TLE Lec\ia7 LEC I 7 : PROBLEME PLNE {N COORDONTE POLRE PP(CONTINURE;PROBLEME POLR SIMETRICE ( 7. Paticulaiz`i ale poblemei Mitchell ( fig. 7.a ; 7.b ; 7.c a b c Fig. 7. Cazui paticulae ale poblemei Mitchell Solu\iile poblemelo din fig. 7.: P cos P cos + 0 α + sin α α + sin α Fig.7.a: β ( τ P sin P sin 0 + α sin α α sin α Fig.7.b: β 90 0 ( τ P cos cos β sin sin β P + π + 0 π 0 π 0 Fig.7.c: α 80 ( τ ( cos cos β + sin sin β E. 7.: Paticulaiza\i solu\ia ( pentu cazul paticula α 0 0 ]i calcula\i eoaea: RM TLE RM e % 00 unde este solu\ia [n punctual TLE P( 0t; ia TLE este valoaea calculat` cu TLE.
TLE Lec\ia7 E. 7. (semina fig.7. (a,b,c a date: P b date:q c date: P ; P ; a Fig.7.(a,b,c: plica\ii pentu semiplanul elastic E.7.: (fig. 7. Date: P ; P ; a a Se cee : staea de tensiune [n punctual ( a; y ]i tensoul ~ 5 aenuntul poblemei 7. bpaametii poblemei Flamant cmaticea Fig.7.: Poblema semiplanului elastic (Flamant. Eeci\iul 7. Indica\ie: Poblema se ezolv` [n um`toaele etape: Etapa : Se detemine` paametii cae definesc solu\ia Flamant: (0,7a + a (0,a + a... 0,7a actg actg0,7... a 0 0,a 60 { actg a (π Etapa : Se calculeaz` tensiunile nomale adiale [n punctual, induse de fo\ele P ]i P.
TLE Lec\ia7 ( ( ; ; ( ( τ τ ( ( Etapa : Se ealizeaz` teceea la coodonatele cateziene (fig. 7.c ]i se se constuie]te tensoul ~, folosind baza canonic` a epeului catezian OXY ( a se ezolva ca la semina! ~ T i iˆ τ y E: 7.: semina τ y yy 7.. Pobleme plane pola- simetice ( - fig.7. Fig.7. :Definiea poblemelo pola simetice ( Definiea : aceste pobleme se definesc pe domenii ciculae ( pline sau cu gol cental. Caacteizae: u ; (fenomenul nu vaiaz` [n apot cu gosimea tconst. pe [nteg domeniul (]aib` cicula` plin` de diametul D [nc`caea: pola- simetic` b. Eemple pactice : (fig. 7.5; 7.6 ; 7.7
TLE Lec\ia7 Fig.7.5 }aib` pecompimat` (bandajul o\ii, pe[nc`lzit, se aplic` pe oat` Fig. 7.6: Pocedeul fet`ii: cilindul este fetat pin aplicaea unei fete (s@me pe contu, cicula ]i cu pas unifom. Fig. 7.7 : Coloan` tub o\el cu beton [nglobat ( pentu funda\ii de podui Teoia : E.7.: Paticulaiza\i studiile (S; (G; (F pentu Indica\ii : Dispa ; τ τ τ d (S PP ( S : + + + ρf + + ρf d Fo\ele masice ρ f se pot pezenta [n dou` vaiante:. ρ f [n pobleme statice, c@nd se neglijeaz` geutatea popie;. ρf 0 c@nd eist` fo\e centipete (adiale fig. 7.8 Conside` numai cazul ρ f 0; ezult`:
TLE Lec\ia7 5 d (S : + d inteio static nedeteminat` necunoscute., GNS (o dat` Fig. 7.8: Fo\e adiale ezultate pin centifugae (st@lpii ciculai din beton amat, pefabica\i (G PP γ u ε u u ε + u u u + (G u du ε d u u ε γ Com: i [n studiul (G eist` numai deplas`i adiale; acestea pot fi notate simplu u u ( S : si ( nec ii {n poblemele apa necunoscute: ( G : u u ( nec. iii Poblema este deci, static deteminat`! concluzie: (studiul (F nu intevine [n sistemul de ecua\ii; poblemele sunt solubile f`` inteven\ia ecua\iilo (F. E. 7.5: Indica\ie: Scie\i epesiile, si ( (opeato amonic ]i biamonic pentu poblema. PP ( eˆ ˆ + e eˆ ; de d d ce? + + d d d d ( de ce?? ( indica\ii ]i ezolvae [n E.7.6
TLE Lec\ia7 6 E. 7.6: S` se scie ec. de biamonicitate iy Indica\ie: R`spuns: F( d d F( + (...( F d d d ( ecuatia iy + d d d + d Com: Caacteizae ]I ezolvae a ecua\iei de biamonicitate iy. Ecua\ia difeen\ial` odina`, de odinul, cu coeficien\i vaiabili,,, t Substitu\ie (Eule λ t ln d...(5 t E. 7.7: Efectu@nd substitu\ia λ aduce\i ecua\ia (5 la foma (6 ( t +...(6 Com: Ecua\ia (6 este o ecua\ia difeen\ial` odina`, de odinul cu coeficien\i constan\i : Demonsta\ie: d d d d d d d d...... d d E.7.8 Ob\ine\i solu\ia ec. (6 sub foma (7 sau (7 um@nd metoda Eule.
TLE Lec\ia7 7 Indica\ie : se scie ecua\ia chaacteistic` [n R, c`eia i se calculeaz` `d`cinile: R F( t C sau : R Solutia + R Eule : + C R, t t + C λ + C.; R, t tλ...(7 F( C + C ln + C + C ln...(7 E. 7.9: Cunosc@nd solu\ia F( (7 s` se ob\in` epesiile pt: ]i d d R`spuns : C C + C + C ( + ln (8 + C + C ( + ln 7. plica\ii E. 7.0:Fig. 7.9 pentu enun\ul E: 7.0: ]aib` cicula` cu bandaj,st@lpul fetat (fig. 7.9. 0 0 p 0 0 a definiea poblemei:p,, b Maticea Stae de tensiune omogen` Fig 7.9: Pentu enun\ul e. 7.0: ]aib` cicula` cu bandaj, st@lp fetat Condi\iile poblemei: a p ( 8, C p C C C p Com: Stae de tensiune omogen` E. 7. Tubui cu pee\i go]i (fig.7.0 p...(9
TLE Lec\ia7 8 Fig. 7.0: Tubui cu pee\i go]i - a aza inteioa` [nc`caea adial` p a - b az` eteioa` [nc`cae adial` p b C a; p ;(8,(9 a b ; p C b [de ce? 0 ln nu eist`] + C + C (0 Rezult`: Rezolvae (9 [n (0 ; a b ( pa pb C b a.( p b p a b a C ( b a pb b pa a Com: + ct. ( nu depinde de b a υ ε ε E (st@lpi lungi const Com: ( +. z ε z defoma\ie specific` linia` [n lungul st@lpului Caz pactice: Date: a; b ]i pa ; pb p0 este cazul unui tub cicula (conducte pozat` [n ap` la ad@ncime pentu tanspotul \i\eiului de la o platfom` main` la ezevoaele afin`iei
TLE Lec\ia7 9