Controlr fuzzy 1 / 37
2 / 37 Procs Procs in bucla dschisa Intrara d comandă u c dtrmină valoara işirii y după o anumită lg (cuaţi), car st modlul matmatic al sistmului. Procsul trbui să furnizz o valoar dorită (rfrinta) la işir, y*. Procsul functionaza astfl încât, în absnţa prturbaţiilor şi a variaţiilor paramtrilor d procss: y = y* pntru o anumită intrar d control u c = u c *
3 / 37 Procs Procs in bucla dschisa y = y* pntru o anumită intrar d control u c = u c * Acastă situaţi (lipsa prturbaţiilor) nu s rgăsșt insa în practică y y* dacă lăsăm procsul sa voluz în buclă dschisă cu u c =u c *. Pntru a asigura y=y* în prznţa prturbaţiilor, u c trbui in continuu modificat (adaptat), astfl încât să compnsăm acţiuna prturbaţiilor. Modificara u c dpind d modificara y faţă d y*, şi va fi ralizată d un alt bloc, conctat într işira şi intrara sistmului, numit controlr
4 / 37 Sistm d control in bucla închisă (sistm cu racţi) Işira u c sau u c a controlrului rprzinta intrara d comandă pntru procs şi dpind, în gnral, d roril la momntl d timp antrioar dintr işira y şi işira dorită y*, dar şi d comnzil u c la momntl d timp antrioar: ()=y*-y() u c ()=f((),(-1),...,(- ),u c (-1),...,u c (- ) f lg (nliniara) d control; - ordinul controlrului Dacă > 0, avm un controlr cu mmori
5 / 37 rfrinta (st point) valoar curnta
Controlr clasic PID 6 / 37 u P PI PID c t 1 = Ti 0 ( t) P ( t) + ( t) dt + T d d ( t) dt Th dsird closd loop dynamics is obtaind by adjusting th thr paramtrs, (oftn itrativly by "tuning" and without spcific nowldg of a plant modl) Stability can oftn b nsurd using only th proportional trm. Th intgral trm prmits th rjction of a stp disturbanc (oftn a striing spcification in procss control). Th drivativ trm is usd to provid damping or shaping of th rspons.
Raspunsul tipic al unui controlr 7 / 37
Fuzzy control systm A fuzzy control systm is a control systm basd on fuzzy logic A mathmatical systm that analyzs analog input valus in trms of logical variabls that ta on continuous valus btwn 0 and 1, in contrast to classical or digital logic (ithr 1 or 0 - tru or fals, rspctivly). Fuzzy logic is widly usd in machin control. Th trm fuzzy inspirs a crtain spticism, sounding quivalnt to "halfbad logic" or "bogus logic", but th "fuzzy" part dos not rfr to a lac of rigor in th mthod, rathr to th fact that th logic involvd can dal with concpts that cannot b xprssd as "tru" or "fals" but rathr as "partially tru". Gntic algorithms and nural ntwors can prform just as wll as fuzzy logic in many cass, but fuzzy logic has th advantag that th solution to th problm can b cast in trms that human oprators can undrstand, so that thir xprinc can b usd in th dsign of th controllr. Mas it asir to automatiz tass that ar alrady succssfully prformd by humans. 8 / 37
Controlr fuzzy Controlul fuzzy st o thnica d transpunr a modului d gandir uman intr-un sistm d control. Un controlr fuzzy poat fi proictat sa mulz gandira intuitiva a opratorului uman pntru a dduc concluzii din xprinta antrioara. Abordara clasica (traditionala) a controlului ncsita modl formal (matmatic) car să dscri dinamica procsului d controlat Controlul fuzzy incorporaza logica umana intuitiva intr-un softwar (program) d calculator. S potrivst cl mai bin problmlor d control car nu pot fi rprzntat cu usurinta prin modl matmatic. Dificultati in sistml d control und st rcomandat un controlr fuzzy: modl imprcis al procsului procs cu paramtri variabili dat incomplt sau indisponibil procs (foart) complx xista o buna intlgr calitativa a functionarii procsului 9 / 37
10 / 37 Zadh: formulara lgii d control f prin rguli fuzzy (propoziţii condiţional) SLF cu intrăril (), (-1),..., lingvistică într u c () şi acst intrări. (- ), u c (-1),...,u c (- ) - dpndnţă Controlrl fuzzy folosit în practică sunt d ordin 1, = 1: u c () = f((),(-1), u c (-1)) Controlrl fuzzy tipic au o formă simplificată, işira antrioară u c (-1) nu intră în rgulil fuzzy; în rgulil fuzzy intră () şi (-1) (sau Δ), ca si intrari si u c () sau u c () ca si isiri f = funcţia d transfr a SLF st dtrminată d: mulţimil fuzzy dfinit pst intrar şi işir, baza d rguli, mcanismul d infrnţă mtoda d dfuzzificar
11 / 37 În mod tipic, intrăril tranşant folosit in controlr fuzzy sunt: -roara () - variatia (drivata) rorii : () = ()-(-1) În functi d marima d isir a controlrului avm: controlr fuzzy PI, car ar ca isir variatia marimii d comanda u c () = f((), ()); u c () = u c (-1) + u c () controlr fuzzy PD, car ar ca isir dirct marima d comanda u c () = f((), ()) SLF cu intrăril () şi () şi işira u c () st un controlr d ordin 1.
G. Oltan Sistm cu logică nunțată 12 / 37 Controlr PI Controlrul clasic PI: ( ) ( ) ( ) + = t i c dt t T t P t u 0 1 In varianta discrta la itratia : ( ) ( ) ( ) + + + = t T P u i c (1)... 1) ( ) ( 1 Similar, la itratia -1: ( ) ( ) ( ) + + + = t T P u i c (1)... 2) ( 1) ( 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + = = t T P u u u i c c c ) ( 1 1 1 ) ( Variatia marimii d comanda ( ) ( ) ) ( 1 u u u c c c + = )) ( ), ( ( ) ( f u c =
13 / 37 u c ( ) = u ( ) c Controlr PI cont. 1 + u ( ), und u ( ) = f ( ( ), ( )) c Asadar, pntru un controlr PI trbui dtrminata variatia marimii d comanda, car s însumază cu valoara antrioara a comnzii pntru a rzulta comanda curntă. Controlrul PI clasic st un controlr liniar doarc variatia marimii d comanda (functia f) st liniara in raport cu roara si variatia rorii (trbui dtrminat doar valoril constantlor P si T). 1 u c ( ) = f ( ( ), ( )) = P ( ) ( 1) + ( ) T T Controlrul PI fuzzy st un controlr nliniar doarc variatia marimii d comanda (functia f) st dtrminata d baza d cunostint car implmntaza o dpndnta nliniara in raport cu roara si variatia rorii (trbui dtrminata baza d cunostint - multimil fuzzy si rgulil fuzzy. c
14 / 37 Controlr fuzzy PI Procs Intraril controlrului fuzzy: Eroara: Variatia (drivata) rorii: Isira controlrului fuzzy: Variatia marimii d comanda; u c
15 / 37 Multimil fuzzy Pot fi similar pntru intrari si isir SLF Mamdani N, ZE şi P formază o partiţi fuzzy Baza d rguli s dduc ţinând cont d obictivul dorit: = 0; =0 Acst 0 trbui privit nuanţat obictivul dorit st : st ZE ; st ZE
G. Oltan Sistm cu logică nunțată 16 / 37 Baza d rguli Considrăm că işira y a sistmului variază în aclaşi sns cu comanda u c : - dacă u c crşt y crşt - dacă u c = cst y = cst - dacă u c scad y scad y y y y y y - y y y y = = = = = = 1 1 1 Δ ) * ( ) * ( Δ * ; * 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Controlr fuzzy Mamdami 17 / 37
18 / 37
19 / 37 Pot fi utilizat mai mult mf si rguli pntru un control mai fin N ZE P PM PFM y Δ = = y * y y 1 y
20 / 37 Pot fi utilizat mai mult mf si rguli pntru un control mai fin In varianta cu 5 mf p ficar variabila rzulta o baza d rguli complta d 25 d rguli: In varianta cu 7 mf p ficar variabila rzulta o baza d rguli complta d 59 d rguli: Δ NL NS ZE PS PL NL NL NL NS NS ZE NS NL NS NS ZE PS ZE NS NS ZE PS PS PS NS ZE PS PS PL PL ZE PS PS PL PL
Sistm d control fuzzy (PI) pntru controlul tmpraturii. Implmntar Simulin 21 / 37
22 / 37 Sistm d control fuzzy (PI) pntru controlul tmpraturii. Rzultat Cronogram Suprafata d control a slf Mamdani
23 / 37 Controlr fuzzy TS d ordin zro Multimil fuzzy d isir au suporturil N -1 Z 0 P +1
24 / 37 Controlr fuzzy cu 9 rguli Mamdani Sugno
25 / 37 Controlr fuzzy PD Intraril sistmului fuzzy: Eroara Variatia (drivata) rorii Isira sistmului fuzzy: Valoara marimii d comanda
26 / 37 Multimil fuzzy Intrari Isir
27 / 37 Baza d rguli Considrăm că işira y a sistmului variază în aclaşi sns cu comanda u: - dacă u crşt y crşt - dacă u = cst y = cst - dacă u scad y scad
28 / 37 Controlr d tmpratura tip PD diff_rror
29 / 37 Mulțimil fuzzy pntru variabill d intrar rror diff_rror
Baza d rguli 30 / 37
Suprafata d control dif_rror si rror au fost translatat spr valori pozitiv pntru ca intraril sa oprz doar cu valori pozitiv 31 / 37
32 / 37 Controlul pndulului invrsat pndul.fis http://www.razorrobotics.com/articls/fuzzy-control-systm/
Stabilitata sistmlor d control fuzzy Doarc sistml d control (fuzzy) sunt sistm dinamic st nvoi d analiza d stabilitat. Analiza d stabilitat a controlrlor fuzzy poat fi ralizata cu oric mtoda potrivita pntru analiza sistmlor dinamic nliniar Toria stabilitatii abordaza stabilitata traictorii sistmlor dinamic sub actiuna unor mici prturbatii (a conditiilor initial) Exista mai mult tipuri d stabilitat c s pot dfini pntru sistml dinamic. Cl mai important tip d stabilitat st cl rfritor la stabilitata solutii in apropira unui punct d chilibru 33 / 37
Stabilitata sistmlor d control fuzzy cont. Stabilitata in jurul unui punct d chilibru poat fi discutata conform torii lui Lyapunov Daca toat solutiil unui sistm dinamic, car dbutaza in apropira unui punct d chilibru x raman in apropira lui x atunci x st stabil in sns Lyapunov. Mai mult, daca x st stabil in sns Lyapunov si toat solutiil car dbutaza in apropira lui x convrg la x atunci x st stabil asimptotic Exista 2 torm al lui Lyapunov rfritoar la stabilitat, cu ajutorul carora s ralizaza analiza d stabilitat 34 / 37
Lyapunov s first thorm Prima torma a lui Lyapunov A nonlinar systm is asymptotically stabl at th origin if its linar approximation is stabl at th origin ( at th origin is a fuzzy concpt): for all trajctoris that start clos nough within a stabl manifold x( t) th systm stat vctor x ( t) = f [ x( t)] is stabl at x0 = 0 if x ( t) = f [ x( t)] x x 0 = 0 x( t) is stabl 35 / 37
36 / 37 A doua torma a lui Lyapunov Lyapunov s Scond Thorm Dfin a scalar Lyapunov function, a positiv dfinit function of th stat in th rgion of intrst V * [ x * ( t)] 0 Evaluat th tim drivativ of th Lyapunov function dv dt = V t + V x x dv If 0 dt in th nighborhood of th origin, th origin is asymptotically stabl
Problma 37 / 37 ΔE N E ZE P N ZE P Ng Ng Zro 1 4 7 Ng Zro Poz 2 5 8 Zro 3 Poz 6 Poz 9-3 -1 0 +1 +3 E, ΔE Pntru ΔU sunt dfinit multimi fuzzy singlton: Ng cu suportul -1, Zro cu suportul 0, rspctiv Poz cu suportul +1. Trf = 55 C, T = 60 C, T 1 = 60,6 C, u 1 = 200W a) Cum s dtrmina si c valori au,, 1, E, E? b) Dtrminati gradl d activar a tuturor rgulilor din baza d rguli. c) Car sunt multimil fuzzy d isir din concluzia ficari rguli? d) Dtrminati valoara isirii (ΔU) rzultata in urma dfuzzificarii. ) Cum s dtrmina si c valori au u, u? f) C s modifica in functionara controlrului daca factorul 0,15 s modifica la valoara 0,4?