Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două puncte arbitrare M,N / {A, B, C}, la care vom ataşa punctul P, care este centrul similitudinii S 3 = S 2 S 1,undeS 1 este similitudinea centrată înc, careîltransportăpem în A, iars 2 este centrată înb, transportându-l pe A în N. Două aspecte vom lămuri, legate de subiectul în cauză. În primul rând, vom arăta cum rolul pe care îl joacă punctulp poate fi preluat şi de punctele M şi N. Mai mult, vom demonstra că putem inversa rolurile triunghiurilor ABC şi MNP. Al doilea aspect al lucrării se referă laidentificarea a două puncte Torricelli generalizate, pe care le numim asociate compunerii celor două similitudini. În final vom lămuri şi o situaţie interesantă, credem, cu caracter de noutate, legată de coincidenţa acestor puncte. În expunere se foloseşte formalismul complex, deoarece permite atacarea unor probleme grele, pentru care soluţia sintetică sedovedeşte a fi, în primă fază, greu de văzut. Interpretările geometrice însoţesc, în limita spaţiului, rezultatele teoretice. Mai precizăm că unele rezultate sunt demonstrate în [3] şi [5]. 1. Compunerea similitudinilor şi teorema fundamentală. Mulţime punctelor planului P se identifică, prin fixarea unui reper, cu mulţimea numerelor complexe. Definiţie. Similitudinea de centru M 0 P, de raport k [0, ) şi de unghi ϕ ( π, π] este funcţia S M0 (k, ϕ) :P P, definită astfel: dacă M P şi M 0 = S M0 (k, ϕ)(m), avem (a) dacă M 6= M 0,atuncik = M 0M 0 M 0 M, ϕ = m( MM \ 0 M 0 ); (b) dacă M = M 0, atunci M 0 = M 0. Reamintim că similitudinile sunt bijecţii, anume (S M0 (k, ϕ)) 1 = S M0 (1/k, ϕ). Dacă z 0 este afixul lui M 0 şi z afixul lui M, atunci expresia analitică a similitudinii este descrisă defuncţia s z0 (k, ϕ)(z) =z 0 +(z z 0 ) ke iϕ. (1) Să notăm că, dacă z 0 este afixul lui M 0,atunci ke iϕ = z0 z 0. (1 0 ) z z 0 Propoziţia 1. Considerăm similitudinile S M1 (k 1,ϕ 1 ), S M2 (k 2,ϕ 2 ),afixele punctelor M 1 şi M 2 fiind respectiv z 1 şi z 2.Dacăk 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) 6=1,atunciexistăpunctul X, de afix x, astfel încât S M2 (k 2,ϕ 2 ) S M1 (k 1,ϕ 1 )=S X (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 ), unde afixul lui X este determinat de relaţia 1 k 2 e iϕ 2 x = z 1 +(z 2 z 1 ) 1 k 1 e iϕ 1 k 2 e iϕ2 = z 1 +(z 2 z 1 ) Demonstraţia acestui rezultat clasic se găseşte în [4]. Să notăm cărelaţia k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) =1este echivalentă curelaţiile k 1 k 2 =1şi ϕ 1 + ϕ 2 =0 (mod2π). 1 Lect. dr., Univ."Ştefan cel Mare", Suceava 7 1 k 2 e iϕ 2 1 k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ). (2)
În cele ce urmează, fixăm cadrul în care se va desfăşura analiza noastră; anume, se consideră triunghiul ABC, cu afixele respectiv a, b, c şi fie M, N două punctedin plan, fixate, diferite de A, B şi C, deafixem şi n. Luăm în considerare similitudinile de centre C şi B, caretransferăpem în A, respectiv pe A în N şi vom determina punctul P, care va fi centrul compunerii celor două similitudini. Ţinând cont de (1 0 ) şi de (2), dacă punem k 1 e iϕ a c 1 = m c, k 2e iϕ n b 2 =, atunci punctul P satisface S B (k 2,ϕ 2 ) S C (k 1,ϕ 1 )=S P (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 ),afixulsău, notat cu p, fiind descris de n a b a p = c +(b c) 1 a c m c n b. (3) a b Pentru început câteva observaţii, legate de aspectele geometrice foarte particulare ale formulei de mai sus, pe care cititorul le poate verifica prin calcul direct: cazul particular k 1 k 2 6=1şi ϕ 1 = ϕ 2 =0 (modπ) este echivalent cu teorema lui Menelaos; dacă ϕ 1 + ϕ 2 =0 (modπ), atunci punctele M, N, P sunt coliniare, pentru k 1 k 2 =1şi ϕ 1 + ϕ 2 = π, punctul P fiind mijlocul segmentului MN; oanalizăaformuleiaratăcă, dacă M,N / {A, B, C}, atunci şi P / {B,C}; există situaţii pentru care P A, cumseverificăîn: a =0, b =1, c = i, m = 1, n = i; conform(3), p = a =0. Următorul rezultat lămureşte prima problemă asociată tripletelor{a, B, C} şi {P, M, N}, descrisă în introducere. Teorema 1. Dacă P are afixul p, determinat de formula (3), atunci (a) dacă punemk 3 e iϕ c b 3 = p b, k 4e iϕ m a 4 =, k 5e iϕ b a 5 = n a, k 6e iϕ p c 6 = b c, va rezulta S A (k 4,ϕ 4 ) S B (k 3,ϕ 3 )= S N (k 3 k 4,ϕ 3 + ϕ 4 ), S C (k 6,ϕ 6 ) S A (k 5,ϕ 5 )= S M (k 5 k 6,ϕ 5 + ϕ 6 ); (b) dacă punemq 1 e iψ n m 1 = a m, q 2e iψ b p 2 = n p, q 3e iψ p n 3 = b n, q 4e iψ c m 4 = p m, c p, q 6e iψ a n 6 = m n,atuncis P (q 2,ψ 2 ) S M (q 1,ψ 1 )=S C (q 1 q 2,ψ 1 +ψ 2 ), S M (q 4,ψ 4 ) S N (q 3,ψ 3 )=S A (q 3 q 4,ψ 3 +ψ 4 ), S N (q 6,ψ 6 ) S P (q 5,ψ 5 )=S B (q 5 q 6,ψ 5 +ψ 6 ). Demonstraţie. Începem prin a demonstra o formă echivalentăaformulei(3). q 5 e iψ 5 = m p Lemă. Afixul punctului P, notat cu p, careestecentrulcompuneriisimilitu- dinilor S B (k 2,ϕ 2 ) S C (k 1,ϕ 1 ),verifică relaţia n p m p = a c m c n b (#) şi reciproc, dacă afixul p verifică (#), atunci verifică şi (3). Demonstraţie. Din ipoteză rezultăcă S P (k 1 k 2,ϕ 1 + ϕ 2 )(M) =N, de unde, conform formulei (1 0 ), rezultă (#). Să presupunem că afixul punctului P verifică (#). Dacă notăm cu w = k 1 k 2 e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) = a c m c n b,atunciputemscrie(1 w) p = n wm, deunde(p c)(1 w) =n wm (1 w) c = n c (n b) = 8
bn ac + ab + cn =(b c) n a, de unde (3). b a Revenim la demonstraţia teoremei. Pentru punctul (a), trebuie demonstrat că, dacă p satisface (3), atuncim şi n verifică formulele analoge, ceea ce, în virtutea lemei, revine la demonstrarea formulelor m n p n = m a c b p b şi (# 0 ) p m n m = b a n a p c b c. (#00 ) Din (3) se obţine p b n b c b = a b m a m c şi din (#) deducem m n 1 w p n = 1 w w. Mai departe avem p b c b m n p n = n b m a m c m c n b = m a, de unde rezultă (# 0 ). Analog se demonstrează şi (# 00 ). Pentru punctul (b), trebuie demonstrat că, c p m p dacă p satisface (3), atuncia, b, şi c satisfac relaţiile a = n +(m n) 1 p n b n c m p m şi celelalte, ceea ce este echivalent cu a demonstra relaţiile b a = p n b n c m p m şi celelalte, care nu sunt altceva decât rescrieri ale relaţiilor (#), (# 0 ) şi (# 00 ).Q.e.d. 2. Punctele Torricelli asociate compunerii a două similitudini. În continuare, procedăm după cumurmează: considerăm punctele A 0, B 0 şi C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0,definite de A 0 = S C (k 1,ϕ 1 )(P), B 0 = S A (k 5,ϕ 5 )(M), C 0 = S B (k 3,ϕ 3 )(N). Din Teorema 1 deducem şi că A 0 = S B (1/k 2, ϕ 2 )(P), B 0 = S C (1/k 6, ϕ 6 )(M), C 0 = S A (1/k 4, ϕ 4 )(P). Trecând la nivelul afixelor, relaţiile de mai sus se traduc în formulele a 0 = c +(p c) a c = b +(p b) m c n b, b 0 = a +(m a) b a b c = c +(m c) n a p c, (4) c 0 = b +(n b) c b = a +(n a) p b m a. Dacă inversăm rolurile tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N} (Teorema 1 ne permite acest lucru), putem considera analogele punctelor A 0, B 0 şi C 0,anumeP 0, M 0 şi N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv n 0, unde P 0 = S N (q 3,ψ 3 )(A), N 0 = S M (q 1,ψ 1 )(C), M 0 = S P (q 5,ψ 5 )(B), analogele formulelor (4) fiind p 0 = n +(a n) p n p m = m +(a m) b n m 0 = p +(b p) m p c p c m, m n = n +(b n) a n, n 0 = m +(c m) n m n p = p +(c p) a m b p. Propoziţia 2. PP 0 AA 0, MM 0 BB 0, NN 0 CC 0 sunt paralelograme, eventual degenerate. Demonstraţie. Demonstrăm relaţiile importante: 9 (5)
a a 0 = (p p 0 ), b b 0 = (m m 0 ), c c 0 = (n n 0 ). (6) Raţionamentul se urmăreşte uşor în cele ce urmează: din (5) se obţine p 0 p = (n p)(b a) şi din (4) se obţine a 0 (b a)(n p) a = ; de aici rezultă că b n n b a a 0 = (p p 0 ); celelalte relaţii se deduc în acelaşi fel. Conchidem imediat că perechile de segmente {[AA 0 ], [PP 0 ]}, {[BB 0 ], [MM 0 ]} şi {[CC 0 ], [NN 0 ]} sunt respectiv congruente, paralele sau confundate, ceea ce încheie demonstraţia. Propoziţia 3. Sunt adevărate următoarele relaţii: c 0 b = c b a 0 b = c b0 0, (7) p 0 n m n = p n0 m n 0 = p n m 0 n ; (8) n p 0 m p 0 = 0 b a 0, m n 0 p n 0 = b c0 a c 0, p m 0 n m 0 = 0 c b 0. (9) Demonstraţie. Relaţiile (4) se mai scriu şi c 0 a = n a m a = b a b 0 a ; a 0 b = p b n b = c b c 0 b ; b 0 c b c = m c p c = a c a 0 c. (40 ) Din a doua relaţie se obţine c0 b = c b a 0.Analogseobţine şi egalitatea cu celălalt b raport din (7). Inversând rolurile triunghiurilor ABC şi MNP,rezultă şi (8). Remarcăm şi relaţiile p 0 n p n = a n b n = m n m 0 n, m 0 p m p = b p c p = n p n 0 p, n 0 m n m = c m a m = p m p 0 m, (50 ) care sunt echivalentele relaţiilor (4 0 ). Relaţiile (9) se deduc astfel: din (4) şi din (5), coroborat cu (#), obţinem a0 c (p c)(a c)(n b) a 0 = b (p b)()(m c), respectiv p0 n p 0 m = (a c)(a n) ()(a m). Înmulţind (#), (#0 ) şi (# 00 (p c)(n b) ), rezultă că (p b)(m c) = a n a m, ceea ce, după înlocuire, încheie demonstraţia. Teorema 2. Considerăm punctele A 0, B 0, C 0, de afixe a 0, b 0 şi respectiv c 0, definitederelaţiile (4) şi punctele P 0, M 0, N 0,deafixep 0, m 0 şi respectiv n 0,care satisfac relaţiile (5). (a) Dacă b a a m a n R, atunci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sunt formate din drepte paralele. (b) Dacă b a a m a n / R, atunci tripletele {AA0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 } sunt concurente. Demonstraţie. În virtutea Teoremei 1, sunt suficiente demonstraţiile afirmaţiilor referitoare la tripletul {AA 0,BB 0,CC 0 }.Demonstrăm că AA 0 k BB 0 k CC 0.Din (4) se obţine c0 a b a = n a b a m a R, adică C0 AB. Din (7) deducem 0 b a 0 = b 0 a = c0 a b a R, adică A0 BC şi B 0 CA. Pe de altăparte,din(4 0 ) rezultă 10
că b b0 c c 0 = 0 = b a a c 0 R, deci b b 0 c c0 b b 0 =, ceea ce înseamnă cădreptele c c0 BB 0 şi CC 0 sau sunt paralele sau confundate. Dacă BB 0 CC 0,atunci{B 0 } = AC CC 0 = {C}, ceea ce, în virtutea lui (4), ar conduce la M C sau B C, ceea ce este fals. Deci BB 0 k CC 0, la fel demonstrâdu-se şi celălalt paralelism. P B C A N B T T P M C N M A Figura 1 Demonstrăm punctul (b); dacă b a n a m a C\R, rezultăcădrepteleaa0, BB 0 şi CC 0 se intersectează cel puţin două câte două. Fie {T } = BB 0 CC 0 şi fie t afixul său.varezultacăexistă λ, µ R astfel încât b b 0 = λ (b 0 t), c c 0 = µ (c t) şi, ţinând cont şi de b0 a = b b0 c 0 c,dedusădin(40 ), ajungem la b0 a : b0 t c t = λ µ R; cum{c 0,A,B} nu sunt coliniare, rezultă că patrulaterul B 0 CTA este inscriptibil. Analog dovedim că BC 0 AT este inscriptibil. Din (7) rezultă că a0 c a 0 b = b 0 a ; deoarece B 0 CTA este inscriptibil şi deoarece T BB 0, rezultăcă b0 a c t b 0 t R şi b 0 t t b R, c decia0 a 0 b : t c t b R, adică şi BA0 CT este inscriptibil. Demonstrăm că T AA 0 ; condiţiile de inscriptibilitate ale patrulaterelor se pot scrie şi t c t a 0 b a0 b c 11
t c R, t a b0 a b c b 0 R şi ţinând cont de c b a 0 t a 0 t c b c b a 0 b0 a b 0 c t c t a concurente. Inversând rolurile tripletelor {AA 0,BB 0,CC 0 } şi {MM 0,NN 0,PP 0 }, obţinem şi concurenţa dreptelor PP 0, MM 0 şi CC 0.Demonstraţia este încheiată. = b0 c b 0,dedusădin(7), rezultăcă a R, adică t a t a 0 R. Rezultăcă AA0, BB 0 şi CC 0 sunt Observaţia 1. La punctul (a) nu obţinem AA 0 k BB 0 k CC 0 k PP 0 k MM 0 k NN 0, cum s-ar părea că rezultă din Propoziţia 2, deoarece în exemplul a =0, b =1, c = i, m = 1, n = i, p =0, unde a 0 = 1 2 (1 + i), b0 = n = i, c 0 = m = 1, p 0 = 1 (1 + i), 2 avem AA 0 PP 0, BB 0 MM 0, CC 0 NN 0. Observaţia 2. Geometric, condiţia b a n a m a R, caresereferănumaila poziţia punctelor din ipoteză, se traduce prin m(\nab)+m( \CAM) {0,π}, adică unghiurile \NAB şi \CAM sunt sau opuse ca orientare şi egale în valoare absolută sau suplementare. Observaţia 3. Cele spuse se urmăresc uşor pe figura 1, corespunzătoare cazului ϕ 1 > 0, ϕ 2 > 0. Seremarcă paralelogramele din Propoziţia 2 şi următoarele şiruri de triunghiuri direct asemenea, în ordinea în care sunt scrise, care se deduc din interpretările geometrice ale formulelor (7), (8) şi (9): 4C 0 BC 4NBP 4ABA 0 4NAP 0, 4A 0 CA 4PCM 4BCB 0 4P 0 AM, 4B 0 AB 4MAN 4CAC 0 4MCN 0 şi 4C 0 BA 4CBA 0 4CB 0 A 4N 0 MP 4NMP 0 4NM 0 P. Totdeaicisededucefaptulcă, dacă, de exemplu, M este un punct important în 4ACB 0, atunci şi N şi P sunt acelaşi tip de punct în triunghiurile analoge. Observaţia 4. Punctele T şi T 0,obţinute la punctul (b), suntpuncte Torricelli generalizate asociate tripletelor {A, B, C} şi {P, M, N}. În adevăr, dacă punem, de exemplu, α = b c, β = 0, γ = a 0 b (sau orice numere proporţionale cu ele), atunci punctul T este punctul în care suma α XA + β XB + γ XC îşi atinge minimul, unde X este un punct oarecare din plan. Analog, punctul T 0 este punctul în care suma α XP + β XM + γ XN îşi atinge minimul. Pentru detalii, recomandăm cititorului paragraful 1.49 din [3], unde demonstraţiile sunt prezentate pe larg şi unde sunt expuse şi alte proprietăţi ale punctelor Torricelli. În continuare, ne plasăm în condiţiile punctului (b) din Teorema 2. Teorema 3. T T 0 dacă şi numai dacă punctele A, B, C, M, N, P sunt conciclice. Demonstraţie. Dacă T T 0, atunci relaţia (6) asigură coincidenţa dreptelor AA 0 PP 0, respectiv BB 0 MM 0 şi CC 0 NN 0, adică {C 0,N,T,C,N 0 }, {P 0,A,T,P,A 0 }, {M 0,B,T,M,B 0 } sunt puncte coliniare, deci există λ, µ R astfel ca c 0 t = λ (c 0 n), a t = µ (a p). Deoarece patrulaterul AC 0 BT este inscriptibil, rezultă că a t c0 b c 0 t R, de unde, după înlocuire, se obţine a p c0 b c 0 R. Ţinând cont de relaţia a treia n 12
C N P A B T M M B P A C N Figura 2 din (4), putem scrie c0 b c 0 n = c b a p, care conduce la c p c b R, decipatrulaterul ABP C este inscriptibil. Analog se demonstrează şi că M, N aparţin cercului c p circumscris triunghiului ABC. Reciproc, să presupunem că punctele A, B, C, M, N, sunt conciclice şi demonstrăm că T T 0 şi că punctulp aparţine cercului circumscris triunghiului ABC. Din (4) deducem că b0 b n m = ; după înlocuirea n a cu n a m n R, asigurată de patrulaterul inscriptibil ANBM, rezultă că m b b 0 b n m m n m b R, deci b0 b m b R, adică M BB0 ; folosind celălalt patrulater inscriptibil, se arată şi că N CC 0 ;deaicibb 0 MM 0, CC 0 NN 0,deunderezultă că T T 0. Deoarece P AA 0, rezultă că a0 a p a R, adică a0 a p m p m R, ceea p a ce, coroborat cu a0 a p m =, dedusă din(4), conducela c m c m p m p a R, deci patrulaterul AM CP este inscriptibil. Q. e. d. De interes credem că este o interpretare fizică a teoremelor 2 şi 3 (v. [3], pag. 142). Bibliografie 1. C.Ionescu-Bujor - Elemente de transformări geometrice, vol.i-ivbibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehnică, Bucureşti, 1958. 2. N. Mihăileanu - Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Bibl. Soc. Şt. Matematice a R.S.R., Ed. Tehnică, Bucureşti, 1968. 3. L. Nicolaescu, V. Boskoff - Probleme practice de geometrie, Seria "Culegeri de matematică şi fizică", Ed. Tehnică, Bucureşti, 1990. 4. D. Smaranda, N. Soare - Transformări geometrice, Bibl. profesorului de matematică, Ed. Acad. R.S.R., 1988. 5. C. Ţigăeru - Asupra unei clase de transformări geometrice, Matematica în şcoala suceveană, nr. 8/1990, 1-7. 13