie. Ne rămâne să verificăm faptul că relaţia este tranzitivă. Fie γ 1 γ 2 şi γ 2 γ 3. Atunci există h : [a,b] [c,d] şi g : [c,d] [e,f] strict crescătoare şi continue cu h(a) = c, h(b) = d şi g(c) = e, g(d) = f cu proprietatea că γ 1 = γ 2 h şi γ 2 = γ 3 g. Funcţia i = g h : [a,b] [e,f] are proprietatea că i(a) = g(h(a)) = g(c) = e şi i(b) = f. În plus, ieste strict crescătoare şi continuăşi γ 1 = γ 2 h = (γ 3 g) h = γ 3 (g h) = γ 3 i, ceea ce demonstrează că γ 1 γ 3. Definiţie 4.13. Se numeşte curbă o clasă de drumuri echivalente. Fiind dată o curbă, un drum care o reprezintă se numeşte parametrizare a curbei. Exemplu 4.14. Drumulγ 1 (t) = (sint,cost), t [, 2] π esteechivalentcudrumulγ2 (t) = (t, 1 t 2 ), t [,1]. Într-adevăr, funcţia h : [, 2] π [,1], h(t) = sint este strict crescătoare şi continuă cu h() = şi h ( π 2) = 1 şi în plus γ1 = γ 2 h. Ambele drumuri γ 1 şi γ 2 reprezintă parametrizări ale aceleaşi curbe: sfertul de cerc din primul cadran parcurs de la (,1) la (1,).

4.1. DRUMURI ŞI URBE 3 Observaţie 4.15. O curbă este mulţimea tuturor drumurilor echivalente care au un suport dat şi un sens de parcurs precizat. O curbă plană se poate specifica în 4 forme: 1) forma parametrică: γ(t) = (x(t),y(t)), t [a,b] 2) forma vectorială: r = x(t) ı+y(t) j, t [a,b] 3) forma explicită: y = f(x), x [a,b] 4) forma implicită: F(x,y) = şi descrierea sensului de parcurs. O curbă în spaţiu se poate specifica în 3 forme: 1) forma parametrică: γ(t) = (x(t),y(t),z(t)), t [a,b] 2) forma vectorială: r = x(t) ı+y(t) j+z(t) κ, t [a,b] 3) ca intersecţie de două suprafeţe { f(x,y,z) = şi descrierea sensului de parcurs. g(x,y,z) =. Definiţie 4.16. Se numeşte curbă simplă o curbă cu parametrizarea γ : [a,b] R m funcţie injectivă pe [a, b) (adică la valori distincte ale parametrului corespund puncte distincte pe suportul curbei [cu excepţia, poate, a capetelor în cazul unei curbe închise]). Exemplu 4.17. Un exemplu de curbă care nu este simplă este curba descrisă parametric prin ecuaţiile Y { x = cos3tcost, y = cos3tsint, t [,π]. Punctul (, ) se obţine pentru trei valori distincte ale X parametrului t: π, π şi 5π. Un astfel de punct se numeşte 6 2 6 punct triplu. urba se numeşte trifoi. Definiţie 4.18. Fie o curbă. onsiderăm n puncte luate pe curbă în ordine notate P k, k =,2,...,n. Unind punctele P k cu P k+1 se formează linia poligonală P P 1...P n, notată pe scurt P. Notăm cu L P = P k 1 P k lungimea liniei poligonale P. Se notează L = supl P marginea superioară a tuturor lungimilor liniilor poligonale care se pot lua pe curba. Dacă L este un număr real, curba se numeşte rectificabilă, iar numărul L se numeşte lungimea curbei. Teoremă 4.19 (Formula de calcul a lungimii unei curbe netede). Orice curbă netedă este rectificabilă. Dacă curba este reprezentată parametric prin x = x(t), : y = y(y), t [a,b] z = z(t), atunci lungimea se calculează cu formula L = b a [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z (t)] 2 dt.

4 URS 4. INTEGRALE URBILINII Exemplu 4.2. Să se calculeze lungimea unui cerc. onsiderăm cercul cu centrul de coordonate (x,y ) şi rază r. Parametrizarea acestui cerc parcurs în sens trigonometric este : { x = x +rcost, y = y +rsint, t [,2π] Avem L = = [x (t)] 2 +[y (t)] 2 dt = r 2 (cos 2 t+sin 2 t)dt = ( rsint)2 +(rcost) 2 dt rdt = 2πr. 4.2 Integrale curbilinii de speţa I Definiţie 4.21. Fie f : D R m R o funcţie şi o curbă care are suportul inclus în D. Numim integrală curbilinie de speţa I a funcţiei f pe curba numărul real I (dacă un astfel de număr există) cu proprietatea că pentru orice ε > există δ > astfel încât pentru orice alegere a punctelor M k în ordine pe curbă cu proprietatea că M este originea curbei, M n este extremitatea curbei, iar fiecare segment M k 1 M k are lungimea mai mică decât δ (putem scrie l(m k 1 M k ) < δ) şi pentru orice alegere a punctelor N k de pe curbă aflate între M k 1 şi M k să aibă loc I f(n k ) l(m k 1 M k ) < ε. Notaţie 4.22. Dacă există numărul I atunci el este unic şi se notează f ds. Interpretare 4.23. Să considerăm un exemplu practic care a condus la noţiunea de integrală curbilinie de speţa I. Avem un fir material de grosime neglijabilă în raport cu lungimea având forma curbei. În fiecare punct al curbei avem o anumită densitate dată de funcţia ρ : R. Ne propunem să calculăm masa firului material. Aproximăm curba cu linia poligonală M M 1...M n, unde M k sunt puncte luate în ordine pe curbă. Aproximăm masa firului material cu masa liniei poligonale construite, presupunând că densitatea pe fiecare segment al liniei poligonale este constantă şi are ca valoare densitatea unui anumit punct N k de pe curbă aflat între M k 1 şi M k. Masa fiecărui segment omogen este produsul dintre densitatea segmentului şi lungimea segmentului. Masa liniei poligonale va fi masa(m k 1 M k ) = ρ(n k ) l(m k 1 M k ). La limită, atunci când numărul de puncte de pe curbă creşte la infinit, această sumă tinde la masa firului material. Observaţie 4.24. Masa firului material se calculează cu formula m = ρds. Dacă firul este omogen şi ρ = 1 atunci masa coincide cu lungimea firului. Formula pentru lungimea unei curbe este l() = ds.

4.2. INTEGRALE URBILINII DE SPEŢA I 5 Teoremă 4.25 (Formula de calcul a integralei curbilinii de speţa I). Dacă este o curbă netedă reprezentată parametric prin : x = x(t), y = y(y), z = z(t), şi f : R este o funcţie continuă atunci f(x,y,z)ds = b a t [a,b] f(x(t),y(t),z(t)) [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z (t)] 2 dt. Observaţie 4.26. Integrala nu depinde de parametrizare. Teoremă 4.27. Fie o curbă netedă pe porţiuni şi fie k curbele netede care alcătuiesc descompunerea curbei. Atunci f ds = f ds = f ds+ + f ds. 1 n 1 n Teoremă 4.28. Fie o curbă netedă şi fie curba parcursă în mod invers. Atunci f ds = f ds. Exemplu 4.29. Să se calculeze (x + y)ds, unde este curba închisă formată din segmentul AB, cu A( 1,1) şi B(1,1) şi arcul de pe parabola y = x 2, cuprins între A şi B. Putem scrie (x+y)ds = (x+y)ds+ (x+y)ds, AB unde P este porţiunea de pe parabola de ecuaţie y = x 2 cuprinsă între A şi B. Segmentul AB se parametrizează x = 2t 1, y = 1, t [,1]. Atunci AB (x+y)ds = 1 P 2t 4dt = 2. Porţiunea P de parabolă se parametrizează y = x 2, x [ 1,1]. Atunci P (x+y)ds = 1 1 (x+x 2 ) 1+4x 2 dx = 2 1 x 2 1+4x 2 dx. u schimbarea de variabilă x = 1 2 sht, cu a = sh 1 (2) = ln(2+ 5) rezultă P a (x+y)ds = 2 = 1 16 a a sh 2 t cht cht 4 2 dt = 1 sh 2 tch 2 tdt = 1 4 16 ch4t 1 dt = 1 ( ) sh4a a 2 32 4 a sh 2 2tdt = 1 ( 18 5 2 ln(2+ 5) 32 ). În final, (x+y)ds = 2+ 1 ( 18 5 2 ln(2+ ) 5). 32

6 URS 4. INTEGRALE URBILINII 4.3 Integrale curbilinii de speţa II Definiţie 4.3. Fie F : D R 3 R 3 o funcţie vectorială f = (P,Q,R) şi o curbă care are suportul inclus în D. Numim integrală curbilinie de speţa a IIa a funcţiei f pe curba numărul real I (dacă un astfel de număr există) cu proprietatea că pentru orice ε > există δ > astfel încât pentru orice alegere a punctelor M k (x k,y k,z k ) în ordine pe curbă cu proprietatea că M este originea curbei, M n este extremitatea curbei, iar fiecare segment M k 1 M k are lungimea mai mică decât δ şi pentru orice alegere a punctelor N k de pe curbă aflate între M k 1 şi M k să aibă loc I P(N k )(x k x k 1 )+Q(N k )(y k y k 1 )+R(N k )(z k z k 1 ) < ε. Notaţie 4.31. Dacă există numărul I din definiţie atunci el este unic şi se notează P dx+qdy +Rdz. Interpretare 4.32. Să considerăm un exemplu practic care a condus la noţiunea de integrală curbilinie de speţa a II-a. Ne propunem să calculăm lucrul mecanic L al unei forţe F ce acţionează asupra unui punct ce se deplasează pe curba. Aproximăm curba cu linia poligonală M M 1...M n, unde M k sunt puncte luate în ordine pe curbă. Aproximăm lucrul mecanic L cu lucrul mecanic al unui punct ce se deplasează pe linia poligonală construită, presupunând că forţa pe fiecare segment al liniei poligonale este constantă şi are aceeaşi valoare ca forţa ce acţionează asupra unui anumit punct N k de pe curbă aflat între M k 1 şi M k. Lucru mecanic de pe fiecare segment este produsul scalar dintre forţă şi deplasare. Lucrul mecanic pe linia poligonală va fi F(N k ) M k 1 M k = La limită, această sumă tinde la lucrul mecanic L. P(N k )(x k x k 1 )+Q(N k )(y k y k 1 )+R(N k )(z k z k 1 ). Observaţie 4.33. Dacă r = x ı+y j+z κ este vectorul de poziţie, atunci vectorul deplasare este d r = dx ı+ dy j+ dz κ. u aceasta, putem scrie P dx+qdy +Rdz = F d r, care se mai numeşte circulaţia vectorului F de-a lungul curbei. Dacă curba este închisă, atunci pentru integrală se mai foloseşte şi notaţia F d r. Teoremă 4.34 (Formula de calcul a integralei curbilinii de speţa a II-a). Dacă este o curbă netedă reprezentată parametric prin x = x(t), : y = y(y), t [a,b] z = z(t), şi F = P ı + Q j + R κ, unde P,Q,R sunt funcţii continue pe un domeniu ce conţine suportul lui, atunci b F d r = [P(x(t),y(t),z(t))x (t)+q(x(t),y(t),z(t))y (t)+r(x(t),y(t),z(t))z (t)]dt. a

4.4. FORME DIFERENŢIALE EXATE 7 Observaţie 4.35. Integrala nu depinde de parametrizare. Teoremă 4.36. Fie o curbă netedă pe porţiuni şi fie k curbele netede care alcătuiesc descompunerea curbei. Atunci F d r = F d r = F d r+ + F d r. 1 n 1 n Teoremă 4.37. Fie o curbă netedă şi fie curba parcursă în mod invers. Atunci F d r = F d r. Exemplu 4.38. Să se calculeze z2 dx+xdy+(x 2 +y 2 )dz, unde este curba aflată la intersecţia conului z = x 2 +y 2 cu paraboloidul z = 6 (x 2 + y 2 ), iar sensul de parcurgere al curbei este sensul orar dacă curba este privită din origine. La intersecţia conului z = x 2 +y 2 cu paraboloidul z = 6 (x 2 +y 2 ) se găseşte un cerc. Ecuaţia cercului se determină rezolvând sistemul { z = Z x 2 +y 2 z = 6 (x 2 +y 2 ). Obţinem z = 2 şi x 2 +y 2 = 4. Putem să parametrizăm acest cerc în felul următor: x = 2cost, : y = 2sint, t [,2π]. z = 2, Pentru calculul integralei avem I = z 2 dx+xdy +(x 2 +y 2 )dz = = 8 sintdt+4 cos 2 tdt = 8cost X [4( 2sint)+2cost(2cost)]dt 2π +2 (1+cos2t)dt = 4π. Y 4.4 Forme diferenţiale exacte Definiţie 4.39. Fie D R 3 o mulţime deschisă şi fie P,Q,R : D R funcţii de clasă 1. Expresia ω = P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz se numeşte formă diferenţială de ordinul întâi pe D. Definiţie 4.4. Forma diferenţială ω = P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz se numeşte exactă dacă există o funcţie φ 1 (D) cu proprietatea că P = φ x, Q = φ y, R = φ z. Funcţia φ se numeşte primitiva formei diferenţiale exacte ω.

8 URS 4. INTEGRALE URBILINII Teoremă 4.41 (Formula lui Leibniz-Newton pentru forme diferenţiale exacte). Dacă γ : [a,b] D, D R 3 un drum de clasă 1, iar φ : D R o primitivă a formei diferenţiale exacte ω, atunci ω = φ(γ(b)) φ(γ(a)). γ Definiţie 4.42. O mulţime D R 3 este deschisă dacă pentru orice (x,y,z ) D există un r > astfel încât mulţimea { (x,y,z) (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 < r 2} este inclusă în D. Altfel spus, o mulţime este deschisă dacă pentru orice punct al mulţimii, mulţimea include cel puţin o bilă centrată în punctul ales. Definiţie 4.43. O mulţime D R 3 este conexă dacă nu există două mulţimi deschise D 1,D 2 R 3 astfel încât D 1 D, D 2 D, D 1 D 2 =, D D 1 D 2. u alte cuvinte, o mulţime este conexă dacă este formată dintr-o singură bucată. Teoremă 4.44 (Teorema de caracterizare a formelor diferenţiale exacte). Fie D R 3 o mulţime deschisă şi conexă şi ω o formă diferenţială pe D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) ω este o formă diferenţială exactă 2) pentru orice drum închis γ cu suportul inclus în D avem ω = γ 3) ω nu depinde de drum. γ Teoremă 4.45. Fie D R 3 o mulţime deschisă. Dacă ω = P dx+qdy +Rdz este o formă diferenţială exactă, iar φ este o primitivă de clasă 2 (D) a formei diferenţiale ω, atunci P y = Q x, Q z = R y, R x = P z. Definiţie 4.46. O mulţime D R 3 este stelată dacă există cel puţin un punct a D cu proprietatea că pentru orice x D segmentul [a,x] este inclus în întregime în D. Teoremă 4.47. Fie D R 3 o mulţime deschisă şi stelată. Dacă ω = P dx+qdy+rdz, P,Q,R 1 (D) este o formă diferenţială cu proprietatea că atunci ω este o formă diferenţială exactă. P y = Q x, Q z = R y, R x = P z Observaţie 4.48. Teorema anterioară ne arată în ce condiţii o formă diferenţială este exactă. Primitiva acestei forme diferenţiale se determină cu formula φ(x,y,z) = x x P(t,y,z )dt+ y y Q(x,t,z )dt+ z z R(x,y,t)dt. În plan, formula pentru primitiva unei forme diferenţiale exacte ω = P dx+qdy este φ(x,y) = x x P(t,y )dt+ y y Q(x,t)dt.

4.4. FORME DIFERENŢIALE EXATE 9 Exemplu 4.49. alculaţi Fie (2,3,4) (1,,1) Acestea sunt funcţii de clasă 1 pe R 3 şi yz(2x+y z) dx+xz(x+2y z) dy +xy(x+y 2z) dz. P = yz(2x+y z), Q = xz(x+2y z), R = xy(x+y 2z). P y = Q = 2xz +2yz z2 x Q z = R y = x2 +2xy 2xz R x = P z = 2xy +y2 2yz. Pentru că R 3 este stelată, rezultă că forma diferenţială ω = P dx + Qdy + Rdz este exactă. Determinăm o primitivă cu formula φ(x,y,z) = = x z P(t,,)dt+ Pe baza formulei lui Leibniz-Newton (2,3,4) (1,,1) y Exemplu 4.5. Se dă forma diferenţială Q(x,t,)dt+ z R(x,y,t)dt z xy(x+y 2t)dt = xy(x+y)t xyt 2 = xyz(x+y z). P dx+qdy +Rdz = φ(2,3,4) φ(1,,1) = 24. ω = y x 2 +y dx+ x 2 x 2 +y dy. 2 Să se arate că ω nu este exactă. Să se calculeze ω, unde este cercul x2 +y 2 = r 2 parcurs în sens trigonometric. Fie P = y şi Q = x. Acestea sunt funcţii de clasă 1 pe R 2 \ {(,)}, cu x 2 +y 2 x 2 +y 2 proprietatea că P y = Q x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2, (x,y) (,). Dacă ω ar fi exactă atunci integrala pe orice curbă închisă din domeniu ar fi. Dar [ rsint ω = ( rsint)+ rcost ] (rcost) dt = 2π. r 2 r 2 Acest lucru ne arată că ω nu este exactă. Iar acest fapt, că ω nu este exactă, se explică din faptul că mulţimea R 2 \{(,)} nu este stelată.