Slide 1

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro

2/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Probleme Inverse Electromagnetice (PIE) Obiectivul cursului a vizează definirea unei probleme inverse electromagnetice (PIE), formularea unei PIE, clasificarea PIE, metodologii de rezolvare a acestei clase de probleme şi exemple. Structura cursului Introducere Formularea generală a unei PIE Definiţie Clasificări Metodologia de rezolvare a PIE Metode specifice de sinteză Formularea matematică generală Clasificări Exemplu Metode specifice de optimizare Formularea unei probleme inverse ca şi problemă de optimizare Exemplu Concluzii 3/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

INTRODUCERE 4/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Problema directă Problema inversă Problema DIRECTĂ în sens electromagnetic Dispozitiv electromagnetic Analiză Performanţe Problema directă electromagnetică (PDE) Problema INVERSĂ în sens electromagnetic Performanţe Optimizare Dispozitiv electromagnetic Problema inversă electromagnetică (PIE)

5/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR INTRODUCERE Problema directă electromagnetică Problema directă electromagnetică (PDE) (sau de analiză) a determinarea performanţelor corespunzătoare unui dispozitiv electromagnetic dat Precizate geometria sistemului proprietăţile de material valorile surselor apde Determinate mărimile de stare locală ale câmpului electromagnetic mărimile de stare instantanee ale câmpului electromagnetic mărimi caracteristice integrale: capacităţi inductivităţi forţe cupluri puteri disipate, etc. Performanţele dispozitivului Soluţia problemei de analiză sau PDE există şi este unică

6/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR INTRODUCERE Formularea corectă a unei probleme de analiză presupune: definirea fenomenologiei de bază a problemei; stabilirea modelului fenomenologic corespunzător - modelul fizic reflectarea în plan formal a acestei fenomenologii - modelul matematic de câmp electromagnetic: de tip diferenţial de tip variaţional de tip Integral Rezolvarea modelului matematic: analitic semi-analitic numeric analogic grafică a soluţiei problemei de analiză a câmpului electromagnetic PDE PIE

FORMULAREA GENERALĂ A PIE 7/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Definiţie PIE = determinarea unor cauze necunoscute care influenţează distribuţia şi/sau valoarea câmpului electromagnetic şi produc efecte postulate sau măsurate anterior Cauze necunoscute forma geometrică parametrii sau caracteristicile de material sursele câmpului electromagnetic: interioare (densităţi de sarcină sau curent, etc.) exterioare (condiţii de frontieră) Observaţie: În categoria mărimilor necunoscute intră acele mărimi care pentru o PDE reprezintă chiar datele de intrare. Efecte impuse valoarea câmpului electric şi/sau magnetic a problemă inversă de câmp a sinteză de câmp performanţe de natură electrică a problemă inversă de proiectare a sinteză de proiectare caracteristici globale de natură neelectrică: greutate volum cost

8/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR FORMULAREA GENERALĂ A PIE Clasificarea PIE 1) În funcţie de numărul de efecte impuse: un singur efect a PIE simplă mai multe efecte a PIE compusă 2) În funcţie de natura efectelor impuse şi respectiv a cauzelor necunoscute: a) ambele seturi de mărimi continue a PIE continue b) ambele seturi de mărimi discrete a PIE discrete c) una dintre mărimi este discretă iar cealaltă continuă a PIE semi-discrete 3) În funcţie de efectul impus: a) postulat a PIE de sinteză Obs. Scopul acestor probleme este de a determina o cauză care generează un efect cât mai apropiat de o valoare arbitrar precizată. Problemele de acest tip sunt întâlnite în acele aplicaţii în care, studiul are drept scop proiectarea unui dispozitiv electromagnetic capabil a produce un efect impus. b) obţinut ca rezultat al unei măsurători a PIE de identificare Obs. Scopul acestor probleme este de a determina o cauză care generează un efect real, existent. Aceste probleme se întâlnesc în mod uzual atunci când efectul impus reprezintă o cantitate determinată pe cale experimentală. Soluţia problemei de sinteză sau PIE nu este unică!

9/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR FORMULAREA GENERALĂ A PIE Etapele de rezolvarea a unei PIE sunt identice cu cele corespunzătoare PDE şi sunt necesare stabilirea: modelului fenomenologic; modelului matematic; metodei de prelucrare corespunzătoare. În rezolvarea unei PIE trebuie să facem distincţie între metoda adoptată pentru calculul de câmp şi respectiv pentru determinarea efectivă a soluţie. Problema de câmp electromagnetic se rezolvă, în mod uzual, folosind o metodă: analitică, semi-analitică, numerică. Metodele numerice: metoda diferenţelor finite (MDF), metoda elementului finit (MEF), metoda elementului de frontieră (BEM), metoda hibridă MEF/BEM

10/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR FORMULAREA GENERALĂ A PIE Indiferent dacă PIE este continuă, discretă sau semi-discretă, iar calculul de câmp are la bază o metodă analitică, semi-analitică sau numerică, două metode de determinare a soluţiei sunt consacrate: - metode specifice de sinteză = o sinteză ordinară; - metode specifice de optimizare = o sinteză optimală sau sinteză prin optimizare Problema inversă electromagnetică Metoda de calcul a câmpului analitică semi-analitică numerică o MDF o MEF o BEM o MEF/BEM Metoda de calcul a soluţiei specifică de sinteză o metoda regularizării o metoda valorilor proprii specifică de optimizare o deterministe o stohastice

11/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR FORMULAREA GENERALĂ A PIE Metodele specifice de sinteză: -au fost primele care s-au aplicat la rezolvarea PIE, -tind să piardă teren în competiţia cu cele de optimizare -soluţia furnizată nu este neapărat cea optimă, -nu pot fi aplicate în cazul în care efectul cunoscut este unul de tip integral (ex. o forţă, un cuplu, etc.). Metodele specifice de optimizare: -primele lucrări care abordează rezolvarea PIE cu ajutorul unor algoritmi de optimizare, au fost publicate începând cu anul 1988 -au fost utilizate cu o de mare întârziere în rezolvarea PIE datorită volumului de calcule necesare a fi efectuate -metodologia de rezolvare a problemelor aparţinând sintezei de optimizare presupune o procedură iterativă, în care sunt rezolvate o serie de probleme directe (analiză). Observație: Atunci când, o problemă directă presupune utilizarea metodelor numerice de modelare a câmpului electromagnetic (FDM, FEM, BEM) programul de calcul, în ansamblul lui, devine deosebit de costisitor; dar evoluţia spectaculoasă, din ultimele decenii, a tehnicii de calcul a făcut posibilă utilizarea metodelor de optimizare alături de cele numerice de calcul a câmpului electromagnetic, în vederea rezolvării PIE.

12/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Prin rezolvarea unei PIE se sintetizează câmpul electromagnetic sau dispozitivul care generează acest câmp? Revenim problema directă: - într-o problemă practică de proiectare, din domeniul ingineriei electrice, se porneşte de la un dispozitiv electromagnetic dat (ca de exemplu: un transformator, un electromagnet, o maşină sincronă, etc.) pentru care se doreşte evaluarea, pe baza unei analize numerice, a performanţelor sale - soluţia de câmp, şi implicit oricare altă performanţă a dispozitivului, depind în mod continuu de geometria sistemului, proprietăţile de material şi de valorile surselor. analiza dispozitivului electromagnetic, în vederea obţinerii unei performanţe dorite, presupune de fapt analiza câmpului electromagnetic asociat acestuia. Observație: În practica inginerească asemenea analize sunt foarte rar utilizate fără un scop bine precizat, cel mai adesea dorindu-se ca prin calculul efectuat să se obţină o anumită performanţă (sau mai multe) dorită.

Valoarea performanţei dorite este însă dependentă în mod explicit, sau implicit, de valoarea câmpului electromagnetic. a sintetiza performanţa = a sintetiza câmpul electromagnetic corespunzător dispozitivului Observație: Valorile de câmp depind însă de dimensiunile geometrice ale dispozitivului, de proprietăţile de material şi de cele ale surselor, aşa încât, în final sintetizăm însuşi dispozitivul electromagnetic prin determinarea acestor caracteristici. sinteza câmpului electromagnetic = sinteza dispozitivului electromagnetic corespunzător 13/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

14/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR FORMULAREA GENERALĂ A PIE - SINTEZĂ Definiţia unei PIE Metode de rezolvare a PIE EFECTE IMPUSE Distribuţia câmpului electric sau magnetic Caracteristici globale de natură electrică Caracteristici globale de natură ne-electrică CAUZE NECUNOSCUTE Geometria sistemului Proprietăţile de material Sursele sistemului METODA DE CALCUL A CÂMPULUI analitică semi-analitică numerică MDF MEF BEM MEF/BEM METODA DE CALCUL A SOLUŢIEI specifică de sinteză metoda regularizării metoda descompunerii după valori proprii specifică de optimizare deterministe stohastice CLASIFICĂRI Funcţie de natura efectelor şi cauzelor impuse: continue discrete semi-discrete Funcţie de numărul efectelor impuse: simplă compusă Funcţie de modul de impunere a efectelor: probleme de sinteză probleme de identificare Funcţie de metoda de determinare a soluţiilor metode specifice de sinteză metode specifice de optimizare

15/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Din punct de vedere a obţinerii soluţiei PIE, la ora actuală sunt consacrate două metode: specifice de sinteză; specifice de optimizare. Formularea matematică generală Metode specifice de sinteză Fie o PIE continuă, definită astfel încât sursa (cauza) şi respectiv efectul P aparţin respectiv: D cu D L 2 si P L 2, L 2 fiind spaţiul funcţiilor integrabile de ordinul doi, iar D o mulţime închisă şi convexă. Aşa cum am arătat şi anterior PIE pot fi clasificate în două mari clase, respectiv: probleme de identificare (PI), care au drept scop determinarea unei surse care produce un efect P real, existent. Această clasă de probleme se întâlneşte atunci când efectul dat reprezintă o mărime obţinută în urma unei măsurători experimentale. În acest caz există şi este unic. PI pot fi formulate matematic printr-o relaţie de forma: L = P - unde: L este un operator continuu definit pe D şi reprezintă relaţia funcţională sursăefect

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 16/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Exemplu: în cazul clasic de sinteză a câmpului magnetic: = densitatea de curent J, P = intensitatea câmpului magnetic H L J = H L este un operator diferenţial ce caracterizează sistemul magnetic studiat probleme de sinteza (PS), care au drept scop determinarea unei sursei care produce un efect P de o valoare arbitrară. Din punct de vedere matematic, această clasă de probleme poate fi formulată printr-o relaţie de forma: min L P - unde: 2 este norma pe L 2 (norma euclidiană) a efectului impus. 2 x 2 n 12 2 = xi i= 1 Orice capabil a produce o valoare P cât mai apropiată în această normă reprezintă o soluţie a problemei de sinteza. Prin urmare, o astfel de problemă dacă are soluţie aceasta nu este unică.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 17/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR În conformitate cu definiţia lui Hadamard, o problemă inversă este corect pusă dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: (i) existenţa, există pentru un P dat; (ii) unicitatea, soluţia este unică pentru un P dat (fixat); (iii) stabilitatea, 0, = (, P) 0 a. î. : L P 1 2 1 1 PI este incorect pusă dacă cel puţin una dintre aceste condiţii nu este îndeplinită. Unicitatea soluţiei decurge din faptul că efectul dat P este unul măsurat iar modelul matematic ataşat descrie în mod corect fenomenul electromagnetic. Din contră, PS nu are soluţie unică. Definiţia unei probleme de sinteză corect puse trebuie să fie modificată prin: eliminarea condiţiei de unicitate (i) făcând condiţiile (ii) şi respectiv (iii) mult mai generale

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 18/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode specifice de sinteză a sunt metodele de rezolvare care s-au impus pentru găsirea soluţiilor PI şi respectiv PS a o sinteză ordinară deoarece metodele specifice optimizării nu sunt utilizate în mod explicit Pentru obţinerea soluţiei, aceste metode presupun utilizarea unei informaţii suplimentare care poate fi de natură: calitativă, se bazează pe regularizarea soluţiei şi conduce la o metodă de generare a soluţiei, numită metoda de regularizare Tihonov; cantitativă, se bazează pe metoda celor mai mici pătrate şi conduce la aşa numita metodă de sinteză a descompunerii după valorile proprii; În ambele situaţii, soluţia aproximativă a problemei, dacă aceasta există, poate să nu fie una optimă. Acest lucru este evident atunci când problema de câmp electromagnetic este rezolvată cu ajutorul metodelor integrale iar soluţia problemei inverse se obţine cu ajutorul metodei de regularizare Tihonov. Dintre numeroasele soluţii posibile, care diferă prin gradul de netezime, precizie, etc., se alege acea soluţie care corespunde valorii optime a parametrului de regularizare. Această soluţie este într-un anumit sens una optimă, deoarece criteriul de optimalitate este incorporat în modul de găsire a parametrului de regularizare.

19/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Clasificări Problemele de sinteză pot fi clasificate în raport cu scopul final urmărit, următoarele categorii de probleme fiind întâlnite în literatura de specialitate: sinteza surselor; sinteza condiţiilor de frontieră; sinteza proprietăţilor de material; sinteza formei dispozitivului. Această clasificare este rezonabilă chiar dacă unele probleme aparţin simultan la mai mult de una dintre aceste categorii. Oricum, este foarte dificil a stabili o clasificare generală a problemelor de sinteză după scopul urmărit.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 20/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode specifice de sinteză. Sistematizarea informaţiilor Formularea matematică generală: Probleme de Identificare (PI) Probleme de Sinteză (PS) Condiţiile unei probleme inverse corect puse : existenta, exista pentru un P dat; unicitatea, solutia este unica pentru un P dat (fixat); stabilitatea, 0, = (, P) 0 a. i.: Metode de rezolvare a PI şi PS metoda de regularizare Tihonov (calitativă) metoda descompunerii după valorile proprii (cantitativă) Clasificări sinteza surselor sinteza condiţiilor de frontieră sinteza proprietăţilor de material sinteza formei dispozitivului

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Exemplu de aplicare a metodei O problemă inversă clasică, binecunoscută este aceea de a sintetiza o distribuţie impusă a intensităţii câmpului magnetic de-a lungul axei unei bobine cilindrice de grosime finită. Se consideră o bobină cu o lungime şi respectiv grosime finită. r J(z) R+a R -c c z, Se cere legea de variaţie a densităţii de curent J(z) (-l z l ) care produce o anumită distribuţie a intensităţii câmpului magnetic într-un domeniu 0 {(r, z) r = 0, -c z c} situat pe axa bobinei. În aplicaţia considerată, metoda de calcul a soluţiei de câmp magnetic este cea analitică (integrală) în timp ce soluţia propriu-zisă a PIE este obţinută printr-o metodă specifică de sinteză, respectiv metoda de regularizare Tihonov. Domeniul corespunzător sursei este de lungime 2l, diametru interior 2R, iar cel exterior 2(R+a). Se presupune că înfăşurarea bobinei are o astfel de distribuţie, încât se obţin valori diferite ale densităţii de curent în secţiuni diferite. 21/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 22/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Valoarea câmpului magnetic dh, într-un punct arbitrar de pe axa Oz, produsă de o spiră elementară parcursă de curentul J( ) d este dată de relaţia: dh(z)= R+ a 2 1 J ( ) r drd 2 [ r + ( z ) ] R 2 2 3 În aceste condiţii, valoarea rezultantă a câmpului magnetic corespunzător întregii bobine are expresia: l R+ a 2 1 J ( ) r drd H(z)= 2 l R [ r + ( z ) ] 2 2 3. Dacă H(z) este cunoscut iar J( ) reprezintă funcţia necunoscută atunci relaţia anterioară devine o ecuaţie integrală de tip Fredholm de speţa întâi. Termenul din membrul stâng reprezintă câmpul magnetic care se doreşte a fi obţinut în domeniul 0, de exemplu, o valoare constantă. Integrând analitic, nucleul ecuaţiei Fredholm devine:

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 23/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR 2 1 2 2 2 1 2 K(x,s)= 1 + ( x - s) (1 t) (1 + t) + ( x s) + - unde : x = z R, s = R, t = a R sunt parametri adimensionali. În aceste condiţii ecuaţia finală este de forma: - unde: s 0 h( x) = K( x, s) J ( s) ds, ( ) s 2H x h( x) = x c R s 0 = l R, c 0 = c R. 0 (-c ) 0 0 log 1 + t + (1 + t) + ( x s) 1+ 1 + ( x s) 2 2 Soluţia acestei ecuaţii nu este continuă în raport cu datele de intrare şi prin urmare, mici erori de calcul pot genera erori mari în valoarea obţinută. Pentru găsirea soluţiei se aplică metoda de regularizare Tihonov. 2 12 12

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 24/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR În consecinţă, problema iniţială este înlocuită cu una echivalentă, în care funcţionala ataşată este de forma: M 2 c0 s0 s 0 2 2 J h = K x s J s ds h x dx + J s + J s ds [, ] (, ) ( ) ( ) [ ( )] [ '( )] c0 s0 s0 - unde reprezintă parametrul de regularizare. De obicei, acest parametru are valori foarte mici şi prin valoarea sa controlează gradul de netezime a soluţiei obţinute. Alegerea corecta a acestui parametru este decisivă! Aplicând funcţionalei M [J, h] ecuaţia lui Euler se obţine: s 2 0 0 d h() s h( s) K( s, ) J ( ) d b( s) K( x, s) h( x) dx. 2 ds = = s c 0 0 c - unde: c 0 K( s, ) = K( x, s) K( x, ) dx c 0

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 25/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR În continuare, pentru a putea rezolva ecuaţia, aceasta este transformată într-un sistem algebric de ecuaţii liniare, prin evaluarea integralelor care intervin cu metoda trapezului. Sunt folosite următoarele valori: t = 0,2; s 0 = 1; c 0 = 1 şi h(x) = 1, pe o reţea de discretizare cu 50 de noduri. În tabelul următor sunt date valorile obţinute utilizând metoda de regularizare a lui Tihonov de ordinul întâi. Eroarea soluţiei găsite este definită ca şi o normă pe L 2 a vectorului reziduu. Parametrul de regularizare Eroarea de evaluare a soluţiei 0,1220703 10-6 0,453861694 10-4 0,5960464 10-6 0,181747830 10-4 0,2384186 10-6 0,571059036 10-4 0,1192093 10-6 0,441371449 10-4

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 26/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Variaţia densităţii de curent cu parametrul de regularizare Se constată că, pentru diferite valori ale parametrului de regularizare se obţin diferite valori ale densităţii de curent. Metoda de calcul poate fi aplicată şi în cazul în care soluţia de câmp este obţinută pe cale numerică, de exemplu prin FEM.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 27/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode specifice de optimizare ase utilizează o funcţie obiectiv Sinteza prin optimizare = utilizarea metodelor specifice programării matematice Metodele de analiză numerică de câmp U metode de optimizare a sistem de calcul capabil să genereze automat dispozitive electromagnetice, care satisfac criteriile de performanţă impuse. Metodologia de rezolvare a problemelor aparţinând sintezei prin optimizare presupune o procedură iterativă, în care sunt rezolvate o serie de probleme directe. La fiecare iteraţie de calcul sunt comparate performanţele curente, obţinute pe baza analizei numerice, cu cele impuse şi are loc "ajustarea" parametrilor de proiectare, în aşa fel încât criteriul de performanţă să avanseze spre valoarea dorită. Start Configuraţia de start Evaluarea performanţelor prin analiză numerică Compararea cu performanţa impusă Stop Determinarea configuraţiei optime prin tehnici de optimizare

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 28/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Prin urmare, algoritmul de calcul constă din două faze distincte, care alternează, respectiv de: analiză numerică, destinată să evalueze criteriile de performanţă; minimizare propriu-zisă, destinată a caută soluţia optimă în spaţiul de concepţie. Situaţia iniţială Valori de start Analiza numerică Evaluare efect F X Algoritm optimizare Generare cauză NU Testare condiţie sfârşit rulare DA Cuantificare: Efect Functia obiectiv F ; Cauza variabile de proiectare X = {X 1, X 2,, X n } T ; Stop

29/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Astfel, în esenţă, pornind de la o stare dată, aleasă ca stare iniţială a sistemului, prin intermediul unui modul de analiză numerică de câmp se realizează prima evaluare a parametrilor de test în raport cu valorile dorite/impuse; dacă condiţiile de limită de eroare nu sunt îndeplinite, procesul este transferat modulului de optimizare propriu-zisă care stabileşte setul valorilor parametrilor de proiectare ce definesc noua stare a sistemului. Bucla de calcul se reia atâta timp cât condiţiile de sfârşit de program nu sunt satisfăcute. Formularea unei probleme inverse ca şi problemă de optimizare Rezolvarea acestor probleme este posibilă prin formularea lor, ca şi probleme de optimizare şi utilizarea în consecinţă a unor tehnici specifice de calcul. Alegerea variabilelor de proiectare, definirea funcţiei obiectiv şi a restricţiilor (dacă există), reprezintă un pas deosebit de important. Algoritmul de optimizare deci implicit şi soluţia problemei sunt decisiv influenţate de alegerea corectă a acestora.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 30/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Mărimile tipice cunoscute aprioric pot fi clasificate, după natura lor, în: mărimi electro-fizice locale: potenţial electric, câmp electric sau magnetic, inducţie electrică sau magnetică, etc., fixate într-o vecinătate a dispozitivului electromagnetic analizat; mărimi electro-fizice globale: capacităţi, inductivităţi proprii sau mutuale, forţe sau cupluri acţionând asupra anumitor părţi a dispozitivului, puteri disipate, pierderi prin curenţi turbionari, etc. criterii tehnico-economice: randament, greutate, volum, etc., impuse dispozitivului electromagnetic analizat. Variabile de proiectare Variabilele de proiectare = mărimile a căror valoare se modifică prin re-evaluare în cadrul modulului de optimizare propriu-zis; acestea alcătuiesc vectorul numit al variabilelor de proiectare X = {X1, X2,, Xn}T. De menţionat că nu este obligatoriu ca în cadrul unei aplicaţii aceste variabile să facă parte dintr-o singură categorie de mărimi fizice şi/sau economice; este posibil ca în formularea problemei inverse de câmp să se urmărească, spre exemplu, atât determinarea valorilor surselor de câmp cât şi a poziţiei acestora în cadrul domeniului admisibil.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 31/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Natura variabilelor de proiectare imprimă categoria problemei inverse ce urmează a fi rezolvată; astfel, dacă acestea sunt reprezentate prin parametri ai surselor de câmp, problema se numeşte de sinteza prin optimizare; dacă însă variabilele de proiectare sunt definite prin parametri ai geometriei aplicaţiei, atunci problema se numeşte de optimizare de formă. Funcţia obiectiv Funcţia obiectiv F(X): R n R, se defineşte printr-o expresie matematică de legătură între performanţele impuse/dorite (cauza) respectiv cele calculate prin program (efect) în punctele de test. În raport cu vectorul variabilelor de proiectare aceasta poate fi de forma: explicită, caz în care se presupune cunoscută expresia analitică a funcţiei obiectiv: T F = F( X ) = F({ 1, 2,..., n } ) X X X

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 32/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Dacă funcţia ataşată este continuă şi diferenţiabilă, obţinerea derivatelor de ordinul întâi şi doi este imediată. Deşi foarte atractivă pentru simplitatea ei, acest caz este rar întâlnit în practică. Găsirea unei expresii analitice explicite care să reprezinte cu suficientă precizie fenomenele fizice care descriu funcţionarea unui dispozitiv electromagnetic este dificil de obţinut in aplicaţii. implicită, atunci când funcţia este dependentă de o variabilă auxiliară Ψ(X): T F = F( ( X )) = f( ({ 1, 2,..., n } )) X X X a această variabilă este obţinută în urma unei analize numerice de câmp Două cupluri de potenţiale electromagnetice s-au impus în rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic, în regim staţionar şi cvasistaţionar de tip magnetic: potenţialul magnetic vector A (sau potenţialul magnetic modificat U=rA), asociat cu potenţialul electric scalar V; potenţialul electric vector T, asociat cu potenţialul magnetic scalar V m.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 33/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Cea mai uzuală formă adoptată pentru funcţia obiectiv este cea exprimată printr-o sumă de pătrate de funcţii, caz în care problema de optimizare prin minimizare se mai numeşte şi problema celor mai mici pătrate: q 1 F = F( ( X )) = F 2 i ( ( X)) 2 - unde: q reprezintă numărul punctelor în care sunt definite funcţiile individuale F i, ca diferenţa dintre valoarea mărimii impuse şi cea obţinută la un moment dat în cadrul procesului de optimizare. i= 1 generală, atunci când funcţia obiectiv reuneşte ambele forme prezentate anterior: T T F = F ( X, ( X )) = f ({ 1, 2,.., n }, ({ 1, 2,.., n } )) X X X X X X a pentru a păstra caracterul de generalitate vom considera în continuare că, toate funcţiile problemei de optimizare, obiectiv şi restricţie dacă există, sunt de această forma generală În acest caz, sunt adoptate strategii speciale pentru determinarea derivatelor de ordinul întâi necesare în rezolvarea problemei de optimizare prin metode de tip determinist, datorită dependenţei implicite.

34/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Variabilele de proiectare grupate în vectorul X = {X1, X2,..., Xn}T, reprezintă parametrii care se pot modifica liber şi descriu complet structura analizată. Ele pot fi clasificate la rândul lor în: variabile geometrice. Pot reprezenta: dimensiunile geometrice ale dispozitivului, forma şi poziţia relativă a unor parţi din dispozitivul electromagnetic analizat, forma unei interfeţe de separaţie dintre două medii cu proprietăţi electro-fizice diferite (permitivitate, permeabilitate, conductivitate, densitate de curent, magnetizaţie permanentă, etc.). Această clasă de probleme este numită în literatură, problemă de optimizare a formei sau proiectare optimală de structuri. În perspectiva rezolvării problemei de câmp printr-o metodă numerică trebuie menţionat faptul că, variabilele geometrice presupun efectuarea unor modificări esenţiale în modulul de preprocesare. Dacă se utilizează o metodă numerică de calcul, de exemplu MEF, trebuie avut în vedere faptul că, în cursul procesului de optimizare, reţeaua de discretizare adoptată iniţial se va modifica. variabile electro-fizice: densităţi de sarcină electrică sau de curent, constante de material (permitivităţi, permeabilităţi sau conductivităţi) ale unor subdomenii, etc. Spre deosebire de variabilele geometrice, nu ridică probleme deosebite în cazul rezolvării problemei de analiză printr-o metodă numerică de câmp.

METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE 35/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Restricţii În formularea celor mai multe probleme de optimizare din electromagnetism sunt impuse restricţii asupra variabilelor de proiectare. Ele rezultă din considerente tehnologice bine precizate. Cele mai uzuale restricţii sunt cele prin care sunt fixate limitele maxime şi respectiv minime de variaţie: a X i b, i = 1, 2,..., n Chiar în lipsa impunerii marginii superioare b, condiţia de nenegativitate (a = 0) este în mod uzual impusă tuturor parametrilor de proiectare. Totalitatea funcţiilor restricţie şi condiţiile impuse asupra variabilelor de proiectare determină domeniul admisibil W al soluţiilor vectorului parametrilor X.

36/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR METODOLOGIA DE REZOLVARE A PIE Metode specifice de optimizare. Sistematizarea informaţiilor START Model de bază Evaluarea performanţelor prin analiză numerică Configuraţia finală STOP Determinarea configuraţiei optime prin tehnici de optimizare Formularea unei PIE ca şi problemă de optimizare Funcţia obiectiv mărimi electro-fizice locale mărimi electro-fizice globale criterii tehnico-economice Variabila de proiectare: geometrică electro-fizică funcţie explicită: funcţie implicită: funcţie generală:

EXEMPLE 37/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Exemplu de aplicare a metodei Se propune determinarea unei configuraţii geometrice optime corespunzătoare unui dispozitiv de acţionare utilizat în tehnica roboţilor, care să asigure un anumit efect impus de către proiectant. Caracteristicile principale ale acestui dispozitiv sunt constanta de timp mică, liniaritate între valoarea forţei de atracţie şi curentul de alimentare, construcţie simplă. Dispozitivul este format din două bobine coaxiale, alimentate în curent continuu (în opoziţie). Un miez cilindric, confecţionat dintr-un magnet permanent, se poate deplasa liber în câmpul magnetic al bobinelor.

EXEMPLE 38/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Problema care se pune este aceea de a determina forma şi poziţia relativă a celor două bobine, care să asigure o forţă axială Fz constantă, pe o cursă cât mai mare a miezului magnetic. Curentul de alimentare este menţinut constant pe toată durata procesului de optimizare. Prin urmare, problema abordată face parte din clasa PIE. Forţa axială este calculată printr-o analiză numerică de câmp efectuată prin MEF. Ţinând cont de simetria cilindrică a problemei şi de faptul că în întreg domeniul se admite = 0, analiza este efectuată doar pe un sfert din domeniul plan. Variabilele de proiectare adoptate sunt toate de natură geometrică, în număr de n = 4 şi caracterizează perfect forma şi poziţia relativă a celor două bobine. Variabilele sunt grupate în vectorul: {X} = {X 1, X 2, X 3, X 4 } T.

EXEMPLE 39/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR r magnet r z X 4 z X 3 X 1 X 2 bobine Parametrii de proiectare de natură geometrică presupun utilizarea unui generator de reţea de discretizare parametrizat, necesar pentru analiza prin MEF. Din considerente constructive, se impun asupra tuturor variabilelor de proiectare restricţii de variaţie între două limite fixate [mm]: 2.5 X 1 25 5.0 X 2 25 2.5 X 3 50 2.5 X 4 25

EXEMPLE 40/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Aceste restricţii sunt transformate în funcţii de tip inegalitate definite prin relaţia: ( ) = - ( + ) + 0, i = 1,..,4 g 2 max min max min i X i X i X i X i X i X i X i Funcţia obiectiv a cărei valoarea minimă se cere a fi determinată este definită prin: 20 1 fixat F = F ( ( X )) = [ F ( ( ) )] 2 oz - Foz X, z j 2 j=1 - unde: F oz fixat = 5 N reprezintă valoarea impusă forţei axiale într-un număr de q = 20 de puncte de test distincte situate de-a lungul axei Oz, având coordonatele (0, z j ) fixate; F oz ( (X), z j ) este forţa evaluată în aceste puncte cu ajutorul potențialului magnetic vector modificat, obţinută din analiza prin FEM. a s-a adoptat pentru funcţia obiectiv o expresie de forma implicită

41/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR EXEMPLE Punctele de test de pe axa de simetrie sunt astfel alese încât să asigure o cursă maximă a miezului magnetic egală cu 15 mm, pentru care forţa de atracţie să rămână constantă. În aceste condiţii, problema este adusă la forma canonică acceptată din teoria programării matematice şi poate fi minimizată prin metode de rezolvare numerică. Pentru a putea utiliza o metodă de gradient, admitem cunoscută valoarea derivatei de ordinul întâi a funcţiei obiectiv şi a tuturor funcţiilor restricţii în raport cu fiecare variabilă de proiectare. Această informaţie este obţinută în faza de post-procesare în cadrul modulului de analiză a sensibilităţii. a se utilizează în cazul de faţă metoda diferenţelor finite Pentru rezolvarea problemei de optimizare, autorii folosesc metoda funcţiilor de penalizare transformând problema cu restricţii neliniare într-o problemă fără restricţii. Este aplicată metoda funcţiei pătratice de penalizare interioară extinsă. Problema nou formulată este rezolvată prin metoda cvasi-newton (BFGS), pentru două valori diferite de start ale variabilelor de proiectare X 0. Soluţia este obţinută (vezi tabelul) cu o eroare relativă maximă de 8%.

EXEMPLE 42/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Corespunzător celor două valori iniţiale ale vectorului X 0, se obţin soluţii finale diferite. Acest lucru se datorează faptului că, metodele de gradient conduc în general doar la un punct de minim local. Cazul I Cazul II p(mm) X 1 X 2 X 3 X 4 X 1 X 2 X 3 X 4 Valoarea iniţială 18,0 10,0 18,0 18,0 16,0 18,5 15,0 16,0 Valoarea finală 17,7 23,6 23,6 17,4 17,2 24,1 23,9 15,8 Număr de iteraţii 16 14 Observaţie: Exemplul considerat pune în evidenţă faptul că, formularea unei PIE ca şi problemă de optimizare asigură obţinerea unui efect impus corespunzător şi unei mărimi integrale a câmpului electromagnetic (în acest caz o forţă de atracţie), ceea ce printr-o sinteză clasică nu poate fi realizat.

43/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode de optimizare numerică În ce priveşte metodele matematice care stau la baza implementării concrete a algoritmilor numerici de optimizare, se precizează că la ora actuală literatura de specialitate propune două categorii mari de metode de optimizare, anume de tip: determinist; stohastic Metodele de tip determinist a sunt primele apărute în ordine cronologică în cadrul algoritmilor numerici de optimizare. Acest fapt se datorează avantajelor pe care acestea le prezintă vis-à-vis de implementarea într-un program numeric de calcul, anume: implementare numerică este relativ uşor de realizat, volumul de calcule numerice cerut de metodă fiind redus, accesibil unui sistem hardware relativ modest; determinarea optimului este rapidă, fiind necesar un număr mic de iteraţii de calcul; se precizează că, în general, găsirea optimului se traduce în algoritm prin găsirea minimului funcţiei obiectiv definite.

44/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode de optimizare numerică Dezavantajele metodei sunt cele care au lăsat loc alternativei metodelor de tip stochastic; dintre acestea amintim: imposibilitatea certitudinii că soluţia optimă găsită reprezintă un optim global al problemei; cu alte cuvinte, soluţia problemei prin această metodă conduce cu siguranţă la un minim local al funcţiei obiectiv, care nu întotdeauna se suprapune cazul aplicaţiilor de complexitate ridicată peste minimul global al acesteia; necesită în cadrul metodei informaţia de gradient al funcţiei obiectiv, ceea ce însemnă implicit necesitatea analizei de sensibilitate a funcţiei obiectiv în raport cu variabilele de proiectare; dacă funcţia obiectiv este definită ca implicită în raport cu variabilele de proiectare, este posibil ca derivatele parţiale ale acesteia în raport cu parametrii de proiectare să nu poată fi obţinute analitic, ceea ce implică pe de o parte o sursă adiţională de erori de calcul numeric, pe de altă parte implică intervenţia factorului uman în procesul de găsire al optimului. Din acest punct de vedere, metodele stohastice prezintă următoarele avantaje: pot determina optimul global al problemei; nu necesită informaţii de gradient în cadrul algoritmului;

45/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR Metode de optimizare numerică Dezavantajul major al metodei constă în: volumul foarte mare de calcule numerice respectiv numărul foarte mare de iteraţii program cerut de metodă, motiv pentru care sunt necesare resurse hardware avansate, ceea ce a împiedicat multă vreme implementarea acestora pe scară largă în aplicaţii numerice Concluzii Dintre metodele de calcul a soluţiei de câmp electromagnetic în rezolvarea PIE s-au impus: MEF BEM Dintre metodele de calcul a soluţiei propriuzise a problemei inverse s-au impus: metodele de optimizare de tip: a stohastic a determinist

Vă mulţumesc!!! 46/46 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR