urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea pânzei. Observaţie 2.2. Pânza σ este specificată dacă sunt precizate componentele funcţiei vectoriale σu, v) = xu, v), yu, v), zu, v)). O altă modalitate este folosirea vectorului de poziţie r = ru,v) = xu,v) ı+yu,v) j+zu,v) κ sau parametrizarea σ: x = xu,v), y = yu,v), z = zu,v), u,v) D. Observaţie 2.3. Fie I v = {u u,v) D} şi I u = {v u,v) D}. Pentru o pânză σ : D R 3 şi pentru orice u,v) D funcţiile σ u : I u R, σ u t) = σu,t) σ v : I v R, σ v t) = σt,v) sunt drumuri în R 3. Definiţie 2.4. O pânză σ : D R 3 se numeşte simplă dacă σ este injectivă pe mulţimea D. Definiţie 2.5. O pânză σ : D R 3 se numeşte netedă dacă aplicaţia σ este de clasă 1 pe D şi u v, pentru orice u,v) D, unde u = x uu,v) ı+y uu,v) j+z uu,v) κ, v = x vu,v) ı+y vu,v) j+z vu,v) κ Observaţie 2.6. Vectorul u este tangent la curba σ v, iar v este tangent la curba σ u. ondiţia u v înseamnă că vectorii u şi v sunt nenuli şi liniar independenţi. În aceste condiţii ei formează vectorii directori ai planului tangent la suprafaţă. Ecuaţia planului tangent este x xu,v ) y yu,v ) z zu,v ) x uu,v ) y uu,v ) z uu,v ) x vu,v ) y vu,v ) z vu,v ) =. Aceeaşi condiţie u v 1
2 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ ne asigură în acelaşi timp că în fiecare punct al suprafeţei putem considera vectorul normal N = u v. Versorul normalei este vectorul de lungime 1 pe direcţia normalei, adică N n = ± N = ± u v u v. Definiţie 2.7. O suprafaţă se numeşte orientabilă sau cu două feţe dacă normala la suprafaţă variază continuu pe întrega suprafaţă. Pentru o astfel de suprafaţă alegerea unui semn pentru versorul normalei înseamnă alegerea unei feţe a suprafeţei. Observaţie 2.8. Există suprafeţe care au o singură faţă. Un exemplu este banda lui öbius. Z X Y Definiţie 2.9. Două pânze σ 1 : D 1 R 3 şi σ 2 : D 2 R 3 se numesc echivalente dacă există o funcţie h : D 1 D 2 de clasă 1, bijectivă, cu inversa de clasă 1 astfel încât jacobianul lui h să fie strict pozitiv în orice punct al lui D 1, iar σ 1 = σ 2 h. Observaţie 2.1. Notăm prin σ 1 σ 2 faptul că pânzele σ 1 şi σ 2 sunt echivalente. Relaţia este o relaţie de echivalenţă. De asemenea, se verifică imediat faptul că două pânze echivalente au aceeaşi imagine, iar dacă una este simplă sau netedă şi cealaltă are aceeaşi proprietate. Definiţie 2.11. e numeşte suprafaţă o clasă de pânze echivalente. Observaţie 2.12. O suprafaţă este mulţimea tuturor pânzelor care au o imagine dată şi o orientare precizată. O suprafaţă se poate specifica în 4 feluri: 1) forma parametrică: σu,v) = xu,v),yu,v),zu,v)), u,v) D 2) forma vectorială: r = xu,v) ı+yu,v) j+zu,v) κ, u,v) D 3) forma explicită: z = fx,y), x,y) D 4) forma implicită: Fx,y,z) =, x,y,z) A R 3, precizând orientarea aleasă. Forma explicită nu este altceva decât o parametrizare de forma u,v,fu,v)), unde f este o funcţie de clasă 1. Forma implicită ne conduce la forma explicită cel puţin local, în jurul unui punct dat, datorită teoremei funcţiilor implicite. Oricare din aceste forme duce la identificarea unei suprafeţe şi de aceea vom folosi noţiunea de suprafaţă în legătură cu oricare din aceste forme.
2.2. ARIA UNEI UPRAFEŢE 3 Exemplu 2.13. Pânza descrisă de x = 1 u v)x A +ux B +vx, y = 1 u v)y A +uy B +vy, z = 1 u v)z A +uz B +vz, D = {u,v) u,1), v,1), u+v < 1} are ca imagine porţiunea din planul determinat de punctele Ax A,y A,z A ), Bx B,y B,z B ) şi x,y,z ) aflată în interiorul triunghiului AB. Pentru u,1), drumurile σ u sunt segmente paralele cu A care umple triunghiul. Pentru v,1), drumurile σ v sunt segmente paralele cu AB. Exemplu 2.14. Pânza descrisă de x = x +rcosvsinu, y = y +rsinvsinu, z = z +rcosu u, π ), v, π ) 2 2 este o porţiune din sfera de ecuaţie x x ) 2 + y y ) 2 + z z ) 2 = r 2, cu centrul x,y,z ) şi raza r. O altă pânză echivalentă este x = u + x, y = v + y şi z = z + r 2 u 2 v 2, pentru u,v >, u 2 + v 2 < r 2. Într-adevăr, funcţia hu,v) = rcosvsinu,rsinvsinu) cu jacobianul Jh) = r 2 sinucosu > este de clasă 1 pe, π 2) 2 şi are inversa h 1 u,v) = 2.2 Aria unei suprafeţe arcsin u 2 +v 2 r ),arctg v de clasă 1. u Definiţie 2.15. Fie σ o pânză netedă descrisă vectorial prin ru,v), unde u,v) D iar D este o mulţime deschisă şi conexă. Fie o submulţime D care are arie. Numim arie a porţiunii de suprafaţă σ) numărul real Ariaσ)) = u v dudv. Observaţie 2.16. O justificare pentru această formulă este următoarea: considerăm mulţimea = [a,b] [c,d] şi fie o partiţie a intervalului [a,b], respectiv [c,d] u = a < u 1 < < u n = b, v = c < v 1 < < v m = d. Notând kj = [u k 1,u k ] [v j 1,v j ]calculămarialui însumândariileimaginilorσ kj ). Aproximăm aria imaginii σ kj ) cu aria paralelogramului format de vectorii Dar ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 ), ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 ). ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 ) = uξ k,v j 1 ) u k u k 1 ), ξ k u k 1,u k ) ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 ) = vu k 1,η j ) v j v j 1 ), η j v j 1,v j ). uma Σ 1 = = n m [ ru k,v j 1 ) ru k 1,v j 1 )] [ ru k 1,v j ) ru k 1,v j 1 )] k=1 j=1 n k=1 j=1 m uξ k,v j 1 ) vu k 1,η j ) u k u k 1 )v j v j 1 )
4 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ aproximează suma Ariaσ)) = n k=1 j=1 m Ariaσ kj )). Datorităfaptuluicăfuncţiilevectoriale u şi v suntcontinueped sumaσ 1 areaceeaşi valoare la limită cu suma Σ 2 = n k=1 j=1 m uξ k,η j ) vξ k,η j ) u k u k 1 )v j v j 1 ) care tinde la integrala dublă u v dudv. Observaţie 2.17. e poate arăta că aria porţiunii suprafeţei σ) nu depinde de parametrizare. Expresia dσ = u v dudv se numeşte element de suprafaţă. Vom da în continuare câteva formule de calcul pentru dσ. Avem unde Atunci u ı j κ r v = x u y u z u x v y v z v = A ı+b j+ κ, A = y u z u y v z v, B = z u x u z v x, v = x u y u x v y v. dσ = u v dudv = A 2 +B 2 + 2 dudv. Dacă suprafaţa are reprezentarea explicită z = zx, y) atunci formula devine dσ = 1+z x 2 +z y 2 dxdy. O altă reprezentare a elementului de suprafaţă pentru pânze se poate obţine plecând de la formula şi notând u v 2 = u 2 v 2 sin 2 u, v) = u 2 v 2[ 1 cos 2 u, v) ] = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 u, v) = u u) v v) u v) 2 E = u r u = x 2 u +y u 2 +z u 2 G = v r v = x 2 v +y v 2 +z v 2 F = u r v = x ux v +y uy v +z uz v. Rezultă dσ = EG F 2 dudv.
2.3. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ ÎN RAPORT U ARIA 5 Exemplu 2.18. ă calculăm aria sferei de rază R. Datorită simetriei, aria sferei va fi de 8 ori aria porţiunii din octantul pozitiv, care se parametrizează Avem şi atunci x = Rcosvsinu, y = Rsinvsinu, z = Rcosu, u, π ), v, π ). 2 2 E = x 2 u +y u 2 +z u 2 = Rcosvcosu) 2 +Rsinvcosu) 2 + Rsinu) 2 = R 2 G = x 2 v +y v 2 +z v 2 = Rsinvsinu) 2 +Rcosvsinu) 2 + 2 = R 2 sin 2 u F = x ux v +y uy v +z uz v = π 2 Ariasferei) = 8 π 2 EG F2 dudv = 8R 2 cosu) π 2 v π 2 = 4πR 2. 2.3 Integrale de suprafaţă în raport cu aria Definiţie 2.19. Fie σ o pânză netedă descrisă vectorial prin ru,v), unde u,v) D iar D este o mulţime deschisă şi conexă. Fie o submulţime D care are arie. Fie F : U R o funcţie continuă pe o mulţime deschisă U R 3 ce conţine pe = σ). Numim integrală de suprafaţă în raport cu aria de speţa I) numărul real Fx,y,z)dσ = Fxu,v),yu,v),zu,v)) u v dudv. Observaţie 2.2. Dacă suprafaţa este inclusă în planul XOY atunci z = şi vectorul de poziţie se reduce la r = x ı+y j. În acest caz, x y = ı j = κ şi dσ = dxdy. Rezultă Fx,y,z)dσ = Fx,y,)dxdy. Integrala de suprafaţă se reduce la o integrală dublă în cazul suprafeţelor incluse în planul XOY. Observaţie 2.21. Aria suprafeţei este dată de formula Aria) = dσ. asa unei plăci subţiri având forma suprafeţei, cu densitatea punctuală dată de funcţia ρ se calculează cu formula masa) = ρx,y,z)dσ. Exemplu 2.22. ă se calculeze x 2 +y 2 +z 2 )dσ, unde : x 2 +y 2 = z 2, z 1.
6 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ uprafaţa este un con care se poate scrie în formă explicită z = x 2 +y 2, iar x,y), unde este discul centrat Z în origine de rază r = 1. Elementul de suprafaţă se calculează plecând de la z x = z y = x x2 +y 2 y x2 +y 2 şi folosind formula dσ = 1+z x) 2 + 2dxdy z y) = 2dxdy. X Y Obţinem I = x 2 +y 2 +z 2 )dσ = x 2 +y 2 +x 2 +y 2 ) 2dxdy = 2 2 x 2 +y 2 )dxdy. Trecând la coordonate polare, se obţine I = 2 2π 1 2 dϕ ρ 3 dρ = 4π 2 ρ4 1 4 = π 2. 2.4 Fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafaţă Definiţie 2.23. Fie o suprafaţă netedă orientabilă pe care fixăm o anumită orientare alegând un anumit semn pentru versorul normalei la suprafaţă. Fie un câmp vectorial continuu v = Px,y,z) ı + Qx,y,z) j + Rx,y,z) κ definit pe un domeniu care conţine suprafaţa. e numeşte fluxul lui v prin faţa suprafeţei determinată de n, integrala de suprafaţă Φ v) = v ndσ. Observaţie 2.24. Produsul v n dσ se numeşte flux elementar. Dacă v reprezintă câmpul vitezelor unui fluid în mişcare, atunci v ndσ este cantitatea de fluid ce trece prin elementul de suprafaţă în unitatea de timp, în sensul indicat de n. Dacă v şi n au sensuri opuse atunci produsul v n dσ este negativ. Fluxul se schimbă printr-un semn, dacă se schimbă sensul normalei la suprafaţă. Observaţie 2.25. Dacă notăm cu α,β şi γ unghiurile pe care le face n cu axele de coordonate OX, OY, respectiv OZ, atunci Φ v) = v ndσ = P cosα+qcosβ +Rcosγ)dσ. Dacă notăm cu dydz, dzdx şi dxdy proiecţiile elementului de suprafaţă dσ pe planele de coordonate YOZ, ZOX, respectiv XOY, obţinem Φ v) = v ndσ = P dydz +Qdzdx+Rdxdy. Integrala de suprafaţă P dydz +Qdzdx+Rdxdy se numeşte integrală de suprafaţă în raport cu coordonatele de speţa a II-a).
2.5. FORULA LUI TOKE 7 Observaţie 2.26. Pentru calculul fluxului ţinem cont de expresia versorului normalei şi de expresia elementului de suprafaţă. Φ v) = v ndσ = v u v u r u v dudv v = v u P Q R r v)dudv = x u y u z u x v y v z dudv. v Exemplu 2.27. ă se calculeze fluxul vectorului v = x ı + y j + zx 2 + y 2 ) κ prin faţa exterioară a paraboloidului z = x 2 +y 2, din interiorul cilindrului x 2 +y 2 = 1. Paraboloidul z = x 2 +y 2 intersectează cilindrul x 2 +y 2 = 1 pentru z = 1. Ecuaţia suprafeţei este Z z = x 2 +y 2, x,y), unde : x 2 + y 2 1. Normala la suprafaţă face cu axa OZ unghiul γ > π 2, deci cosγ <. Rezultă că Fluxul este x y n = x. y Φ v) = X v ndσ = D n v x y)dxdy. alculăm produsul mixt. Avem v x x y x 2 +y 2 ) 2 r y) = 1 2x 1 2y = x2 +y 2 ) 2 2x 2 +y 2 ). Rezultă că [ Φ v) = x 2 +y 2 ) 2 2x 2 +y 2 ) ] dxdy, D unde D este discul x 2 +y 2 1. e trece la coordonate polare şi se obţine Φ v) = 1 dρ 2π ) ρ 6 = 2π 6 2ρ4 1 4 ρ 4 2ρ 2) 1 ρdϕ = 2π ρ 5 2ρ 3 )dρ 1 = 2π 6 1 ) = 2π 2 3. Y 2.5 Formula lui tokes Teoremă 2.28. Fie o suprafaţă orientabilă, netedă pe porţiuni şi deschisă, având ca frontieră curba, simplă, închisă, netedă pe porţiuni, orientată astfel încât dacă cineva parcurge curba având suprafaţa la stânga sa, versorul normalei este orientat de la picioare la cap. Fie v = Px,y,z) ı+qx,y,z) j+rx,y,z) κ un câmp vectorial de clasă 1 pe un domeniu ce include suprafaţa. În aceste condiţii, P dx+qdy +Rdz = ) R y Q z dydz +P z R x) dzdx+ ) Q x P y dxdy.
8 UR 2. INTEGRALE DE UPRAFAŢĂ Observaţie 2.29. În cazul unei suprafeţe plane care este inclusă în XOY, teorema lui tokes se reduce la teorema lui Green: ) P dx+qdy +Rdz = Q x P y dxdy. Z n Y X Observaţie 2.3. Formula lui tokes se poate rescrie v d r = rot v ndσ, ceea ce înseamnă că circulaţia vectorului v de-a lungul unei curbe închise este egală cu fluxul rotorului printr-o suprafaţă deschisă care se sprijină pe curba. Exemplu 2.31. ă se calculeze circulaţia vectorului v = y 2 ı + z 2 j + x 2 κ de-a lungul laturilor triunghiului cu vârfurile A2,,), B,2,) şi,,2), parcurse în sens orar dacă sunt privite din origine. Z x+y +z = 2 n B Y O A Aplicăm formula lui tokes fr) X v d r = rot v ndσ,
2.5. FORULA LUI TOKE 9 pentru suprafaţa triunghiului : z = 2 x y, x,y), unde este mulţimea din planul XOY mărginită de OAB. Normala la suprafaţa triunghiului face unghi ascuţit cu axa OZ, ceea ce înseamnă că semnul lui n se alege astfel încât n κ >. Versorul normalei la o suprafaţă dată explicit are formula n = ±1 1+z x) 2 +z y) 2 z x ı z y j+ κ ). În cazul nostru n = 1 1+z x) 2 +z y) 2 z x ı z y j+ κ ) = 1 3 ı+ j+ κ). Rotorul vectorului v este ı j κ rot v = x y z y 2 z 2 x 2 = 2z ı 2x j 2y κ. Obţinem rot v ndσ = = 2 3 = 2 3 2z ı 2x j 2y κ) D = 4 Aria) = 8. x+y +z)dσ 2 3dxdy 1 3 ı+ j+ κ) dσ