Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari

Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi liniare 1 13 Intersecţia unei familii de varietăţi liniare 2 Apendix Relaţii de recurenţă liniare 2 14 Probleme 6 2 Săptămâna 2 11 21 Învelitori şi combinaţii afine 11 22 Dreptele unui spaţiu afin 12 23 Probleme 14 3 Săptămâna 3 16 31 Teorema dimensiunii Paralelism 16 32 Probleme 18 4 Săptămâna 4: Proprietăţi laticeale Mulţimi convexe 22 41 Proprietăţi laticeale ale structurii afine 22 42 Structura afină a spaţiului vectorial K n 22 43 Submulţimile convexe ale unui spaţiu vectorial real 23 431 Teorema lui Carathéodory 24 44 Probleme 24 5 Săptămâna 5 Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman şi Motzkin 27 51 Teorema lui Radon 27 52 Teorema lui Helly 27 53 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman şi Motzkin 28 54 Probleme 28 6 Săptămâna 6: Spaţiul afin 31 61 Definiţie şi exemple 31 62 Subspaţii afine 32 63 Combinaţii afine în spaţii afine 32 64 Repere afine şi repere carteziene 33 1

65 Schimbarea coordonatelor 34 66 Probleme 35 7 Săptămâna 7 41 71 Funcţii polinomiale 41 711 Definiţii şi observaţii 41 712 Funcţii polinomiale de gradul doi Reprezentări matriceale 41 8 Săptămâna 8: Reducerea izometrică a polinoamelor de gradul doi în două variabile 43 81 Invarianţi ortogonali 43 82 Semiinvarianţi ortogonali 44 83 Probleme 45 9 Săptămâna 9: Teorema de reducere izometrică a polinoamelor de gradul doi în două variabile 46 91 Probleme 49 10 Săptămâna 10: Reducerea izometrică a polinoamelor de gradul doi în trei variabile 54 101 Invarianţi şi semiinvarianţi ortogonali 54 1011 Invarianţi ortogonali 55 1012 Semiinvarianţi ortogonali 55 102 Teorema de reducere izometrică a polinoamelor de gradul doi în trei variabile 56 103 Probleme 57 11 Săptămâna 11 Morfisme liniare şi aplicaţii afine 62 111 Ecuaţiile unei aplicaţii afine 64 112 Imaginile inverse ale unei aplicaţii afine Teorema dimensiunii 65 113 Funcţionale afine Hiperplane 66 114 Translaţia 67 115 Subspaţii invariante 68 116 Omotetii 68 117 Probleme 69 12 Săptămâna 12 Proiecţii şi simetrii 76 121 Proiecţii Ecuaţiile proiecţiilor 76 122 Simetrii Ecuaţiile simetriilor 77 123 Translaţiile ca produse de simetrii 79 124 Probleme 81 125 Apendix Proiecţii şi simetrii vectoriale 82 1251 Proiecţii vectoriale 82 1252 Simetrii vectoriale 83 13 Săptămâna 13 Izometriile spaţiului afin euclidian 85 131 Definiţii şi rezultate preliminare 85 132 Teorema Cartan-Dieudonné 86 14 Săptămâna 14 Perpendicularitate şi distanţe 87 141 Distanţa de la un punct la un hiperplan 87 142 Distanţa de la un punct la o varietate liniară 88 2

Coordonator: Conf Univ Dr Cornel Pintea Departmentul de Mathematică, Universitatea Babeş-Bolyai 400084 M Kogălniceanu 1, Cluj-Napoca, România 3

1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 11 Varietăţi liniare Fie V un spaţiu vectorial cu scalari într-un corp K Definiţia 11 O varietate liniară în V este o submulţime a lui V de forma a + U := {a + u u U}, unde a V şi U este un subspaţiu vectorial al lui V, sau mulţimea vidă Mulţimea A(V) a varietăţilor liniare ale lui V ordonată de incluziune se numeşte structura afină a lui V Propoziţia 11 Dacă A = a + U A(V) şi b A, atunci A = b + U Corolarul 12 O varietate liniară A este subspaţiu vectorial dacă şi numai dacă 0 A 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi liniare Propoziţia 13 Dacă a + U = a + U A(V), atunci U = U Aşadar, în reprezentarea unei varietăţi liniare nevide A sub forma a + U, subspaţiul vectorial U este unic determinat de A Acesta va fi notat cu D(A) şi se va numi (sub)spaţiul (vectorial) director al varietăţii liniare A Definiţia 12 Spunem că varietăţile liniare A, B A(V) sunt paralele, şi scriem A B, dacă D(A) D(B) sau D(B) D(A) Definiţia 13 Definim dimensiunea unei varietăţi liniare A astfel: { dim(d(a)) dacă A = dim(a) := 1 dacă A = Definiţia 14 Dacă dim(a) = 1, 2 sau p, atunci A se numeşte dreaptă, plan sau p-plan Dacă dim(a) = 0, atunci A este formată dintr-un singur element numit punct Dacă 0 A, atunci A se numeşte dreaptă vectorială, plan vectorial sau p-plan vectorial Dacă D(A) este un hiperplan vectorial, atunci A = a + D(A) se numeşte hiperplan Dacă V este un spaţiu vectorial n-dimensional, atunci orice hiperplan al lui V are dimensiunea n 1 Propoziţia 14 Fie V, W două spaţii vectoriale peste corpul K şi f : V W o aplicaţie liniară Dacă B este o varietate liniară a lui W, adică B A(W), atunci f 1 (B) := {a V f (a) B} este o varietate liniară a lui V, adică f 1 (B) A(V) Cornel Pintea Page 1 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Corolarul 15 Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K şi f : V W o aplicaţie liniară Dacă B A(W) este astfel încât f 1 (B) = şi a f 1 (B), atunci f 1 (B) = a + f 1 (D(B)), fapt care arată că D ( f 1 (B) ) = f 1 (D(B)) În particular, dacă pentru un element b W avem f 1 (b) = şi a f 1 (b), atunci D ( f 1 (b) ) = f 1 (0 W ) = ker( f ), adică f 1 (b) = a + ker( f ) Aşadar soluţia generală a ecuaţiei neomogene f (x) = b este suma dintre o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene f (x) = b cu soluţia generală a ecuaţiei omogene f (x) = 0 W 13 Intersecţia unei familii de varietăţi liniare Propoziţia 16 Dacă {A i } i I este o familie de varietăţi liniare ale spaţiului vectorial V, atunci A i A(V) i I Corolarul 17 Dacă ( {A i } i I ) este o familie de varietăţi liniare ( ale spaţiului ) vectorial ( V astfel ) încât A i =, atunci D A i = D(A i ) În acest caz dim A i = dim D(A i ) i I i I i I Propoziţia 18 Dacă a şi b sunt puncte distincte în V, atunci există o singură dreaptă, notată cu ab, care conţine pe a şi b i I i I Apendix Relaţii de recurenţă liniare Fie K este un corp Notăm prin K N mulţime tuturor şirurilor de elemente din K, adică mulţime tuturor funcţiilor a : N K Vom nota cu a(n) sau cu a n valoarea funcţiei a pe Cornel Pintea Page 2 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

numărul natural n În cazul al doilea, vom nota cu (a n ) n 0 sau, simplu, cu (a n ) şirul/funcţia a Dacă α K şi a, b K N, definim şirurile a + b, a b şi α a prin (a + b)(n) := a(n) + b(n) (a b)(n) := a(n)b(n) şi (α a)(n) = αa(n), sau, echivalent, (a + b) n = a n + b n şi (α a) n = αa n, for all n N Mulţimea K N este evident un K-spaţiu vectorial faţă de operaţiile: Putem scrie aceste operaţii astfel: K N K N K N, (a, b) a + b (11) K K N K N, (α, a) α a (12) K N K N K N, ((a n ), (b n )) (a n ) + (b n ) := (a n + b n ) (13) K K N K N, (α, (a n )) α (a n ) := (αa n ) (14) De fapt K N este chiar o K-algebră faţă de operaţiile (11), (12) şi K N K N K N, (a, b) a b sau (15) K N K N K N, ((a n ), (b n )) (a n ) (b n ) := (a n b n ) (16) De altfel operaţia externă (12) (sau (14)) poate fi obţinută din operaţia binară (15) (sau (16)) prin restricţia scalarilor de la K N la K K N Într-adevăr K se scufundă în K N prin incluziunea care asociază scalarului k K şirul constant (k n ), adică k n = k pentru orice n N Observăm că spaţiul vectorial K N este infinit dimensional deoarece submulţimea sa infinită {e 1, e 2, e 3,, }, unde e 1 := (1, 0, 0, ), e 2 := (0, 1, 0, ), e 3 := (0, 0, 1, ), este liberă (liniar independentă) De asemenea orice funcţie R : K N K N de tipul R(a n ) n 0 = (c r (n)a n+r + c r 1 (n)a n+r 1 + + c 0 (n)a n ) n 0, unde c 0,, c r K N sunt r şiruri date, este liniară Aşadar imaginea inversă { } R 1 ( f ) := a K N : c r (n)a n+r + c r 1 (n)a n+r 1 + + c 0 (n)a n = f (n), n 0 a unui şir f K N este o varietate liniară a lui K N a cărui direcţie este subspţiul { } ker R = R 1 (0) = a K N : c r (n)a n+r + c r 1 (n)a n+r 1 + + c 0 (n)a n = 0, n 0 Ecuaţia c r (n)a n+r + c r 1 (n)a n+r 1 + + c 0 (n)a n = f (n), n 0, (17) care defineşte varietatea liniară R 1 ( f ), se numeşte relaţie de recurenţă liniară neomogenă de ordin r, iar ecuaţia c r (n)a n+r + c r 1 (n)a n+r 1 + + c 0 (n)a n = 0, n 0, (18) care defineşte subspaţiul ker R al lui K N, se numeşte relaţie de recurenţă liniară omogenă de ordin r Dacă şirurile c 0,, c r K N sunt constante, atunci (17) şi (18) devin c r a n+r + c r 1 a n+r 1 + + c 0 a n = f (n), n 0 (19) c r a n+r + c r 1 a n+r 1 + + c 0 a n = 0, n 0 (110) şi se numesc relaţie de recurenţă liniară neomogenă de ordin r cu coeficienţi constanţi respectiv relaţie de recurenţă liniară omogenă de ordin r cu coeficienţi constanţi Cornel Pintea Page 3 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Examplul 11 ([2, p62]) Relaţia de recurenţă liniară neomogenă de ordin 1 are soluţia generală a n+1 = c(n)a n + f (n) (111) a n = a 0 c(0) c(n 1) + c(1) c(n 1) f (0) + c(2) c(n 1) f (1) + + c(n 1) f (n 2) + f (n 1) (112) Observăm acum că soluţia generală (112) a relaţiei de recurenţă liniară neomogenă de ordinul 1 (111) are componenta a 0 c(0) c(n 1) care, atunci când a 0 parcurge întregul corp K, generează nucleul ker R al transformării liniare iar şirul (ξ n ) n 0, unde ξ 0 = 0 şi R : K N K N, R(a n ) n 0 = (a n+1 c(n)a n ) n 0, ξ n := c(1) c(n 1) f (0) + c(2) c(n 1) f (1) + + c(n 1) f (n 2) + f (n 1), n 1, este o soluţie particulară a ecuaţiei R(a n ) = f (n), n 0 In termenii aplicaţiei liniare soluţia generală a recurenţei liniare (111) este ker R + (ξ n ) n 0 = (φ n ) n 0 + (ξ n ) n 0, unde φ 0 = 1, iar φ n = c(0) c(n 1) pentru n 1 Dacă şirul (c(n)) este constant şi are termenii egali cu c, atunci relaţia de recurenţă liniară neomogenă de ordin 1 cu coeficienţi constanţi are soluţia generală a n = a 0 c n + a n+1 = ca n + f (n) n 1 c k f (n k 1) k=0 Cornel Pintea Page 4 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Teorema 19 ([2, p68]) Dacă s este o rădăcină de ordin m a polinomului c r X r + c r 1 X n+r 1 + + c 1 X + c 0 C[X], (113) atunci şirurile (n k s n ) n 0, 0 k m 1 sunt soluţii ale relaţiei de recurenţă liniară omogenă de ordin r cu coeficienţi constanţi (110) Dacă c r X r + c r 1 X n+r 1 + + c 1 X + c 0 = c r (X s 1 ) m1 (X s p ) m p, s i = s j pentru i = j, atunci soluţia generală a recurenţei liniare omogenă de ordin r cu coeficienţi constanţi (110) este mulţimea combinaţiilor liniare a şirurilor (n k s n j ) n 0, 0 k m j 1, 1 l r Aşadar ker R = (s n 1 ), (nsn 1 ),, (nm 1 1 s n 1 ), (sn 2 ), (nsn 2 ),, (nm 1 1 s n 2 ),, (sn p), (ns n 1 ),, (nm p 1 s n p), unde R : K N K N, R(a n ) n 0 = (c r a n+r + c r 1 a n+r 1 + + c 0 a n ) n 0, iar s 1,, s r sunt rădăcinile polinomului (113), numit polinomul caracteristic al recurenţei liniare omogene de ordin r cu coeficienţi constanţi (110) Prin urmare ker R este un subspaţiu finit dimensional al lui K R şi dim ker R r Examplul 12 Vom determina şirul lui Fibonacci definit de relaţia de recurenţă şi condiţiile iniţiale F 0 = 0 şi F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 2 Cornel Pintea Page 5 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

14 Probleme 1 Se consideră un corp finit K cu card(k) = q (a) Determinaţi numărul punctelor unei varietăţi p-dimensionale ale lui K n (b) Determinaţi numărul dreptelor lui K n care trec printr-un punct fixat 2 În R 4 se dau planul α = (2, 4, 1, 2) + (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) şi dreapta D = (2, 3, 1, 1) + (1, 1, 1, 1) Să se determine D α 3 (A se vedea şi [3, Problema 1, p 91]) Care dintre următoarele submulţimi sunt varietăţi liniare ale spaţiilor lor ambiente? (a) A := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : 2x 1 x 2 + x 3 2 = 0} (b) B := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : (x 1 + x 2, 2x 2 + x 3, x 3 2x 1 ) A} (c) C := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 +x2 2 +x2 3 2x 1x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =0} (d) D := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 4 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 0} 4 Fie a 1, a 2,, a n, b 1, b 2,, b n două şiruri finite de numere reale Fie I R un interval deschis ş g : I R o funcţie de clasă C Care dintre următoarele submulţimi sunt varietăţi liniare ale spaţiului C (I)? (a) A := { f C (I) : f (n) + a 1 f (n 1) + + a n 1 f + a n f + g = 0}; (b) B := {h C (I) : h (n) + b 1 h (n 1) + + b n 1 h + b n h A}; (c) C := {ϕ C (I) : ϕ 3 5ϕ 2 + 6ϕ = 0} Cornel Pintea Page 6 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

5 ([3, Problema 2, p 91]) În spaţiul R 4 se dau varietăţile liniare Care dintre următoarele relaţii au loc? a = (2, 1, 2, 1), D = (1, 3, 0, 0) + (1, 1, 1, 1) α = (1, 0, 1, 0) + (2, 1, 3, 1), (1, 0, 2, 2) H = (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) a D, a α, a H, D α, D H, α H, D α, α H 6 ([3, Problema 11, p 94]) În spaţiul vectorial V (dim V > 4) se dau trei puncte distincte a, b, c şi un plan α = a + d 1, d 2 Să se determine o varietate liniară 4-dimensională A A(V) care conţine punctele a, b şi c şi este paralel cu α 7 ([3, Problema 13, p 95]) Considerăm un spaţiu vectorial V, o varietate liniară r- dimensională A A(V) şi un punct b V Să se arate că există o singură varietate Cornel Pintea Page 7 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

liniară r-dimensională B A(V) astfel încât b B şi B A 8 Să se arate că un hiperplan H = a + d 1,, d n 1 a lui R n este caracterizat de ecuaţia x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n d 1 1 d 2 1 d n 1 = 0, d 1 n 1 d 2 n 1 d n n 1 unde a = (a 1, a 2,, a n ) şi d i = (d 1 i, d2 i,, dn i ) pentru 1 i n 1 9 Găsiţi soluţia generală a recurenţei liniare neomogene de ordinul 1 cu coeficienţi constanţi a n+1 = ca n + d n Cornel Pintea Page 8 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

10 Arătaţi că a + ξ 1 η 1 ξ 1 η 2 ξ 1 η m ξ 2 η 1 a + ξ 2 η 2 ξ 2 η m ξ m η 1 ξ m η 2 a + ξ m η m = a m 1 (a + ξ 1 η 1 + + ξ m η m ) (114) Indicaţie Arătaţi mai întâi că determinatul de mai sus, sa-i spunem m, satisface relaţia de recurenţă m = a m 1 + ξ m η m a m 1 11 Determinaţi şirul (a n ) dat prin relaţia de recurenţă a n+2 = 2(a n+1 a n ) şi prin condiţiile iniţiale a 0 = a 1 = 1 12 Determinaţi, în funcţie de a 0 şi a 1 şirul dat prin relaţia de recurenţă liniară a n+2 (s 1 + s 2 )a n+1 + s 1 s 2 a n = 0 Cornel Pintea Page 9 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

13 Dacă (F n ) notează şirul lui Fibonacci (definit de relaţia de recurencţă F n = F n 1 + F n 2 şi condiţiile iniţiale F 0 = 0 şi F 1 = 1), arătaţi că F lim n+1 = 1 + 5 n F n 2 Cornel Pintea Page 10 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

2 Săptămâna 2 21 Învelitori şi combinaţii afine Definiţia 21 Dacă M este o submulţime a lui V, atunci varietatea liniară af(m) := {A M A, A A(V)} se numeşte înfăşurătoarea sau anvelopa sau închiderea afină a lui M Propoziţia 21 (Proprietăţile operatorului af ) Fie M, N P(V) şi A A(V) 1 M af(m) şi af(m) A(V) 2 Dacă M A şi A A(V), atunci af(m) A 1 3 M N = af(m) af(n) 2 4 af(m) = M M A(V) 5 af (af(m)) = af(m) 3 În secţiunea următoare vom arăta că învelitoarea afină a mulţimii M este mulţimea combinaţiilor afine de elemente din M Definiţia 22 O combinaţie liniară m m λ i x i aî λ i = 1, se numeşte combinaţie afină i=1 i=1 Propoziţia 22 O submulţime L a lui V este varietate liniară a lui V dacă şi numai dacă ( ) m m x 1,, x m L şi λ 1,, λ m K, λ i = 1 λ i x i L (21) i=1 i=1 1 af(m) este cea mai mică varietate liniară ce conţine mulţimea M 2 Operatorul af este crescător 3 Operatorul af este idempotent Cornel Pintea Page 11 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Propoziţia 23 Dacă M P(V), atunci { m m af(m) = λ i x i N, xi M, λ i K, i =1,, m, i=1 m i=1 } λ i = 1 22 Dreptele unui spaţiu afin Amintim că dacă a şi b sunt puncte distincte în V, atunci există o singură dreaptă, notată cu ab, care conţine pe a şi b Mai precis ab = a + b a Cornel Pintea Page 12 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Propoziţia 24 Fie V un spaţiu vectorial cu scalari într-un corp K cu cel puţin 3 elemente O submulţime L a lui V este varietate liniară dacă şi numai dacă, odată cu două puncte distincte a, b L, mulţimea L conţine întreaga dreaptă ab Demonstraţie Avem de arătat că L A(V) (x, y L, t K = (1 t)x + ty L) = Din x, y L deducem că y L = x + D(L), adică y x D(L) şi implicit că y x D(L) Aşadar xy = x + y x x + D(L) = L = Putem presupune că L = deoarece, altfel n-am avea nimic de demonstrat Considerăm a L şi arătăm că Y = L a este un subspaţiu vectorial al lui V Pentru aceasta considerăm y 1 = x 1 a, y 2 = x 2 a Y, unde x 1, x 2 L Dacă t K, atunci observăm că (1 t)y 1 + ty 2 = (1 t)x 1 + tx 2 (1 t)a ta = (1 t)x 1 + tx 2 a, care conform ipotezei în care lucrăm, aparţine lui L a = Y Am arătat deci că Luând y 1 = 0 obţinem că y 1, y 2 T, t K = (1 t)y 1 + ty 2 Y (22) y Y, t K = ty Y Fie acum α K \ {0, 1}, adică α şi 1 α sunt inversabile Aşadar (1 α) 1 y 1 Y şi α 1 y 2 Y pentru orice y 1, y 2 Y, fapt care arată, folosind (22), că Aşdar Y V şi L = a + Y y 1 + y 2 = (1 α)[(1 α) 1 y 1 ] + α[α 1 y 2 ] Y Examplul 21 Dacă corpul K al scalarilor lui V are doar două elemente, atunci propoziţia 24 nu are loc Într-adevăr, dacă K = Z 2 = {ˆ0, ˆ1}, atunci submulţimea M := {(ˆ0, ˆ0), (ˆ0, ˆ1), (ˆ1, ˆ0)} a planului V = Z 2 2 conţine toate dreptele care trec prin câte două puncte din M, întrucât dreptele planului Z 2 2 sunt formate din doar două puncte, şi totuşi M nu este varietate liniară Într-adevăr, dacă M ar fi varietate liniară a lui V, atunci M ar fi chiar subspaţiu vectorial al lui V deoarece 0 M Dar atunci (ˆ1, ˆ1) = (ˆ0, ˆ1) + (ˆ1, ˆ0) ar aparţine lui M, ceea ce nu este adevărat Observaţia 21 Propoziţia (24) poate fi rescrisă în termenii aplicaţiei α : P(V) P(V), α(m) = {tx + (1 t)y x, y M, t K} (23) astfel: Fie V un spaţiu vectorial cu scalari într-un corp K cu cel puţin 3 elemente O submulţime L a lui V este varietate liniară dacă şi numai dacă α(l) L Observaţia 22 Fie V un spaţiu vectorial cu scalari într-un corp K Dacă M V, atunci M α(m) α 2 (M) af(m) Într-adevăr, incluziunea M α(m) este evidentă, fapt care arată că M α(m) α 2 (M) α k (M) (24) Din relaţia M af(m) deducem α(m) α(af(m)) af(m), precum şi că α k (M) af(m), pentru orice k 1 O întrebare naturală care apare în legătură cu şirul (24) este dacă termanii acestuia acoperă întrega învelitoare afină a lui M începând cu un anumit rang Dacă spaţiul ambiant V a lui M este finit-dimensional, atunci răspunsul este afirmativ, aşa cum vom vedea mai târziu Cornel Pintea Page 13 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

23 Probleme 1 Să se arate că două varietăţi liniare r-dimensionale A şi B ale unui spaţiu vectorial V sunt paralele dacă şi numai dacă D(A) = D(B) 2 In R 4 considerăm următoarele varietăţi liniare { x1 + x (L 1 ) 3 2 = 0 2x 1 x 2 + x 3 + 3x 4 1 = 0 (L 2 ) x 1 + x 2 + 2x 3 3x 4 = 1 x 2 + x 3 3x 4 = 1 x 1 x 2 + 3x 4 = 3 (a) Să se determine dimensiunile lui L 1 şi L 2 şi să se scrie ecuaţiile lor paramertice şi vectoriale (b) Să se arate că L 1 L 2 3 În spaţiul afin R n (n 2) se dau dreapta = (a 1,, a n ) + (p 1,, p n ), (p 2 1 + + p2 n > 0) şi hiperplanul H : α 1 x 1 + + α n x n + β = 0, (α 2 1 + + α2 n > 0) Să se arate că H dacă şi numai dacă α 1 p 1 + + α n p n = 0 Cornel Pintea Page 14 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

4 Să se arate că pentru orice submulţimi M şi N ale spaţiului vectorial V are loc relaţia af (af(m) af(n)) = af(m N) (25) Cornel Pintea Page 15 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

3 Săptămâna 3 Observaţia 31 Dacă V este un spaţiu vectorial n-dimensional şi M V este o mulţime nevidă, atunci af(m) = { m m } 1 λ i x i m n + 1, λi K, x i M, i = 1, m, λ i = 1 i=1 i=1 31 Teorema dimensiunii Paralelism Propoziţia 31 Dacă A, B A(V), a A, b B, atunci af(a B) = a + D(A) + D(B) + b a Propoziţia 32 Fie A, B A(V), a A, b B Atunci A B = b a D(A) + D(B) Cornel Pintea Page 16 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Propoziţia 33 Dacă varietăţile liniare A şi B au un punct comun a, atunci avem af(a B) = a + D(A) + D(B) şi A B = a + D(A) D(B) Examplul 31 Dacă A, B sunt varietăţi liniare într-un spaţiu vectorial peste K Z 2 şi A B =, atunci af(a B) = {ta + (1 t)b a A, b B, t K} (31) Ipotezele A B = şi K Z 2 sunt esenţiale Observaţia 32 Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K 1 Dacă A, B A(V) sunt varietăţi liniare astfel încât A B =, atunci se poate uşor arăta că α(a B) = {λa + (1 λ)b a A, b B, λ K}unde α este funcţia (23) Egalitatea 31) ne arată că pentru M = A B invelitoarea afină af(m) = af(a B) este acoperită de la prima iterare α(m), adică egalitatea af(m) = α r (M) are loc pentru r = 1 2 Dacă A este o varietate liniară a spaţiului vectorial V de dimensiune cel puţin unu şi c V \ A un punct dat, atunci α({c} A) = a A af(a, c) Faptul că α({c} A) = a A af(a, c) nu este o varietate liniară (a se vedea problema 32(1)) arată că egalitatea α r ({c} A) = af({c} A) este satisfăcută pentru r 2 Se poate arăta că α 2 ({c} A) = af({c} A) în cazul K = Z2 Teorema 34 (Teorema dimensiunii) Fie A, B varietăţi liniare nevide de finit dimensionale Cornel Pintea Page 17 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

1 Dacă A B =, atunci dim af(a B) = dim(a) + dim(b) dim(a B) 2 Dacă A B =, atunci dim af(a B) = dim (D(A) + D(B)) + 1 Propoziţia 35 Presupunem că dim(v) = n Dacă varietatea afină A A(V) nu are niciun punct comun cu hiperplanul H, atunci A H Observaţia 33 Dacă dreapta L intersectează hiperplanul H într-un punct, atunci orice dreaptă paralelă L la L intersectează H tot într-un punct Într-adevăr, altfel am avea L H, adică L H şi deci L H sau L H = 32 Probleme 1 Fie A o varietate liniară de dimensiune cel puţin unu a unui spaţiu vectorial V şi c V \ A un punct dat Este mulţimea o varietate liniară? a A af(a, c) 2 Să se arate că dacă în structura afină a unui spaţiu vectorial 4-dimensional două hiperplane au un punct comun, atunci ele au un plan comun 3 Se consideră varietăţile liniare A şi B astfel încât A B = şi dim A = dim B = p Să se arate că A B dacă şi numai dacă A şi B sunt incluse într-o varietate de dimensiune p + 1 Cornel Pintea Page 18 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

4 Se consideră în R 5 vectorii a = (1, 0, 0, 2, 0), b = (0, 2, 0, 0, 1), c = (1, 2, 0, 0, 0) şi d = (0, 0, 0, 2, 1) şi varietăţile liniare A = a + b, c, B = c + b, d Să se afle A B şi af(a B) 5 Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul K, unde K Z 2 Se consideră aplicaţia α : P(V) P(V), α(m) = {tx + (1 t)y x, y M, t K} şi iteratele α 1 = α, α 2 = α α, Să se arate că pentru orice M P(V) se poate găsi un număr natural r astfel încât af(m) = α r (M) Să se arate că ipoteza K Z 2 este esenţială Cornel Pintea Page 19 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

6 Să se determine toate poziţiile reciproce posibile a două plane α şi β dintr-un spaţiu vectorial 4-dimensional precizând în fiecare caz şi dim(af (α β)) 7 Într-un spaţiu vectorial n-dimensional fie L 1 şi L 2 două varietăţi liniare de dimensiune p respectiv q (p > q, p + q n 1), astfel încât L 1 L 2 = şi L 1 L 2 Să se determine mulţimea valorilor posibile pentru dim af(l 1 L 2 ) 8 În structura afină a unui spaţiu vectorial n-dimensional considerăm două hiperplane Care sunt valorile posibile pentru dim(h 1 H 2 ) şi dim af(h 1 H 2 )? Cornel Pintea Page 20 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

9 În structura afină a unui spaţiu vectorial n-dimensional se consideră un hiperplan H şi o varietate lininară p-dimensională (p < n 1) Să se arate că atunci are loc una dintre relaţiile: (a) dim(h A p ) = p 1; (b) H A p Cornel Pintea Page 21 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

4 Săptămâna 4: Proprietăţi laticeale Mulţimi convexe 41 Proprietăţi laticeale ale structurii afine Teorema 41 Structura afină A(V) este o latice completă Pentru o familie oarecare {A i } i I de varietăţi liniare ale lui V avem: inf A i = A i şi sup A i = af ( ) A i i I i I i I i I Observaţia 41 1 Dacă A, B A(V) şi a A, b B, atunci A B = a + D(A) + D(B) + b a şi A B = A B 2 Dacă A B = şi a A B, atunci A B = a + D(A) + D(B) şi A B = A B = a + D(A) D(B) Propoziţia 42 Dacă spaţiile vectoriale V şi W, având scalarii în acelaşi corp K, sunt izomorfe, atunci laticele A(V) şi A(W) sunt izomorfe Dacă f : V W este un izomorfism liniar, atunci aplicaţia f : A(V) A(W), f (A) := { f (a) a A} = f (A) este un izomorfism laticeal 42 Structura afină a spaţiului vectorial K n Din Propoziţia 42 reiese importanţa structurii afine A(K n ) a lui K n Într-adevăr, orice spaţiu vectorial n-dimensional peste K este izomorf cu K n, structurile afine ale spaţiilor vectoriale n-dimensionale fiind laticeal izomorfe cu A(K n ) Fie A = x 0 + D(A) A(K n ), iar {d 1,, d r } o bază a lui D(A), x 0 = (x 1,, x n ) şi d j = (d 1j,, d nj ), j = 1, 2,, r Aşadar Relaţiile A = { (x 1,, x n ) K n x i = xi 0 r } + d ij λ j, λ j K j=1 x i = x 0 i + r d ij λ j, i = 1,, n (41) j=1 se numesc ecuaţiile parametrice ale varietăţii liniare A Pe de altă parte, varietăţile liniare ale lui K n coincid cu soluţiile sistemelor liniare Mai precis, orice varietate liniară A A(K n ) poate fi caracterizată şi astfel: A = { (x 1,, x n ) K n Condiţiile care figurează aici, adică n } a ij x j = b i, i = 1,, m j=1 n a ij x j = b i, i = 1,, m, j=1 se numesc ecuaţiile implicite ale varietăţii liniare A Intersecţia a două varietăţi liniare A, B A(K n ) se caracterizează uşor dacă A şi B sunt date prin sisteme de ecuaţii Mai precis sistemul de ecuaţii a lui A B se obţine luând ecuaţiile lui A şi B Varietatea liniară A B, subîntinsă de varietăţile liniare A şi B, se caracterizează însă mai uşor dacă avem reprezentările parametrice ale varietăţilor A şi B Cornel Pintea Page 22 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

43 Submulţimile convexe ale unui spaţiu vectorial real Definiţia 41 Fie V un spaţiu vectorial real O mulţime C V se numeşte convexă dacă pentru orice x, y C segmentul [xy] := {(1 t)x + ty : t [0, 1]} este conţinut în C Definiţia 42 Dacă M este o submulţime a lui V, atunci mulţimea conv(m) := {C M C şi C convexă} se numeşte învelitoarea convexă sau închiderea convexă a lui M Propoziţia 43 (Proprietăţile operatorului conv) 1 M conv(m) şi conv(m) este o mulţime convexă pentru orice M P(V) 2 Dacă M C şi C este convexă, atunci conv(m) C 4 3 M N = conv(m) conv(n) 5 4 conv(m) = M dacă şi numai dacă M este convexă 5 conv (conv(m)) = conv(m) pentru orice M P(V) 6 Observaţia 42 1 Dacă {C i } i I este o familie de submulţimi convexe ale spaţiului vectorial real V, atunci intersecţia C i este de asemenea o mulţime convexă i I 2 Submulţimea M a spaţiului vectiral real V este convexă dacă şi numai dacă m 1, x 1,, x m, t 1,, t m [0, 1], t 1 + + t m = 1 t 1 x 1 + + t m x m M Definiţia 43 O combinaţie liniară combinaţie convexă m λ i x i aî i=1 m λ i = 1 şi λ 1,, λ m [0, 1], se numeşte i=1 Propoziţia 44 Dacă V este un spaţiu vectorial real şi M V este o mulţime nevidă, atunci conv(m) = { m m λ i x i 1, xi M, λ i [0, 1], i = 1, m, i=1 m } λ i = 1 i=1 4 conv(m) este cea mai mică mulţime convexă ce conţine mulţimea M 5 Operatorul conv este crescător 6 Operatorul conv este idempotent Cornel Pintea Page 23 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

431 Teorema lui Carathéodory Teorema 45 (Carathéodory) Dacă V este un spaţiu vectorial real n-dimensional şi M V este o mulţime nevidă, atunci conv(m) = { m 1 λ i x i m n + 1, xi M, λ i [0, 1], i = 1, m, i=1 m } λ i = 1 i=1 44 Probleme 1 Dacă C 1, C 2 sunt două submulţimi convexe ale lui R n, ară taţi că C 1 + C 2 este de asemenea convexă 2 În spaţiul vectorial R 2 vârfurile unui triunghi sunt A 1 (x 1, y 1 ), A 2 (x 2, y 2 ), A 3 (x 3, y 3 ) Să se arate că punctul M(x, y) este în interiorul triunghiului A 1 A 2 A 3 dacă şi numai dacă S 12 (x, y)s 12 (x 3, y 3 ) > 0, S 23 (x, y)s 23 (x 1, y 1 ) > 0, S 31 (x, y)s 31 (x 2, y 2 ) > 0, unde S ij (x, y) = x y 1 x i y i 1 x j y j 1 Cornel Pintea Page 24 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

3 Fie A, B R n mulţimi convexe disjuncte şi nevide, iar x un punct din R n Arătaţi că conv({x} A) = {ta + (1 t)x a A, t [0, 1]} Arătaţi că A conv({x} B) = sau B conv({x} A) = 4 Să se arate că pentru două submulţimi oarecare A şi B ale lui R n are loc egalitatea: conv(a) + conv(b) = conv(a + B) Cornel Pintea Page 25 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

5 Să se arate că rădăcinile polinomului derivat al unui polinom neconstant cu coeficienţi complecşi aparţin învelitorii convexe a rădăcinilor polinomului dat (Teorema Gauss-Lucas) Cornel Pintea Page 26 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

5 Săptămâna 5 Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman şi Motzkin 51 Teorema lui Radon Teorema 51 (Radon) Dacă M este submulţime finită a unui spaţiu vectorial real n-dimensional formată din m n + 2 puncte, atunci există submulţimile disjuncte M 1, M 2 ale lui M astfel încât M = M 1 M 2 şi conv(m 1 ) conv(m 2 ) = 52 Teorema lui Helly Teorema 52 (Helly) Dacă submulţimile convexe M 1,, M r ale spaţiului afin R n sunt astfel încât r n + 1 şi, luate câte n + 1 în toate modurile posibile, au intersecţia nevidă, atunci M 1 M r = Cornel Pintea Page 27 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

53 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman şi Motzkin Definiţia 51 Un punct extremal al mulţimii convexe C este un punct x C cu următoarea proprietate λy + (1 λ)z = x, y, z C, λ (0, 1) = y = z = x Teorema 53 (Minkowski) Orice submulţime convexă şi compactă a lui R n este închiderea convexă a mulţimii punctelor sale extremale Teorema 54 (Krein-Milman) Orice submulţime convexă şi compactă K a unui spaţiu local convex poate fi reprezentată sub forma K = cl conv ext K, unde ext K este mulţimea punctelor extremale ale lui K Teorema 55 (Motzkin) Orice mulţime poliedrală este suma (Minkowski) dintre un politop şi un con convex 54 Probleme 1 Găsiţi o familie (infinită) de mulţimi convexe din plan având intersecţia vidă, iar intersecţia oricăror 3 mulţimi din familie este nevidă 2 Se consideră înplan o mulţime finită cu proprietatea că oricare trei puncte ale mulţimii sunt conţinute într-un disc de rază 1 Să se arate că există un disc de rază 1 care conţine toate punctele mulţimii date Cornel Pintea Page 28 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

3 Considerăm în plan n segmente paralele astfel în cât pentru oricare 3 dintre ele există o dreaptă care le intersectează Să se arate că există o dreaptă care intersectează toate segmentele 4 Considerăm în plan n segmente paralele astfel în cât pentru oricare 4 dintre ele există o parabolă care le intersectează Să se arate că există o parabolă care intersectează toate segmentele 5 (Jung) Să se arate că orice mulţime finită din plan de diametru 1 poate fi acoperită de un disc de rază 1 3 Cornel Pintea Page 29 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Cornel Pintea Page 30 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

6 Săptămâna 6: Spaţiul afin 61 Definiţie şi exemple Definiţia 61 Se numeşte spaţiu afin un triplet (X, X, ϕ), unde X este o mulţime ale cărei elemente se numesc puncte, X este un spaţiu vectorial, iar ϕ : X X X este o aplicţie a î: 1 ϕ(p, Q) + ϕ(q, R) = ϕ(p, R), P, Q, R X 2 Pentru orice O X şi orice a X, există un singur punct A X astfel ca ϕ(o, A) = a Cu notaţia PQ:= ϕ(p, Q), condiţiile de mai sus se scriu: 1 PQ + QR= PR, P, Q, R X 2 Pentru orice O X aplicaţia ϕ O : X X definită prin ϕ O (M) = OM este bijectivă Luând P = Q = R = A în (1 ) deducem AA= 0, A X Examplul 61 1 Tripletul (P, V, ϕ), unde ϕ : P P V, ϕ(a, B) = AB este un spaţiu afin 2 Tripletul (V, V, ϕ), unde V este un spaţiu vectorial şi ϕ : V V V, ϕ(v 1, v 2 ) = v 2 v 1, este un spaţiu afin Întrucât ϕ O : X X este bijecţie, iar X este un spaţiu vectorial, există o unică structură de spaţiu vectorial pe X astfel încât ϕ O este izomorfism Această structură este dată de operaţiile: 1 P = A O B OP= OA + OB 2 Q = λ O A OQ= λ OA, iar spaţiul vectorial (X, O, O ) se notează cu T O (X) şi se numeşte spaţiul vectorial tangent la X în punctul O Menţionăm că structura lui X dată de operaţiile O şi O depinde de alegerea punctului O Cu toate acestea mulţimea varietăţilor liniare ale lui T O (X) nu depinde de O X Cornel Pintea Page 31 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

62 Subspaţii afine Întrucât ϕ O : X X este bijecţie, iar X este un spaţiu vectorial, există o unică structură de spaţiu vectorial pe X astfel încât ϕ O este izomorfism Această structură este dată de operaţiile: 1 P = A O B OP= OA + OB 2 Q = λ O A OQ= λ OA, iar spaţiul vectorial (X, O, O ) se notează cu T O (X) şi se numeşte spaţiul vectorial tangent la X în punctul O Menţionăm că structura lui X dată de operaţiile O şi O depinde de alegerea punctului O Cu toate acestea mulţimea varietăţilor liniare ale lui T O (X) nu depinde de O X Propoziţia 61 Varietăţile liniare nevide ale lui T O (X) sunt submulţimile lui X de forma unde A X şi U X L = {M AM U}, (61) Observaţia 61 În egalitatea 61 punctul A L poate fi ales arbitrar în L, iar subspaţiul U al lui X este unic determinat de L şi U = { AM M L} Definiţia 62 Se numeşte varietate liniară sau subspaţiu afin al lui X orice varietate liniară a spaţiului vectorial T O (X) Mulţimea varietăţilor liniare ale lui X se notează cu A(X) Spaţiul director al varietăţii liniare L A(X) este spaţiul director al varietăţii liniare ϕ O (L), adică { AM: M L} 63 Combinaţii afine în spaţii afine Fie (X, X, ϕ) un spaţiu afin şi A 1,, A m X, iar λ 1,, λ m scalari daţi Punctul M = λ 1 O A 1 O O λ m O A m (62) este doar atunci definit când s-a ales un punct O X, iar M depinde de alegerea lui O m Dacă însă combinaţia liniară 62 este o combinaţie afină, adică λ i = 1, atunci punctul M nu i=1 depinde de alegerea punctului O X Cornel Pintea Page 32 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Definiţia 63 Date fiind punctele A 1,, A m X şi scalarii λ 1,, λ m astfel încât m i=1 λ i = 1, punctul M definit prin relaţia 62 se numeşte baricentrul sistemului de puncte A 1,, A m cu ponderile λ 1,, λ m Propoziţia 62 Fie (X, X, ϕ) un spaţiu afin şi S X; atunci S este un subspaţiu afin al lui X dacă şi numai dacă pentru orice sistem finit de puncte din S, orice baricentru al acestui sistem aparţine lui S Propoziţia 63 Fie A 0, A 1,, A m puncte ale spaţiului afin X Atunci M af{a 0, A 1,, A m } A 0 M A 0 A 1,, A 0 A m Corolarul 64 dim af{a 0, A 1,, A m } m Corolarul 65 Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1 dim af{a 0, A 1,, A m } = m 2 vectorii A 0 A 1,, A 0 A m sunt liniar independenţi 3 nici unul dintre punctele A 0, A 1,, A m nu aparţine subspaţiului afin subîntins de celelalte Definiţia 64 Punctele A 0, A 1,, A m se numesc afin independente dacă ele îndeplinesc una dintre condiţiile corolarului 65 În caz contrar aceste puncte se numesc afin dependente 64 Repere afine şi repere carteziene Definiţia 65 Un sistem de puncte A 0, A 1,, A n afin independente, luate într-o ordine determinată, se numeşte reper afin al varietăţii liniare L = af{a 0, A 1,, A n } De exemplu punctele A 0 = (0,, 0), A i = (δi 1,, δn i ), unde δj i este simbolul lui Kronecker, i = 1,, n formează un reper afin al lui K n Fie A 0, A 1,, A n un reper afin al lui L A(X) Dat fiind M L, există scalarii ξ 0, ξ 1,, ξ n astfel încât, pentru orice O X să avem: OM= OA i şi particular A 0 M= n ξ i i=0 A 0 A i = n i=1 ξ i A 0 A i, deoarece A 0 A 0 = 0 n ξ i i=0 n ξ i = 1 În i=0 A 0 A n sunt liniar independenţi, rezultă că scalarii ξ 1,, ξ n, Întrucât vectorii A 0 A 1,, şi prin urmare ξ 0 = 1 ξ 1 ξ n, cu proprietăţile de mai sus sunt unici Scalarii ξ 0, ξ 1,, ξ n se numesc coordonatele baricentrice ale lui M, iar ξ 1,, ξ n se numesc coordonatele carteziene ale lui M faţă de reperul afin (A 0, A 1,, A n ) Cornel Pintea Page 33 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Definiţia 66 Se numeşte reper cartezian al varietăţii liniare L A(X) orice pereche R = (O, b), unde O L, iar b = [e 1,,e n ] este o bază ordonată a spaţiului director L Punctele (O, A 1,, A n ) cu proprietatea că e i = OA i, i = 1,, n formează reperul afin asociat reperului cartezian R Fie R = (O, e 1,, e n ) un reper cartezian al spaţiului afin X Vom folosi notaţiile [M] R = [ OM] b = ξ 1 ξ n sau M(ξ 1, ξ n ) Observăm că dacă [M] R = [ξ i ] şi [N] R = [η i ], atunci componentele vectorului MN faţă de baza b sunt η i ξ i, adică [ MN] b = [η i ξ i ], întrucât MN= ON OM Dacă (A 0, A 1,, A n ) este un reper afin al spaţilui afin X, atunci aplicaţia T A 0 (X) Kn, M(x 1,, x n ) (x 1, x n ) defineşte un izomorfism de spaţii vectoriale, care determină, la rândul său, un izomorfism laticeal A(X) A(K n ) Teorema 66 Fie R = (O, b) un reper cartezian al spaţilui afin X şi (x 1,, x n ) coordonatele uni punct generic al spaţiului X faţă de acest reper Atunci o varietate liniară r-dimensională se caracterizează prin ecuaţii parametrice de forma x i = x 0 i + r d ij λ j, i = 1,, n j=1 O varietate liniară (n m)-dimensională se identifică cu mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare n a ij x j = b i, i = 1,, m j=1 65 Schimbarea coordonatelor Fie R = (O, b) şi R = (O, b ) două repere carteziene ale lui X şi T matricea de trecere de la bază b la baza b Pentru a stabili legătura dintre [M] R şi [M] R observăm că avem succesiv: [M] R = [ OM] b = T [ OM] b = T [ OO + O M] b = T [ O M] b + T [ OO ] b = T [M] R + [ OO ] b = T [M] R + [O ] R Propoziţia 67 Schimbarea coordonatelor carteziene se face după formula [M] R = T [M] R + [O ] R În termenii coordonatelor carteziene formula schimbării de coordonate devine x i = unde T = (t ij ) şi [O ] t R = (α 1 α n ) n t ij x j + α i, i = 1,, n, i=0 Cornel Pintea Page 34 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

66 Probleme 1 În spaţiul vectorial K n, unde K este un corp oarecare, se consideră o varietate liniară p- dimensională A Să se construiască o aplicaţie ϕ : A A K p astfel încât (A, K p, ϕ) să fie un spaţiu afin 2 Fie A, B două puncte ale unui spaţiu afin real X şi C, D punctele definite prin C = 1 1 λ A + λ λ 1 B, D = 1 1 + λ A + λ λ + 1 B, unde λ R \ { 1, 1} Arătaţi că EA= λ 2 EB, unde E = 1 2 C + 1 2 D 3 Fie A 1,, A n puncte ale spaţiului afin real X şi λ 1,, λ n scalari reali astfel încât n λ i = 1 Considerăm punctele i=1 B 1 = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + + λ n 1 A n 1 + λ n A n B 2 = λ 1 A 2 + λ 2 A 3 + + λ n 1 A n + λ n A 1 B 3 = λ 1 A 3 + λ 2 A 4 + + λ n 1 A 1 + λ n A 2 B n 1 = λ 1 A n 1 + λ 2 A n + + λ n 1 A n 3 + λ n A n 2 B n 1 = λ 1 A n + λ 2 A 1 + + λ n 1 A n 2 + λ n A n 1 Arătaţi că cele două sisteme de puncte au acelaşi centru de greutate 7, adică 1 n A 1 + 1 n A 2 + + 1 n A n = 1 n B 1 + 1 n B 2 + + 1 n B n (63) 7 Centrul de greutate al unui sistem de puncte A 1,, A n dintr-un spaţiu afin X este baricentrul sitemului cu ponderi egale G = 1 n A 1 + 1 n A 2 + + 1 n A n Cornel Pintea Page 35 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

4 Fie A 1,, A n, B 1,, B n puncte din spaţiul afin real X Arătaţi că unde A 1 B 1 + + A n B n = n GG, G = 1 n A 1 + 1 n A 2 + + 1 n A n, G = 1 n B 1 + 1 n B 2 + + 1 n B n sunt centrele de greutate ale celor două sisteme de puncte Prin urmare cele două sisteme de puncte au acelaşi centru de greutate ddacă A 1 B 1 + + A n B n = 0 5 Se consideră un reper afin (A 0, A 1,, A n ) al spaţiului afin X şi baricentrele de ponderi egale 8 n 1 Gi = n A j j=0,j =i 8 Centrele de greutate ale feţelor simplexului A 0 A 1 A n Cornel Pintea Page 36 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Să se arate că n i=0 A i G i = {G}, unde G = 1 n + 1 A 0 + 1 n + 1 A 1 + + 1 n + 1 A n, adică intersecţia dreptelor A i G i, i {0, 1, n} este centrul de greutate al sistemului de puncte A 0, A 1,, A n 6 Într-un spaţiu afin tridimensional raportat la reperul cartezian R = (O, e 1, e 2, e 3 ) se dau punctele O (0, 3, 1) şi vectorii e 1 (2, 1, 1), e 2 (2, 1, 2), e 3 (3, 0, 1) Să se scrie formulele de trecere de la reperul R la reperul R = (O, e 1, e 2, e 3 ) Să se determine coordonatele punctului A(1, 2, 0) faţă de reperul R 7 În planul afin K 2 considerăm un repoer afin R = (A 0, A 1, A 2 ) (a) Care sunt coordonatele lui A 1 faţă de R? Cornel Pintea Page 37 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(b) Să se scrie ecuaţia dreptei AB, unde A, B K 2, unde [A] R = [ a 0 ] [ 0, [B] R = b ] (c) Să se calculeze coordonatele punctelor A 0, A şi B faţă de reperul R = (A 1, A 2, A 3 ), unde [ ] [A 3 1 ] R = 1 8 În spaţiul afin 4-dimensional X raportat la reperul cartezian R = (A 0, A 0 A 1, se dau puntele B(1, 1, 0, 0), C(0, 1, 1, 0) (a) Să se arate că este un reper cartezian R = (A 3, A 3 A 1, A 0 A 2, A 0 A 3, A 3 A 4, A 3 B, A 0 A 4 ) A 3 A 2 ) (b) Să se scrie formulele de trecere de la reperul R la reperul R (c) Să se determine [M] R şiind că [M] = [5 1 0 2] t R (d) Un subspaţiu afin al lui X este dat, faţă de reperul R, prin sistemul { x1 + 2x 2 x 3 = 0 x 1 +x 4 = 2 Care sunt ecuaţiile acestui subspaţiu faţă de reperul R? Cornel Pintea Page 38 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(e) Un subspaţiu afin al lui X este dat, faţă de reperul R, prin sistemul { x1 x 2 + x 3 x 4 = 0 x 2 + x 3 = 5 Care sunt ecuaţiile acestui subspaţiu faţă de reperul R? 9 Se consideră un plan π şi R = (O, i, j ) un reper cartezian ortonormat al său Considerăm de asemenea elipsa E a cărei ecuaţie faţă de reprerul cartezian ortonormat R = (O, ( i, j ) este 10x 2 + 5y 2 = 10, unde O 4 5, 2 ) şi 2 i = 5 i 1 j şi 5 5 Cornel Pintea Page 39 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

j = 1 5 i + 2 5 j Aflaţi ecuaţia elipsei E faţă de reperul R 10 Se consideră un plan π şi R = (O, i, j ) un reper cartezian ortonormat al său Considerăm de asemenea hiperbola H a cărei ecuaţie faţă de reprerul cartezian ortonormat R = (O, i, j ) este 4x 2 y 2 = 36, unde O (3, 4) şi 1 i = 5 i + 2 j şi 5 j = 2 5 i + 1 5 j Aflaţi ecuaţia hiperbolei H faţă de reperul R Cornel Pintea Page 40 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

7 Săptămâna 7 71 Funcţii polinomiale 711 Definiţii şi observaţii Fie X un spaţiu afin real n-dimensional O funcţie f : X R se numeşte funcţie polinomială dacă există un reper cartezian R = (O, e 1,, e n ) al lui X şi un polinom F R [ X 1, X 2,, X n ] astfel încât pentru orice punct X X de coordonate carteziene (x1, x 2,, x n ) faţă de R să avem f (X) = F(x 1, x 2,, x n ), adică f este un polinom în coordonatele lui X faţă de R Observăm că noţiunea de funcţie polinomială nu depinde de alegerea reperului cartezian R Întradevăr, dacă S este un alt reper cartezian şi f : X R este un polinom în coordonatele lui X faţă de R, atunci f este un polinom de acelaşi grad şi în coordonatele lui X faţă de S, deoarece formulele de trecere de la reperul R la reperul S sunt polinoame de gradul întâi reversibile Prin urmare gradul polinomului F este invariant la schimbarea reperului şi se numeşte gradul lui f Alegerea convenabilă a reperului poate conduce la o formă cât mai simplă a polinomului de reprezentare a lui f Definiţia 71 Dacă f : X R este o funcţie polinomială de gradul doi pe spaţiul afin n-dimensional X, atunci preimaginea Q = f 1 (0) se numeşte hipercuadrică Dacă n = 2, atunci Q se numeşte conică, iar dacă n = 3, atunci Q se numeşte cuadrică 712 Funcţii polinomiale de gradul doi Reprezentări matriceale Fie f : X R este o funcţie polinomială de gradul doi care, faţă de reperul cartezian n n R = (O, e 1,, e n ) al lui X, are reprezentarea f (M) = a 00 + 2 a i0 x i + a ij x i x j pentru i=1 i,j=1 orice M(x 1,, x n ) X Aceasta se poate reprezentă matriceal astfel: f (M) = a 00 + 2(a 10 a n0 )[M] R + [M] t R A[M] R, unde A := a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Matricea A poate fi aleasă simetrică deoarece f admite şi reprezentarea f (M) = a 00 + 2(a 10 a n0 )[M] R + [M] t A + A t [M] R 2 R Notăm cu [ f ] R matricea A, atunci când A este simetrică, adică f (M) = a 00 + 2(a 10 a n0 )[M] R + [M] t [ f ] [M], R R R unde [ f ] R := a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn, a ij = a ji, 1 i, jl Cornel Pintea Page 41 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Dacă R = (O, e 1,, e n) este un alt reper cartezian, atunci [M] R = T[M] R + [O ] R, ude T este matricea de trecere de la baza b = (e 1,, e n ) la baza b = (e 1,, e n), fapt care arată că f (M) = b 00 + 2(b 10 b n0 )[M] R + [M] t R (Tt [ f ] R T)[M] R, unde b 00 = a 00 + 2(a 10,, a n0 )[O ] R + [O ] t R [ f ] R [O ] R = f (O ) (b 10 b n0 ) = (a 10 a n0 )T + 1 2 [O ] t R ([ f ] R + [ f ]t R )T Aşadar [ f ] R = T t [ f ] R T O altă matrice importantă legată de reprezentarea funcţiei polinomiale f faţă de reperul R este a 00 a 01 a 02 a 0n a 10 a 11 a 12 a 1n [[ f ]] R := a 20 a 21 a 22 a 2n unde a 0i = a i0, i = 1, n a n0 a n1 a n2 a nn Într-adevăr avem f (M) = (1 x 1 x 2 x n )[[ f ]] R Dacă [M] t = (x R 1 x 2 x n), atunci avem 1 x 1 x 2 = unde unde Prin urmare avem x n 1 0 0 0 β 1 t 11 t 12 t 1n β 2 t 21 t 22 t 2n β n t n1 t n2 t nn [O ] R = β 1 β 2 β n 1 x 1 x 2 x n şi T = (t ) ij 1 i,j n f (M) = (1 x 1 x 2 x n)(s t [[ f ]] R S) 1 0 0 0 β 1 t 11 t 12 t 1n S = β 2 t 21 t 22 t 2n, β n t n1 t n2 t nn 1 x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n,, Cornel Pintea Page 42 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

fapt care arată că [[ f ]] R = S t [[ f ]] R S 8 Săptămâna 8: Reducerea izometrică a polinoamelor de gradul doi în două variabile 81 Invarianţi ortogonali Fie π P un plan afin şi f : π R o funcţie polinomială de gradul doi reprezentată în raport cu reperul cartezian ortonormat R = (O, i, j ) de polinomul F = a 00 + 2a 10 X + 2a 20 Y + a 11 X 2 + 2a 12 XY + a 22 Y 2, adică ( ) a a11 a 00 a 01 a 02 [ f ] R = 12 şi [[ f ]] a 21 a R = a 10 a 11 a 12, a ij = a ji 22 a 20 a 21 a 22 Definiţia 81 O funcţie Φ : R 6 X se numeşte invariant ortogonal al funcţiei polinomiale f : π R, f (M) = a 00 + 2a 10 x + 2a 20 y + a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 dacă valoarea Φ(a 00, a 10, a 20, a 11, a 12, a 22 ) nu se schimbă atunci când schimbăm reperul cartezian ortonormat Propoziţia 81 Polinomul caracteristic P(λ) = det([ f ] R λi 2 ) = a 11 λ a 12 a 21 a 22 λ = λ 2 I λ + δ, (a 21 = a 12 ) este invariant ortogonal al lui f În particular δ = det [ f ] R = a 11 a 12 a 21 a 22 = a11 a 22 a 2 12 şi I = Tr [ f ] R = a 11 + a 22 sunt invarianţi ortogonali ai lui f De asemenea determinantul a 00 a 01 a 02 = det [[ f ]] R = a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22, (a ik = a ki ) este invariant ortogonal al lui f numit discriminantul lui f Cornel Pintea Page 43 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

82 Semiinvarianţi ortogonali Definiţia 82 semiinvariant ortogonal al funcţiei polinomiale f : π R, f (M) = a 00 + 2a 10 x + 2a 20 y + a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 dacă valoarea Ψ(a 00, a 10, a 20, a 11, a 12, a 22 ) nu se schimbă atunci când schimbăm reperul cartezian ortonormat fără a schimba originea sa a 00 a 01 a 02 Propoziţia 82 Polinomul P O (λ) = a 10 a 11 λ a 12 a 20 a 21 a 22 λ = Kλ + a 00λ 2 este un semiinvariant ortogonal al lui f Prin urmare, K = a 00 a 01 a 10 a 11 + a 00 a 02 a 20 a 22 este un semiinvariant ortogonal al lui f Cornel Pintea Page 44 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

83 Probleme 1 Să se calculeze invarianţii şi semiinvarianţii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2: (a) αx 2 + 2βxy (α 2)y 2 + 2x + 2y + 2 = 0; (b) (α 1)x 2 + 2βxy (α + 1)y 2 + 2αx + 2βy (α + 1) = 0, α, β fiind coordonatele unui punct din plan Cornel Pintea Page 45 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

2 Să se calculeze invarianţii şi semiinvarianţii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2: (a) 2 + 16x 8y + 9x 2 4xy + 6y 2 ; (b) 36 + 16x + 12y + 4xy + 3y 2 ; (c) 1 6x + 2y + x 2 4xy + 4y 2 9 Săptămâna 9: Teorema de reducere izometrică a polinoamelor de gradul doi în două variabile Teorema 91 Faţă de un reper cartezian ortonormat convenabil ales funcţia polinomială f are una din formele următoare: 1 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + δ, dacă δ = 0; 2 Iy 2 ± 2 I x, dacă δ = 0, = 0; 3 Iy 2 + K I, dacă δ = = 0 În procesul de reducere al funcţiilor polinomiale de gradul doi, matricea simetrică [ f ] R se diagonalizează cu ajutorul unei baze de vectori proprii ai acestei matrici Direcţiile vectorilor unei astfel de baze, adică spaţiile generate de ei, se numesc direcţii principale ale funcţiei polinomiale în discuţie Cornel Pintea Page 46 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Teorema 92 (Teorema de reducere izometrică a conicelor) Dată fiind conica Q : a 00 + 2a 10 x + 2a 20 y + a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 = 0 există un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel încât ecuaţia acesteia să aibă una din formele următoare: 1 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + δ = 0, dacă δ = 0; 2 Iy 2 ± 2 I x = 0, dacă δ = 0, = 0; 3 Iy 2 + K I = 0, dacă δ = = 0 = 0 δ > 0 I > 0 elipsă imaginară I < 0 elipsă reală conice δ < 0 hiperbolă nedegenerate δ = 0 parabolă = 0 δ > 0 două drepte secante imaginare δ < 0 două drepte secante reale conice δ = 0 K > 0 două drepte paralele imaginare degenerate K < 0 două drepte paralele reale K = 0 două drepte reale confundate Demonstraţia teoremei de reducere a polinoamelor de gradul doi in două variabile sugerează o metodă de a aduce conicele la forma canonică, numită metoda valorilor şi a vectorilor proprii În continuare vom prezenta o metodă alternativă de a găsi reperul R = (O, i, j ), faţă de care ecuaţia unei conice cu centru unic (ex elipsă, hiperbolă) are forma are forma redusă Cornel Pintea Page 47 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Originea O este centrul conicei Aşadar, coordonatele sale date de unica soluţie a sistemului { 12 F x(x, { y) = 0 1 2 F y(x, y) = 0 a10 + a 11 x + a 12 y = 0 a 20 + a 12 x + a 22 y = 0 (91) Dacă θ = ( i, i ), atunci coordonatele lui i în raport cu baza iniţială [ i, j ] sunt (cos θ, sin θ) iar coordonatele lui j sunt ( sin θ, cos θ) Vectorii i, j fiind direcţiile principale corespunzătoare valorilor proprii λ 1 respectiv λ 2, coordonatele lor sunt soluţiile sistemelor { (a11 λ 1 ) cos θ + a 12 sin θ = 0 (92) a 12 cos θ + (a 22 λ 1 ) sin θ = 0 Prin urmare { (a11 λ 2 ) sin θ + a 12 cos θ = 0 a 12 sin θ + (a 22 λ 2 ) cos θ = 0 (93) λ 1 = a 11 + a 12 tgθ, λ 2 = a 11 a 12 ctgθ (94) Adunând relaţiile (94) şi ţinând seama de relaţia a 11 + a 22 = λ 1 + λ 2, deducem relaţia a 12 tg 2 θ + (a 11 a 22 )tgθ a 12 = 0 (95) Schimbând eventual rolul lui λ 1 cu cel al lui λ 2, baza [ i, j ] poate fi astfel alesă încât unghiul rotaţiei să fie între 0 şi π 2 Acest fapt împreună cu relaţia 95 determină în mod unic θ (cu excepţia cazului a 12 = 0, a 11 = a 22, când conica este un cerc şi θ poate lua orice valoare) care este unghiul rotaţiei axelor de coordonte Ecuaţia 95 este echivalentă cu ecuaţia (a 11 a 22 )tgθ = a 12 (1 tg 2 θ) sau cu ecuaţia Pantele direcţiilor asimptotice sunt date de ecuaţia tg2θ = 2a 12 a 11 a 22 (96) a 22 m 2 + 2a 12 m + a 11 = 0 (97) Notând cu m 1, m 2 cele două rădăcini ale ecuaţiei 97, ecuaţiile asimptotelor sunt: ecuaţia globală a celor două asimptote este F x + m i F y = 0, i {1, 2} (98) F(x, y) = δ (99) Cornel Pintea Page 48 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

91 Probleme 1 Să se discute natura conicei ( Q α,β ) αx 2 + 2βxy (α 2)y 2 + 2x + 2y + 2 = 0, α, β fiind coordonatele unui punct din plan 2 Să se discute natura conicei ( ) Q α,β (α 1)x 2 + 2βxy (α + 1)y 2 + 2αx + 2βy (α + 1) = 0, α, β fiind coordonatele unui punct din plan Cornel Pintea Page 49 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

3 Să se scrie ecuaţia redusă a conicei 9x 2 25y 2 18x + 50y 241 = 0 4 Să se aducă la forma redusă izometrică şi să se reprezinte grafic conicele: Cornel Pintea Page 50 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(a) Q 1 : 2 + 16x 8y + 9x 2 4xy + 6y 2 = 0 Cornel Pintea Page 51 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(b) Q 2 : 36 + 16x + 12y + 4xy + 3y 2 = 0 Cornel Pintea Page 52 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(c) Q 3 : 1 6x + 2y + x 2 4xy + 4y 2 = 0 Cornel Pintea Page 53 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

10 Săptămâna 10: Reducerea izometrică a polinoamelor de gradul doi în trei variabile 101 Invarianţi şi semiinvarianţi ortogonali Fie g : P R o funcţie polinomială de gradul doi reprezentată faţă de reperul cartezian ortonormat R = (O, i, j, k ) prin unde g(m) = a 00 +2a 10 x + 2a 20 y + 2a 30 z +2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz +a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 = a 00 +2(a 10 a 20 a 30 )[M] R + [M] t [g] [M], R R R [g] R = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Dacă R = (O, i, j, k ) este un alt reper cartezian ortonormat, amintim că [g]r = T t [g] R T, unde T este matricea ortonormată de trecere de la baza [ i, j, k ] la baza [ i, j, k ] Aşadar, rangul matricii [g] R nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonormat R şi se notează cu r De altfel nici rangul matricii a 00 a 01 a 02 a 03 [[g]] R = a 10 a 11 a 12 a 13 a 20 a 21 a 22 a 23 a 30 a 31 a 32 a 33 nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonormat R şi se notează cu r, deoarece [[g]] R = ( ) S t 1 0 [[g]] R S, unde S are forma Este uşor de verificat că r T {r, r + 1, r + 2} Amintim că pe lângă invarianţii numerici r şi r asociaţi funcţiei polinomiale g : P R, g(m) = a 00 +2a 10 x + 2a 20 y + 2a 30 z +2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz +a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 = a 00 +2(a 10 a 20 a 30 )[M] R + [M] t R [g] R [M] R,, un alt invariant numeric al său asociat lui g este indicele pozitiv de inerţie i al formei pătratice 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz + a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2, adică numărul valorilor proprii > 0 ale matricii [g] R Definiţia 101 O aplicaţie Φ : R 10 X se numeşte invariant ortogonal al funcţiei polinomiale dacă valoarea g : P R, g(m) = a 00 +2a 10 x + 2a 20 y + 2a 30 z +2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz +a 11 x 2 + 2a 22 y 2 + a 33 z 2 Φ(a 00, a 10, a 20, a 30, a 12, a 13, a 23, a 11, a 22, a 33 ) (101) nu se schimbă atunci când schimbăm reperul cartezian ortonormat Aplicaţia Φ se numeşte semiinvariant ortogonal al funcţiei polinomiale g dacă valoarea (101) nu se schimbă atunci când schimbăm reperul cartezian ortonormat, fără a schimba originea sa Cornel Pintea Page 54 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

1011 Invarianţi ortogonali Propoziţia 101 Polinomul caracteristic a 11 λ a 12 a 13 P(λ) = a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ = I 0 I 1 λ + I 2 λ 2 λ 3, unde a ji = a ij, este invariant ortogonal al lui g, adică a 11 a 12 a 13 I 0 = δ = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 I 1 = a 11 a 12 a 21 a 22 + a 11 a 13 a 31 a 33 I 2 = a 11 + a 22 + a 33 + a 22 a 23 a 32 a 33 sunt invarianţi ortogonali ai lui g De asemenea determinantul a 00 a 01 a 02 a 03 = det[[g]] R = a 10 a 11 a 12 a 13 a 20 a 21 a 22 a 23, (a ik = a ki ) a 30 a 31 a 32 a 33 este invariant ortogonal al lui g numit discriminantul lui g 1012 Semiinvarianţi ortogonali Propoziţia 102 Polinomul P O (λ) = a 00 a 01 a 02 a 03 a 10 a 11 λ a 12 a 13 a 20 a 21 a 22 λ a 23 a 30 a 31 a 32 a 33 λ (102) = K 1 λ + K 2 λ 2 λ 3 este un semiinvariant ortogonal al lui g, adică a 00 a 01 a 02 K 1 = a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22 + a 00 a 01 a 03 a 10 a 11 a 13 a 30 a 31 a 33 + K 2 = a 00 a 01 a 10 a 11 + a 00 a 02 a 20 a 22 + a 00 a 03 a 30 a 33 a 00 a 02 a 03 a 20 a 22 a 23 a 30 a 32 a 33 (103) sunt semiinvarianţi ortogonali ai funcţiei polinomiale g Observaţia 101 Dacă funcţia polinomială g : P R nu conţine variabila z când spaţiul P este raportat la reperul cartezian ortonormat R = (O, i, j, k ), atunci = 0 iar K 1 este un invariant ortogonal De asemenea dacă g nu conţine variabilele y, z, atunci = K 1 = 0 iar K 2 este un invariant ortogonal Cornel Pintea Page 55 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Într-adevăr, dacă g(m) = a 00 + 2a 10 x + 2a 20 y + a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2, atunci a 00 a 01 a 02 K 1 = δ = a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22 este invariant ortogonal al conicei Fie R = (O, i { g(m) = 0 z = 0 (104), j, k ) un alt reper cartezian ortonormat, unde O (α, β, γ) Valoarea lui K 1 nu se schimbă prin trecerea de la reperul R la reperul R 1 = (O 1, i, j, k ), unde O 1 (α, β, 0), deoarece K 1 este un invariant ortogonal al conicei { g(m) = 0 z = 0 De asemenea valoarea lui K 1 nu se schimbă prin trecerea de la reperul R 1 la reperul R 2 = (O, i, j, k ) deoarece forma funcţiei polinomiale g nu se schimbă prin această trecere În sfârşit, valoarea lui K 1 nu se schimbă prin trecerea de la reperul R 2 la reperul R deoarece K 1 este un semiinvariant ortogonal al funcţiei g Analog se arată că semiinvariantul K 2 este un invariant ortogonal dacă funcţia polinomială g nu conţine variabilele y, z 102 Teorema de reducere izometrică a polinoamelor de gradul doi în trei variabile Teorema 103 Faţă de un reper cartezian ortonormat convenabil ales funcţia polinomială g are una din formele următoare: 1 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 + δ, dacă δ = 0; 2 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 ± I 1 z dacă δ = 0, I 1 = 0, = 0; 3 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + K 1 I 1 dacă δ = 0, I 1 = 0, = 0; 4 I 2 x 2 + 2 K 1 I 2 y dacă δ = 0, I 1 = 0, K 1 = 0; 5 I 2 x 2 + K 2 I 2 dacă δ = 0, I 1 = 0, K 1 = 0 Matricea T din demonstraţia teoremei 103 fiind ortogonală det T { 1, 1} De obicei vectorii i, j, k sunt astfel aleşi încât det T = 1, adică bazele [ i, j, k ] şi [ i, j, k ] să fie la fel orientate Dată fiind o funcţie polinomială de gradul doi g : P R, un invariant ortogonal al lui g se numeşte şi invariant ortogonal al cuadricei g 1 (0) Observăm de asemenea un semiinvariant ortogonal al lui g se numeşte şi semiinvariant ortogonal al cuadricei g 1 (0) Teorema 104 (Teorema de clasificare a cuadricelor) Dată fiind cuadrica Q : a 00 +2a 10 x + 2a 20 y + 2a 30 z +2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz +a 11 x 2 + 2a 22 y 2 + a 33 z 2 = 0 există un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel încât ecuaţia acesteia să aibă una din formele următoare: Cornel Pintea Page 56 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

1 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 + δ = 0, dacă δ = 0; 2 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 ± I 1 z = 0 dacă δ = 0, I 1 = 0, = 0; 3 λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + K 1 I 1 = 0 dacă δ = 0, I 1 = 0, = 0; 4 I 2 x 2 + 2 K 1 I 2 y = 0 dacă δ = 0, I 1 = 0, K 1 = 0; 5 I 2 x 2 + K 2 I 2 = 0 dacă δ = 0, I 1 = 0, K 1 = 0 r r i (Semi)invarianţi Denumirea cuadricei ecuaţia canonică 4 3 3 > 0 elipsoid imaginar < 0 elipsoid real λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 + δ = 0 2 > 0 hiperboloid cu o pânză < 0 hiperboloid cu două pânze 2 2 paraboloid eliptic λ 1 x 2 + λ 2 y 2 ± I 1 z = 0 1 parabolid hiperbolic 3 3 3 punct dublu λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + λ 3 z 2 = 0 2 con 2 2 K 1 I 1 > 0 cilindru eliptic imaginar K 1 I 1 < 0 cilindru eliptic real λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + K 1 I 1 = 0 1 cilindru hiperbolic 1 1 cilindru parabolic I 2 x 2 + 2 K 1 I 2 y = 0 2 2 2 dreaptă dublă λ 1 x 2 + λ 2 y 2 = 0 1 pereche de plane secante 1 1 K 2 > 0 pereche vidă de plane K 2 < 0 pereche de plane paralele I 2 x 2 + K 2 I 2 = 0 1 1 1 plan dublu x 2 = 0 103 Probleme Să se studieze natura cuadricelor, să se aducă la forma redusă şi să se reprezinte în spaţiul tridimensional cuadricele: 1 Q 1 : 335 216x + 8y + 20z + 4yz + 36x 2 + 8y 2 + 5z 2 = 0; 2 Q 2 : x 2 + 3y 2 + 4yz 6x + 8y + 8 = 0; 3 Q 3 : 2y 2 + 4xy 8xz 4yz + 6x 5 = 0; 4 Q 4 : x 2 + y 2 z 2 4xy 4xz 6x = 0 Soluţie Vom trata aici doar punctele (2) şi (3), celelalte tratându-se analog (2) Notăm cu f funcţia polinomială de gradul doi care defineşte cuadrica Q 2 şi cu R reperul cartezian iniţial Dacă M este un punct din spaţiu de coordonate (x, y, z) faţă de R, atunci f (M) = x 2 + 3y 2 + 4yz 6x + 8y + 8 şi deci [ f ] R = 1 0 0 0 3 2 0 2 0 şi [[ f ]] R = 8 3 4 0 3 1 0 0 4 0 3 2 0 0 2 0 Cornel Pintea Page 57 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

de unde rezultă că 1 0 0 δ = 0 3 2 = 4 şi = 0 2 0 8 3 4 0 3 1 0 0 4 0 3 2 0 0 2 0 = 2 8 3 4 3 1 0 0 0 2 = 4 8 3 3 1 Valorile proprii ale matricii [ f ] R sunt rădăcinile polinomului său caracteristic, adică 1 λ 0 0 0 3 λ 2 = 0 λ(1 λ)(3 λ) 4(1 λ) = 0 0 2 λ (1 λ)( 3λ + λ 2 4) = 0 (λ 1)(λ + 1)(λ 4) = 0 Prin urmare ecuaţia canonică a cuadricei Q 2 este x 2 y 2 + 4z 2 = 1 x 2 y 2 + z 2 = 4 ( ) 1 2 = 1 (105) 2 şi ea reprezintă un hiperboloid cu o pânză 9 Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 1 = 1 este soluţia generală a sistemului 1 1 0 0 u 0 { 0 3 1 2 v = 0 2v + 2w = 0 v = w = 0 2v w = 0 0 2 1 w 0 Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 1 = 1 este e 1 = i(1, 0, 0) Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 1 = 1 este soluţia generală a sistemului 1 + 1 0 0 u 0 2u = 0 0 3 + 1 2 v = 0 4v + 2w = 0 u = 0 & w = 2v 0 2 1 w 0 2v + w = 0 Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 2 = 1 este e 2 = 1 5 j 2 5 k Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 1 = 4 este soluţia generală a sistemului 1 4 0 0 u 0 3u = 0 0 3 4 2 v = 0 v + 2w = 0 u = 0 & v = 2w 0 2 4 w 0 2v 4w = 0 Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 2 = 4 este e 3 = 2 5 j + 1 5 k Matricea ortogonală a primei schimbări de coordonate este 1 0 0 x = x 1 2 T = 0 5 5 y = 0 2 iar schimbarea de coordonate este 1 5 5 1 5 y + 2 5 z z = 2 5 y + 1 5 z 9 Aici se încheie studiul naturii cuadricei Q 2 Consideraţiile ulterioare au în vedere reprezentarea sa Cornel Pintea Page 58 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Faţă de reperul R = (O, e 1, e 2, e 3 ) funcţia f are forma 1 0 0 1 2 f (M) = 8 + [ 6 8 0] 0 5 x 5 0 2 y + x 2 y 2 + 4z 2 1 z 5 5 = 8 6x + 8 y + 16 z + +x 2 y 2 + 4z 2 5 ( 5 = x 2 6x + 9 9 y 2 8 y + 16 5 5 = (x 3) 2 ( y 4 5 ) 2 + ( z + 2 5 ) 2 1 A doua schimbare de coordonate este x = x 3 y = y 4 5 z = z + 2, 5 ) + 165 + 4 ( z 2 + 4 5 z + 16 5 ) 16 5 + 8 iar originea reperului faţă de care funcţia are forma redusă are coordonatele x = 3 x = 3 x = 0 y y = 0 = 4 1 4 y = 5 + 2 ( 2 ) x = 3 5 5 5 5 z = 0, z = 2 z = 2 4 5 + 1 ( 2 ) y = 0 z = 2 5 5 5 5, adică originea O a reperului faţă de care funcţia f are forma redusă are, faţă de reperul iniţial R, coordonatele (3, 0, 2) Faţă de reperul R = (O e 1, e 2, e 3 ) cuadrica Q 2 are ecuaţia (105) Amintim faptul că originea O a reperului R coincide cu centrul hiperboloidului cu o pânză Q 2 şi deci coordonatele sale se pot găsi şi rezolvând sistemul liniar f x = 0 f y = 0 f z = 0 Cornel Pintea Page 59 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

(3) Notăm cu f funcţia polinomială de gradul doi care defineşte cuadrica Q 3 şi cu R reperul cartezian iniţial Dacă M este un punct din spaţiu de coordonate (x, y, z) faţă de R, atunci f (M) = 2y 2 + 4xy 8xz 4yz + 6x 5 şi deci [ f ] R = 0 2 4 2 2 2 4 2 0 şi [[ f ]] R = de unde rezultă că 0 2 4 δ = 2 2 2 = 16 + 16 32 = 0, 4 2 0 = 5 3 0 0 3 0 2 4 0 2 2 2 0 4 2 0 = 5 0 2 4 2 2 2 4 2 0 5 3 0 0 3 0 2 4 0 2 2 2 0 4 2 0 3 3 0 0 2 2 2 4 2 0 = 5(16 + 16 32) 3 3 ( 4) = 36, I 1 = 0 2 2 2 + 0 4 4 0 + 2 2 2 0 = 4 16 4 = 24 Valorile proprii ale matricii [ f ] R sunt rădăcinile polinomului său caracteristic, adică λ 2 4 2 2 λ 2 4 2 λ = 0 λ2 (2 λ) + 16 + 16 16(2 λ) + 4λ + 4λ = 0 λ 2 (2 λ) + 32 3 + 16λ + 8λ = 0 λ(λ 2 2λ 24 = 0 λ 1 = 6, λ 2 = 4, λ 3 = 0 Prin urmare ecuaţia canonică a cuadricei Q 3 este 6x 2 4y 2 ± 2 36 24 z = 0 6x 2 4y 2 ± 6z = 0 şi ea reprezintă un paraboloid hiperbolic 10 Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 1 = 6 este soluţia generală a sistemului 6 2 4 u 0 6u + 2v 4w = 0 { 2 2 6 2 v = 0 u = 2v + w +2u 4v 2w = 0 u = v = w v = w 4 2 6 w 0 4u 2v 6w = 0 Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 1 = 6 este e 1 = 1 3 i + 1 3 j 1 3 k Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 2 = 4 este soluţia generală a sistemului 4 2 4 u 0 4u + 2v 4w = 0 2 2 + 4 2 v = 0 2u + 6v 2w = 0 4 2 4 w 0 4u 2v + 4w = 0 { v = 2u + 2w u 6u + 6w w = 0 { u = w v = 0 10 Aici se încheie studiul naturii cuadricei Q 3 Consideraţiile ulterioare au în vedere reprezentarea sa Cornel Pintea Page 60 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 2 = 4 este e 2 = 1 2 i + 1 2 k Subspaţiul propriu asociat valorii proprii λ 3 = 4 este soluţia generală a sistemului 0 2 4 u 0 2v 4w = 0 2 2 2 v = 0 2u + 2v 2w = 0 v = 2u = 2w 4 2 0 w 0 4u 2v = 0 Aşadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ 3 = 0 este e 3 = 1 6 i 2 6 j 1 6 k Matricea ortogonală a primei schimbări de coordonate este 1 1 1 2 6 3 T = 1 0 2 3 6 1 1 2 1 3 6 iar schimbarea de coordonate este: x = y = 1 3 x + 1 2 y + 1 6 z 1 3 x 2 6 z z = 1 3 x + 1 2 y 1 6 z Faţă de reperul R = (O, e 1, e 2, e 3 ) funcţia f are forma 1 1 1 2 6 3 f (M) = 8 + [6 0 0] ( 1 0 2 3 6 1 3 1 2 1 6 x y z x 3 + y 2 + z 6 ) + 6x 2 4y 2 = 5 + 6 ( = 6 x 2 + 2 1 2 3 x + 1 12 ( = 6 x + 1 2 3 ) 2 4 ( y 3 4 2 ) 12 4 ( y 2 2 3 + 6x 2 4y 2 4 2 y + 9 ) + 9 32 8 + 6z 5 ) ) 2 + 6 ( z 35 8 6 A doua schimbare de coordonate este x = x 1 + 2 3 y = y 3 4 2 z = z 35 8 6, Cornel Pintea Page 61 of 89 Babeş-Bolyai University 2016

iar originea reperului faţă de care funcţia are forma redusă are coordonatele x = 1 x = 0 2 x = 1 1 3 y = 0 y = 3 3 2 3 + 1 3 2 4 2 + 1 35 6 8 6 z = 0, 4 y = 1 1 2 3 z = 35 2 2 35 3 6 8 6 8 1 1 z = 6 3 2 3 + 1 3 2 4 2 1 35 6 8 6 x = 3 4 y = 39 24 z = 3 8, adică originea O a reperului ( faţă de ) care funcţia f are forma redusă are, faţă de reperul 3 iniţial R, coordonatele 4, 39 24, 3 Faţă de acest reper paraboloidul hiperbolic Q 3 are 8 ecuaţia 6x 2 4y 2 + 6z = 0 11 Săptămâna 11 Morfisme liniare şi aplicaţii afine Definiţia 111 Fie (X, X, ϕ), (Y, Y, ψ) două spaţii afine şi f : X Y 1 Aplicaţia f se numeşte morfism liniar dacă f transformă varietăţile liniare ale lui X în varietăţi liniare ale lui Y, adică L A(X) = f (L) A(Y) 2 f se numeşte aplicaţie afină sau morfism afin dacă există o aplicaţie liniară f : X Y, numită urma sau aplicaţia liniară tangentă, astfel încât f (M) f (N)= f ( MN) pentru orice puncte M, N X Cornel Pintea Page 62 of 89 Babeş-Bolyai University 2016