Unitatea de învăţare nr

Transcriere

1 Numr compl Uitata d îvăţar r. Numr compl upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r.. Forma umrlor compl. Opraţii cu umr compl Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 5 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar 5 Bibliograi uitata d îvăţar r. 6

2 Numr compl OBIETIVELE uităţii d îvăţar r. Pricipall obictiv al Uităţii d îvăţar r. sut: Îţlgra oţiuilor d umăr compl, ucţi complă Scrira uui umăr compl sub ormă algbrică, trigoomtrică şi poţială. Forma umrlor compl Mulţima umrlor compl a apărut di csitata tidrii oţiuii d umăr, avâd ca puct d porir mulţima umrlor ral, cu scopul ca oric cuaţi d gradul să aibă soluţii î oua mulţim. Fi R corpul umrlor ral. P mulţima R R R {, /, R}, produsul cartia al prchilor ordoat d umr ral, s disc opraţiil d aduar şi îmulţir astl:,,,,,, Diiţia.. Mulţima R îstrată cu opraţiil d aduar şi îmulţir diit mai sus ormaă corp, umit corpul umrlor compl, al cărui lmt s umsc umr compl: R,, Diiţia.. Forma algbrică a uui umăr compl st: i,, R Obsrvaţi: i s umşt cojugatul lui. Diiţia.. Forma trigoomtrică a umărului compl st: ρ cosα i siα, ud modulul ρ şi argumtul α sut dat d rlaţiil: ρ, α arccos sau α arcsi sau ρ ρ α arctg Diiţia.4. Forma poţială a umărului compl st: iα ρ

3 Numr compl Diiţia.5. Două umr compl ρ cosα i siα şi ρ cosα i si α sut gal dacă ρ ρ şi α α π; Z. Aplicaţii:. Dtrmiaţi valoril îtrgi al lui ptru car putril umărului: i sut ral. Rolvar: π i i 4 Im, π si π 4π 4 4 Tst d autovaluar.. Dtrmiaţi valoril îtrgi al lui ptru car putril umărului: i sut ral.. rprită mulţima soluţiilor cuaţii i 4i?. Opraţii cu umr compl Oricar ar i i, i, i sut vriicat următoarl proprităţi:.. ± ± i ±. i i. 4. ρ ρ α α i 5. α i α ρ ρ α π i iα 6. ; ρ ρ,, -.

4 Numr compl 7.,, 8. R, Im i 9.,,,, N., α α,, α R.,..,, Aplicaţii:. Dacă i r, i,,...,,, arătaţi că E E... Rolvar: R... r r E Dci E E implică E R. Tst d autovaluar.. ompltaţi spaţiul libr: Dacă i şi i atuci... i. Să s s arat că î ar loc idtitata: 4

5 Numr compl D rţiut! orma algbrică a umrlor compl orma trigoomtrică a umrlor compl orma poţială a umrlor compl opraţiil cu umr compl Lucrar d vriicar la Uitata d îvăţar r.. Dtrmiaţi valoril îtrgi al lui ptru car putril umărului: - i sut ral.. Să s s arat că î ar loc idtitata: Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar Tst d autovaluar. π. si 6 6. Elipsa cu ocarl î i şi 4i. Tst d autovaluar... S olosşt rlaţia. 5

6 Numr compl Rcapitular Forma algbrică a uui umăr compl st: i,, R Forma trigoomtrică a umărului compl st: ρ cosα i siα Forma poţială a umărului compl st: ρ iα Bibliograi. Ioa Mirca Popovici, Matmatici spcial ptru igiri şi coomişti,editura Nautica, ostaţa, 5. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. osta, apitol d matmatici:spcial, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica, ostaţa, 7. I.M. Popovici, E. ostatiscu, F. Mmt, D. Popovici, Şt. Sabo, D.M. Popovici, Problm d matmatici spcial, R. ristscu, Matmatici suprioar, Editura Didactică şi Pdagogică, Bucurşti,

7 Fucţii compl Uitata d îvăţar r. Fucţii compl upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r.. Fucţii compl d variabilă rală. Fucţii compl d variabilă complă Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 5 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar 5 Bibliograi uitata d îvăţar r. 6

8 Fucţii compl OBIETIVELE uităţii d îvăţar r. Pricipall obictiv al Uităţii d îvăţar r. sut: Îţlgra oţiuilor d ucţi complă d variabilă complă, ucţi moogă Aplicara cu succs a uor lmt simpl d calcul. Fucţii compl d variabilă rală Diiţia.. Fucţia : A R s umşt ucţi complă d variabilă rală. Dacă A st u itrval şi st o ucţi cotiuă atuci ucţia s umşt curbă. Notăm variabil cu t. um t vom olosi ptru t otaţia: t t it. Ecuaţia Z t rprită cuaţia î compl a curbi. Ecuaţia poat i îlocuită d cuaţiil t, t umit cuaţiil paramtric al curbi t s umşt paramtru. Diiţia.. Diagrama ui ucţii compl d variabilă rală t st curba plaă rprtată graic, îsoţită d u procdu graic d corspodţă îtr valoril paramtrului t şi puctl d p curbă. urba s umşt suportul diagrami. Obsrvaţi: Diagraml rolvă două problm: Aplicaţii:. Ptru momtul t s dtrmiă puctul p curbă.. Fiid dat puctul d curbă, dtrmiăm momtul căruia îi corspud acst puct.. Să s costruiască suportul diagramlor ucţii: t i t i Rolvar: t t i t Ecuaţiil paramtric al curbi sut:

9 Fucţii compl t t Elimiât p t obţim, car rprită o draptă parallă cu prima bisctoar şi cu ordoata la origi. Tst d autovaluar.. Să s costruiască suportul diagramlor ucţii: a, * b R. iωt t a b,. Să s costruiască suportul diagramlor ucţii: it t. t. Fucţii compl d variabilă complă Diiţia.. Dacă D st u domiu di, aplicaţia : D s umşt ucţi complă d variabilă complă uml ucţii st dat d codomiu. osidrăm variabila complă i ucţia ar orma F i U, iv,, U, R, V, Im. Diiţia.4. Dacă implică şi rciproc, ptru oric şi D, atuci st uivaltă p D. Fucţia st uiormă p D dacă îşi cosrvă valoara di puctul şi la rvira variabili î γ di D ptru oric D. Dacă u st uiormă atuci st multiormă. Diiţia.5. Fucţia drivabilă î s umşt moogă î. Torma.. Fucţia U, iv, st moogă î i di D dacă şi umai dacă sut îdpliit codiţiil: U V,, R U V,, umit codiţiil auch Rima. U V U V Obsrvaţi: i i. i după c î pralabil a dscris u cotur

10 Fucţii compl Aplicaţii :.Să s dtrmi puctl i î car ucţia 4 i st moogă şi să s calcul drivatl î puctl dtrmiat. Rolvar : u, 4 v, Ecuaţiil auch-rima sut : 4 4 Soluţia sistmului st, ucţia st moogă î puctul i şi u v, i, i Tst d autovaluar.. Să s dtrmi puctl i î car ucţia moogă. st. Să s dtrmi puctl i î car ucţia st moogă. D rţiut! oţiua d ucţi complă d variabilă rală oţiua d ucţi complă d variabilă complă oţiua d ucţi moogă 4

11 Fucţii compl Lucrar d vriicar la Uitata d îvăţar r.. Să s costruiască suportul diagramlor ucţii: t. it. Să s dtrmi puctl i î car ucţia l st moogă şi să s calcul drivatl î puctl dtrmiat. Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar Tst d autovaluar.. t a ia bcosω t i siωt t a b cosωt t a bsiωt sut cuaţiil paramtric al crcului a a b. t t t Dci t Tst d autovaluar.. i u, şi v, R, Puctul, u aparţi domiului d diiţi al ucţii, dci ucţia u st moogă î iciu puct di plaul compl.. i4 u, şi v, 4 4 R, 6 4 5

12 Fucţii compl Rcapitular Fucţia drivabilă î s umşt moogă î. Fucţia U, iv, st moogă î i di D dacă şi umai dacă sut îdpliit codiţiil: U V,, R U V,, Bibliograi. Ioa Mirca Popovici, Matmatici spcial ptru igiri şi coomişti,editura Nautica, ostaţa, 5. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. osta, apitol d matmatici:spcial, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica, ostaţa, 7. I.M. Popovici, E. ostatiscu, F. Mmt, D. Popovici, Şt. Sabo, D.M. Popovici, Problm d matmatici spcial, R. ristscu, Matmatici suprioar, Editura Didactică şi Pdagogică, Bucurşti,

13 Fucţii olomor Uitata d îvăţar r. Fucţii olomor upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r.. Fucţii olomor Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 4 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar 5 Bibliograi uitata d îvăţar r. 6

14 Fucţii olomor OBIETIVELE uităţii d îvăţar r. Pricipall obictiv al Uităţii d îvăţar r. sut: Îţlgra oţiuii d ucţi olomoră Alara ui ucţii compl dacă s cuoaşt parta rală sau parta imagiară Aplicara cu succs a uor lmt simpl d calcul. Fucţii olomor Diiţia.. O ucţi : D moogă î oric puct di D s umşt olomoră p D. Obsrvaţia. i O ucţi st olomoră îtr-u puct dacă istă o vciătat a puctului rspctiv astl îcât ucţia să i moogă î icar puct di aca vciătat. Torma.. Fi,g : D două ucţii compl d variabilă complă. Dacă şi g sut moog îtr-u puct D, atuci şi ucţiil, ± g, g, /g g sut moog î acst puct şi îtr drivatl lor istă rlaţiil :. α ] α, α [ [ ± g ] g ± [ g ] g g.. g g 4., g g [ g ] Torma.. Fi D, D două domii şi : D D, g :D. Dacă st moogă îtr-u puct D şi g st moogă î puctul w, w D, atuci ucţia compusă hg h st moogă î şi avm : h ] g w g [ Obsrvaţia. i Dacă o ucţi olomoră îtr-u domiu D ar drivat ulă, atuci a st costată î domiul D. ii a o cosciţă a tormi auch-rima s poat dtrmia o ucţi olomoră p u domiu, câd i s cuoaşt doar parta rală sau doar parta imagiară. iii Fucţiil moog, u, i v, pot i scris sub orma w obsrvâd că w u, i v,, adică î prsia ucţii î paramtri şi luăm şi îlocuim cu.

15 Fucţii olomor Aplicaţii:. Stabiliţi domiul d olomori al ucţii. i Rolvar:, u şi, v 4 R ucţia st olomoră î puctl: i şi i, a Dmostraţi că ucţia v si, poat i part imagiară a ui ucţii olomor. b Dtrmiaţi ucţia ştiid că. c Dtrmiaţi prsia lui î ucţi d. a Ptru ca Rolvar: v si, să i part imagiară a ui ucţii olomor, trbui să i ucţi armoică, adică v sau. v v S vriică uşor. b Dtrmiara ucţii s ac olosid codiţiil auch-rima, di car s obţi ucţia u,.. cos cos cos cos cos cos si cos,,, tdt dt dt v dt v u t t t Ultimul trm rprită o costată, dci. cos, u i si cos Di codiţia dată, dci. si cos i c. si cos i i i

16 Fucţii olomor Tst d autovaluar.. Stabiliţi domiul d olomori al ucţii.. a Dmostraţi că ucţia u, cos poat i part rală a ui ucţii olomor. b Dtrmiaţi ucţia ştiid că. c Dtrmiaţi prsia lui î ucţi d D rţiut! oţiua d ucţi olomoră cum s ală o ucţi moogă dacă s cuoaşt parta sa rală sau parta imagiară Lucrar d vriicar la Uitata d îvăţar r.. Stabiliţi domiul d olomori al ucţii.. a Dmostraţi că ucţia v, si poat i part imagiară a ui ucţii olomor. b Dtrmiaţi ucţia ştiid că. c Dtrmiaţi prsia lui î ucţi d 4

17 Fucţii olomor Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar Tst d autovaluar. i. u, v, Di cuaţiil auch-rima rultă că ucţia u st olomoră.. a Ptru ca u, cos să i part imagiară a ui ucţii olomor, trbui să i ucţi armoică, adică u sau u u. S vriică uşor. b Dtrmiara ucţii s ac olosid codiţiil auch- Rima, di car s obţi ucţia u,. Obţim v, si. Folosim codiţia dată şi obţim: cos i si. i i c cos i si. 5

18 Fucţii olomor Rcapitular Fucţia U, iv, st moogă î i di D dacă şi umai dacă sut îdpliit codiţiil: U V,, R U V,, Bibliograi. Ioa Mirca Popovici, Matmatici spcial ptru igiri şi coomişti,editura Nautica, ostaţa, 5. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. osta, apitol d matmatici:spcial, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica, ostaţa, 7. I.M. Popovici, E. ostatiscu, F. Mmt, D. Popovici, Şt. Sabo, D.M. Popovici, Problm d matmatici spcial, R. ristscu, Matmatici suprioar, Editura Didactică şi Pdagogică, Bucurşti,

19 Srii compl Uitata d îvăţar r. 5 Srii compl upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r Srii compl 5. Srii Talor. Srii Laurt 5 Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 5 7 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar 7 Bibliograi uitata d îvăţar r. 5 8

20 Srii compl OBIETIVELE uităţii d îvăţar r. 5 Pricipall obictiv al Uităţii d îvăţar r. 5 sut: Îţlgra oţiuilor d sri complă, sri d putri Aplicara cu succs a uor lmt simpl d calcul 5. Srii compl Diiţia 5.. Sria Dacă st covrgtă sria st covrgtă şi sria st covrgtă. u st covrgtă atuci spum că sria st smicovrgtă. Obsrvaţi: u critriul lui auch s obsrvă că oric sri absolut covrgtă st covrgtă. Fi u, u : E, E. Notăm E / u E st şir covrgt } E c s umşt mulţima d c { covrgţă a şirului d ucţii. Î gral, rapiditata d covrgţă î E c diră d la u puct la altul. Î caul î car rapiditata st acaşi, adică ε >, N ε astl îcât Ec Nε u u < ε spum că u covrg uiorm la u. c. u. Scrim u u. c. s. alaltă covrgţă st covrgţă simplă şi otăm u u. şi Dacă S u şi S S spum că sria d ucţii st covrgtă. S S R s umşt rstul srii şi p E c, R. Torma 5.. Dacă u sut ucţii cotiu p E şi i suma srii S st cotiuă p E. u S S p E atuci

21 ii dacă arcul AB E atuci sria AB u st covrgtă şi Diiţia 5.. O sri d putri sau sri îtragă st o sri d orma c a cu c, a,. u AB u AB Srii compl Torma 5.. Abl Dacă sria c st covrgtă î şi divrgtă î, atuci a st covrgtă î itriorul crcului < şi divrgtă î domiul >. Dmostraţi. Vom ota R sup şi umim raa d covrgţă a srii d putri. E c oorm tormi lui Abl sria d putri st covrgtă î itriorul crcului d covrgţă crcul d raă R şi divrgţă î trior. P crc, î ul puct avm covrgţă î altl divrgţă. Ptru calculul rai d covrgţă st suicit să dducm margia suprioară a puctlor d covrgţă d p smiaa rală poitivă R, adică să calculăm raa d covrgţă a srii c, R, car ştim d la sriil d putri ral că st: R ud l c lim l, c sau lim sup c. c Srii importat......, cu R......, cu R!!! i i 4 6 cos... cu R! 4! 6!! i i 5 si... cu R i!! 5!! λ λ λ λ λ λ... λ......, λ R!!

22 Srii compl 4 Aplicaţii:. Dtrmiaţi raa d covrgţă a srii şi studiaţi comportara srii p crcul d covrgţă. Rolvar: lim, a a l atuci. l R Sria st absolut covrgtă î domiul. < P crcul d covrgţă θ θ si cos i, sria dvi si cos i θ θ u critriul comparaţii, sriil: cos θ, si θ sut covrgt doarc cos < θ, si < θ şi sria armoică st covrgtă. Dci sria covrg p.. Dacă c R, c \ şi raa d covrgţă a srii st, atuci c st covrgtă p crcul, cpţi ar puta să acă Rultatul îi aparţi lui Picard. Rolvar: Să arătăm că c S st şir auch. p p p p c c c c S S p p p p S S um,, dducm că S S p p p

23 Srii compl Tst d autovaluar 5.. Dtrmiaţi raa d covrgţă a srii. Dtrmiaţi mulţima d covrgţă a srii: Srii Talor. Srii Laurt Srii Talor Fi o ucţi olomoră îtr-u domiu D şi ρ, a D, crcul d ctru a şi d raă ρ. Torma 5.. Oricar ar i cu a r < ρ, a a! a a...! umită ormula lui Talor a ucţii î puctul a. a R Srii Laurt Fi o ucţi olomoră îtr-u domiu multiplu co D şi o coroaă circulară cu ctrul î a, : ρ < a < ρ avâd rotira ormată di crcuril şi, d cuaţii u a ρ, u a. ρ Vom prsupu că,, sut coţiut î D, şi u st olomoră î itriorul crcului. ăutăm ptru o dvoltar î sri, î car vor ista şi putri gativ al lui -a, valabilă î coroaa circulară. oorm ormuli lui auch rritoar la domii multiplu co, p avm: πi u u du πi u u du Ptru itgrala p, ud avm: a < u a, dvoltara î sri gomtrică a lui dcurg ca î caul srii Talor, dci vom obţi şi aici: u du... c c a c πi u cu prsii aaloag ptru coiciţi a... u 5

24 Srii compl πi u du u a valoril c primâdu-s cu ajutorul drivatlor, doarc u st olomoră î itriorul crcului. Diiţia 5.. coroaa Δ d ctru a. c, a s umşt sria Laurt a ucţii rlativă la Parta ormată cu putril gativ s umşt parta pricipală a srii Laurt, iar ca da doua, parta îtragă sau parta taloriaă. Aplicaţii:. Fi Rolvar:. Dvoltaţi după putril lui î domiul <. 6 Dscompuâd î racţii simpl, avm şi p domiul <, olosim dvoltara î sri gomtrică: covrgtă ptru q <. Obţim astl sria Talor q q q....,. Scriţi sria Talor î jurul puctului idicat:, Rolvar: u substituţia 4 u, ptru u < avm u 7 u 7 u. u u 7 u u u 6

25 Srii compl Tst d autovaluar 5.. Scriţi sria Talor î jurul puctului idicat:,.. Scriţi sria Talor î jurul puctului idicat:,. D rţiut! covrgţa ui srii srii Laurt dvoltara î sri Talor Lucrar d vriicar la Uitata d îvăţar r. 5!. Dtrmiaţi raa d covrgţă a srii.!. Scriţi sria Talor î jurul puctului idicat: si,. Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar Tst d autovaluar 5.. a l lim lim R a a. l lim lim R. Dci sria covrg p a. 7

26 Srii compl 8 Tst d autovaluar l, !... 4! < Am ţiut cot d aptul că..., l şi...!! Rcapitular Sria st covrgtă sria st covrgtă. Oricar ar i cu, ρ < r a!...! R a a a a a a c, s umşt sria Laurt a ucţii rlativă la coroaa Δ d ctru a. Bibliograi. Ioa Mirca Popovici, Matmatici spcial ptru igiri şi coomişti,editura Nautica, ostaţa, 5. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. osta, apitol d matmatici:spcial, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica, ostaţa, 7. I.M. Popovici, E. ostatiscu, F. Mmt, D. Popovici, Şt. Sabo, D.M. Popovici, Problm d matmatici spcial, R. ristscu, Matmatici suprioar, Editura Didactică şi Pdagogică, Bucurşti, 976.

27 Torm şi ormul auch Uitata d îvăţar r. 6 Torm şi ormul auch upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r Torma lui auch ptru domii simplu co 6. Torma lui auch ptru domii multiplu co Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 6 6 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar 7 Bibliograi uitata d îvăţar r. 6 8

28 Torm şi ormul auch OBIETIVELE uităţii d îvăţar r. 6 Pricipall obictiv al Uităţii d îvăţar r. 6 sut: Îţlgra oţiuii d domiu simplu şi multiplu co Aplicara cu succs a tormlor lui auch 6. Torma lui auch ptru domii simplu co Dacă AB st u arc d curbă plaă, dat pri cuaţiil paramtric : t;, ud t, t sut ucţii d clasă [ a, b] sau d clasă t; t [ a,b] porţiui, iar o ucţi cotiuă p AB, atuci istă itgrala curbilii: d U, d V, d i V, d U, d AB AB AB p Dacă trmităţil A şi B al arcului coicid, atuci avm o curbă îchisă şi putm scri: d Ud Vd i Vd Ud. Diiţia 6.. U domiu D D R st simplu co dacă oric curbă simplă îchisă coţiută î D ar propritata că domiul mărgiit, car ar ca rotiră curba, st iclus î D. U domiu st multiplu co dacă u st simplu co. Uui domiu multiplu co i s poat asocia u domiu Δ simplu co dacă s itroduc u umăr suicit d tăituri. Astl, dacă D st u domiu triplu co ig. atuci sut csar şi suicit două tăituri T şi T ptru a obţi u domiu simplu co, D T...T T T Figura Torma 6. auch Dacă : D st o ucţi olomoră p domiul simplu co D, atuci d, oricar ar i curba îchisă situată î îtrgim î D.

29 Torm şi ormul auch osciţă. Dacă A şi B sut două puct situat î domiul D î car st olomoră, iar AMB şi A M B două arc d curbură al căror puct aparţi lui D, atuci d d. AMB AM B Aplicaţii:. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, ud : i. Rolvar: i, dci domiul st,; pol d ordi, u st î itriorul domiului, ca c îsamă că domiul st simplu co I Tst d autovaluar 6. d. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala, ud : R, R <. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, ud : 6. Torma lui auch ptru domii multiplu co Torma 6. auch ptru domii multiplu co Dacă st o curbă situată î domiul D multiplu co c travrsaă cl tăituri csar ptru a obţi domiul D T T... T, simplu co, iar, i, curbă c travrsaă umai tăitura T i o sigură dată î ss dirct atuci: i o d i i d Mţioăm că d dacă i travrsaă tăitura T i o sigură dată î ss dirct. Numărul i K i K i s umşt costată ciclică.

30 Torm şi ormul auch atuci Dacă i travrsaă tăitura T i d m ori î ss dirct şi d m ori î ss ivrs, i d m m K i Diiţia 6.. Fucţia Φ st o primitivă a ucţii îtr-u domiu D, dacă Φ st olomoră î D şi Φ î oric puct D. Fi o ucţi olomoră d domiul D şi A a D u puct i iar M D u puct oarcar. Atuci d F AB u dpid d arcul d curbă situat î D şi car uşt puctl A şi M. T T T Figura. Torma 6.. Dacă st o ucţi olomoră p domiul simplu co D, atuci a admit primitiv. O primitivă a lui st F d Fucţia F st olomoră î domiul D. Dacă F st o primitivă a ucţii, atuci şi Φ F st o primitivă a lui. AM Torma 6.4. Dacă st o ucţi olomoră p domiul D, iar o curbă simplă îchisă, rctiicabilă situată î domiul D şi u puct di itriorul domiului mărgiit d curba, atuci πi d Obsrvaţia: i Dacă puctul, atuci 4

31 Torm şi ormul auch d iπ dacă admit tagtă uică î. Acastă galitat s umşt ormula smiriduului. atuci Dacă î curba admit două smitagt car ormaă îtr l ughiul ϕ,, d iπ π ϕ şi s umşt valoara pricipală a itgrali î ssul lui auch p curba. ii Dacă domiul D st triplu co ig. atuci T T Figura d d d πi Graliara ptru u domiu multiplu co st vidtă. Torma 6.5 ormula itgrală a lui auch. Dacă st o ucţi olomoră p domiul D, iar o curbă simplă îchisă, rctiicabilă situată î domiul D, iar u puct di itriorul domiului mărgiit d curba, atuci admit drivat d oric ordi î şi drivata d ordiul st! πi d Aplicaţii:.. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, ud : Rolvar: pol d ordi pol d ordi pol d ordi. 5

32 Torm şi ormul auch S dsaa crcul şi s trc sigularitatil p graic. Î itriorul domiului st doar I π i, ud 4π i I 9 Tst d autovaluar 6... alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, ud 4 : 5... alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala π i d, ud : D rţiut! torma lui auch ptru domii simplu co torma lui auch ptru domii multiplu co Lucrar d vriicar la Uitata d îvăţar r. 6.. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, ud : R cosh π. alculaţi cu ajutorul tormi lui auch itgrala d, i ud : i 6

33 Torm şi ormul auch Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl d autovaluar Tst d autovaluar 6.. R,; R i pol d ordi i pol d ordi R < domiul st simplu co, rultă că itgrala st ro..,; Domiul st simplu co I Tst d autovaluar , dci domiul st,;5 pol d ordi 4 pol d ordi Ambl puct sut î itriorul domiului domiul st triplu co, rultă că I I I, ud I π i şi I π i 4 6 I π i π π. i,; pol d ordi, st î itriorul domiului i I π, ud! I π i 7

34 Torm şi ormul auch Rcapitular Dacă atuci : D st o ucţi olomoră p domiul simplu co D, d, oricar ar i curba îchisă situată î îtrgim î D. Dacă st o ucţi olomoră p domiul D, iar o curbă simplă îchisă, rctiicabilă situată î domiul D, iar u puct di itriorul domiului mărgiit d curba, atuci admit drivat d oric ordi î şi drivata d ordiul st! πi d Bibliograi. Ioa Mirca Popovici, Matmatici spcial ptru igiri şi coomişti,editura Nautica, ostaţa, 5. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. osta, apitol d matmatici:spcial, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica, ostaţa, 7. I.M. Popovici, E. ostatiscu, F. Mmt, D. Popovici, Şt. Sabo, D.M. Popovici, Problm d matmatici spcial, R. ristscu, Matmatici suprioar, Editura Didactică şi Pdagogică, Bucurşti,