. ALGORITI RAPIZI PETRU EFECTUAREA COVOLUŢIEI ŞI A TRASFORATEI FOURIER DISCRETE Oeraţle de ovoluţe ş trasforata Fourer dsretă (TFD) ouă u lo ortat î relurarea ueră a sealelor. D ăate ele lă u volu relatv are de alule eea e rdă ar roblee a ales î aul realăr aestor oeraţ î t real. De aeea efortur ortate au fost oretate î dreţa găsr uor algort ra de efetuare a oeraţlor resetve.. Algort etru alulul ovoluţlor.. Rereetăr etru ovoluţa lară Fd date seveţele ş ovoluţa lor lară se defeşte r ( ) ( ) Să osderă aul âd ele două seveţe sut de suortur fte: ude s-a otat su su { K} K Petru aeastă stuaţe să fae o evaluare a resă a ltelor de îsuare. Î aest a suortul lu (-) evaluat duă etru u dat este Vo resuue. Evdet su etru ( ). () < > > ()
de ş su (6) ( ) (7) ude răâ de reat ele două lte de îsuare. Aar aurle: a) de. Î aest a. b) de Î aest a. ) de Î aest a. Se ostată ă lta sueroară este etru - ş - etru - de î geeral este ( -). Lta feroară este etru - ş - î rest de î geeral este a (- ) astfel îât: ( ) a ( ) () ( ) Coletatea artetă Să fae o evaluare a uărulu de oeraţ resuuâd ele două seveţe reale. Î aul a) deft etru...- (stuaţle - ş - vor f luse î b) uărul de tere a sue este de sut eesare îulţr ş aduăr etru u dat. Î total vor f eesare...(-)(-)/ îulţr ş...(-)(-)(-)/ aduăr. Î aul b) -...- uărul de tere a sue este -(-) de vor f eesare î total (-) îulţr ş (-)(-) aduăr. Î aul )...- uărul de tere este --(-)--. Vor f de eesare...(-)(-)/ îulţr ş...(-)(-)(- )/ aduăr.
Reultă î total îulţr ş (-)(-) aduăr. Totuş etru uşurţa srer deseor vo folos eres slfate a ( ) (9) î are uărul de îulţr este (-) o arte d ele fd îsă baale (al dolea oerad ul) ar uărul de aduăr este (-)(-). sau Rereetare atreală ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H ude [ ( ) ( ) ] T [ ( ) ( ) ] T trasforăr H este o atre Toelt dretugulară. Rereetare oloală ar atrea Să def oloaele: H Produsul elor două oloae este Y H ude evdet ( ).
Eelu Fe seveţele { } { } Covoluţa lară a seveţelor este { } { } { } sau erată atreal.. Rereetăr etru ovoluţa lă Fe două seveţe fte avâd aelaş suort: su su. Se defeşte ovoluţa lă (sau rulară): ( ) () ude s-a otat od Rereetare atreală () sau H (6)
ude [ ] [ ] T T H ar atrea trasforăr este o atre Toelt ătrată. Evdet uărul de îulţr este ar uărul de aduăr (-). Reved la eelul de a îate ovoluţa lă a seveţelor este (7) Se observă ă atrea H se obţe d atrea H r aduarea la lle a llor de a llor ale ăror uere de orde erate odulo sut tot ş. Rereetare oloală Este ş î aest a osblă dar trebue avut î vedere ă d ş trebue evaluaţ odulo. Aeasta este evalet u evaluarea rodusulu de oloae H odulo - de: od H Y () (Se fae rodusul oral duă are se "redu" gradele ţâd seaa ă ). Î eelul osderat: ( od od Y
.. Realarea ovoluţe lare u ajutorul ovoluţe le Esteţa uor algort efeţ etru alulul ovoluţe le rdă roblea găsr uor etode de alul a ovoluţe lare ord de la ovoluţa lă. Fe seveţele reluges seveţele seveţele (fgura ). u suorturle ş resetv. Se u erour âă la lugea L- reultâd Fg. Să arătă ă î aest a ovoluţa lară a seveţelor ţale ş ovoluţa lă a seveţelor relugte od: Deostraţe Cele două ovoluţ se sru L (9) etru L ( ) L ( ) ( ) L L L Răâe de deostrat ă ( ) ( ) etru L L () 6
Egaltatea este evdetă etru - L- ar stuaţa ->L- u tereseaă. Evdet aeastă relaţe e satsfăută etru - (- ). Răâe de studat aul <- etru are ( ) ( ) L ( ) L Î ulta suă arguetul lu ' varaă ître ltele: - - ; <-> L L- ar aesta a valor ître - -L- etru - ş etru ş - - <-> L L-. De <-> L L- aur î are '[<-> L ] ş răâe: () ( ) (6).. Calulul ovoluţe r seţoare Î ulte stuaţ sealul e trebue fltrat de u fltru reretă o seveţă de luge ult a are deât (»).Î aeste stuaţ este a oveabl să se seţoee sealul î aete ar aestea să fe relurate searat utlâd ovoluţ le. etoda surauere-îsuare Să resuue ă are o luge edeftă. Se segeteaă î seveţe luge P esurause (fgura ) u suorturle: aşa îât P ( ) P su (7) de () 7
sau P ( ) P (9) rest Vo resuue su ude. ş ( ) ( ) ( ) Petru a utea utla ovoluţa lă se reluges ş LP-. Suortul reultatulu feăre ovoluţ arţale este: P P L âă la lugea su Fg. Fg. Evdet vor esta tervale î are reultatele arţale se surau. etoda surauere-salvare (eorare) Să deostră a îtâ urătoarea leă:
ş Fe seveţele su su P seveţa obţută r relugrea u erour âă la P- a seveţe (fg. ) Cele două ovoluţ od P etru P () Deostraţe P ( ) ( P ) () P Evdet etru - - ş de aseeea etru P- - P- de <> P - astfel îât: ( ) Prele - eşatoae ale lu u od îsă u (6). uărul de eşatoae orete este LP-(-)P- de PL-. Folosd lea reedetă reultă urătorul algort: - Se seţoeaă î segete e se surau arţal e o luge de eşatoae (fg.); 9
Fg. L L P (7) rest Se efetueaă ovoluţle le ( ) are ofor lee dau valor orete ale ovoluţe î tervalele P P P L P L P L De de feare dată d ele P valor reultate se elă rele - ş se reţ ultele L. - Se oateeaă aeste gruur de âte L eşatoae... Algort rad de realare a ovoluţe le utlâd Trasforata Fourer Dsretă (TFD) Să resuue ă dor să reală ovoluţa lă a seveţelor u suort de luge. Vo ota u TFD{ } H TFD{ } Y TFD{ } ş trasforatele Fourer dsrete ale sealelor resetve. Î baa teoree ovoluţe estă oresodeţa ( ) Y H ()
Î oseţă se vor arurge urătoarele etae:. Se aluleaă trasforatele elor două seale TFD{ } ş H TFD{ }.. Se efetueaă rodusele H Y.. Se aluleaă ovoluţa lă r trasforata Fourer dsretă versă TFD { Y }. Efeţa algortulu reultă a urare a esteţe uor algort ra etru alulul trasforatelor Fourer. Duă u vo vedea el a slu aseeea algort alabl daă e de fora resuue efetuarea a log îulţr reale ş log aduăr reale etru alulul olet al ue trasforate. Vor f de eesare: - log îulţr ş 6log aduăr reale etru realarea trasforatelor Fourer drete î etaa ; - îulţr olee de îulţr ş aduăr reale etru realarea roduselor î etaa ; - log îulţr ş log aduăr etru alulul trasforate verse î etaa. Reultă î total (6log ) îulţr reale ş (9log ) aduăr reale. Reat ă etru efetuarea dretă a ovoluţe erau eesare îulţr reale ş (-) aduăr reale. De eelu etru reultă: - utlâd aest algort: 6 îulţr ş 9 aduăr; - dret: îulţr ş aduăr...6 Algortul ograd etru realarea ovoluţe le Este u algort foarte efet etru efetuarea ovoluţe le a seveţelor surte. Vo utla rereetarea oloală H od ( ) Y (9)
Se utleaă teorea eă a resturlor alată e elul oloaelor u oefeţ raţoal (). Poloul - se oate desoue î dvor redutbl Cd () d rodusul fd efetuat etru toţ dvor d a lu luâd ş ; - are de atâţa dvor âţ dvor are luâd ş (uăr e are-l vo ota u D). C d reretă oloul loto de ord d dat de relaţa C d ( ) ( d ) d d Produsul se fae de etru relatv r faţă de d. O roretate foarte utlă a oloaelor lotoe este ă âă la ordul au ua oefeţ ± ş. Î baa teoree ee a resturlor oloaele H Y se ot feare desoue î od u î restur odulo C ; Î lus Y se oate refae d Y r : ude Y d e π j d odc etru H H odc etru H odc etru Y Y S ( ) S odc j () () od () j () j Petru a ra d ele două relaţ să fe îdeltă S vor f de fora: S P C j j aşa îât evdet S odc j deterat d a doua odţe j j () î are oloul P trebue P C od C j j j (6)
u vo ssta asura deterăr aestor oloae. Î geeral S ot f găste tabelate etru dverş. Utlâd aeastă etodă ograd a arătat ă uărul de ultlăr eesare etru a reala o ovoluţe lă de ordul este -D. Eelu Să osderă ovoluţa lă: { } { } (7) de î rereetarea oloală od H Y () ude H (9) Dar C C C () ude C C C () Se aluleaă ( C C C od od od ) () Î od aseăător se găses eleetele desouer lu H de alulă rodusele:
[ ] [ ] { } [ ] C C H Y C H Y C H Y od od od od () ude s-au otat ( [ ] ( [ ] ) ) () Petru a fae desouerea au fost de eesare îulţr eea e ode u -K -D()-. Petru ( ) S S S () (se oate uşor verfa). { } od Y S Y S Y S Y (6) Efetuâd alulele se găses (7) Algortul resuue de efetuarea a îulţr ş aduăr dtre are î etaa de desouere ş 9 î aeea de reostruţe. Daă H H H sut date ar obaţle resetve realulate uărul de aduăr se redue la 6. Oeraţle de îărţre u ş u d forula reedetă s-au resuus luse î alulele efetuate asura terelor.... Evdet odul de orgaare a
oeraţlor u este u. Prtr-o orgaare judoasă se oate a uărul de aduăr. Ueor se reretă aest algort sub o foră atreală: C B A () ude B ş C sut atrele e efetueaă desouerle odulo C A este atrea e efetueaă reostruţa ar reretă rodusul eleet u eleet a do vetor. Î eelul de a îate (9) Se oate î lus arăta ă euaţa de a îate a oate f srsă: T T R A B RC (6) ude R este o atre de erutare (6) R Pr îulţrea ue atre P la stâga u R se verseaă lle ître ele ar r îulţre la dreata se verseaă oloaele. Reultă ă erutâd atrele A ş C se oate versa oţa lor î relaţa de a sus. Aeasta este ortat etru ă de regulă atrea de reostruţe A are o strutură a oleă deât B ş C. Fd
lasată î teror ea aţoeaă asura lu H de reultatele aeste oeraţ ot f realulate. Reved la eelul de a îate etru: (6) R se obţe: (6) Algort aeşta sut foarte efeţ etru lug dar uărul de aduăr reşte odată u.. Algort etru alulul trasforate Fourer dsrete Trasforata Fourer dsretă (TFD) este deftă r j e π (6) sau sub foră atreală (6) ude 6
[ ( ) ( ) ] T [ ( ) ( ) T ] (66) ( ) Petru efetuarea ue trasforate olete de ordul sut eesare u uăr de îulţr olee ş (-) aduăr olee. Daă o îulţre oleă se efetueaă î îulţr ş două aduăr reale reultă u uăr de îulţr reale ş (--) - aduăr reale. Coletatea artetă este de fora O( ) de reşte u. Avâd î vedere roretăţle oefeţlor ( ) jπ e estă algort e ert efetuarea TFD u u uăr a de oeraţ. De regulă aeşta ores de la deea desouer trasforate de ord î trasforăr de orde a. De eelu daă se oate desoue trasforarea de ord î trasforăr de ord ş. Estă osbltatea a ş să fe re ître ele sau să abă dvor ou. U a ortat este aela î are R R fd ut baă. Algort reultaţ vor f uţ algort baă R. (67) Petru a ela o largă ategore de algort se oate or de la rereetarea dlor sub fora: K K K K od od De eelu î aul algortlor î baa R sut osble urătoarele odur de rereetare a dlor: R R R R are odue la algort u deare î t ş R ; R ; (6) (69) 7
; ; R R R R R R (7) e odue la algort u deare î freveţă... Algort î baa Algort u deare î t Algort î baa au fost troduş de Coole ş Tue etru. Î aest a d se vor sre: ; ; (7) ş reultă: (7) sau (7) Dar: aşa îât srd searat etru ş : { } { } TFD TFD (7)
TFD ( ) ( ) { ( )} TFD { ( ) } (7) Feare d suele e aar î ele două relaţ de a sus reretă âte o TFD î / ute rele etru seveţa forată u eşatoaele are a doua u eşatoaele are. Reultă sea d fg.. TFD / ( ) ( ) TFD / - ( ) Fg. Graful obţut duă o ră deare. Fg. 6 Strutura fluturelu etru deare î t. 9
Treerea de la trasforatele de ord / la trasforata de ord se fae r teredul uor strutur de t fluture (fg.6). Aeastă strutură este de fat osttută dtr-o îulţre u fatorul de odul utar (ut de aeea fator de rotaţe) ş o trasforată Fourer dsretă de ordul. Proedeul desrs a îate se va ala î otuare trasforatelor de ordul / ş aşa a dearte âă se ajuge la trasforate de ordul do. Se observă ă ra d trasforatele d fgura are dret trăr sealele ( ) adă seveţa de trare deată u do ar ea de a doua aeaş seveţă îtârată u u tat ş ao deată u. D aeastă observaţe reultă uele algortulu oeraţle de deare eţoate a sus fd efetuate la trare de î doeul t. Petru eelfare î fg. 7 este dat graful ue trasforate de ordul duă ra oeraţe de deare. Î otuare alâd aelaş algort etru trasforatele de ordul se obţe graful d fg.. Î ostturea aestua s-a ţut seaa ă etru ultul etaj oefeţ de rotaţe sut de fora etru eultul etaj trasforatele fd de ordul oefeţ sut de fora et. ( ) ( 6) TFD ord ( ) ( 7) TFD ord - - - - ( ) ( ) ( 6) ( 7) Fg. 7 Graful trasforate etru duă ra deare.
( ) ( 6) ( 7) - - - - - - - - Fg. Graful olet al trasforate etru. - - - - ( ) ( 6) ( 7) Reultă de ă etru o trasforată de ord sut eesare etaje feare oţâd / flutur de î total sut eesar / log flutur. Să fae o evaluare a oletăţ artete. U od slst dar aoertor de alul leaă de la deea ă î feare fluture estă o îulţre oleă ş două aduăr olee. Îulţrea oleă este de fora: ( j)( osθ jsθ) ( osθ sθ) j( sθ os ) θ (76) de î ru ar eesta îulţr reale ş două aduăr reale (algortul /). Altfel se ot efetua suesv urătoarele oeraţ: os θ; ( osθ s θ) ; ( sθ osθ) A B C (77) Partea reală a reultatulu este BA ar ea agară C-A. θ fd uosut eresle ( osθ s θ sθ os θ ) ot f realulate aşa îât răâ î total de efetuat îulţr reale ş aduăr reale - BA C-A (algortul /). Ar reulta atu etru u fluture u uăr de îulţr reale ş 6 aduăr reale (î varata /) sau îulţr reale ş 7 aduăr reale (î varata /). uerele totale de îulţr reale (R) ş de aduăr reale (AR) etru o trasforată de ord vor f atu: R AR ( ) log ( ) log (7)
î varata / ş î varata /. R AR ( ) 7 log ( ) log (79) Se observă îsă ă u d oefeţ au valor baale (- sau j) are u lă de fat îulţr roru-se. Cu reţul ue olăr a rograulu de alul se ot deseleta oeraţle baale. Să fae o evaluare a uerelor de oeraţ î aul ue deseletăr ae a oeraţlor baale. Ce / flutur dtr-u etaj de desue se vor lasfa î: - flutur oleş arateraţ r uerele de oeraţ reale deduse a îate; uărul lor este (/)- îtru etaj; - flutur de t / âd este sau -j de u a aare oeraţa de îulţre aşa îât răâ doar aduăr reale; - flutur de t / / âd osθ-sθ ş fluturele se aluleaă a slu u doar îulţr reale ş 6 aduăr reale. Reultă urătoarele forule de reureţă: R AR ( ) î varata / sau: AR R R ( ) 6 6 AR AR R ( ) R R 7 ( ) 7 6 AR AR î varata /. Euaţle reursve de a sus sut de fora: sau () () ( ) A B ()
( ) v( ) A B ude v( ) v () Soluţa geerală a euaţe oogee se obţe reolvâd euaţa araterstă λ- ş este ( ) a a v λ () Vo ăuta o soluţe artulară a euaţe u arte dreată sub fora: ( ) d v () Îloud î euaţ se obţ A d-b de soluţa geerală a euaţe eoogee este: v ( ) v ( ) v ( ) a A B ude a se deteră d odţle ţale. (6) Să luă de eelu dret ut de orre graful oresuător lu. Aesta are î abele varate R() AR(). Utlâd forula dedusă a îate etru ele euaţ reursve ş deterâd a d aeste odţ ţale reultă: - î varata /: R AR - î varata /: R AR ( ) log 7 ( ) log ( ) log 7 ; ; ( ) log Trebue să suble îsă fatul ă relaţle de a sus resuu deseletarea r rogra a tuturor oeraţlor baale. Aeasta va odue î od evdet la o olare a rograulu. Totodată aeste relaţ au valoare î ăsura î are fuţle trgooetre (oefeţ de rotaţe) sut realulate. Sut osble âteva varate: (7) () a) Fuţle trgooetre sut realulate ş troduse îtr-u tabel; aeastă varată odue la vtea aă dar ş la ărrea eore ouate ş este dfl de alat daă u este f.
b) Fuţle trgooetre se aluleaă or de âte or sut eesare; aeastă varată odue la rograul el a slu ouâd eore ă. Tul de alul al aestor fuţ este îsă foarte are î raort u oeraţle de aduare ş îulţre aşa îât rograul va f foarte let. ) Calulul reursv al fuţlor trgooetre reretă o soluţe de oros î are se utleaă forule de tul s os ( ) θ s θ osθ os θ sθ ( ) θ os θ osθ s θ sθ Este eesară o ţalare (evaluarea fuţlor sθ ş osθ dret sau r tre dtr-u tabel). Oeraţle efetuate îtr-u etaj u eestă eore suletară reultatele utâdu-se lasa e aeleaş oţ e are s-au aflat datele de trare (-lae). Îtr-adevăr oeraţle se ot efetua ofor see: b -» ACC a - ACC -» b a (ACC) -» a ACC rereetâd auulatorul roesorulu. (9) uărul Rereetare Rereetare bară u r. de bară ordea versată a orde bţlor 6 6 7 7
Se ostată ă datele de trare u se ală î ordea lor aturală îtr-o orde odfată uosută sub uele de ordea versată a bţlor deure e se justfă rvd tabelul de a sus. Reultatele se obţ î ordea aturală. Algort u deare î freveţă Î aest a se reretă d sub fora: ; ; (9) ş reultă: ( ) ( ) (9) d are reultă etru ş resetv : ( ) ( ) TFD (9) ( ) TFD (9)
Se ostată arăş desouerea trasforate de ord î două trasforate de ord / (fg. 9). Î otuare feare d ele două gruur de âte / seale e osttue trărle trasforatoarelor î / ute se desarte î două duă aelaş roedeu (rele / ş urătoarele /). De eelu etru se obţe graful d fg.. TFD / ( ) - TFD / ( ) Fg. 9 Graful obţut duă o ră deare î freveţă. ( ) ( 6) ( 7) - - - - - - - - Fg. Graful trasforate etru. - - - - ( ) ( 6) ( 7) 6
Ca ş î aul reedet reultă log etaje î feare efetuâdu-se / oeraţ de t "fluture". Strutura fluturelu este îsă ea d fg.. Evdet oletatea erată r uerele de îulţr reale ş de aduăr reale este aeeaş a î algortul reedet. Î aest a eşatoaele sealulu se au î ordea aturală ar ale eşr reultă î ordea versă a bţlor. Fg. Strutura fluturelu etru dearea î freveţă... Algort î baa Să resuue ă de se ot utla algort î baa R. Estă ş î aest a algort u deare î t ş algort u deare î freveţă. Vo reeta î otuare ua algortul u deare î t. Pord de la aest a ş avâd î vedere ş ele arătate refertor la algortul î ba a do u deare î freveţă ttorul va utea dedue fără dfultate strutura algortulu î baa u deare î freveţă. Vo sre d utlâd erarea sefă algortlor u deare î t: ; ; (9) Reultă 7
(9) sau detald suele duă (96) Feare dtre ele sue reretă resetv TFD de ordul / ale seveţe orgale îtârate u u tat u două u tre tate ş deate u fatorul R. Petru evaluarea feărea se oate reala o ouă deare u R ş aşa a dearte âă se ajuge la TFD de ordul R. Reultă graful d fg..îadrată utat î etrul ag este strutura fluturelu etru aest a. El lude îulţrle u oefeţ de rotaţe ş o TFD de ord (fg.). Aeasta d ură resuue daă este efetuată dret u uăr de aduăr olee de aduăr reale. a oveabl este a ea să fe realată folosd uul d algort reetaţ a îate eea e va odue la ua 6 aduăr reale. Î aul uu fluture vo avea î geeral îulţr olee ş 6 aduăr reale eea e îseaă îulţr reale ş aduăr reale î varata / sau 9 îulţr reale ş aduăr reale î varata /. Daă se doreşte area uărulu de oeraţ r deseletarea oeraţlor baale vor trebu detfaţ flutur u strutur a sle. Proedâd la fel a î aul reedet se obţ
R AR ( ) etru varata / ş R AR ( ) ( ) etru varata /. log log ; log log ( ) 9 log log 6 9 6 log ; 6 6 log (97) (9) Î od absolut aseăător se oate reala ş u algort baă u deare î freveţă. Perforaţele sut rat dete dferă doar ordea trărlor ş a eşrlor... Algort u bae desate (slt-rad) Aeşt algort au fost troduş de P. Duael ş H. Holla î aul 9 [] fd astfel rtre e a o esteţ î reet. Se ot ala î aul âd este o utere a lu ş odu la desouerea trasforate de ordul îtr-o trasforată de ordul / ş două trasforate de ord /. Estă aseeea algort atât u deare î t ât ş u deare î freveţă. Algort u deare î t Vo utla aeeaş rereetare a dlor a ş î aul algortulu baă u deare î t aşa îât ; ; (99) 9
Gruâd rul u al trelea tere al sue se obţe sau { } { } { } j j TFD TFD TFD relaţe e ue î evdeţă desouerea trasforate de ordul îtr-o trasforată de ordul / avâd a trăr eşatoaele are ş două trasforate de ordul /. Treerea se fae r teredul uor strutur de t L îtors (fg. ) e are etru slfare le vo u tot flutur. Graful trasforăr etru este dat î fg.. Se ostată o strutură a grafulu slară ele obţute u algortul baă do u deare î t dar trastaţele dferă. Să evaluă ş î aest a oletatea artetă. Se observă ă flutur e terv îtr-u etaj de desue se ot lasfa î:
Fg. Strutura L îtors. - flutur oleş etru. Deoaree... /- uărul aestora este /-. Feare fluture oţe două ultlăr olee ş 6 aduăr olee eea e îseaă: îulţr ş 6 aduăr reale î varata /; 6 îulţr ş aduăr reale î varata /; - u fluture de tul e u oţe ultlăr avâd doar aduăr reale; - u fluture de tul / are se oate alula u u uăr a redus de oeraţ deât fluturele ole ş aue ultlăr reale ş 6 aduăr reale (ţâd seaa î efetuarea ultlărlor olee ă sθ-osθ). Reultă de î total: î varata / sau R( ) R R R R AR( ) 6 6 AR AR AR AR
sau R AR ( ) R R 9 ( ) AR AR î varata /. Euaţle de a sus sut de fora ( ) A B ( ) v( ) v( ) A B ude v( ) () () v (6) Fg. Graful etru algortul bae desate deare î t. Euaţa araterstă λ λ (7) are soluţle - ş de soluţa geerală a euaţe oogee este ( ) α β v () Vo ăuta o soluţe artulară a euaţe u arte dreată de tul ( ) d v (9) Îloud î euaţe reultă A d B de soluţa geerală este de fora v α ( ) β A B
ude α ş β se deteră d odţle ţale. Petru rearea aestora se observă ă R() AR()6 R() AR(). Se obţ: log log 9 9 6 log AR ; 9 6 9 log R î varata / ar î varata /: log AR ; log R Aeste eres odu la olua ă algortul baelor desate este el a efet uosut âă î reet etru aul âd. Algort u deare î freveţă Vo rereeta d ş utlâd forele sefe dearăr î freveţă u R etru valorle are ale lu ş u R etru valorle are. Se obţe u gru de tre relaţ erâd () () Eltâd suele duă d ultele două relaţ reultă
j j (6) Pra relaţe defeşte o TFD de ordul / etru seveţa [ ][ /] [/-] ar elelalte două două TFD de ord /. Itrărle etru aeste TFD se realeaă u sea d fgura 6 - u fluture î L. Proesul se reetă etru ele trasforate âă răâ ua trasforate de ordul. Fg. 6 Strutura "L". Coletatea artetă se evalueaă la fel a î aul reedet ş reultatele sut dete... Algort u bae te Aeşt algort ot f folosţ ş î aul âd este u uăr ous fără a f o utere a lu sau î geeral a uu uăr atural R ude Trasforata de ordul se oate desoue î trasforate de ordul ş trasforate de ordul ao trasforatele de ordul se desou
î trasforate de orde ş ş aşa a dearte âă se ajuge la trasforate de ordul. Eelu Vo osdera aul ue trasforate de ordul etru are vo utla o erare a dlor de tul ele îtâlte î aul algortlor u deare î t: (7) () Suele reretă trasforate de ordul etru seveţele: ; ; 7 ; 9 6 Fg..7 Graful ue trasforate u. Se observă (fg. 7) ă ître trasforatele de ord ş ele de ord se teru îulţrle u fator de rotaţe ( îulţr olee).
Î geeral u ât se oate fae o desouere la bae a u atât uărul de oeraţ este a redus. Baele are sut de regulă a uţ efete sut de referat ele de tul. Algortul fatorlor r (Pre Fator Algort - PFA) Vo resuue de fora... fd relatv r. Vo fae d ou ael la teorea eă a resturlor alată de aeastă dată e elul laselor de restur odulo. Cofor aeste teoree setul de ogrueţe lare od (9) adte o soluţe uă odulo. Deoaree / este eleet versabl al elulu Z ş fe versul său od sau od Cuosâd... se oate detera u relaţa l l l l od Îtr-adevăr evaluâd feare tere al sue de a sus od găs l l l l l od ş răâe od () Î oseţă eresa () 6
va lua u uăr de... valor dstte ş oate f utlată etru erarea delu. Proretăţ aseăătoare are ş eresa (6) Utlâd aeste rereetăr ale dlor reultă (7) Dar r odul u s-au ales () Îtr-adevăr efetuâd rodusul elor două sue se obţe o erese de fora j j j j (9) Dar j j j j j Pra d egaltăţle de a sus deurge d fatul ă etru j eresa / j este u uăr îtreg de attatea evaluată este ultlu de. Î aul j ţâd seaa de odul u s-a ales j 7
aşa îât Reultă de ş () Pr aest od de erare a dlor trasforarea udesoală se îloueşte u ua -desoală. Eelu Să osderă arăş aul ue TFD u de. Calulă a îtâ Reultă 6 Avatajul faţă de algortul reetat ateror ostă î abseţa terelor de rotaţe ître trasforate aşa u reultă d eresle urătoare: 6 6 6 Suele reretă TFD î ute ale seveţelor:
( 6) ( ) ( 9) ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ar feare gru de âte tre eşr ale aestor trasforatoare oresuâd ue valor se ală la trărle âte uu trasforator de ordul tre. uărul de oeraţ este el oresuător etru trasforăr de ord ş trasforate ord (fgura ). Fg.. Graful ue trasforate u. Î eelul de a îate se oate sre: ( ) ( ) () Vo trodue vetor: ude (6) 9
7 9 6 9 6 9 6 (7) Reultă urătoarea erare evaletă: () î are [ ] (9) Oeraţa de a sus se oate sre defd rodusul Kroeer de atre: () () Proedeul se oate geerala daă (fator r): ().. Algortul ograd Vo reat etru îeut alte âteva eleete d teora uerelor. Fe seveţa () od a a
Evaluarea fd făută odulo seveţa de a sus va avea u uăr ft de valor dstte ea fd de fat erodă. e tereseaă eroada aă e se oate obţe etru u dat. Se oate deostra ă eroada aă este dată de fuţa lu Euler Φ. Aeasta reretă r defţe uărul de uere aturale a a ş relatv re faţă de aesta. uerele a are odu la realarea eroade ae se ues rădă rtve ale elulu Z ş vor f otate u g. Pr urare seveţa g oţe u uăr de Φ valor dstte g g od g Φ ( ) g Refertor la fuţa Φ ( ) se oate arăta ă: - daă este uăr r Φ ; Φ od ( ) () - daă este de fora ude este r ş atu Φ( ) ( ). Algortul ograd utleaă aşa uta erutare Rader. Să luă etru îeut aul r. Se oate sre: () Va esta o rădăă rtvă g a lu Z avâd roretatea g ş g g. j j j De g etru este o erutare a uerelor..-. Ca urare vo utea era d ş r g g (6) Reultă:
( g ) ( g ) g. (7) Se observă ă ulta suă este o ovoluţe lă î ş. Aest roedeu de overse a ue TFD de ord îtr-o ovoluţe lă de ord - se ueşte erutare Rader. Să a observă ă ulta d relaţle (7) a oate f srsă g ( g ) ( g )( ) Eelu Să osderă TFD de ord :. (). (9) Se observă ă g este o rădăă rtvă a lu. Îtr-adevăr Z. () ar g deoaree. Puâd : ( ) ( ) () Euaţle de a îate a ot f srse: [ ] ()
() Pe de altă arte relaţa () se a oate sre sub fora () Ulta suă reretă o ovoluţe ş o vo alula utlâd algortul ograd. Dar realarea r aeastă etodă a ue ovoluţ u a fost reetată î eelul de la aragraful..6. a îtâ va trebu efetuat rodusul θ θ θ θ θ θ θ θ s s s s os os os os j j j jb jb jb B B () ude π θ ş î otuare: jb jb jb B B (6) Oeraţa e outatvă ş oate f îloută u o îulţre de atre îloud vetorul e oţe eleetele u o atre dagoală. B
jb jb jb B B (7) Itroduâd ş e : jb jb jb B B B () B sut şte ostate reale realulate etru u ord dat ş B. Oeraţle e trebue efetuate ot f de rereetate r: CBA (9) Vor trebu de alulate suesv:
v v v v v v A (6) (6) v jb v jb v jb v B B v v B v v v v v v B ş: (6) C Se orgaeaă astfel aduărle îât să se foloseasă î otuare reultatul ue aduăr or de âte or este osbl (fg.9). Reultă î total 6 îulţr (de fat ă B o ) ş 7 aduăr. Î geeral atrele A ş C vor odue la şte oeraţ de îsuare la trare ş eşre î etru răââd o oă de ultlăr (fg.). Se vede ă uărul varablelor teredare (v) e trebue relurate î oa de ultlăr este a are deât eestâd eore suletară.
Fg. 9 Graful ue trasforăr etru. U alt a ortat este aela âd ude e r ş atural []. S-a arătat ă î est a estă el uţ o rădăă rtvă g are va geera o seveţă de eroadă Φ. Vo utla etru îeut rereetarea (6) Petru reultă od ş (6) Fg.. Gruarea oeraţlor î aul algortulu ograd. Eresa d arateă reretă de fat o TFD î / ute a seveţe. (6) ( ) Petru vo seara od î două B A B A od od (66) Vo utla o ouă rereetare a dlor ' (67) aşa îât reultă A (6) 6
Aeasta este îsă o trasforată de ordul - î are tere oresuâd lu ' u se aluleaă. Se observă ă ebrul dret u dede de '. Răâe de evaluat B î are od ş î oseţă aeasta este o trasforare de ordul ( ) ( ) Id ş vor f ş au geeraţ utlâd o rădăă rtvă g a lu Z : aşa îât g od g B od g ( g ) ( ) are reretă o ovoluţe e oate f alulată u algortul ograd. De eelu etru 9 se seară a îtâ tere oresuâd lu od adă etru 6. E se evalueaă u ( ) ( ) Aeastă trasforată de ordul tre se oate alula fe dret fe utlâd algortul ograd r reduerea la o ovoluţe de ordul do duă seararea lu [] (fg.). Eresa A ( ) ( ) este tot o trasforată de ordul tre la are u se evalueaă tereul etru '. Cu ebrul dret u dede de ' ar ' u terve răâ doar două valor 7
dstte etru alulul ărora se oate de aseeea utla algortul ograd. Se verfă uşor ă g este o rădăă rtvă î Z 9 B 9 9 9 9 9 9 9 9 7 se aluleaă a o ovoluţe a seveţelor Reultă sea d fg.. 9 9 7 ( ) ( ) ( ) ( 7) ( ) ( ) 7 [ ] T [ ] 9 9 9 9 9 9 9 9 9 T 9 Tere. Algortul reetat âă a este foarte efet etru fd uăr r. Petru valor a ar ale lu se oate reurge la desouerea î fator r... duă u s-a văut la roedeul ateror ş etru feare d trasforatele de grade a se oate ala aest algort. Să osderă aul. Duă u s-a văut î aest a Produsul Kroeer are roretatea ş se oate de sre: AB CD C B A ( A C)( B D) C ( C B A ) ( C B A ) ( C C )( B B )( A A ) CBA sau î geeral âd... B A
( C B A ) ( C B A ) ( C C )( B B )( A A ) Se observă ă ş a toate îulţrle sut oetrate "la jlo" aşa îât se aluleaă a îtâ toate aduărle sealelor de trare (oresuătoare tuturor odulelor) ao toate îulţrle ş î fal al dolea gru de aduăr. Sub aeastă foră algortul ograd etru trasforata Fourer se îtâleşte sub deurea resurtată FTA (ograd Fourer Trasfor Algort). El are î ou u algortul PFA desouerea î odule ord de la fatorarea lu dar î algortul PFA odulele sut a dearte relurate deedet. Î FTA rodusul B B B B de îulţr este ( ) ( ) ( ) îulţr etru odulul de luge. oate f realulat ş uărul total ude ( ) este uărul de Petru do fator uărul de aduăr e dat de ( ) A ( ) A( A ( ) este uărul de aduăr etru odulul de luge. A ) ude Algortul ograd este foarte efet a volu de alul dar relatv dfl de rograat. 9