Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/ Capitolul III: Sisteme liniare şi liniaritate Matrice şi funcţii de transfer P

Transcriere

1 6 Cptolul III: Stee lre ş lrtte.... Mtrce ş fucţ de trfer Petru crcterzre elelor î doeul operţol e foloec trfort plce (petru elele î tp cotuu) ş trfort z (petru elele î tp dcret). Ele furzeză odele tetce le elelor î doeul operțol. râdul lor, odelele tetce le teelor lre d doeul tp pot f îlocute cu odele î doeul glor, tât petru teele î tp cotuu, cât ş petru teele î tp dcret. Vorb depre odele tetce le teelor î doeul operțol. Ţâd eă de eăre uor clcule î doeul operţol, e foloește, după cu - preczt, vrbl operţolă ufctă :, z, petru czul STC petru czul STD Petru u te lr, tuc câd elele ut blterle, depedeţ trre-eşre î doeul operţol (u-trre, y-eşre) ete de for: y( ) H u () î cre fctorul H( ), o fucţe de, e ueşte trce de trfer teulu. Mtrce de trfer depde u de te ş ete depedetă de elele de trre ş de eşre. Depedeţele de for () portă uele de odele tetce operţole. Î MM operţol (): u ete u vector de tpul (, ); y ete u vector de tpul (p, ). C urre: H ete o trce de tpul (p, ); H pote f cră ub for: H( ) [ Hj( )], ; p, j ;. () De pldă, petru u te cu două trăr ş două eşr ve:. H H H H H, r () for de detlu: y H y H u H u H u u.

2 6 Fucţle H j cre pr u e uec fucţ de trfer le teulu. Fucţ de trfer (f.d.t.) H j crcterzeză trferul de forţe pe clul u j( ) y. Dcă teul ete de tp SISO, trce de trfer e reduce l o gură fucţe de trfer. Nu petru cet cz pute cre că: ) y H( ). () u Fucţ de trfer e foloeşte î ulte copur. Uul dtre copur ete clculul răpuulu uu te l u el de trre dt. Î prtculr, petru teele î tp cotuu clculul ureză pş: ) Se clculeză ge elulu de trre: u(t) u() e dă u(t) e clculeză u() folod tbele de trforre ) Se clculeză ge elulu de eşre: y() H() u() ) Se clculeză orglul elulu de eşre: y() y(t) vâd pe y() e foloec tbelele de trforre petru clcul pe y(t). Mtrce ş fucţle de trfer e foloec pe lrg tât î problee de lză teelor (tudul propretăţlor teelor, detlere tructur) cât ş î problee de teză tructurlor de coducere (tblre de lgort de coducere), de exeplu petru tez regultorelor PID. Î czul SISO relţ () perte urătore terpretre fucţe de trfer: fucţ de trfer ete ge operţolă răpuulu l pul teulu (t). Î devăr: dcă teul ete î tp cotuu ş u(t) (t), tuc u() îtrucât : y ( t) ; dcă teul ete î tp dcret ş { u[t]} { [t]}, tuc u(z) = îtrucât: {[t]}. Aşdr, ge trăr ete îtotdeu u( ). De c rezultă : y H (4) Îtrucât H( ) e obţe d odelul tetc î doeul tp l teulu, d (4) rezultă că ş răpuul l pul y (t) pote f codert u odel î doeul tp l teulu. ) Preczre fce referre l fptul că î () pre o operţe de îpărţre cre ete poblă îtrucât ete vorb depre două fucţ clre, pe câd î () pre o operțe de îulţre îtrucât u vector u pote f îpărţt l lt vector. ) Se re î vedere că y ) y( ) u H u( ). ( ( )

3 6.. Crcterzre STC. Modele tetce trre-eşre (MM-II) A) Fore coce Petru u te lr î tp cotuu, MM-II re for cocă: y () (t) () y (t) y(t) y(t) b u () (t) b () u (t) b u(t) b u(t),. () Steul () ete de ordul ; potrvt crterulu euţt., ; ş b j, j ; repreztă coefceţ teulu. Steul ete lr Dcă <, tuc teul ete trct cuzl, precu ş fzc relzbl. Dcă =, tuc teul ete l lt de cuzltte ş l lt de relzbltte fzcă. Dcă >, tuc teul u ete cuzl ş u ete fzc relzbl. Dcă petru odelul () elele de trre ut blterle, tuc ș elele de eșre ut blterle, tfel că folore odelulu u ecetă codţ ţle. Petru -l pute folo petru ele de trre ulterle ve îă evoe de codţ ţle. Î doeul glor, teulu () e ocză o fucţe de trfer. E e clculeză folod propretăţle de lrtte ş teore dervăr d czul trforte plce.î potez că elele ut blterle: ( ) y( ) y( ) y( ) y( ) b u( ) b u( ) b u( ) b u( ) b b b b y( ) u( ) () Pr detfcre cu relţ de defţe fucţe de trfer deduce că: b H( ) b b b () Dec, fucţ de trfer ete o expree rţolă î rport cu vrbl ; d cet otv, teul () ete deut ş eleet de trfer rţol. Dcă grdul utorulu e re decât grdul uărătorulu, dcă fucţ rţolă ete trct propre, teul reprezett de H() ete fzc relzbl, repectv trct cuzl. Ilutră utlzre fucţe de trfer petru clculul răpuulu uu te. Exeplu: Fe urătorul te de ordul I, petru cre clculă răpuul l el treptă utră: Ty(t) y(t) Ku(t) (4) u(t) (t) (5)

4 6 (4) K H() T (5) u() K y( ) T Petru clcul y(t), recurge l tbelele de trforre r î fl fce uz de forul: (petru = ș = /T). Succev, ve: y () K K K T T (T ) ( ) T K T K ( ) T T e t y() y(t) K ( e ) (6) t T eprezetre grfcă coduce l două terpretăr le cotte de tp T: ) T ete ubtget l curb y(t); ) T ete tervlul de tp pe cre ăre y vrză cu e. 6 d cttte pe cre o re de prcur pâă l tgere velulu fl K. B) Ipedţ operţolă Petru problee de odelre ş lză teelor cu crcute electrce lre cu pretr cocetrţ e dovedeşte deoebt de utlă folore oţu de pedţă operţolă. E e ocză uu crcut ere --C ş e oteză cu Z(). Petru defre e e coderă u crcut electrc ere --C c te cu oretre u. C u Depedeţ dtre u(t) ş (t) re pectul: ( ) u(t) (t) (t) (t) dt (7) C

5 64 () () () Pr dervre î rport cu tpul rezultă: (t) (t) (t) u (t), r coderâd codţ ţle ule C obţe fucţ de trfer ( ) H( ) (8) u( ) C cu efcţ de dtţ operţolă. Ipedţ operţolă ete, pr defţe, ver dtţe operţole, dcă: u( ) Z( ). (9) ( ) C Abeţ uu eleet de crcut -, u C - coduce l beţ tereulu corepuzător d (9). Odtă ce clcult pedț operțolă, e opereză cu egltăț lgebrce de for u() = Z()(). Cu pedţ operţolă e lucreză l fel c ş cu pedţ coplexă Z(j), fd utlzble bele teoree le lu Krchhoff. Notă: Se pote coder că pedţ coplexă Z(j), folotă petru crcutele electrce lre î reg uodl, e obţe d pedţ operţolă pr prtculrzre Z ( j) Z(). Exeplul ) : Să e clculeze trce de trfer octă cudrpolulu î T d fgură codert c te cu oretre {u, u } {, }. Z, Z ş Z repreztă pedţe operţole de for (9), dte. j Z Z u u Z u Soluţe: Cu otţle d fgură ve: u() Z() () u() u() Z() () u(). () () () u() Z() () Mtrce de trfer e obţe coderâd cete 4 relţ c u te vâd pe,, u ş c ecuocute ş cre e rezolvă u î rport cu ş : Z () () () Z () () u () () u () u () Z () u () u(), () () Obţe (Z Z )u Z u ş ZZ ZZ ZZ Zu (Z Z )u, repectv Z Z Z Z Z Z Exeplul lutreză odul î cre e pot obţe MM operţole le crcutelor electrce folod pedţ operţolă.

6 65 Z () Z () Z ()Z () Z ()Z () Z () Z () Z () Z () () Z () Z () u () () Z () u () Z () Z ()Z () Z ()Z () Z () Z () Z () Z () Z () Z () H() Mtrce ubltă cu coldă ete trce de trfer căuttă. Fucţle de trfer de pe dgol ecudră e uec dtţe utule, r cele de pe dgol prcplă - dtţe de trre. Utlzre pedţe operţole perte obţere rpdă MM-II î doeul tp le crcutelor electrce lre tuc câd ărle de trre ş de eşre ut teu ş/u cureţ. Procedeul ete edt: Se tbleşte depedeţ dtre trărle ş eşrle crcutulu cu jutorul pedţelor operţole le lturlor crcutulu; Se recre cetă depedeţă ub for uor egltăţ ître fucţ polole de vrblă îulţte cu gle trărlor u eşrlor ş e trpue rezulttul î doeul tp. Exeplul : Să e tblecă MM-II î doeul tp l crcutulu d fgură codert c te cu oretre u u. Soluţe: Notă: Z () =, Z () = + C, Z () = +. Se obţe: r po u () Z Z ()Z Z() u() () Z Z () Z () () Z() Z () Z (), () Z Z () ()Z () Z u( ) ()Z () u () C u(). ( )C C ezulttul e pote recre ub for

7 66 ( )C C u () u () cre, trpuă î doeul tp, coduce l MM-II ( Cu (t) [C u() )C u (t) u (t) [Cu(t) u () u(t)] u()] Modelul obţut dcă u te flt l lt de relzbltte fzcă cre e coportă î oetul ţl c u dvzor de teue. Explcţ cotă î fptul că che electrcă ete de fpt u odel coceptul delzt l uu crcut relzt, de exeplu, cu tre reztore, u codetor ş o bobă. Sche electrcă u redă î od coplet teul rel cre u re pretr cocetrţ c pretr dtrbuţ ş cre preztă ître eleetele de crcut cuplje przte. C) Depedeţ trre-eşre petru u te SISO petru codţ ţle eule Î prctcă, petru rezolv tuţ cocrete, operă cu ele ulterle. Operre cu ele ulterle e oblgă l coderre codţlor ţle. Modul de lucru ete lutrt î coture. Fe teul () () () () y (t) y (t) y(t) bu (t) bu (t) bu(t). () Î codţ ţle eule e obţe (tote codţle e coderă fe l oetul t = _, fe l oetul t = + ): () () () () [ y() y()... y () y ()] () () [ y() y()... y () y ()] [y() y()] y() () () () b[ u() u()... u () u ()] () () b[ u() u()... u () u ()] b[u() u()] bu() Coderâd cetă egltte c ecuţe î rport cu y() e obţe b b b y() u() b b b k k k k (k) k k (k) y () u () k k () ezulttul ete tot u MM operţol. El perte tât clculul ăr de eşre l u el de trre dt î codţ ţle orecr cât ş tblre expree fucţe de trfer. F.d.t. e obţe coderâd î () codţ ţle ule, cz î cre egltte () deve expre cuocută f.d.t. Notâd cu b b b H() b b b y(). (4) u(). egă tfel

8 67 ( ) (5) poloul crctertc l teulu () ş defd fucţle jutătore H y k e obţe forul: () k () y() H()u() k k k, H u k b () k b () k (k ) (k) [Hy ()y () Hu ()u ()]. (6) Adeeor folo rezulttul evdeţd copoet de răpu lber k k b k y (t) ş pe ce de răpu forţt y f (t) :, y() y () y () f (k ) (k) f y k uk k y () H() u(), y () [H ()y () H ()u ()]. (6') D) Pol ș zerourle uu te evdețț î fucț de trfer Aş cu - preczt î ecţue, u te de tp SISO cu f.d.t. e ueşte eleet de trfer rţol. Vlorle p k le lu petru cre zk b H() b b l H() ut ute pol lu H() u teulu, r vlorle z k le lu petru cre l H() ut ute zerour le lu H() u le teulu. Pol ş zerourle fte pot f uere rele u coplexe. Vlorle lor îş pu pret upr trztăr elelor pr te. Prezeţ pollor deotă crcter erţl, crcterzt pr cottele de tp de îtârzere (u teporzre): T -, (7.) p r prezeţ zerourlor deotă crcter tcptv, crcterzt pr cottele de tp de tcpre ' Tj -. (7.) z j Î tuţ câd toţ pol ş tote zerourle fucţe de trfer ut rele ş trct egtve expre fucţe de trfer e pote recre cu jutorul cetor cotte de tp ub for p k b H() ' j (T ) j (T ). (8) Preupue că H() ete reductblă. ecrd f.d.t. tfel îcât ă fe evdeţte rădăcle uărătorulu ş utorulu, dcă ub for b H( ) ( z j ) j, rezultă că H() re zerour fte z j, j = ; ş pol ( p ) fţ p, = ;. Dcă <, fucţ de trfer fd trct propre, teul re u zero de ord de ultplctte - î puctul de l ft,, îtrucât l H(), r dcă >, fucţ de trfer fd propre, teul re î puctul de l ft u pol de ord de ultplctte - îtrucât l H(). Exteţ zeroulu de l ft deotă u crcter predot erţl, de îtârzere, pe câd exteţ polulu de l ft u crcter predot tcptv. Puctul de l ft u pre c pol u zero î czul fucţlor de trfer propr ( = ).