2

C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor într-o regiune de dimensiuni nanometrice determină o schimbare profundă a comportamentului a acestuia. În afirmaţia de mai sus, dimensionalitatea se referă la numărul de grade de libertate ale impulsului particulei. Dacă notăm cu Dl numărul de grade de libertate ale particulelor şi cu Dc numărul de direcţii de confinare, atunci, pentru orice sistem, cu certitudine: Dl + Dc = 3. Aceste valori determină cele patru sisteme posibile în lumea noastră: Sistem Dc Dl Volumic (bulk) 3 Groapa cuantica (quantum well) 1 Fir cuantic (quantum wire) 1 Punct cuantic (quatum dot) 3 Intr-un fir cuantic (quantum wire) particula este confinată după două direcţii în timp ce într-o groapă cuantică (quantum well) confinarea are loc după o singură direcţie. In figura 1 sunt reprezentate schematic structurile groapa cuantica, fir cuantic şi punct cuantic. In acelaşi timp este sugerată o metodă de fabricare. Figura 1. De la stânga la dreapta: groapa cuantica, fir cuantic şi punct cuantic. 1

. Superretele. Modelul Kronig-Penney Conceptul de superreţea (SL) a fost fundamentat teoretic de Leo Esaki în anii `6, iar structura semiconductoare a fost fabricată două decenii mai târziu. Superreţeaua poate fi considerată una din cele mai importante realizări ale omului în domeniul materialelor artificiale. O superreţea este o structură care include mai multe gropi de potential în care lărgimea barierelor energetice care separă gropile de potenţial individuale permite degenerarea starilor. Pe măsură ce barierele se îngustează, funcţiile de undă ale electronilor din gropile de potential individuale se suprapun. In consecinţă nivelele discrete din gropile de potenţial se extind şi duc la apariţia de benzi energetice la fel cum se întâmplă cu nivelele energetice ale atomilor individuali când se aranjează în reţeaua cristalina. Cea mai importantă particularitate a unei superretele este introducerea unei noi periodicităţi, d = a + b, egală cu suma lărgimii unei gropi, a, şi a unei barierei, b (figura 1). Figura Dacă superreteaua este considerată în analogie cu reţeaua cristalină iar potenţialul este considerat in analogie cu potenţialul atomilor din cristal, pentru a determina structura de benzi a unei superreţele se poate proceda la fel ca în fizica corpului solid. Este interesant de remarcat că în 1931 Kronig si Penney au stabilit un model pentru solidul cristalin în care potenţialul periodic văzut de electroni, a fost presupus rectangular ca în figura. Formal o superretea, arată la fel. Chiar dacă

potenţialul periodic din figura este mult mai simplu decât cel real, modelul Kronig- Penney conduce la rezultate foarte interesante referitoare la structura de benzi a unei superretele. Astfel, în regiunea gropilor ( x a) funcţia de undă este: ikx ikx x) Ae B e ( (1) cu me) / k (. Funcţia de undă se va extinde în interiorul barierelor energetice de înălţime V şi lăţime b. Astfel, in regiunea, b x : ( ) e x x x C De () cu V E. m Impunem conditii de continuitate de clasa C 1 in punctele x = si x = a. Din condiţia de continuitate la interfaţă pentru funcţiile de undă şi derivatele acestora, cu notaţiile din figura în x = avem: A B C D ik A ik B C D In x = a aplicam teorema lui Bloch. In conformitate cu teorema Bloch (3) ikx ( ( x) u( x)e, u( x) u( x nd), cu d periodicitatea reţelei, n =, 1,...) funcţiile de undă din două poziţii diferite ale electronului pot fi legate cu relaţia: ( a) ( a d)e e e ( b)e ikb ikb ika ik( ab) (4) unde k este vectorul de undă corespunzător funcţiilor de undă Bloch. Aplicand această ecuaţie funcţiilor de undă corpunzătoare din groapa şi bariera de potenţial, avem: A B C D e e e e e ik a ik a b b ik ( ab) ik A ik B C D e e e e e ik a ik a b b ik ( ab) Sistemul format din cele patru ecuaţii (3) şi (5) admite soluţie netrivială dacă determinantul este nul: 1 1 1 1 ik ik ikab ika ika b ik a b b e e e e e e ikab ik e ik e e e e e ika ika b ik a b b Calcule algebrice elementare dar laborioase conduc la ecuaţia: (5) (6) 3

k k sin k a sinh b cos a cosh b cos k( a b) (6) Această ecuaţie poate fi rezolvată numeric. Membrul stang al ecuaţiei (6) depinde de energie prin k în timp ce membrul drept depinde de vectorul de undă Bloch. Ca urmare, soluţiile pentru toate valorile posibile ale lui k, adică -1 cos k(a + b) 1 vor reprezenta diagrama energetică, avand ca parametri dimensiunile fizice ale straturilor care formează reţeaua. Să considerăm cazul superretelei GaAs/AlGaAs m =.67 m şi V =.3 ev. Rezultatul rezolvării numerice a ecuaţiei (6) este reprezentat grafic în figura. Se observă că pentru a mai mare de 1 nm, energia electronului este bine definită şi corespunde valorilor calculate în cazul unei singure gropi de potenţial. Cand lărgimea barierei de potenţial scade sub 6 nm apar benzile de energie permise şi interzise. Figura 3 3 Groapa infintă de potențial. Recapitulare Considerăm ecuaţia Schrödinger independentă de timp ale cărei soluţii au fost studiate extensiv la cursul de Mecanică Cuantică: ( x) V ( x) ( x) E( x) (1) m x Problema gropii infinite de potențial constă în rezolvarea ecuației (1) pentru V(x) = : 4

( x) E ( x) m x cu condițiile pe frontieră () = (a) = (figura 1a). () Figura 1 Soluția exactă a problemei gropii infinite de potențial se obține astfel (vezi C1): In x = avem () =, adică A + B =, de unde: x Aexp( ikx) B exp( ikx) (3) x A exp( ikx) exp( ikx) iasin( kx) (4) In x = a avem (a) =, adică iasin( kl), de unde rezultă: și unde C = ia. ka n, n 1,,... (5) n ( x) C sin x, n 1,,... a Astfel, stările particulei în groapa infinită de potențial pot fi calculate cu relația: (6) Energia dintre două stări este: E p k m m m a n (7) E n 1 (8) ma Stările energetice ale particulei în groapa infinită de potențial sunt reprezentate în figura 1b. 5

Constanta C în relația (6) se determină din condiția de normare a func iei de undă: de unde rezultă: C a groapa finită de potențial: C C a * ( x) ( x) dx 1 n sin xdx 1 a n 1 cos x a dx 1 a a n C dx x dx cos a (9), Inlocuind în (6) se obține expresia finală a funcției de undă în n ( x) sin x, n 1,,... a a (1) BIBLIOGRAFIE Sah CT (1991) Fundamentals of Solid State Electronics World Scientific Publishing, Singapore. R.D. Kronig and W.G. Penney. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices, Proceedings of the Royal Society London 13, 499 (1931). http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/13/814/499 P. Pereyra, E. Castillo () Theory of finite periodic systems: General expression and various simple and illustrative examples. Phys. Rev. B 55, 51. 6