Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente: (i) Dacă X = F G cu F şi G mulţimi închise, atunci X = F sau X = G; (ii) Dacă U şi V sunt două mulţimi deschise ale lui X astfel încât U V =, atunci U = sau V = ; (iii) Orice mulţime deschisă nevidă a lui X este densă în X. Demonstraţie. (i) (ii) Fie F = X \ U şi G = X \ V. Cum U V =, rezultă că X = F G, deci X = F sau X = G. Dar aceasta implică U = sau V =. (ii) (iii) Fie U o mulţime deschisă nevidă a lui X şi V = X \U (unde am notat U închiderea mulţimii U). Atunci U V =, deci U = sau V =. Cum însă mulţimea U este nevidă, rezultă că V =, deci X = U, ceea ce implică faptul că U este densă în X. (iii) (i) Fie F, G două mulţimi închise ale lui X astfel încât X = F G şi să presupunem că F X. Fie U = X \ F şi V = X \ G. Atunci U, deci U este densă în X. Pe de altă parte U V = (căci F G = X), ceea ce implică V =. Dar atunci F = X. Definiţia 1.1. Un spaţiu topologic ce satisface una din proprietăţile echivalente din Propoziţia 1.1 se numeşte ireductibil. Observaţia 1.1. Dacă un spaţiu topologic separat Hausdorff este ireductibil, atunci el este redus la un punct. 1
Propoziţia 1.2. Fie X un spaţiu topologic şi Y X un subspaţiu. Y este ireductibil dacă şi numai dacă Y este ireductibil. Dacă U X este o mulţime deschisă, atunci există o bijecţie între închişii ireductibili ai lui U şi cei ai lui X ce intersectează U (bijecţie dată de Y Y, respectiv Z Z U). Demonstraţie. Exerciţiu. Teorema 1.3. Există o aplicaţie bijectivă descrescătoare V I(V ), cu inversa I V (I), între familia mulţimilor algebrice afine ale lui A n şi cea a idealelor radicale ale lui K[X 1,..., X n ] (I este numit ideal radical dacă I = r(i)). În plus, V este ireductibilă I(V ) este ideal prim Γ(V ) este inel integru. Demonstraţie. Prima parte este o consecinţă imediată a proprietăţilor celor două aplicaţii şi a Nullstellensatz (Teorema zerourilor). Să arătăm prima echivalenţă (a doua este o consecinţă a proprietăţilor idealelor prime într-un inel). : Fie f, g K[X 1,..., X n ] astfel încât fg I(V ). Atunci prin urmare V = V (I(V )) V (fg) V (f) V (g), V = (V V (f)) (V V (g)). Deoarece mulţimea V este ireductibilă rezultă, de exemplu, că V = V V (f), deci V V (f) şi f I(V ). : Fie V = V 1 V 2 cu V i închise, V i V, i = 1, 2. Atunci I(V ) I(V i ), i = 1, 2. Fie, pentru i = 1, 2, f i I(V i ) I(V ). Deoarece f 1 f 2 se anulează pe V, f 1 f 2 I(V ), ceea ce contrazice faptul că I(V ) este ideal prim. Corolarul 1.4. Fie V o mulţime algebrică afină. V este un punct I(V ) este ideal maximal Γ(V ) = K. este ireduc- Corolarul 1.5. Fie K un corp infinit. Atunci spaţiul afin A n K tibil. 2
Demonstraţie. Ştim că I(A n K ) = (0), iar acest ideal este prim deoarece K[X 1,..., X n ] este inel integru. În cazul unui corp finit afirmaţia este falsă, pentru că spaţiul afin A n K este reuniunea finită a punctelor sale, care sunt mulţimi închise. Corolarul 1.6. Fie K un corp infinit. Fie V A n K o mulţime algebrică afină şi P K[X 1,..., X n ]. Presupunem că P (a 1,..., a n ) = 0 pentru orice (a 1,..., a n ) A n K \ V. Atunci polinomul P este identic nul. Propoziţia 1.7. Mulţimea algebrică afină W este o mulţime finită dacă şi numai dacă Γ(W ) este un K-spaţiu vectorial de dimensiune finită. Demonstraţie. : Fie W = {u 1,..., u r } A n o mulţime algebrică afină finită şi fie morfismul ϕ : K[X 1,..., X n ] K r, F (F (u 1 ),..., F (u r )). Nucleul lui ϕ este I(W ). Pe de altă parte, Γ(W ) este un inel izomorf cu K[X 1,..., X n ]/I(W ), iar acest din urmă inel cât este izomorf cu Im ϕ. Rezultă că Γ(W ) este izomorf cu subspaţiul vectorial Im ϕ al lui K r, prin urmare este de dimensiune finită peste K. : Fie i {1,..., n} fixat şi ξ i imaginea nedeterminatei X i în inelul Γ(W ) K[X 1,..., X n ]/I(W ) prin proiecţia canonică. Deoarece prin ipoteză Γ(W ) este un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită, elementele 1, ξ i, ξ 2 i,... nu sunt liniar independente. Există aşadar o relaţie de dependenţă liniară satisfăcută de un număr finit, s + 1, dintre aceste elemente (s N ): a s ξ s i +... + a 1 ξ i + a 0 = 0 unde a i K, a s 0. Atunci, dacă u = (x 1,..., x n ) W, a s x s i +... + a 1 x i + a 0 = 0. Coordonata x i a lui u poate lua deci un număr finit de valori, afirmaţie ce este valabilă pentru toţi i {1,..., n}. În concluzie, W este o mulţime finită. 3
Să considerăm acum mulţimile algebrice afine incluse într-o mulţime algebrică afină fixată V. Dacă W V este o astfel de mulţime, atunci I(V ) I(W ). I(W ) determină un ideal al lui Γ(V ), notat I V (W ), ale cărui elemente sunt funcţiile din Γ(V ) ce se anulează pe W. Acesta este un ideal radical şi Γ(V )/I V (W ) Γ(W ). Reciproc, dacă I este un ideal al lui Γ(V ), putem defini mulţimea algebrică afină inclusă în V, W = V (I) = {x V / f(x) = 0, f I}. Propoziţia 1.8. Există o aplicaţie bijectivă descrescătoare între familia mulţimilor algebrice afine ale lui V şi cea a idealelor radicale ale lui Γ(V ): W I V (W ). Inversa acestei aplicaţii este I V (I). În plus, W este ireductibilă I V (W ) este ideal prim Γ(W ) este inel integru W este un punct I V (W ) este ideal maximal Γ(W ) = K. Demonstraţie. Se procedează ca în demonstraţia Teoremei 1.3. Corolarul 1.9. Există o bijecţie între mulţimea punctelor lui V şi mulţimea idealelor maximale ale lui Γ(V ). Teorema următoare afirmă că o mulţime algebrică afină poate fi scrisă ca reuniunea submulţimilor sale închise ireductibile maximale. Teorema 1.10. Fie V o mulţime algebrică afină. V se poate scrie în mod unic (până la ordinea termenilor) ca o reuniune finită de mulţimi algebrice afine ireductibile V = V 1... V r (r N ), cu V i V j pentru i j, i, j {1,..., r}. Demonstraţie. Existenţa. Presupunem prin absurd că există mulţimi algebrice afine ce nu au proprietatea din enunţ şi fie V una dintre ele astfel 4
încât idealul său să fie maximal în această familie (aceasta există deoarece K[X 1,..., X n ] este inel noetherian). Atunci V nu este ireductibilă, deci V = F G cu F şi G mulţimi închise şi F, G V. Rezultă că I(F ) I(V ), I(G) I(V ). Cum I(V ) este maximal printre idealele mulţimilor fără proprietatea din enunţ, obţinem că F şi G verifică această proprietate. Dar V = F G şi obţinem astfel o descompunere pentru V, în contradicţie cu alegerea lui V. Unicitatea. Presupunem că V = V 1... V r = W 1... W s, r, s N, unde V i, W j sunt ca în enunţ (i {1,..., r}, j {1,..., s}). Pentru un i {1,..., r} fixat obţinem V i = (V i W 1 )... (V i W s ). Deoarece V i este ireductibilă, există j {1,..., r} astfel încât V i = V i W j, adică V i W j. În mod analog există k {1,..., r} astfel încât W j V k şi prin urmare V i V k. Rezultă atunci că i = k şi V i = W j. Definiţia 1.2. Mulţimile algebrice afine ireductibile V i (i {1,..., r}) definite de Teorema 1.10 se numesc componentele ireductibile ale lui V. În particular, orice submulţime închisă ireductibilă a lui V este inclusă într-una din componentele ireductibile ale lui V. Putem completa acum dicţionarul din Teorema 1.3 şi Propoziţia 1.8: Propoziţia 1.11. Mulţimea W este o componentă ireductibilă a mul-ţimii algebrice afine V dacă şi numai dacă I V (W ) este ideal prim minimal al lui Γ(V ). Această echivalenţă exprimă şi faptul că, dată fiind mulţimea algebrică afină V, componentele sale ireductibile sunt submulţimile ireductibile maximale ale lui V. Observăm de asemenea că dacă V este ireductibilă, atunci 5
Γ(V ) are un singur ideal prim minimal, care în mod necesar este idealul nul (0) (deoarece Γ(V ) este inel integru). Corolarul 1.12. Mulţimea idealelor prime minimale ale lui Γ(V ) este finită. Exemplul 1.1. Fie V = V (XY ) A 2. Idealele prime minimale ale lui Γ(V ) sunt imaginile idealelor X şi Y prin proiecţia canonică K[X, Y ] Γ(V ) K[X, Y ]/ XY. Submulţimile algebrice afine ale lui V generate de aceste ideale prime minimale sunt cele două componente ireductibile ale lui V, dreptele de ecuaţii X = 0, respectiv Y = 0. 2 Dimensiunea unei mulţimi algebrice afine În cele ce urmează considerăm corpul K algebric închis. Definiţia 2.1. Fie X un spaţiu topologic. Se numeşte dimensiune a lui X, numărul (natural, sau eventual ) { } X dim X = sup n N / 0 X 1... X n lanţ de submulţimi închise ireductibile Dimensiunea unei mulţimi algebrice afine V este dimensiunea spaţiului topologic V, înzestrat cu topologia Zariski. Exemplul 2.1. Dimensiunea dreptei afine A 1 este 1. Definiţia 2.2. Se numeşte dimensiune Krull 1 a unui inel A numărul (eventual ) { } p dim A = sup n N / 0 p 1... p n lanţ de ideale prime distincte în A (vezi Secţiunea A.1.5). 1 Wolfgang Krull (26.08.1899, Baden-Baden, Germania - 12.04.1971, Bonn, Germania): matematician german. Contribuţii în teoria inelelor şi geometria algebrică. 6
Propoziţia 2.1. Fie V A n o mulţime algebrică afină. Atunci dimensiunea lui V este egală cu dimensiunea Krull a inelului său de coordonate Γ(V ). Demonstraţie. Submulţimilor închise ireductibile ale lui V le sunt asociate în mod unic ideale prime ale inelului K[X 1,..., X n ] ce conţin I(V ), această corespondenţă fiind descrescătoare în raport cu incluziunea. Proiecţia canonică K[X 1,..., X n ] K[X 1,..., X n ]/I(V ) = Γ(V ) induce pe de altă parte o bijecţie între mulţimea idealelor prime ale lui K[X 1,..., X n ] ce conţin I(V ) şi mulţimea idealelor prime ale inelului de coordonate Γ(V ). Deci dim V este lungimea celui mai lung lanţ de ideale prime ale lui Γ(V ), adică dim Γ(V ). Propoziţia 2.2. Dimensiunea lui A n este n. Demonstraţie. Propoziţia 2.1 implică faptul că dim A n este egală cu dimensiunea inelului său de coordonate, K[X 1,..., X n ]. Aceasta la rândul ei coincide cu gradul de transcendenţă al corpului său de fracţii, F r (K[X 1,..., X n ]) = K(X 1,..., X n ) (conform Teoremei 1.11, Note de algebră comutativă), care evident este n. Propoziţia 2.3. Fie V o submulţime deschisă a unei mulţimi algebrice afine Y. Atunci dim V = dim V (unde am notat V închiderea lui V în Y ). Demonstraţie. Dacă X 0 X 1... X n este un şir de submulţimi închise ireductibile distincte ale lui V, atunci X 0 X 1... X n este un şir de submulţimi închise ireductibile distincte ale lui V, deci dim V dim V. 7
În particular dim V este finită. Fie n = dim V şi X 0 X 1... X n un şir maximal ca mai sus. Atunci, în mod necesar, dim X 0 = 0, ceea ce implică faptul că X 0 este un punct P (deoarece este ireductibilă), iar şirul P = X 0 X 1... X n este de asemenea maximal, de data asta în V. Punctul P corespunde unui ideal maximal m al inelului de coordonate Γ(V ) al lui V, iar mulţimile algebrice afine X i corespund unor ideale prime incluse în m. Aşadar înălţimea lui m este n, h(m) = n. Pe de altă parte, Γ(V )/m K. Teorema 1.11 (Note de algebră comutativă) (b) implică faptul că n = dim Γ(V ) = dim V. Propoziţia 2.4. O mulţime algebrică afină ireductibilă V A n este de dimensiune n 1 dacă şi numai dacă există f K[X 1,..., X n ] un polinom ireductibil neconstant astfel încât V = V (f). Demonstraţie. : Dacă f este un polinom ireductibil neconstant, V (f) este o mulţime algebrică afină ireductibilă al cărei ideal este idealul prim p = f. Acesta are înălţimea 1 (vezi Teorema 1.12 Hauptidealsatz, Note de algebră comutativă), deci V (f) are dimensiunea n 1. : Dacă dim V = n 1 atunci I(V ) este un ideal prim de înălţime 1. Pe de altă parte, inelul de polinoame K[X 1,..., X n ] este un inel factorial, şi Propoziţia 1.13 (Note de algebră comutativă) implică faptul că I(V ) este ideal principal, generat de un polinom ireductibil f. Deci V = V (f). Bibliografie [1] Eisenbud, D. : Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, GTM150, Springer, 1995 [2] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977 [3] Liţcanu, R. : Introducere în geometria algebrică, Ed. Demiurg, 2004 [4] Perrin, D. : Géométrie algébrique, une introduction, InterEditions & CNRS Editions, Paris, 1995 8